Subido por Walter Sivoli

Variable-Aleatoria-y-Distribucion-Normal

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PROGRAMA
EGRESADOS
Matemática
Guía: Variable aleatoria y distribución normal
Ejercicios PSU
Para ciertas preguntas, utilice la siguiente información:
Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z ∼ N(0,1) y donde la parte sombreada de
la figura representa a P(Z ≤ z), entonces se verifica que:
GUICEG041EM32-A15V1
1.
z
P(Z ≤ z)
0,67
0,99
1,00
1,15
1,28
1,64
1,96
2,00
2,17
2,32
2,58
0,749
0,839
0,841
0,875
0,900
0,950
0,975
0,977
0,985
0,990
0,995
0
z
Z
Se escoge un día al azar y se define la variable aleatoria X como la cantidad de consonantes
menos la cantidad de vocales que tiene el nombre del día. Los valores que puede tomar X son
A)
B)
C)
D)
E)
0, 1 y 2
1, 2 y 3
2, 3 y 4
3, 4 y 5
5, 6, 7 y 9
Cpech 1
Matemática
2.
Una bolsa contiene una esfera verde, una roja y una amarilla. Un experimento consiste en extraer
al azar esferas de la bolsa, una tras otra y sin reposición, hasta extraer la esfera roja. ¿Cuántos
elementos tiene el espacio muestral de este experimento?
A)
B)
C)
3.
5.
Cpech
9
27
12
7
4
D)
E)
3
2
Roberto tiene una bolsa con 50 dulces de menta y 50 dulces de piña. Como solo le gustan los
dulces de piña, realiza el siguiente experimento: saca un dulce al azar de la bolsa, si es de piña se
lo come y si es de menta lo devuelve a la bolsa. ¿Cuál(es) de las siguientes situaciones es (son)
posible(s) después de realizar el experimento 50 veces?
I)
II)
III)
Que en la bolsa solo haya dulces de menta.
Que en la bolsa haya 25 dulces de piña y 50 dulces de menta.
Que en la bolsa haya 100 dulces.
A)
B)
C)
Solo I
Solo III
Solo I y II
D)
E)
Solo II y III
I, II y III
Un experimento consiste en lanzar una moneda, un dado azul y un dado rojo. Si en la moneda
sale cara, el resultado del experimento es igual al resultado del dado azul. En cambio si sale sello,
el resultado del experimento es igual al doble del resultado del dado rojo. ¿Cuántos elementos
tiene el espacio muestral de este experimento?
A)
B)
C)
2
D)
E)
Una caja contiene fichas con las letras de las palabras TRES y UNO. Si un experimento consiste
en extraer al azar una de estas fichas, entonces ¿cuántos elementos tiene el espacio muestral?
A)
B)
C)
4.
3
5
6
2
6
9
D)
E)
12
18
Guía
6.
En una caja se tiene una tarjeta con el número 1, otra con el número 2 y una tercera con el
número 3. Se extraen dos tarjetas al azar, una tras otra y sin reposición, anotando el valor de
cada una de ellas. Si alguno de los valores extraídos es un número par, entonces el resultado
del experimento será igual a la suma de ambos valores, en cambio, si ambos valores extraídos
son números impares, entonces el resultado del experimento será igual al producto de ambos
valores. El espacio muestral del experimento es
A)
B)
C)
7.
8.
9.
{3, 5}
{2, 4, 6}
{1, 4, 9}
D)
E)
{1, 3, 4, 5, 9}
{2, 3, 4, 5, 6}
Un experimento consiste en lanzar una moneda y anotar C (cara) o S (sello). Este procedimiento
se repite hasta que en la moneda salga cara, con lo cual termina el experimento. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
El espacio muestral del experimento tiene infinitos elementos.
El resultado SCSC pertenece al espacio muestral del experimento.
Si el experimento se realiza muchas veces, teóricamente, la mitad de las veces el
experimento terminará en el primer lanzamiento.
A)
B)
C)
Solo I
Solo III
Solo I y III
D)
E)
I, II y III
Ninguna de ellas.
Se tienen dos cajas con esferas numeradas: la caja A, que contiene cuatro esferas con los
números del 1 al 4, y la caja B, que contiene cinco esferas con los números del 5 al 9. Al realizar el
experimento de extraer una esfera al azar de la caja B, el espacio muestral de este experimento
es
A)
1
5
D)
{5, 6, 7, 8, 9}
B)
5
E)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
C)
9
Si se lanza una moneda dos veces, el espacio muestral de este experimento es
A)
B)
C)
2
4
{cara, sello}
D)
E)
{(cara - cara), (cara - sello), (sello - sello)}
{(cara - cara), (cara - sello), (sello - cara), (sello - sello)}
Cpech
3
Matemática
10.
11.
Si se escoge al azar un número entero del 10 al 25, ¿cuál(es) de los siguientes eventos es (son)
independiente(s) del evento “que salga un número par”?
I)
II)
III)
Que salga un número primo.
Que saga un número múltiplo de 11.
Que salga un número mayor que 15.
A)
B)
C)
Solo I
Solo I y II
Solo II y III
Cpech
3,5
3,6
0,6
0,96
1
D)
E)
1,2
1,5
0,6
1
1,2
D)
E)
1,5
1,8
Se realiza un experimento aleatorio donde uno de los posibles resultados es que ocurra un evento
A, y se define la variable aleatoria X, que toma el valor (m – 1) si ocurre el evento A y el valor m
si no ocurre dicho evento, con m > 1. Si dentro del experimento la probabilidad de que ocurra el
evento A es igual a p, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el valor esperado (esperanza
matemática) de X?
