AREAS 1. La función es positi va Si l a fu n ci ón es p o si ti va en u n i n te rv al o [a, b] en t on c e s l a gr áfi c a d e l a fu n ci ó n es tá p o r en ci ma d el ej e d e ab sci s a s. El á re a d e l a fu nc i ón vi en e dad a p or : Pa ra h al l ar el á r ea s egu i r e m os l o s si gu i e n te s pa s o s: 1º S e c al cu l an l o s p un to s d e c o rt e c on c on el ej e O X, h aci en d o f( x) = 0 y r e s ol vi en d o l a ecu a c i ón . 2º El ár e a es i gu al a l a i nt eg r a l d e fi n i d a d e l a fu nc i ón qu e ti en e c om o l í mi tes d e i n t e gr aci ón l o s pu n t o s d e c o rt e. Ejemplos 1. Cal cu l a r el á r ea del r e ci n to l i mi ta do po r l a cu rv a y = 4 x − x 2 y el ej e OX . En p ri me r l u ga r h al lam os l o s pu n t o s d e c o rt e c on el ej e O X pa ra r e p r es en ta r l a cu rv a y c on o c e r l os lí mi tes d e i n t eg ra ci ó n . 1 En s e gu d o l u gar s e cal cu l a l a i n teg r al : 2. H al l ar el á r e a d e l a r egi ón d el pl an o en c e r rad a po r l a cu rv a y = l n x en t r e el pu n t o d e c o rt e c on el ej e OX y el pu n to de a bs ci sa x = e . En p ri me r l u ga r c al c u l amo s el p u n t o d e c o rt e c on el ej e d e abs ci sa s . 2 2. La función es n egativa Si l a fu n ci ón es n eg ati va en u n i n te r val o [a , b] e n t on c e s l a gr áfi c a d e l a fu n ci ó n es tá p o r d ebaj o d el ej e d e ab sci s a s. El á re a de l a f u nc ió n vi en e da da p o r u n vi en e dada p o r: Ejemplos 1. Cal cu l a r el á r ea del r e ci n to l i mi tado po r l a cu rv a y = x 2 − 4x y el ej e O X . 3 2. H al l ar el á r e a l i mi tada p o r l a cu r va y = c o s x y el ej e O x en t r e π/ 2 y 3π /2. 4 3. La función toma valores positivos y negativos En es e ca s o el el r e ci n to ti en e z on a s p o r en ci ma y po r deb aj o d el ej e d e a b s ci sa s. P a ra cal cu l ar el á r e a d e l a fu nc i ón s egu i r e mo s l o s si gu i en t e s p a s o s: 1º S e c al cu l an l o s p u n to s d e c o rt e c on c on el ej e OX , h aci en d o f( x) = 0 y r e s ol vi en d o l a ecu a c i ón . 2º S e or d en an d e m en o r a ma y o r l a s r aí c es , qu e s e r án l os lí mi tes d e i n t eg ra ci ó n . 3º El ár e a es i gu al a l a s um a de l a s i n te gr a l e s de f in i d a s en val o r ab s ol u t o d e ca da i n te r val o . Ejemplos 1. Cal cu l a r el á r ea de l as r egi on e s d el pl an o l i mi tada po r l a cu rv a f( x) = x 3 − 6 x 2 + 8 x y el ej e OX . 5 El á r e a, p o r r az on e s d e si m et rí a, s e pu e de e sc ri bi r: 2. Cal cu l a r el á r ea del cí r cu l o d e r adi o r . Pa rti m os d e l a e cu a ci ón d e l a ci rcu n f e r e n ci a x² + y² = r² . 6 El á r e a d el cí r cu l o e s cu at r o v e c es el á r ea d el p ri m e r cu ad r an t e . Cal cu l am o s l a i n t eg r al i n defi n i da p o r ca mbi o d e va ri abl e . 7 Area Bajo La Grafica De Una Funcion Area bajo el gráfico de una función La velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptos físicos y matemáticos se pueden despejar con la ayuda del área bajo sus respectivas curvas. El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación del área bajo el gráfico de una función. El área aproximada bajo el gráfico de una función puede formularse al representar un rectángulo pequeño de altura y anchura fijas lo cual equivale al valor de la función en el medio del intervalo correspondiente. Área = fi x Aquí f(x) es la función de x. Debe tenerse en cuenta que cuanto menor sea el ancho del rectángulo, mejor será la aproximación. El rectángulo puede ser rectángulo interior o rectángulo exterior. El área de todos los rectángulos se añade para obtener el área final bajo el gráfico de la función. Con el fin de disminuir los esfuerzos de sumar las áreas individuales de todos los rectángulos, se desarrolló el concepto de la integral definida. El área bajo la gráfica de la función se puede determinar mediante la realización de las integrales definidas entre los puntos dados. El área exacta bajo el gráfico de la función puede ser ejemplificada con la ayuda de las integrales definidas: Área = f(x) dx La expresión puede ser más simplificada como: f(x) dx = [F(x)]ba= F(b) – F(a) El resultado es positivo en el caso que la curva esté por encima del eje x y es negativo cuando la curva se encuentra por debajo del eje x. En el caso que la gráfica esté parcialmente porarriba y parcialmente por debajo del eje x, se debe prestar atención. En ese caso, el resultado neto de estos dos casos es generado, 