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83048917-fisica-ejercicios-resueltos-soluciones-impulso-choques-y-cantidad-de-movimiento-1-bachiller-171111005007

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Cantidad de Movimiento
OBJETIVOS
1.-
Establecer un nuevo modo de enfocar los
problemas dinámicos en donde participan
dos o más cuerpos que interactúan entre
sí.
2.-
Conocer y aplicar el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento.
3.-
Reformular las leyes de Newton de la
Mecánica, en términos de Cantidad de
Movimiento e Impulso.
uando estudiamos los movimientos mecánicos, su generación, su transmisión, su conservación o variación, vemos
que las leyes de la Mecánica estudiadas hasta aquí se ven
muy limitadas si el número de cuerpos que participan e interactúan es
grande, pues el estudio se vuelve complejo, de manera que predecir
resultados de velocidad o aceleración finales es toda una «proeza». En
esta parte del curso incluiremos nuevas herramientas que harán más
sencillos y directos el análisis de tales casos; para lo cual recurriremos
a los conceptos de Cantidad de Movimiento, Impulso y Centro de Masa.
Asimismo, veremos como las tres leyes de Newton para la Mecánica
se vuelven a reformular con tales conceptos.
lID MEDIDAS
DEL MOVIMIENTO
Luego de un tremendo debate iniciado por los filósofos del siglo
XVII, se concluyó que el Universo se regía por dos grandes leyes de
conservación: El de la Energía y el de la Cantidad de Movimiento,
siendo ambos las dos medidas del movimiento.
a) Energía Cinética (mV2/2).- Magnitud escalar cuya transmisión es temporal y se hace por vía del trabajo. La energía resulta ser la medición
más genérica del movimiento, y el trabajo es la medida de su variación.
b) Cantidad de Movimiento (m v). - Magnitud vectorial cuya transmisión
es instantánea, y se hace por vía del impulso. La cantidad de movimiento resulta ser la medida directa del movimiento mecánico, yel
impulso es la medida de su variación.
11II CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
(¡;)
Esta magnitud es conocida también como Momentum Lineal, y
a lo largo del tiempo se la relacionó con el movimiento de un cuerpo.
En un inicio se le midió multiplicando el peso por la velocidad (Galileo),
RENE DESCARTES
(1596 - 1650)
Este notable filósofo y matemátIco francés nació el 31
de Marzo de 1596 en La Haya (Touroine). Se formó en el
colegio
de JesuItas de la
Fleche. Debido a su delicado
estado de salud, se le permitió de Joven permanecer
en
cama todo el tiempo que
deseaba antes de Ir a la escuela. A los treinta años fué
ofIcIal de campo con T11ly;
vMó después de largos viajes
en los Paises Bajos. En 1649
marchó
a Estocolmo por
Invitación de la reIna Cristina
de Suecia. Es el prIncipal fundador de la Nueva FIlosofía.
Los sistemas de coordenadas
que él Introdujo se cortan en
angulos rectos, y se designan
con las letras; x Y-z: llevan su
nombre. Tuvo una prolija vida
en el campo de las matemátIcas. Se le atribuye la Idea Iineal/zada de la inercia, denomInada Momenfum
Lineal;
- Todo cuerpo que se mueve
tiende a continuar su movimiento en línea tecr». /o que
aporecló en sus-Principios de
Filosofía(1644). Su obra
cumbre fué -Discours de la
Methode-.
234
Física-Primer Nivel
Félíx Aucallanchi
V.
DILEMA
el volumen de materia (masa) por su rapidez (Descartes), y finalmente
la masa del cuerpo por su velocidad (Newton). Así quedó establecido
-Escomún observar cómo
que la cantidad de movimiento es una magnitud vectorial que mide el
determinados cuerpos en
v = O 01 mis
movimiento finalmente pier- grado de oposición (inercia)
den su velocidad y se detie- que presenta un cuerpo para
~
nen. SI hacemos uno exten~::
sión o todo el Universo, cambiar 'u movimiento. Su
valor resulta ser directaconcluiremos que éste debe estor muriendo, lo cual mente proporcional con la
resulto Inaceptable, pues si masa y la velocidad de un
el Universo es obro de Dios, cuerpo:
él debe ser eteav».
Este fué el dilema que
surgió o mediados del siglo
XVII entre los filósofos
europeos, lo que los empujó
o aceptar lo existencia de
uno magnitud, que relacionado con el movimiento
debía ser constante(eterna).
El problema para ellos era
ponerse de acuerdo en
¿Qué se conservo: lo energía clnétlco o lo cantidad de
molimiento?
I p = m. v 1
(12.1)
Unidad (S.I.): (P) = kg.m/s
Observacián.« Con la cantidad
de movimiento, el concepto de
inercia (masa) adopta una
naturaleza vectorial debido a
la inclusión de la velocidad.
"La bala y el tren tienen la
misma cantidad de movimiento"
Fig 12.1
I!II
IMPULSO (J)
Esteasunto quedó resuelto
01 descubrirse que lo enerEs conocida también como impulsión, y viene a ser una magnitud
gía (entre ellos lo cinétlca)
podía cambiar de formo de tipo vectorial que aplicado a un cuerpo hace que éstos experimenten
pero en esencia seguía sien- algún cambio en su movimiento. El impulso nos indica el grado de
do constante.
efectividad que posee una fuerza para poner en movimiento a un cuerpo
o para detenerlo, en un intervalo de tiempo definido. Así pues, su valor
es directamente proporcional
con la fuerza F aplicada y con
el tiempo (M) que duró su
~
aplicación:
OJO!
Tonto en el Trabajo como
en el Impulso, lo fuerzo resul=
Át
(12.2)
to ser el agente motriz, y su
presencio solo se explico
Unidad (S.I.): (1) = N.s.
por lo Interacclón existente
entre los cuerpos.
Observaciones.« En relación al
ejemplo de la Fig 12.2. se puede
IJ
F.
1
decir que:
MUY INTERESANTE
1) Los impulsos pueden transmitir movimientos en intervalos
de tiempo muy cortos.
