Guia de ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton (Universidad de Chile)

Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva
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Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton
Solución:
a)
Como k no depende de j, 2k es constante a la sumatoria.
b)
c)
d)
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e)
f)
g)
h)
Las demás se resuelven de la misma forma.
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Solución:
a)
b)
Como es una sumatoria telescópica se salva el primero y el último.
c)
La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.
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Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno
en la variable dentro de la sumatoria.
Solución:
De esta sección solo realizare el primero, dada la simplicidad de los ejercicios.
Dado los valores del enunciado para
Solución:
a)
.
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b)
c)
d)
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e)
La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.
Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno
en la variable dentro de la sumatoria.
f)
g)
La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.
Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno
en la variable dentro de la sumatoria.
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h)
i)
La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.
Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno
en la variable dentro de la sumatoria.
j)
k) J
Para la sumatoria que esta más a la derecha el 2 elevado a la i, es independiente de j.
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Solución:
Solución:
6) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:
(s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + nk )
s + 2k = 20
s + 5k = 56
⇒ k = 12 ∧ s = −4
(s + 10 s) = (−4 + 10 * 12) = 116
(s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + 10k ) = ∑ (s + ik ) = 10(−4) + 12 10(10 + 1)
10
i =1
10
∑ (s + ik ) = −40 + 12
i =1
10(10 + 1)
= 620
2
2
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7) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:
(s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + nk )
s+k=4
s + nk = 34
n
∑ (s + ik ) = 247
i =1
Calculemos la sumatoria:
n
∑ (s + ik ) = sn + k
i =1
n(n + 1)
= 247
2
n2 + n
= 247
2
2 sn + kn 2 + kn = 494
n(2s + kn + k ) = 494
sn + k
Ahora, sumemos las dos ecuaciones del enunciado.
s+k=4
s + nk = 34
2 s + nk + k = 38
Reemplazando, n(38 ) = 494 ⇒ n = 13
8) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:
(s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + nk )
50
∑ (s + ik ) = 200
i =1
100
∑ (s + ik ) = 2700
i = 51
Calculemos la sumatoria:
50
∑ (s + ik ) = 50s + k
i =1
50s + 1275k = 200
50(50 + 1)
= 200
2
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100
100
i = 51
i =1
50
∑ (s + ik ) = ∑ (s + ik ) − ∑ (s + ik ) = 2700
i =1
1
424
3
=200
100
∑ (s + ik ) = 2900
i =1
100(100 + 1)
= 2900
2
100s + 5050k = 2900
100s + k
Tomado las dos ecuaciones;
50 s + 1275k = 200
(1)
100 s + 5050k = 2900
(2)
2*(1) - (2)
(5050 − 2 * 1275)k = 2900 − 400
(2500)k = 2500
k = 1 ⇒ s = 21,5
9) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:
(s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + nk )
40
∑ (s + ik ) = 360000
i =1
40
∑ (s + ik ) =
i =31
360000
3
Calculemos la sumatoria:
40(40 + 1)
= 360000
2
i =1
40s + 820k = 360000
40
∑ (s + ik ) = 40s + k
40
40
30
∑ (s + ik ) = ∑ (s + ik ) − ∑ (s + ik ) = 120000
i =31
i =1424
1
3
i =1
360000
30(30 + 1) 

360000 − 30 s + k
 = 120000
2

− 30 s − 465k = −240000
Tomado las dos ecuaciones;
40s + 820k = 360000
30 s + 465k = 240000
(3)
(4)
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(820 * 3 − 4 * 465)k = 3 * 360000 − 4 * 240000
3*(3) –4* (4)
(600)k = 120000
k = 200 ⇒ s = 4900
10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma:
 1 − r n+1 
(a ) + (ar ) + (ar ) + K + (ar ) = a∑ r = a

i =0
 1−r 
n
2
ar 3 = 54
ar 6 =
729
4
Resolviendo:
a = 54r −3
(54r )r
−3
54r 3 =
6
=
729
4
729
4
3
r = ⇒ a = 16
2
3
a∑ r = 16∑  
i =0
i =0  2 
n
n
i
Solución:
Considere que,
Para r<1.
i
n
i
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Ahora, debemos calcular:
Solución:
10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma:
 1 − r n+1 
(a ) + (ar ) + (ar ) + K + (ar ) = a∑ r = a