8 el cual es la diferencia entre el área cuando la curva está por debajo del eje x y cuando la curva está por encima del eje x. El área encontrada por las integrales se conoce siempre como el área bajo la gráfica de la función, independientemente del hecho de que esté por debajo o por encima del eje de coordenadas x. El concepto principal de las integrales es aumentar el número de rectángulos mediante acercarse al infinito y considerar el ancho del rectángulo como el límite. Veamos un ejemplo para ilustrar mejor el concepto: Ahora suponga que el áreadel grafico y = 7 – x2entre x = −1 y x = 2 está por ser determinado. Podemos proceder de la forma siguiente: Área = (7 – x2) dx = | (7x – 1/3 x3)|−12 = [7. 2 – 1/3(8)] – [7 (−1) – 1/3 (−1)] = 18 Si el área será calculada con respecto al eje y, entonces, la integración se lleva a cabo con relación a y en lugar de x. Es decir, la fórmula se convierte en: Área = f(y) dy Por ejemplo: Supongamos que el área de la curva está limitada por la ecuación , y =5, y = 1 y por el eje y. Para esto, debemos expresar a x como una función de y y= y2 = x – 1 9 x = y2 + 1 Por tanto, el área puede ser calculada como: Área = (y2 + 1) dy = [ + y]15 = 45 1/3 unidades cuadradas AREA ENTRE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral: El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] . Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene: Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral. Ejemplo de Aplicación 1: La siguiente grafica representa el área entre funciones explicada anteriormente: 10 Ejemplo De Aplicacion 2: La figura 5 hace la función de representar el área desarrollada anteriormente: 11 Longitud De Curvas La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. Formula General La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.Cuantos más puntos escojamos en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C. Imagen 1.0 Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave. Imagen 2.0 Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2. Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es: 12 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Metodo del disco: Si giramos una region del plano alrededor de un eje obtenemos un solido de revolucio. El volumen de este disco de radio R y de anchura w es: Volumenes del disco= R2 w Para ver como usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un solido de revolucion general,se hacen n particiones en la grfica Metodo de la arandela: Este metodo consiste en hallar el volumen de un solido generado al girar una region R que se encuentra entre 2 curvas como se muestra: Si la region que giramos para formar un solido no toca o cruza el eje de rotacion,el solido generado tendraun hueco o agujero.Las secciones transversales que tambien son perpendiculares al eje de rotacion son arandelas en lugar de discos. Metodo de los casquillos cilindricos: 13 Este metodo es tambien llamado metodo de capas. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen del cilindro diferencial. 14 INTEGRALES IMPROPIAS. Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo. Integrales impropias de primera especie. Convergencia. Sea f (x) continua x a. Si existe convergente en [a, + f (x) dx = f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia ), y definimos: f (x) dx Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, + ). De igual modo, definimos también f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx, y f (x) dx, si los límites existen. Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = partir de x = 1. dx = dx = = con el eje X, a - (- 1) =1 u.a. 15 Integrales impropias de segunda especie. Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si existe f (x) dx, definimos: f (x) dx = f (x) dx Si el límite no existe, diremos que f (x) dx es divergente. Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será: ln x dx = ln x dx = x ln x - x =-1- ln =- 1. El recinto tendrá 1 u.a. 16 Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f (x) = y x = 2. entre x = 0 La función no está acotada en x = 1. S= dx = = = dx + - dx = + - dx + = ( - 1) + (- 1 + ) . La integral impropia es divergente. Otras aplicaciones. Ejemplo: Después de x semanas, se prevé que se recauden f (x) = xe3 x millones de pesetas por semana. ¿En qué momento la afluencia de dinero será máxima?. ¿Cuánto será lo recaudado en las tres primeras semanas?. ¿Cuánto se recaudaría si el tiempo fuese ilimitado?. f (x) = - e3 - x -1 + x =0 x = 1. 