SI analizamos los unidades
del Impulso, descubriremos 2) Al graficar una Fuerza verque ellos son equivalentes o sus el Tiempo podemos comlos unidades de lo Cantidad
probar que el área bajo la curva
de Movimiento. Veamos:
newton.segundo =
~
m
N.s = kg.
s
(kg.'; ]s
nos proporciona el impulso que
recibe un cuerpo en un intervalo
de tiempo dado.
rATea = Impulso
I
Fig 12.2
Cantidad de Movimiento
ATENCION!!
TEOREMADELIMPULSOYLACANTIDAD
DE MOVIMIENTO
•
_
(J)
Según el ejemplo de la Fig 12.2, el lanzador aplica un impulso
~ la bola de masa m, y debido a ello le cambia su velocidad de
v¡ = O a vr; esto significa que el impulso provocó un cambio en la
cantidad de movimiento de la bola. En base_al ejemplo de la Fig. 12.3a
podemos apreciar que la fuerza resultante R es aplicada en un tiempo
Il.t, luego, utilizando la 2da Ley de Newton tendremos:
má
=>
e
R;
m.
~v
~t =.R
=>
mVr -mv¡ =J
=>
m(vr-v¡)=R
Pr -p¡ =} ;
ó;
.~t
I~=J I
235
1) Por razones pedagógicas, la relacIón (12.3) se
ha demostrado considerando un movImiento
rectilíneo (Flg. 12.30).
2) En la Fig 12.3b se pueqe
notar que el Impulso ( J )
señala hacIa el Interior de
la curva (concavIdad). Su
valor puede encontrarse
mediante la relacIón (3.2)
para un vector diferencIa:
(12.3)
«Si sobre un cuerpo o sistema de partículas actúa un impulso
externo éste tendrá un valor igual al cambio producido en la cantidad
de movimiento del cuerpo o sistema».
(b)
p,
:--~tr
: ~
p¡
p¡-rriV¡
¡--c=¡
:
J
~
,
1:>'
pr=mvr
11II SISTEMA DE PARTICULAS
Fig 12.3
Cuando un sistema físico está compuesto de varios cuerpos o
partículas, el estudio de su movimiento se simplifica si encontramos la
Cantidad de Movimiento Total del Sistema (PT) Y el de su Centro de
Masa. Resulta que el movimiento del Centro de Masa es equivalente
al que realiza todo el sistema. Luego, a partir de ésto se definen:
a)Cantidad de Movimiento del Sistema.- Por ser la cantidad de movimiento una magnitud vectorial, se establece la siguiente suma:
(12.4)
IPT=p.+P1+: •.+PDI ;
ó ;
[PT=mil+mi"l+
...+mnvnl
b)Velocidad del Centro de Masa.- Se demuestra que la cantidad de
movimiento del Centro de Masa coincide con la Cantidad de Movimiento del Sistema. Luego:
(12.5)
(12.6)
IM
_
1
=P
I
Ln¡v.
1
T·V CM
)'CM=~
T
donde MT = Lm¡
CENmo
DE MASA (C.M.]
Esel lugar del espacIo en
donde se consIdera concentrada toda la masa de
un sistema de partículas. La
ubicacIón
del C.M. se
determIna por medIo de las
relacIones vIstas en el item
8.13.
_
Lm¡x¡
x=-Lfl1¡
I.m¡y¡
y=-Lm¡
236
FéJixAucallanchi
Física-Primer Nivel
V.
FUERZAS INTERNAS
c)Aceleración del Centro de Masa.- La velocidad del Centro de Masa
varía a través del tiempo solo con la presencia de una aceleración, y
Se considera que una
ésta se relaciona con la masa de todo el sistema y con la resultante de
fuerza es interna sies la que
aplica una partícula del sistodas las fuerzas externas del siguiente modo:
tema sobre otra que también pertenece al mismo (12.7)
MT.iiT =R
donde:
R
"LF
"Lm¡ii¡
sistema. Lasfuerzas Internas
se caracterizan además
porque:
!miil
QT =l'.ñt
1)La resultante de todas (12.8)
I
ellas es nula dentro de un
~
sistema.
PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA
2) Pueden producir variaciones en la cantidad de
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
movimiento de las partículas que componen un
De acuerdo con lo establecido en el Teorema del Impulso y la
sistema, pero no alteran
la cantidad de movimien- Cantidad de Movimiento, se tiene que:
to del mismo.
R .!1t= Pf y si:
R=
(Resultante de las fuerzas externas)
I
1,
•
=
O
~
FUERZAS EXTERNAS
Son aquellas que ejercen
los agentes externos al
sistema sobre una partícula
del mismo. Las fuerzas
externas pueden variar la
cantidad de movimiento total de un sistema.
p¡,
=
0= Pf - p¡
~
!i¡'= ir I
(12.9)
Lo que equivale a decir que: «Si la resultante de las fuerzas externas
que actúan sobre un cuerpo o sistema de partículas es nula, entonces
la cantidad de movimiento total se conserva».
Observaciones> Dado que la cantidad de movimiento (p ) es una cantidad
vectorial, entonces el principio establecido por la relación (12.9) puede expresarse de distintos modos:
="L(mv)dapuis~
(12.10)
111)
!"L(mv)antes
211)
Al trabajar en el plano, se tiene que:
SISTEMA AISLADO
Se dice que un sistema de
partículas es aislado si la
resultante de las fuerzas
externas a él es nula. Si un
sistema es aislado, entonces
desde un marco de referencia inerclal se observará
que su Centro de Masa se
encuentro
en reposo
(v = O J, o moviéndose con
velocidad constante.
Los casos mostrados en la
Fig. 12.4 están libres de fricción, y por tanto corresponden a sistemas aislados, de
manera que en ellos se cumple que la cantidad de
movimiento total se conserva.
En el caso (c) de la Flg.
12.4, los componentes del
sistema aislado parten del
reposo, y por ello la coordenada x del Centro de
Masa se mantiene Inalterable en todo momento.
!