i =0
 1−r 
n
2
n
i
ar 3 = −40
ar 6 = 320
Resolviendo:
a = −40r −3
(− 40r )r
−3
6
= 320
− 40r = 320
3
r 3 = −8
r = −2 ⇒ a = 5
El décimo termino es igual a ar 9 = 5 * (− 2) = −2560
9
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 1 − (− 2)n +1  5
n +1
a∑ r = 5∑ (− 2) = 5
 = 1 − (− 2 )
i =0
i =0
 1 − −2  3
n
n
i
i
(
)
Solución:
Usando que,
Simplificar y calcular.
Resolveremos los más difíciles, pues en los demás se puede utilizar la calculadora
facilmente.
Pero sabemos que,
Ahora, restemos a la ultima ecuación los terminos que no estan en la primera sumatoria.
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Resover (ultimo),
Si consideramos, a=2 y b=1
La unica diferecia con nuestra primera ecuación, es que una parte desde 1 y la otra
desde cero. Consideremos la ultima ecuación y separemos el primer termino.
Solución:
a)
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b)
c)
d)
Solución:
a)
b)
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c)
Solución:
Usando que,
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a)
b)
c)
d)
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Solución:
a)
7
7
k
 3x + 2 x 2  = ∑  7  2 x 2  (3x )7 − k
 



k = 0  k 
7
7
 3x + 2 x 2  = ∑  7 2 k x 2k x 7 − k 37 − k
 


k =0  k 
7
7
 3x + 2 x 2  = ∑  7 2 k 37 − k x 7 + k
 


k =0  k 
Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al x 11 , basta igualar el
exponente del x 7+ k a 11.
7 + k = 11
k=4
Entonces, para k = 4 encontraremos el coeficiente que acompaña a x 11 .
 7  4 7 − 4 7 + 4  7  4 3 11
 2 3
x
=  2 3 x
4
4
7
Coef =  2 4 33
4
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b)
3
2 
 x+ 



x2 
27
k
27 − k
27  27  1 
= ∑   x 3   2 x − 2 

 
k = 0  k 

27  27  27 − k k − 54 + 2k
= ∑  2
x3x
k =0  k 
27 27
− 54 + 2k + k
3
 27 
2 
3
 x +  = ∑  227 − k x


2
k
x 

k =0  
3
2 
 x+ 


x2 

27
3
2 
 x+ 


x2 

27
27  27  27 − k − 54 + 7k
3
= ∑  2
x
k
k =0  
Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al x 2 , basta igualar el
− 54 + 7k
3 a 2.
exponente de x
− 54 +
7k
=2
3
k = 24
Entonces, para k = 24 encontraremos el coeficiente que acompaña a x 2 .
7*24
 27  27 − 24 − 54 + 3
 2
x
 24 
 27 
Coef =  23
 24 
c) Es análogo a los dos anteriores.
d)
4r
k
4r  4r 
= ∑   − x 2  (1)4r − k

k = 0  k 
4r 4r
 1 − x 2  = ∑  4r (−1)k x 2k
 


k =0  k 
 1 − x 2 


Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al x 2r , basta igualar el
exponente de x 2k a 2r.
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2k = 2r
k=r
Entonces, para k = r encontraremos el coeficiente que acompaña a x 2r .
 4r 
 (−1)r x 2r
r 
 4r 
Coef =  (−1)r
r 
19. Encuentre los términos centrales en el desarrollo de
6 10

a)  3a − 
a

6 10 10  10  − 6  k

10 − k
 3a −  = ∑    (3a )
a

k = 0  k  a 
6 10 10  10 

− k 10 − k 310 − k
 3a −  = ∑  (− 6 )k a a
k
a


k =0  
6 10 10  10 

10 − k a10 − 2k
 3a −  = ∑  (− 6 )k 3
a

k =0  k 
6 10

Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio  3a −  ,
a

basta tomar el k = 5 , pues la sumatoria va desde 0 a 10 siendo el termino central el
k = 5.
Entonces, el término central es igual a:
 10 
 10 
 10 
 10 
 (− 6 )5 310 − 5 a10 − 2*10 =  (− 6 )5 3 5 =  (−18 )5 = − (18 )5
5
5
5
5
5
 4x 5 
− 
 5 2x 
b) 
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5  5  − 5  k  4 x  5 − k
= ∑   
 