17 La afluencia de dinero será máxima en la primera semana. Lo recaudado en las tres primeras semanas será: f (x)dx = - 4 + e3 16.086 millones de pesetas. En tiempo ilimitado, la recaudación sería: (xe3 - x)dx = f (x)dx = = - e3 - b - e3 - bb + e3 = e3 -4e3 - x + e3 - x 3 - x = 20.086 millones de pesetas. APLICACIONES DE LA INTEGRAL Área entre curvas Al integrar la diferencia entre dos funciones, puedes encontrar el área entre ellas. Área entre curvas Área entre curvas con múltiples fronteras Desafío sobre el área entre dos curvas Practica Valor promedio de una función 18 No necesitamos del cálculo para averiguar el valor promedio de una función lineal en un intervalo, pero ¿qué pasa con las funciones no lineales? Afortunadamente, el cálculo integral nos ayuda aquí. En esta lección entenderemos lo que quiere decir "valor promedio" de una función en un intervalo. También relacionaremos esa noción con el teorema del valor medio que aprendimos primero en cálculo diferencial. Valor promedio en un intervalo cerrado Calcular el valor promedio de una función en un intervalo Aceleración promedio en un intervalo Teorema del valor medio para integrales Valor promedio de una función Longitud de arco Ahora usaremos integración para encontrar la longitud de arco de una curva. Como veremos, el cálculo está basado en la misma idea de sumar un número infinito de segmentos de recta infinitesimalmente pequeños. Justificación de la fórmula de longitud de arco Ejemplo de integración de longitud de arco Otro ejemplo de integración de longitud de arco Longitud de arco Volumen de sólidos con cortes transversales conocidos Ahora aprovecharemos la integral definida para hallar volúmenes de figuras donde sabemos cómo se ven los cortes transversales. Es sorprendentemente divertido. Volumen de sólidos. Ejemplo 1 Volumen de sólidos. Ejemplo 2 Volúmenes de sólidos con cortes transversales conocidos Sólidos de revolución: método de discos 19 Tú sabes cómo usar integrales definidas para encontrar áreas bajo curvas. Ahora le damos una "vuelta" a esa idea al pensar acerca del volumen de cosas que se crean cuando rotas funciones alrededor de varias rectas. El mé todo de discos alrededor del eje x Generalización del método de discos para una rotación alrededor del eje x El método de discos alrededor del eje y El método de discos para la rotación alrededor del eje x Generalizar el método de anillos El método de discos cuando se rota alrededor de una recta horizontal Rotar alrededor de una recta que no es un eje cartesiano mediante el mé todo de anillos Anillos para la rotación alrededor de una recta que no es un eje cartesiano (parte 2) El método de discos cuando se rota alrededor de una recta vertical Calcular el volumen por el método de discos alrededor de una recta vertical El método de las arandelas o anillos para la rotación alrededor de una recta vertical Evaluar la integral para el método de anillos Desafío sobre los métodos de discos y de anillos Sólidos de revolución: método de capas Si quieres rotar una función alrededor de una línea vertical, pero hacer todos los términos de integración en términos de x y f(x), entonces el método de capas es tu nuevo amigo. Es igual de fantástico cuando quieres rotar alrededor de una línea horizontal pero integrar en términos de y. El método de capas para rotar alrededor de una línea vertical 20 Ejemplo de evaluar la integral para el método de capas El método de capas para rotar alrededor de una línea horizontal El método de capas con dos funciones de x Calcular la integral con el método de capas Método de capas con dos funciones de y El método de capas con dos funciones de y (parte 2) Método de capas Área definida por gráficas polares No hay ninguna razón para limitarnos a coordenadas cartesianas. Cuando una curva está definida en coordenadas polares, y queremos encontrar el área entre la curva y el origen, por decir algo, utilizamos el método que enseñamos en esta lección. Fórmula del área encerrada por la gráfica de una curva polar El área dentro de una cardioide El área entre dos gráficas polares Evaluar una integral definida con calculadora Área delimitada por gráficas polares Longitud de arco de gráficas polares Tal vez ya estés familiarizado con el cálculo de longitudes de arco de gráficas que están definidas en términos de coordenadas rectangulares. Ahora extenderemos nuestro conocimiento sobre las longitudes de arco ¡para incluir gráficas polares. Justificación de la fórmula para la longitud de arco en coordenadas polares Longitud de arco de un pétalo de una gráfica polar 21