I
(12.11)
(12.12)
a)
"L(mvx)antes
="L(mvx)~
"L(mvy)antes
= "L(mvy)despu&
vA=4m1s "8=3m1s
--<=>-
,B
-.....c::::-
(B)
v = vx +v y'
Luego:
1\
I
vA=3m1.r l'¡¡=4mIs
---c:::---....c::-
~;f-!32 }!¿
Antes
b)
Fig 12.4
2 7
Cantidad de Movimiento
nlOflLEMAS RESUELTOS (ptA NRTE)
Probo 1.- Una raqueta logra golpear una pelota de tenis
de 200 g desviando su dirección según como
se Indica. Si v1 = 35 mis y v2 = 75 mis. ¿Qué
fuerza media experimentó la pelota, si la
duración del contacto fué M = 0,04 s?
A) 300 N
O) 100 N
B)500 N
E)600 N
C)200N
Resolución.En base a los datos podemos reconocer las cantidades de movimiento inicial y final:
Ipll = m,vI = (0,2 kg) (35 mis) = 7 kg.mls
IP21=
mV2
= (0,2 kg) (75 mis) = 15 kg.mls
Luego, utilizando el Teorema del Impulso y la Cantidad de
Movimiento dado por la relación (12.3) tendremos que el
impulso (1) que experimenta la pelota se calcula como un
vector diferencia:
::)
111
=
20 N.s
A continuación calculamos la fuerza (F) que aplicó la raqueta y que propició el impulso (J ) obtenido.
Luego, empleando la relación (12.2) que define a este último, tendremos que:
J
F=/1t
IFI=!.{!=
/1t
20N.s
0,04 s
::)
IF'
= 500 N
RPTA. B
Probo 2.- UnacrnetrcikXJorads¡xro txias de 40 g CXX'llJ)(] vekx:;icJocJ de 5aJ mis. ElsoIdcx::Jo q.Je mCTJtienesujetala crnetrcikXJoraCXX'l1asmeros p.,I€iCk3 ejerceruna fuerzamáxima de 200 N sxxe
la crnetrdkXJora.DetermrYJ el rroaro rirneIO de txxs q.Je puede cisxra en lTI minuto.
A) 400 B) 500
C) 600
O) 300
E)200
Resolución.Se sabe que las balas inicialmente están en reposo (v¡ = O),
Y luego de recibir el impulso de la ametralladora
adquieren la velocidad de ve = 500 mis. Luego, las
cantidades de movimiento inicial y final de cada bala
es: p¡ = O, y:
Pr -= mv = (0,04 kg) (500 mis) ::) Pr = 20 kg.mls
Asimismo, reconocemos que el intervalo I:!.t que existe
entre disparo y disparo es: I1t = 1 minln = 60 s/n,
siendo "n" el número de balas percutadas en un minuto. Luego, por condición del problema se tendrá que
si "n" es máximo, la fuerza (F) que puede sujetar a la
ametralladora produce el impulso (1), que estará dado
por la relación (12.2):
J = F.1:!.t
::)
J = (600 N). 60 s
n
.Ifl·;t(.o,,:iún
238
FélixAucallanchl V.
Física-Primer Nivel
Seguidamente aplicaremos el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento dado por la relación (12.3):
J = Pf -
p¡
~
(200 N)
60s
m
m
= 20 kg . - - Okg . n
s
s
-
~
n
Probo 3.- Si un cuerpo de 2 kg en el IQstantet = O s ,
tiene una velocidad v = - 4i (mis); se pide
encontrar su velocidad en el Instante t = 8 s, si
durante ese tiempo experimentó una fuerza
variable paralela al eje x y que viene dada por
el gráfic.? adjunto Fuerza - vs - Tiem~.
A) - 10 I (mis)
D) + 22 ¡(mis)
B) + 12 I (mis)
E) - 52 i (mis)
C) - 14 I (mis)
= 600
RPTA. C
F(N)
10 ------------6
t(s)
O
4
8
Resolución.En el item 12.3 se explicó que el área bajo la curva Fuerzavs- Tiempo nos dá el impulso (l); luego, por el esquema adjunto
podemos decir que:
6+10)
(lO) (4)
J = Area trapecio + Area triángulo = ( -2- 4 + --2J = + 52 N.s
~
J
~
F(N)
¡
,,
10!
= 52 1 (Eje "x" positivo)
6
Luego, por condición del problema, este impulso dá lugar a
un cambio en la velocidad, y por consiguiente en la cantidad
de movimiento del cuerpo, siendo vf su velocidad final.
Ahora, si utilizamos el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento,
o
J
= Pf -
p¡ ~
J
=m
(Vf-V¡)
~
521 =2 [Vf-(-41)]
~
vr
:
4
t(s)
(8)
tendremos:
=22
¡ (mis)
Probo 4.- Uncuerpo, según la figura, reposa sobre una
superficie perfectamente lisa (sin fricción) y
horizontal. Su centro de gravedad está en G
como indica la figura. Siel cuerpo se inclina
.G
ligeramente, cae al piso. ¿Dónde quedará
su centro de gravedad G .
A)EnP
B)Dependiendo de hacia qué lado se haya
p
R
s
Q
producido el impulso, en Q o S
C) En T D) En R E)Muy lejos de dichos puntos, pues no hay fricción.
RPTA.D
T
UNI88
Resolución.Despreciando
el impulso inicial que permitió
la
inclinación de la barra, diremos que ésta no expe-rimenta
fuerzas externas en el eje horizontal (x); por tanto, el
Centro de Masa (C.M) de la barra inicialmente estaba en
reposo en dicho eje: v =0, y conservará dicho estado en
virtud al Principio d; Conservación de la Cantidad de
Movimiento establecido para un sistema de partículas.
Así:
Rx = LF" = O ~ Px = constante = M,vCM
Pero: vCM = Vx ~
vCM = O ~
XCM = constante'
Uso
p
Si:
RPTA. D
T
Cantidad de Movimiento
239
Observación.- En el eje vertical (y) la barra experimenta fuerzas externas: Peso y Normal, que por no estar
equilibradas producen una resultante Ry que impulsa la barra hacia abajo. Luego, en dicho eje el Centro
de Masa experimenta un movimiento acelerado.
Probo 5.- Unhombre y un muchacho que pesan 800 N Y400 N respectivamente, están sobre un
piso sinrozamiento. Sidespués de que se empujan uno al otro, el hombre se a/~a con
una velocidad de 0,5 mis respecto al piso, ¿Qué cñstcmctoto: separa despues de 5
segundos?