A)
B)
C)
4
D)
E)
Se escoge al azar tres letras distintas de la palabra RESTA y se define la variable aleatoria X
como la cantidad de consonantes obtenidas. El valor esperado (esperanza matemática) de X es
A)
B)
C)
14.
2
2,83
3
En un curso hay 15 mujeres y 10 hombres. Se escogen al azar dos personas del curso, una tras
otra y con reposición, y se define la variable aleatoria X como la cantidad de mujeres escogidas.
¿Cuál es el valor esperado (esperanza matemática) de X?
A)
B)
C)
13.
I, II y III
Ninguna de ellas.
Un dado especial de seis caras tiene en tres de sus caras el número 2, en una de sus caras el
número 3 y en dos de sus caras el número 6. Se lanza el dado y se define la variable aleatoria X
como el resultado del lanzamiento. El valor esperado (esperanza matemática) de X es
A)
B)
C)
12.
D)
E)
m–p
2mp – m – p
mp
D)
E)
m+p
2mp
Guía
15.
El gráfico de la figura muestra una variable X con distribución normal de promedio (o media
aritmética) igual a 5 y desviación estándar igual a 2. El valor de p es
A)
B)
C)
D)
E)
2,2
3,0
3,8
4,0
4,2
p
16.
17.
18.
6,2
X
El puntaje de un grupo de alumnos en una prueba, definido por la variable X, tiene distribución
normal de promedio 50 puntos y desviación estándar 15 puntos. Si Z es una variable de distribución
normal tipificada, ¿cuál de las siguientes relaciones permite expresar Z en términos de X?
A)
Z=
X – 50
15
D)
Z=
X + 50
15
B)
Z=
X • 15
50
E)
Z=
X • 50
15
C)
Z=
X – 15
50
Si P es la función de probabilidad normal tipificada de la variable aleatoria X, tal que
3
P(– s ≤ X ≤ s) = , entonces el valor de P(X ≥ s) es
5
1
2
D)
A)
10
5
B)
1
5
C)
3
10
E)
3
5
Sea X una variable aleatoria y P una función de probabilidad normal tipificada.
Si P(X ≤ m) =
5
, ¿cuál es el valor de P(– m ≤ X ≤ 0)?
6
A)
1
6
D)
2
3
B)
1
3
E)
5
6
C)
5
12
Cpech
5
Matemática
19.
En la figura se muestra la función de distribución tipificada P de una variable aleatoria X. El área
sombreada equivale a
P
A)
B)
C)
D)
E)
2 – P(X ≤ a)
2 • P(X ≤ a)
2 – 2 • P(X ≤ a)
1 – 2 • P(X ≤ a)
2 • P(X ≤ a) – 1
–a
20.
6
Cpech
13,6%
50%
66,7%
D)
E)
81,8%
86,4%
Una variable aleatoria X tiene distribución normal de promedio 1,5 y desviación estándar 0,5. La
probabilidad de que X tome un valor menor o igual que 2,32 es
A)
B)
C)
22.
X
Sea X una variable aleatoria con distribución normal tipificada. ¿Cuál es la probabilidad de que X
tome un valor entre – 1 y 2?
A)
B)
C)
21.
a
0,900
0,950
0,975
D)
E)
0,985
0,990
Las estaturas de los alumnos de un colegio se distribuyen de forma normal con media µ y
desviación estándar igual a 0,25. Se toma una muestra de 36 alumnos con una media de 130
centímetros. Considerando un nivel de confianza del 90%, ¿cuál es el intervalo de confianza que
contiene a la media de las estaturas de los alumnos?
A)
130 – 0,95 •
0,25
0,25
; 130 + 0,95 •
6
6
B)
130 – 1,96 •
0,25
0,25
; 130 + 1,96 •
6
6
C)
130 – 1,96 •
0,25
0,25
; 130 + 1,96 •
36
36
D)
130 – 1,64 •
0,25
0,25
; 130 + 1,64 •
36
36
E)
130 – 1,64 •
0,25
0,25
; 130 + 1,64 •
6
6
Guía
23.
La cantidad de hijos por familia en una cierta ciudad, se modela a través de una distribución normal
con media µ y varianza 0,36. Se considera una muestra aleatoria de 100 familias y se calcula
un intervalo de confianza con un nivel de 0,954. Si el menor valor del intervalo de confianza que
contiene a la media de la cantidad de hijos es 2,12, ¿cuál es la media de esta muestra?
A)
B)
C)
24.
25.
2,24
2,192
2,132
D)
E)
2,048
2
Se tiene una bolsa con m tarjetas de igual forma y tamaño, de las cuales p son rojas y el resto son
azules, con 0 < p < m. Se realiza el experimento de extraer n tarjetas de la bolsa, una tras otra y
sin repetición, y se define la variable aleatoria X como la cantidad de tarjetas rojas obtenidas. Se
puede determinar el recorrido de X si se conoce el valor de:
(1)
(2)
El valor de p.
El valor de n.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
Sea X una variable aleatoria con distribución normal tipificada y función de probabilidad P. Se
puede determinar el valor de P(– a ≤ X ≤ a) si se conoce el valor de:
(1)
(2)
P(X ≤ – a)
P(X ≤ a)
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
Cpech
7
Matemática
Tabla de corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
1
Comprensión
2
ASE
3
Comprensión
4
ASE
5
Aplicación
6
Aplicación
7
ASE
8
Comprensión
9
Comprensión
10
ASE
11
Aplicación
12
ASE
13
Aplicación
14
Aplicación
15
Comprensión
16
Comprensión
17
Aplicación
18
Aplicación
19
ASE
20
Aplicación
21
Aplicación
22
Comprensión
23
Aplicación
24
ASE
25
ASE
Registro de propiedad intelectual de Cpech.
Prohibida su reproducción total o parcial.
8
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