k = 0  k  2 x   5 
5
5  5  − 5  k − k  4  5 − k 5 − k
 4x 5 
−
=
x
∑   


 x
 
k
2
5
 5 2x 






k=0
5
5  5  − 5  k  4  5 − k 5 − 2 k
 4x 5 
  
−
=
x
∑


  
k
2
5
 5 2x 






k=0
 4x 5
−

 5 2x



5
5
 4x 5 
Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio  −  ,
 5 2x 
basta tomar el k = 2 y el k = 3 , pues la sumatoria va desde 0 a 5 existiendo dos
términos centrales, debido a que son 6 términos los del desarrollo.
Entonces, el
término central
2
5
−
2
3
5
−
3
5
5
  − 5   4 
  − 5   4 
Ter min o =     
x 5−2*2 +     
x 5−2*3 es igual a:
 2  2   5 
 3  2   5 
 5  5 2  4  3
 5  5 3  4 2 −1
=      x −      x
 2  2   5 
 3  2   5 
 5  42   5 
=  
x −  10 x −1


2
3
5
 
  
c)
(
(
(
a − x + b− x
)24 , con 0 < a < b
)24 =
(
)(
b− x
)24 − k
)
(
)(
b− x
)24 − k
24  24 
k
∑   a − x
k =0  k 
24 24  24 
k
a− x + b− x
= ∑   a − x
k =0  k 
a− x + b− x
Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio
24
a − x + b− x
, basta tomar el k = 12 , pues la sumatoria va desde 0 a 24 siendo
(
)
el termino central el k = 12 .
Entonces, el término central es igual a:
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(
) (
 24 
12
Ter min o =   a − x
 12 
 24 
=  (a − x )6 (b − x )6
 12 
b− x
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)24 −12
20. Encontrar el término independiente de x en el desarrollo.
 3x 2 1 
a) 
− 
 2 3x 


9
9
9−k
 3x 2 1 
9  9  −1  k  3x 2 




−
= ∑   
 2 3x 


k = 0  k  3 x   2 


9
 3x 2 1 
9  9  −1  k − k  3  9 − k 18 − 2k


−
= ∑    x  
x
 2 3x 
k  3 
2


k
0
=


9
 3x 2 1 
9  9  −1  k  3  9 − k 18 − 3k


x
−
= ∑     
 2 3x 
k
3
2






k =0


9
 3x 2 1 
Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio 
−  ,
 2 3x 


basta igualar a cero el exponente de x18−3k , pues el termino independiente de x esta
elevado a la cero.
18 − 3k = 0
k =6
Entonces, el término independiente es:
 9  − 1   3 
Termino(indepen) =  
  
 6  3   2 
6
3
 9  1   3 
=     
 6  3   2 
6
 9  1 
=   
 6  6 
3
9−6
x 18 − 3*6
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
1 
a)  x − 
 x2 
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3n

1 
x− 


 x2 
3n
3n  3n  −1  k
 ( x )3n − k
= ∑  

2
k
k = 0   x 

1 
x− 


 x2 
3n
3n  3n 
= ∑  (−1)k x − 2k x 3n − k
k =0  k 

1 
x− 


 x2 
3n
3n  3n 
= ∑  (−1)k x 3n − 3k
k =0  k 
3n

1 
Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio  x −  ,
 x2 
basta igualar a cero el exponente de x 3n −3k , pues el termino independiente de x esta
elevado a la cero.
3n − 3k = 0
k=n
Entonces, el término independiente es:
 3n 
Termino(indepen) =  (− 1)n x 3n −3n
n
 3n 
=  (− 1)n
n
21. Calcular el valor numérico del término independiente de x.
 3x 65 + 2  x − 1 

 x 2 
3n
Solución:
 3x 65 + 2  x − 1 

 x 2 
3n
3n  3n  −1  k
65


 (x )3n − k
=  3x + 2  ∑  

k = 0  k  x 2 
 3x 65 + 2  x − 1 

 x 2 
3n
3n  3n 
=  3x 65 + 2  ∑  (−1)k x − 2k x 3n − k

k = 0  k 
 3x 65 + 2  x − 1 

 x 2 
3n
3n  3n 
3n  3n 
= ∑  3(−1)k x 3n − 3k + 65 + ∑  2(−1)k x 3n − 3k
k =0  k 
k =0  k 
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Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio
3n
 3x 65 + 2  x − 1  , basta igualar a cero el exponente de x 3n −3k +65 y el de

 x 2 
x 3n −3k , pues por cada sumatoria podría existir un termino independiente de x.
Para la primera sumatoria:
3n − 3k + 65 = 0
k=n+
65
3
Como el k no es un número entero positivo, implica que ese término no existe.
Para la segunda sumatoria:
3n − 3k = 0
k=n
Entonces, el término independiente es:
 3n 
Termino(indepen) =  2(− 1)n x 3n −3n
n
 3n 
=  2(− 1)n
n
Es decir, la primera sumatoria no aporta nada.
22. Calcular el coeficiente de x
−2