A) 7,5 m
B) 9
m
C) 6
m
D) 10,5
m
E) N.A.
Resolución.El sistema formado por el hombre y el muchacho constituyen un sistema aislado, dado que sobre ellos no
hay fuerzas externas que produzcan impulso neto, pues solo están sujetos a fuerzas internas. Luego, aplicando
el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento, tendremos:
(Phombre
+ Pmuchacho)antes
= (
Pbornbre
M (O) + m (O) = M (- vH) + mVrn
donde: M
vrn
= 80 kg,
m
=>
= (!~)0,5
=>
vm = (M/m) vH
H
= 40 kg Y vH = 0,5 mis. Luego:
vrn
~1
+ Prnuchacho)dcSPUéS
I'h .• '.'
.........•.....
-
= eH
+ ern
= (vH
+
vm) t
= (0,5
111
.r:
....."
~
ANTES
v
=:}--~:;;_''';~'''':''~+~iSÓ''::¡
~
= 1 mis
A continuación calcularemos la distancia que los separa
al cabo det = 5 s, utilizando para ello el esquema adjunto
y la relación (4.1) para los espacios recorridos:
d
- ~
+ 1) 5
=>
d
i
" "~,'!l'_.,t.c, ..~.', :~' .• ' ..
f.-, ... ~.•
t--
= 7,5 m
,"".
--
..
= DES/'U ES
,T.J",,",.. '..' =~~'"""'"",..,.."*~~~
:
ri:
..
el!
-
-===__ ---"
•.•
RPTA.A
Probo 6.- Un hombre de 60 kg que vtojo de pie sobre una plataforma de 240 kg avanzan en
línea recta y horizontal a rozan de 20 mis. Siel hombre empieza a correr respecto de
la plataforma y en el mismo sentido de su movimIento a razón de 5 mis, ¿Cuál será la
velocidad de la plataforma durante el evento? Despreciar el rozamiento de la
plataforma con el piso.
A) 19 mis
B) 18 mis
C) 15 mis
D) 12 mis
Resolución.Dado que el sistema conserva su cantidad de
movimiento, diremos que la velocidad que tiene
la plataforma durante el evento es vp' Luego, el
hombre respecto del piso tendrá una velocidad
vp+u. Ahora, utilizando la relación (12.9) tendremos:
Pantes = Pdespué s
=>
(M +m)v = M vp +m
y reemplazando datos:
(240 + 60) 20
= 240
vp
vp= 15m!s
+ 60
(vp
+ 5)
RPTAC
(vp
+u)
E) 10 mis
240
Fé/lxAucallanchi V.
Física-Primer Nivel
Probo 7.- Marlon y Rocío se lanzan al agua simultáneamente desde una balsa. Losmódulos de
sus velocidades respectivas son iguales a 6 mis y 5 mis. y sus masas son 75 kg Y 52 kg
respectivamente. ¿Con qué velocidad se moverá la balsa, si la joven lo hace hacia el
Norte y el joven hacia el Sur? Masa de la balsa
A) 2 mis: hacia el Sur
O) 1 mis: hacia el Sur
=
95 kg.
C] O mis: no se mueve
B) 1 mis: hacia el Norte
E)2 mis: hacia el Norte
Resolución.Considerando despreciable la fuerza de rozamiento de la balsa con el agua, diremos que el sistema compuesto
por la balsa y los jóvenes experimentan una fuerza resultante nula (el peso del sistema se equilibra con el
empuje del agua). Luego, podemos decir que éste es un sistema aislado, y por consiguiente conserva su cantidad de movimiento. Asimismo, podemos reconocer que antes del lanzamiento de los jóvenes el
M
I!R
sistema estaba en reposo (v = O); luego, aplicando
el Principio de Conservación de la Cantidad de
Movimiento dado por la relación (12.9), tendreSUR
NOHTE
mos:
~-_.
=:)
O=mM
vM
+mB
-
vB +mR vR
y escribiendo escalarmente
tendríamos:
la ecuación obtenida
75 (6) - 52 (5)
RPTA.E
95
Probo 8.- Una partícula de masa m es lanzada verticalmente hacia abajo desde una altura h
con una velocidad Inicial v. Si co/lslona elásticamente con una mesa de altura c < h
puesta sobre el piso. ¿Cuál es el módulo de su velocidad, justo después que rebota?
A)vclh
B)v
C] J2g(h-C)
Resolución.La partícula llega a la mesa luego de caer libremente la
altura (h - e); luego, la velocidad con que incide sobre la
mesa estará dada por la relación (5.2):
vi = v2 + 2 g (h - e)
=:)
Vi =
E) J2g(h-c)+v2
O) J2ghc
-----l-r.
J v--+-2-g-(-h-:"'-c-)
r
y por tratarse de un choque elástico (e = 1) Y frontal, se
verificará que la velocidad de rebote (vr) será:
h
~g
t~;~'=t
(h-c)
2
UNI94-2
:
e
RPTA.E
-+-
Cantidad de Movimiento
lfB COLISIONES
241
DEBES SABER QUE:
Cuando un bate golpee
Llamamos así a aquellos fenómenos de corta duración, y que se una pelota de beisbol, cade
producen cada vez que dos cuerpos con movimiento relativo interactúan uno recibe del otro une
variable, de corto
por contacto, generándose entre ellos fuerzas impulsivas variables y fuerza
duración,
y que puede
muy intensas, las mismas que originan deformaciones y aceleraciones
tomar valores considerable·
muy grandes, lo cual produce variaciones considerables en la veloci- mente grandes.
dad de los cuerpos. A pesar de ello, y por lo visto hasta aquí, las fuerzas
impulsivas son fuerzas internas, y por consiguiente la cantidad de movimiento total de los cuerpos es la misma antes y después de la colisión.
Según la dirección de los movimientos, las colisiones pueden ser:
A) Colisiones directas.- Se les conoce también como choques frontales
o en una dimensión, y son aquellos en donde los cuerpos se mueven
sobre una misma recta antes y después del choque (Fig. 12.5a).
B) Colisiones oblicuas» También se les conoce como choques oblicuos
. o en dos dimensiones, y se caracterizan porque los cuerpos se mueven
en direcciones o rectas distintas antes y después del choque (Fig.
12.5b).
Ant~*
FUERZA MEDIA
La fuerza media que se
produce durante una colisión se define como la fuerza constante que actuando
durante el mismo tiempo
que empleó el contacto,
produciría el mismo Impulso.
!~.
Pv
Des~~
~
IPn= Pn
I
Fuerza
F
~
--
F -- --
a)
11II COEFICIENTE
Impulsivo
-:---+--+---,
b
o
DE RESTITUCION
(e)
Se le denomina también coeficiente de percusión, y viene a ser
un número adimensional propuesto por Isaac Newton para poder relacionar las velocidades relativas de dos cuerpos antes y después de chocar. Así, el coeficiente de restitución es la razón entre estas velocidades,
de manera que:
v-=i/21
~
--c;e
Velocidad relativa de alejamiento
Antes
Velocidad relativa de acercamiento
v
(*) Lasáreas bajo las dos cur-
vas deben ser iguales.
{0
W ~
crE
V2f
-vu
e= v -v
1i
2I
1
(12.13)
O:S;e:S;l
Dura,·te
W
VII
Después
En general se verifica que:
(2
Fig 12.6
FUERZAS IMPULSIVAS
Se les denomina también
fuerzas impulsaras, y son las
que se producen durante
una colisión o explosión. Su
duración es muy breve, y sus
valores son relativamente
grandes.
242
Física-Primer Nivel
¿COMO MEDIR e?
Un procedimiento experimental y sencillo para medir
el coeficiente de restitución
(e) entre dos cuerpos de
materiales A y 8 consiste en
aplicar /0 siguiente re/ación.
Félix Aucallanchi
11&1 TIPOS
V.
DE COLISIONES
El valor de e está íntimamente vinculado con la pérdida de energía
cinética Así entonces, las colisiones según el valor de e pueden clasificarse en:
a) Colisiones elásticas.- Son aquellas en donde los cuerpos luego de la
colisión conservan la misma energía cinética. Asimismo, la deformación experimentada por los cuerpos durante el choque solo es temporal, observándose que cada uno recupera su forma original terminada
la colisión. Además se verifica que:
le=1}
b)Colisiones inelásticas.- En estos choques los cuerpos presentan deformaciones luego de su separación. Esto es una consecuencia del
trabajo realizado por las fuerzas impulsivas, lo que conduce a una
disminución de la energía cinética total de los cuerpos. Además se
observará que:
10<e<11
c)Colisiones completamente inelásticas.- Se les llama también choques
plásticos, y se caracterizan porque los cuerpos durante la colisión
reciben un trabajo por parte de las fuerzas internas que los obliga a
mantenerse unidos y continuar su movimiento en esa forma. Esto
nos sugiere que la energía cinética total de los cuerpos es menor después del choque, y ello debido a una fuga de energía bajo la forma
de calor. Asimismo, se comprueba que:
I
e=O
1111!1 LEY DE REFLEXION
1
EN LAS COLISIONES
Durante una colisión oblicua de un cuerpo con la superficie de
otro de mayor masa, como por ejemplo una pared o el piso de una
habitación, se verifica que las direcciones del movimiento cambian
dependiendo de dos factores:
1) Del coeficiente de rozamiento entre las superficies en
contacto (1-1).
2) Del coeficiente de restitución
existente entre los cuerpos
(e).
Así pues, puede probarse que
los ángulos de incidencia (Li)
y de reflexión (Lr) están relacionados así:
Le
v, v, -
Velocidad InIciIJI
Yelocldad de Rebote
Fig 12.7
(*) Esta relación es válida:
'V i> O°. Si i = 0°
=>
r = 0°
Cantidad de Movimiento
IllllVELOCIDAD
DE REBOTE
Utilizando el ejemplo general mostrado en la Fig. 12.7, podemos
determinar el módulo de la velocidad con que rebota la pelota a partir
de datos específicos, por 10 cual se presentan los siguientes casos:
a) Dados los valores de 11y e, los ángulos de incidencia (l) y de reflexión
(r), y la velocidad de incidencia (vi)' se tendrá que la velocidad de
rebote (vr) es:
b) Si el piso es liso (11 = O) Y son conocidos el ángulo i, y el coeficiente
e, se tiene que:
=
e) Si las superficies son lisas (11 O) Y el choque es elástico (e=I), la
velocidad de rebote no depende del ángulo i :
l"r=V¡
=
d) Si el ángulo de incidencia es i 00, la pelota choca frontalmente con
el piso, entonces, independientemente de la aspereza relativa (11) de
los cuerpos se cumplirá que:
•
REFORMUlACION DE LAS LEYESDE
NEWfON
Sir Isaac Newton, en su obra cumbre: «Principios Matemáticos
de la Filosofía Natural», postuló entre otras cosas, sus tres leyes de la
Mecánica, las cuales se han presentado en los capítulos 7 y 9. Sin embargo, la esencia de los mismos en su forma original estuvieron sustentadas en los conceptos de Impulso y Cantidad de Movimiento vistos
recién aquí; de este modo estas leyes se enunciarían así:
llí1) Ley de la Inercia.- «Si sobre un cuerpo no actúa ningún impulso
externo, dicho cuerpo conservará su cantidad de movimiento».
=
Si J = O
=>
P constante
2¡!¡¡)Ley de la Fuerza.- «El ritmo de cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual a la fuerza neta aplicada, y tiene
lugar en la mi-sma dirección».
·li = !!.p
Al
;ó
:
li = Mmv)
Al
3m) Ley de la Acción y la Reacción- «Los impulsos que experimentan dos
cuerpos que interactúan entre sí producen en ellos la misma variación
en su cantidad de movimiento, pero en direcciones opuestas».
J acción = - J reacción
243
ATENCiÓN
Durante un choque como el
mostrado en la Flg. 12.7, se
verificará que la Normal, la
Recta de incIdencIa y la
Recta de reflexión,
se
encuentran ubIcados en un
mIsmo plano el cual será a
su vez perpendicular a la
superficIe de reflexIón.
244
Féllx Aucal/anchi
Física-Primer Nivel
V.