1 

en el desarrollo de x: x 2  x 2 −

2
x 


1 

x 2  x 2 −

2
x 

28
28  28   − 1  k 2
2
  x
= x ∑   

2
k = 0  k  x  

1 

x 2  x 2 −

x2 

28
28  28 
= x 2 ∑   (− 1 )k x − 2 k x 56 − 2 k
k=0 k 

1 

x 2  x 2 −

2

x 
28
28  28 
= x 2 ∑   (− 1 )k x 56 − 4 k
k=0 k 

1 

x 2  x 2 −


x2 
28
28  28 
= ∑   (− 1 )k x 58 − 4 k
k=0 k 


28 − k
28
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva
Universidad de Chile
28
Como nos piden encontrar el coeficiente de x −2 del binomio x 2  x 2 − 1  , basta



x2 
igualar a -2 el exponente de x 58− 4k , lo que permitirá conocer el k necesario para
encontrar el coeficiente
58 − 4k = −2
k = 15
Entonces, el coeficiente de x −2
 28 
Ter min o =  (− 1)15 x 58−4*15
 15 
 28 
= −  x −2
 15 
 28 
Coef = − 
 15 
23. Determinar el valor de a para los coeficientes de x 7 y
x 6 en el desarrollo de:
(x + a )5 (x −2a )3 sean iguales.
Solución:
(x + a )5 (x −2a )3 = (x −2a )3
5  5  k 5− k
∑   x a
k =0  k 
5  5  k 5− k
∑   x a

k = 0  k 
5  5
5  5
5  5
5  5
= x 3 ∑   x k a 5 − k − 6ax 2 ∑   x k a 5 − k + 12a 2 x ∑   x k a 5 − k − 8a 3 ∑   x k a 5 − k
k =0  k 
k =0  k 
k =0  k 
k =0  k 
5  5
5  5
5  5
5  5
= ∑   x k + 3a 5 − k − 6 ∑   x k + 2a 6 − k + 12 ∑   x k + 1a 7 − k − 8 ∑   x k a 8 − k
k =0  k 
k =0  k 
k =0  k 
k =0  k 
(x + a )5 (x −2a )3 =  x 3 − 6ax 2 +12a2 x − 8a 3 
- Tenemos cuatro sumatoria que nos aportaran coeficientes para x 7 y x 6 .
- Como nos piden encontrar el coeficiente de x 6 del binomio (x + a )5 ( x − 2a )3 , basta
igualar a 6 el exponente de x k + 3 , x k + 2 , x k +1 y x k , lo que permitirá conocer el k
necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria:
Primera sumatoria:
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva
Universidad de Chile
k +3=6
k =3
 5
 5
Coef =  a 5 − 3 =  a2
1  3
 3
Segunda sumaria
k +2=6
k=4
 5
 5
Coef = −6 a 6 − 4 = −6 a2
2
4
4
Tercera sumaria
k +1=6
k=5
 5
 5
Coef = 12 a 7 − 5 = 12 a 2
3
 5
 5
Cuarta sumaria
k =6
No aporta nada, debido a que el mayor valor que puede tomar k es 5.
Coef6 = Coef + Coef + Coef
1
2
3
 5
 5
 5
Coef6 =  a 2 − 6 a 2 + 12 a 2
 3
4
 5
Coef6 = 10a 2 − 30a 2 + 12a2
Coef6 = −8a 2
- Como nos piden encontrar el coeficiente de x 7 del binomio (x + a )5 ( x − 2a )3 , basta
igualar a 7 el exponente de x k + 3 , x k + 2 , x k +1 y x k , lo que permitirá conocer el k
necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria:
Primera sumatoria:
k +3=7
k=4
 5
 5
Coef =  a 5 − 4 =  a
1 4
4
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva
Segunda sumaria
k +2=7
k=5
 5
 5
Coef = −6 a 6 − 5 = −6 a
2
 5
 5
Tercera sumaria
k +1=7
k =6
No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5.
Cuarta sumaria
k =7
No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5.
Coef7 = Coef + Coef +
1
2
 5
 5
Coef7 =  a − 6 a
4
 5
Coef7 = 5a − 6a
Coef7 = −a
Ahora, igualando el Coef7 a Coef6 .
Coef6 = Coef7
− 8a 2 = −a
a(8a − 1) = 0
Es decir, para a1 = 0 ∧ a2 =
1
los coeficientes de x 7 y x 6 son iguales.
8
Universidad de Chile
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva
Universidad de Chile
24. Hallar el coeficiente de x 7 en el desarrollo de: (1 − x 2 − x 3 )
n
Desarrollo:
(1 − x (1 + x )) = ∑  nk (− x (1 + x )) 1
 
2
n
n
k
2
n −k
k =0
(1 − x (1 + x )) = ∑  nk (− 1) x (1 + x )
 
2
n
n
k
2k
k
k =0
(1 − x (1 + x )) = ∑  nk (− 1) x ∑  ki x
 
 
2
n
n
k
k
2k
k =0
i =0
(1 − x (1 + x )) = ∑  nk (− 1) x ∑  ki x
 
 
2
n
i
n
k
k
k =0
2k
i
i =0
Para la sumatoria que depende de i, los términos que dependen de k son constantes.
(1 − x (1 + x )) = ∑∑  nk  ki (− 1)
  
2
n
n
k
k
x 2k +i
k =0 i =0
Como nos piden encontrar el coeficiente de x 7 del polinomio (1 − x 2 − x 3 ) , basta
n
igualar a 7 el exponente de x 2k +i , de esa manera conoceremos los posibles valores que
pueden tomar k e i.
2k + i = 7
Con las siguientes restricciones,
0≤i≤k≤n
Ahora,
k = 0 ⇒ i = 7 ⇒⇐ Debido a que i ≤ k
k = 1 ⇒ i = 5 ⇒⇐ Debido a que i ≤ k
k = 2 ⇒ i = 3 ⇒⇐ Debido a que i ≤ k
k = 3 ⇒ i = 1 Este caso cumple con 0 ≤ i ≤ k ≤ n
k = 4 ⇒ i = −1 ⇒⇐ Debido a que 0 ≤ i ≤ k ≤ n
Luego, la única solución es con k = 3 ⇒ i = 1
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva
 n  3 
coef =   (− 1)3
 3  1 
 n  3 
coef = −  
 3  1 
25.
144
i)
 144 

 k 
∑ k ⋅ 
k =0
Desarrollo:
 423  423  423  k 423− k

 = ∑ 
1 1
∑
k =0  k 
k =0  k 
423 423



 = (1 + 1)423
∑
k =0  k 
423 423

 423

 = 2
∑
k =0  k 
423
1012
ii)
 1012 

 k 
∑ (− 1) 
k
k =0
Desarrollo:
1012
 1012  1012  1012 
 = ∑ 
(− 1)k 11012− k
 k  k =0  k 
∑ (− 1) 
k
k =0
1012
 1012 
 = (1 − 1)1012
k


∑ (− 1) 
k
k =0
1012
 1012 
 = 0
 k 
∑ (− 1) 
k
k =0
144
iii)
 144 

k


∑ k ⋅ 
k =0
Desarrollo:
Universidad de Chile
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva
 144  144
144!

 = ∑ k ⋅
k
⋅
∑
k =1
 k  k =1 k!⋅(144 − k )
144
144!
=∑
k =1 (k − 1)!⋅(144 − k )
144
144
144!
k =1 (k − 1)!⋅(144 − k + 1 − 1)
=∑
144
144!
k =1 (k − 1)!⋅(143 − k + 1)
=∑
144
144!
k =1 (k − 1)!⋅(143 − (k − 1))
=∑
143!⋅144
k =1 (k − 1)!⋅(143 − (k − 1))
144
=∑
144
143!
k =1 (k − 1)!⋅(143 − (k − 1))
= 144∑
144 143



= 144∑ 
k =1  k − 1 
  143   143   143 
 143   143  
 + 
 + 
 + K + 
 + 
 
= 144 ⋅  
0
1
2
142
143
 
 


 


143 143



= 144∑ 
k =0  k 
143 143

 k 143−k
 ⋅ 1 ⋅ 1
= 144∑ 
k =0  k 
= 144 ⋅ (1 + 1)143
= 144 ⋅ 2143
1998
iv)
1
 1998 

 k 
∑ (k + 1)(k + 2) ⋅ 
k =0
Desarrollo:
Multiplicaremos por 1, para reordenar la combinatoria.
Universidad de Chile
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva
1998
Universidad de Chile
 1998  1998
 1998  1999 ⋅ 2000
1
 = ∑