PROBLEMAS RESUELTOS (ZN PARTE)
Probo 9.- Una pelota cae vertIcalmente
al piso, y al rebotar en él se observa que solo se eleva
hasta la mitad de la altura inicial. SI la velocidad justo antes del choque es de 20 rnts.
¿Cuál es la velocidad después del Impacto?
_ A] 12,1 rnls 8] 13,1 mts C] 14,1 rtüs O] 15,1 mts
E] N.A.
UNFV 91
Resolución.De acuerdo con los datos se tiene que las alturas inicial (h.) y final (hf) logradas por la pelota son tales que:
h, = h(2. Luego, el coeficiente de restitución entre la pelota y el piso estará dada por la relación experimental:
e=
J2
{h; = Jh¡12
V-';;
e=2
h¡
Seguidamente calcularemos la velocidad del rebote (vr), reconociendo que la velocidad de incidencia es v. =
20 mis y que el choque es frontal, luego por la relacion dada en el item 12.11 para estos casos, tendremos:
=>
Probo 10.- La figura muestra la colisión de los
bloques 1 y 2. Entonces, el coeficiente
de restitución
bloques es:
RPTA.C
vr - 14,1 mis
entre
A] 0,1
E] 0,5
0]0.4
C]O,3
8]0,2
UNI94-2
los
20mls
---<:>-
FO
1
2
12m/s
---<:>-
16m1s
---{:::>
1
Resolución.Aplicando directamente
e=
la relación (12.13) para el cálculo del coeficiente de restitución
V2! - vlf
=
(16m/s)
- (12m/s)
(20m/s)
- (Om/s)
e =0,2
(e) tendremos:
RPTA.B
Probo 11.- Dosmasas m y 2m se desplazan con movimiento uniforme sobre una misma recta, coll.sIonando elásticamente. SIpara la masa 2m la velocidad final es el doble de la inicial, la
relación (velocidad finaljl{ve/ocidad inic/alj para la masa m en valor absoluto es:
. '.~
A] 1/5
8] 112
C] 1
O] 2
E]4
UNI94-1
Resolución.-
=
Sean mi =.m y m2 = 2 m las masas de los bloques; asimismo, sean Vii' vIP v i = V Y v2f 2v sus velocidades
inicial y final respecti vamente para cada bloque. Ahora, utilizando primero ¡a relación (12.13) para el coeficiente de restitución (e = 1), y luego el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento, tenemos:
Cantidad de Movimiento
=>
b) m¡vli + m2v2i
=>
= m¡vlf
v¡i+V¡f=3v
245
..... (I)
+ m2v2f
mV¡i
+ 2 m.v = m,vlf + 2
m.2 v
=>
v¡i-vlf=2v
(2)
y resolviendo (1) y (2) obtenemos:
vii =
%v
y
v¡!
=~
RPTA.A
Probo 12.- Dos cuerpos Inelástlcos tienen uno masa total de 12 kg, moviéndose en sentidos
opuestos con velocidades de 4 mIs y -6 rtüs. Colislonon y adquieren uno velocidad
común de + 114rrüs. ¿Enqué relación están los masas de los cuerpos?
A) 614 B) 513
C) 813 O) 615
E)514
UNI 83 - 1
Resolución>
Utilizando directamente la relación (12.10) para el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento,
y siendo el choque completamente inelástico (los cuerpos quedan unidos), tendremos que:
m¡lI¡ +~v2
= (m¡ +~)
v
=>
m¡
(+4)+~(- 6)=
15m¡
(m¡ +~)
(+¡)
mI
= 25~
_.!
mz - 3
RPTA.B
Prob. 13.- Uno bolo de masa m se disparo contra un bloque de masa M como se muestro en
lo figuro. Después de lo colisión el centro de masas del conjunto (m + M) se desplazo
hasta uno altura h. Encuentro lo velocidad de lo bolo en función de m, My h.
A) m+M J2 gh
m
O) m+M
m
JQii
E) M J2 gh
m
C) J2~gh
UNI89
I
Resolucién>
I
Averigüemos primero la velocidad v· que adquieren el bloque y la bala juntos inmediatamente después del
im-pacto de ésta sobre aquella, para lo cual utilizaremos la Conservación de la Energía Mecánica, dado que
el sistema no experimenta trabajo por parte de las fuerzas externas no conservati vas (por ejemplo, la tensión
en las cuerdas). Luego:
E~
= E;'
=>
t(m+
M) v;
= (m+
M) gh
246
~
FélixAucallanchi V.
Física-Primer Nivel
Vi
=
Jz gh
..... (1)
y ahora, emplearemos el Principio de Conservación de la
Cantidad de Movimiento para el momento del impacto de la
bala contra el bloque:
= (Pbala
(Pbala
+ Pbloque
~
mv+M(O)=(m+M)v¡
) antes
+ Pbloque)
despué s
(2)
Reemplazando (1) en (2) y depejando la velocidad de la bala
(v), tendremos:
(M+ m)
RPTA.A
Probo 14.- Sabiendo que el sistemaporte del reposo
¿Conqué velocidad abandona el bloque
a la rampa que es curva? No hay
rozamiento y además: h= 5 metros,
M = 9 m y g = 10mfs2.
A) 8 mis
D) 9 mis
B) 18 mis
E)4 mis
r
m
h
C) 16 mis
Resolución.En primer lugar debemos reconocer que por la ausencia de una fuerza resultante externa, el sistema constituído
por el bloque y la rampa conserva la cantidad de movimiento, tal que su velocidad vr estará dada así:
M (?) + m (O) = M ( - vr) + mv
~
m
vr = M v
..... (1)
Asimismo. notamos que el sistema no experimenta
trabajo por parte de fuerzas no conservati vas, por consiguiente la energía potencial gravitatoria se convierte
en energía cinética de la rampa y del bloque mismo.
Así pues:
l
mgh = -mv
2
2
l
2
+2 Mv r
Reemplazando
v=(~)J2ih
M+m
(2)
(1) en (2) y despejando v, tendremos:
~
V
= 9 mis
RPTA.D
Cantidad de Movimiento
1.- Se tienen tres cuerpos
recta, de manera que:
A: mA
= 6 kg,
vA
moviéndose
en línea
= 5 mis
=
12 kg; ve
n.