⋅ 
 k  k =0 (k + 1)(k + 2 )  k  1999 ⋅ 2000
1
∑ (k + 1)(k + 2) ⋅ 
k =0
1998!
1999 ⋅ 2000
k = 0 (k + 1)(k + 2 ) k!⋅(1998 − k )! 1999 ⋅ 2000
1998
=∑
1
⋅
1998
2000!
1
k = 0 (k + 2 )!⋅(1998 − k )! 1999 ⋅ 2000
=∑
=
1998
1
2000!
∑
1999 ⋅ 2000 k =0 (k + 2 )!⋅(1998 − k − 2 + 2)!
=
1998
1
2000!
∑
1999 ⋅ 2000 k =0 (k + 2 )!⋅(2000 − (k + 2 ))!
=
1998 2000


1


∑
1999 ⋅ 2000 k =0  k + 2 
=
 2000   2000   2000   2000 
 2000   2000 
1
 + 
 + 
 + 
 + K + 
 + 


1999 ⋅ 2000  2   3   4   5 
 1999   2000 
Ahora, sumemos cero dentro del paréntesis.
=0
6447
448



2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000

 


 
 
 
 

1
 + 
 + K + 
 + 
 − 
 + 
 − 

=

2000
0
0
1
1
1999 ⋅ 2000  2   3 

 
 
 1442443


=0
 2000   2000   2000 
 2000   2000   2000   2000 
1
 + 
 + 
 + K + 
 + 
 − 
 − 

=

1999 ⋅ 2000  0   1   2 
 1999   2000   0   1 
2000  2000   2000   2000 
1
−
−

=
∑ 
1999 ⋅ 2000  k =0  k   0   1 
=
2000 2000  k 2000−k  2000   2000 
1
1 ⋅ 1
 − 

− 
∑
1999 ⋅ 2000  k =0  k 
 0   1 
=

 2000   2000 
1
2000
 − 

(1 + 1) − 
1999 ⋅ 2000 
 0   1 
=
 2000  2000   2000 
1
 − 

2 − 
1999 ⋅ 2000 
 0   1 
=
1
22000 − 2001
1999 ⋅ 2000
[
]
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva
26. Determine:
n
i) a7 en
∑a
k
= n 2 + 6n
k =1
Desarrollo:
Partamos con algo conocido,
n
∑k =
k =1
n(n + 1)
2
n
∑ 2k = n
+n
2
k =1
Sumemos a toda la ecuación 5n.
n
∑ 2k + 5n = n
2
+ n + 5n
k =1
n
n
∑ 2k + 5∑ 1 = n2 + 6n
k =1
n
k =1
n
∑ 2k + ∑ 5 = n
k =1
2
+ 6n
k =1
n
∑ 2k + 5 = n
2
+ 6n
k =1
Por enunciado,
n
n
k =1
k =1
∑ 2k + 5 = n 2 + 6n = ∑ ak
ak = 2k + 5
a7 = 19
Universidad de Chile
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva

2x 
ii) t 7 en  3 x + 
y 

3
2x 
 x + 
y 

7
7
7  7  1 
= ∑   x 3 

k = 0  k 

 1
 7  3 


t k =   x 

 k 


Universidad de Chile
k
 2x 
 
 y 
k
 2x 
 
 y 
7−k
7
= ∑ tk
k =0
7−k
7
7−7
 1
7
 7  3   2 x 
t 7 =   x   
⇒ t7 = x 3
  y 
 7 


 4x3
2 
iii) t 5 en 
+
 5 3x 2 


20
k
20  20  4 x 3   2 20 − k 20
 

= ∑  
= ∑ tk

  3x 2 
k
5
k =0
k = 0  

k
20 − k
 20  4 x 3   2 


t k =  


 k  5   3x 2 
 4x3
2 

+
 5 3x 2 


20
5
20 − 5
 20  4 x 3   2 


t 5 =  


 5  5   3x 2 
 20  4  5  2 15 1
t 5 =     
 5  5   3  x 15
Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva
iv) t 5 en (2 x − y )12
(2x − y )12 =
12  12 
12
∑  (− y )k (2 x )12 − k = ∑ t k
k =0  k 
k =0
 12 
t k =  (− y )k (2 x )12 − k
k
 12 
t 5 =  (− y )5 (2 x )12 − 5
5
 12 
t 7 = − y 5 (2 x )7
5
Universidad de Chile