Se dá volantines en el piso.
III. Se saca el abrigo y lo lanza hacia adelante.
= 2,5 mis
Indique lo incorrecto:
Entonces, el cuerpo que menos se resiste a cambiar
la dirección de su movimiento es:
A) A
B)B
C)C
D)AyB
E) AyC
2.- Usted debe recibir entre sus manos una biblia
de 1 kg soltada desde 2 m de altura. Entonces, para
que el impacto le produzca el menor dolor, el contacto con ella.deberá ser: (elija un valor)
A)lO-ls
B)lO-4s
C)2.1O-2s
6.- Suponga que usted está en el centro de un lago
helado. Entonces, para salir de él:
1. Camina hacia afuera.
B: mB = 3 kg, vB = 9 mis
C: me
D) 10-2 s E) 10-3 S
3.- Una persona está parada sobre una balanza y
ésta da una lectura L. Luego la persona toma un impulso hacia arriba y salta. Entonces:
( ) L no cambia de valor.
A) I Y III B)
D) 1 Y
n
E) Todas
la siguiente oración:
y no necesa-
8.- Si las esferas mostradas son idénticas y elásticas, después del choque las bolas que se moverán
son:
) L disminuye de valor durante el impulso.
B) C, D, E
C) B,C,D,E
Señalar verdadero (V) o falso (F):
C) FVF
C) 11I
A~ Velocidad; energía.
B) Energía; cantidad de movimiento.
C) Aceleración; impulso.
D) Cantidad de movimiento; energía.
E) Masa; energía.
A) D,E
B) VFV
n y III
7.- Complete correctamente
«Un cuerpo puede poseer
riamente
»,
) L primero aumenta y luego se anula.
A) FyV
247
D) FFV
E) FFF
D) E
E) Faltan datos
4.- Un hombre aplica con sus manos una fuerza
neta de 200 N sobre una pared durante 0,45 s. Luego,
el impulso recibido por la pared es en N.s:
A)9
B)90
C) 900
D)45
9.- En la figura se muestran dos bolas de billar. Si
"B" está en reposo, ¿qué gráfico indica mejor las
trayectorias antes y después del choque elástico?
E) O
5.- ¿Por qué un buen futbolista obtiene la máxima
velocidad y recorrido con un tiro suave?
A) Por una menor fuerza.
B) Por una mayor fuerza.
C) Por un mayor tiempo de contacto.
D)
D) Por un menor tiempo de contacto.
E) Por un menor impulso.
~
E~
Félix Auco/lonchi
Física-Primer Nivel
248
V.
PROBLEMAS PRO'UESTOS
B) La velocidad del centro de masa. (en mis)
NIVEL!
01.- Una fuerza de 20N actúa sobre un cuerpo durante
0,5 segundos. Luego, el cambio (en kg.mls) que
produce en la cantidad de movimiento de aquel
será
.
A) II
B)9
C) 10
O) 12
E)20
02.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamente
con una velocidad IV 11 = 4 mis. Si luego su velocidad
se convierte en 1v,l = 3 mis, ¿Cuál es el impulso
(en Ns) que recibiÓ si : VI tt
2
v
A)-6
B)12
C)6
0)18
E)-20
8 mis
(r------- ··15
A) 1;3
04.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamente
con una velocidad Iv 11 = 4//1ls. Si luego su velocidad
se convierte en Iv 21 = 3 mis, ¿Cuál es el impulso
(en Ns) que recibió si : VI t.L v 2
A) 40
B) -36
C) -18
0)36
A) 2
m
v
B)
6
C)
Ji
O)
6Ji3
E) 4
2 mis
(i)
(2)
,e
/~ 37°
.
A)0,5
B) I
3 mis
5 mis
(i)
(2)
"'--C:>
-<:--'"
Después
C)O,4
O) 0,2
E) 0,8
10.- Si el piso es liso, hallare en el choque mostrado.
A) 1/2
B) 6/11
O) 5/8
11.- Si el rebote es elástico, hallar el coeficiente de
rozamiento (J-1) en el siguiente choque.
C) 611:
0)36
E) 36 rt
-<J.---J"<
Antes
E) 9/16
O
......•
8m1s
6 mis
"'--C:>
A)6
6 -------
~
10m/s
09.- Calcular el coeficiente de restitución (e) en la
siguiente colisión:
C)4/9
F~N)
.
O) 3;7
06.- Si un sistema físico experimenta una fuerza
externa F que varía con el tiempo según como se
muestra en la figura, hallar el impulso (en Ns) que
recibe el sistema entre I = Os y I = 105.
B) 1811:
...~
B) 14;4
E)-42
05.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamente
con una velocidad Iv 11 = 4//115. Si luego su velocidad
se convierte en Iv ,1 = 3 mis, ¿Cuál es el impulso
(en Ns) que recibió si : V 1 Y 2 forman 60°
E) 26; 1
A) 5;10
E) 4;17
E) 36
O) 6; l,5
B) La velocidad del centro de masa. (en mis)
A) 15
O) 18
C) 3;2
A) La cantidad de movimiento total. (en kg. mis)
C) 12;3
C) 24
B)2;3
08.- Dado el siguiente sistema de partículas de masas iguales (m = 2 kg), se pide encontrar para el
instante mostrado:
03.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamente
con una velocidad Iv 11 = 4 mis. Si luego su velocidad
se convierte en Iv 21 = 3 mis, ¿Cuál es el impulso
(en Ns) que recibió si : V 1 .1 v 2
B) 30
5 mis'
12
t (s)
~
07.- Dado el siguiente sistema de partículas de masas
iguales (m = 2 kg), se pide encontrar para el instante
mostrado:
A) La cantidad de movimiento total. (en kg. mis)
A) 1/2
B)
/3/2
C)
/3 /4
~"cb
-,
,
,
O) 1/4
E) 2/3
30°
1i¡11
i.
;,,6
I
Cantidad de Movimiento
NIVEL 2
A) 8 mis
12.- Para detener a un cuerpo es necesario aplicarle
un impuso de 300 N.s. Si solo se dispone de una
fuerza de 1,5 N, ¿Durante qué tiempo será necesario
aplicar la fuerza para conseguir dicho propósito?
B) 12 mls
A) 200 s
B) 250 s
C) 100 s
O) 150 s
E) 300s
249
C) 41111s
O) 14 II1ls
E) 6 mis
13.- Un balón de futbol de 0,5 kg se lanza con una
velocidad de 20 II1ls. Un guardavallas desea retenerlo
pero sin sentir mucho dolor, para lo cual lo "embolsa"
retrocediendo un par de pasos. Si el proceso duraü.c s,
¿Qué fuerza media recibió el guardavallas?
18.- Dos bolas chocan de modo que luego del impacto
v = 4 mis y v., = 6 mis, siendo r», = 5 kg Y mJ = 4 kg.
J:uál es la medida del ángulo 8, si las trayectorias
son las indicadas?
A) 20 N
E) 30 N
A) 35°
14.- Un cuerpo de 6 kg es afectado por una fuerza
constante durante 10 s, tal que al final de la aplicación adquiere una velocidad de 20 mis. ¿Qué valor
posee dicha fuerza?
B) 36°
A) II N
B) 25 N
B) 13N
C) ION
C) ION
O) 35 N
O) 12N
E)N.A
siendo su velocidad tanaencial de 4TlIls. Si su masa es
de 2 kg, ¿Qué impulso ~'ecibe por parte de la cuerda
al pasar de A hasta B?
2.16 N.s
19.- Una bola golpea a otra que se encontraba
inicialmente en reposo, de modo que cada una se
separa con velocidades de 3m!~ y 5 mis y de manera
que sus direcciones forman 60°. ¿Cuál es el valor de
vo? Las masas de las bolas son iguales.
A) 51/11s
B
B) 3 2 N.s
O) 38°
E) 39°
15.- Una bola atada a una cuerda gira con M.C.U.,
A)
C) 37°
B) 4mls
C)2J3N.s
\
\
\
O) 5 2 N.s
E)
1
1
8J2 N.s
O) 71111s
16.- Sabiendo que el choque es inelásticos con e = 0,6
Y las bolas son idénticas, ¿Qué velocidad presenta la
bola 2 después del choque?
A) 5,2mls
(-7)
B) 6,2mls
(~)
C) 6,41111s (-7)
C) 6mls
No hay rozamiento.
o
E) N.A
20.- Dos coches' de igual masa se desplazan con
velocidades VI = 12mls y VJ = 16mls por rectas que
se cortan perpendicularmen-te. Si ellos colisionan de
modo que quedan unidos. ¿Qué ángulo El forma la
dirección de su movimiento con el eje y después del
choque?
Reposo
A) 35°
VI
O) 7,4l11ls (~)
B) 37°
E) N.A
C)36°
17.- Sabiendo que las masas de la pluma y el bloque
son iguales y que ellos quedan adheridos después
de la colisión, ¿Cuál es la velocidad final del sistema?
0)38°
E) 39°
\L-...c>
Yl
le / "
~/
,/
-- -----.i-'-----------
:
v,jé
x
250
Fisica-Primer nivel
Félix Aucallanchí
NNEL3
21.- La figura muestra tres partículas de masas iguales
(1 kg) sobre las que actúan las fuerzas indicadas:
I~I= 15 N, I~I= 3 N, I~I= 6 N. Lucgo,la aceleración del centro de masa es: (en m/s2)
A)(3;
J2)
25.- Un carro de masa M = 500 kg va con una
velocidad v = 15 I/I/S. ¿Con qué velocidad v· en m/s
debe dispararse en el mismo sentido a una masa
m = 50 kg para que el carro retroceda en la misma
recta y con la misma rapidez inicial? (No hay fricción y
todas las velocidades se miden respecto de la Tierra).
A)150
y
B)(2;1)
B) 205
C) (1 ; 2)
C) 580
0)(2;
0)250
2)
V.
~
M
E) 315
E) (6; 3)
x
22.- Una granada se desplaza horizontalmente a razón
de 10 II//s, y explota según como se indica. Si el
fragmento central se mueve a razón de 18/11/s, ¿Qué
velocidad en /II/s posee el fragmento inferior?
y:
A) 10
B) 8
C) 12
~
_~:
O) 16
~
¿
:3
B) 2 ; 4 m/s
:
/
C) 3 ; 2/11/s
~2_
'0.:::/3
i
C) 4g/5
E)g
O) 2g/5
24.- Un proyectíl es disparado y tiene una trayectoria
parabólica. Al llegar al punto más alto B de su
trayectoria, el proyectil se parte en dos fragmentos
idénticos. Uno de ellos, "el primero", por efecto de
la explosión retorna a la posición inicial cuya trayectoria coincide con la de ida. Entonces, el "segundo"
cae en C cuya abscisa es:
.
A) 2 a
B) 4a
C) 3 a
/
..
.- ..
B
/
I
I
D) 5 a
E) N.A.
!g
y
A
Q---4
,,
<,
-, -,
-,
el
0)4;1/11/5
t
8m
+-
27.- En la figura, las masas están en reposo y el
23.- Una granada estalla en el aire dividiéndose en
dos fragmentos de masasm, y 1/12 (1/1, = 31/1,). Ambos
son disparados verticalmente con velocidades vI y
v, el primero hacia arriba y el segundo hacia abajo.
La aceleración del centro de masa luego de la explosión
será:
B) g/S
16m/s
~
E) 5 ; 0,5 m/s
'\
~
A) g/3
/II/S
m
:'~600 ~
mI',
A) 1 ; 8
I
~~~1!°
__
E) N.A.
26.- Si e = 0,5, determinar el número de impactos y
la velocidad al cabo de 5 segundos (El tiempo se
toma a partir del primer impacto) J.l = O.
-, ,
\
C
x,.,
choque es elástico. Si no hay rozamiento, ¿Cuál es la
altura h que alcanza el bloque M? (M = 3 m).
A)H
1
B) 3 H/8
C) 3 H/4
0)H/4
t
t
~·_M~--~----l
_
E) H/3
28.- Si en el problema anterior el choque fuera
completamente inelástico, ¿Qué alturah alcanzarán
los bloques juntos?
A)H/2
O) 4H/5
B) HII6
E) 2 H/3
C) H/4
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