CUADERNILLO DE MATEMATICAS 2015

2015
MATEMÁTICA APLICADA
PARA INGRESANTES
v
TECNICATURA SUPERIOR EN HIGIENE Y SEGURIDAD EN EL TRABAJO.
TECNICATURA SUPERIOR EN MECATRONICA.
TECNICATURA SUPERIOR EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL.
TECNICATURA SUPERIOR EN PROGRAMACIÓN.
TECNICATURA SUPERIOR EN SEGURIDAD VIAL.
Ing. Walter Alberto Cáseres
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
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Números Naturales y Enteros. Propiedades
Números Racionales. Propiedades.
Números Irracionales. Propiedades. Notación científica
Números Reales. Estructura algebraica
Números complejos. Estructura algebraica
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
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Clasificación de las expresiones algebraicas
Polinomios. Valor numérico. Cero de un Polinomio
Operaciones entre polinomios.
Regla de Ruffini y Teorema del Resto
Teorema del Factor y Teorema Fundamental del Álgebra Factoreo
Expresiones algebraicas fraccionarias. Operaciones y Simplificación
TRIGONOMETRIA
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Ángulos y Sistemas de medición
Razones trigonométricas
Resolución de Triángulos Rectángulos
Circunferencia trigonométrica
Relación entre ángulos de distintos cuadrantes
Triángulos Oblicuángulos. Teoremas del Seno y del Coseno
ECUACIONES
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Clasificación General
Ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales 2x2
Ecuaciones Cuadráticas
Ecuaciones Racionales e Irracionales
Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
Sistemas Mixtos
Ecuaciones e Identidades Trigonométricas
FUNCIONES
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Conceptos preliminares
Producto Cartesiano y Relación
Función. Conceptos generales
Función Constante
Función Lineal
Función Cuadrática
Funciones definidas por tramos
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Símbolos matemáticos de uso frecuente
Algunas letras del alfabeto griego
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CONJUNTOS NUMERICOS
Introducción
Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de
un símbolo. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral.
Pensamos en números cuando contamos personas, vemos la hora, medimos la
temperatura, comparamos velocidades, pesamos cuerpos, etc…
A lo largo de la historia cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la
actualidad aún se usa, el sistema de numeración romana, que se desarrollo en la antigua
Roma y se utilizó en todo su imperio. Era un sistema de numeración no posicional en el
que se usan letras mayúsculas como símbolos para representar a los números: I, V, X, L,
C,D,M
El sistema universalmente aceptado actualmente (excepto algunas culturas) es el
Sistema de Numeración Decimal.
Es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como
base el número diez, por lo que se compone de las cifras cero (0); uno(1): dos (2); tres (3);
cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se
denomina números árabes.
Objetivos
 Definir a los conjuntos numéricos
 Distinguir entre racional e irracional, entre real y complejo
 Recordar la aritmética de los números reales y complejos
 Adquirir habilidad en la resolución de situaciones problemática
Conceptos previos
 Conceptos básicos de lógica proposicional.
 Teoría de Conjuntos
Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la
anterior y es más completa y con mayores posibilidades en sus operaciones. Están
representadas en el siguiente mapa conceptual
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Definición
Los números Naturales son los números que usamos para contar u ordenar los elementos
de un conjunto no vacio
Simbólicamente: N = {1, 2, 3, 4, 5,....n, n+1,.....}
Operaciones
La suma y el producto de números naturales son siempre naturales. En cambio la
diferencia no siempre es otro natural. Simbólicamente:
Si a €N y b € N, entonces a + b € N (a y b se llaman términos o sumandos)
Si a €N y b € N, entonces a . b € N (a y b se llaman factores)
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NUMEROS ENTEROS
Para dar solución al problema que se presenta al restar números naturales donde el
minuendo es igual o menor al sustraendo, se crearon otros números que amplia al
conjunto de números naturales.
Se agregan el número cero y los números opuestos a los naturales
De ese modo 3 – 3 = 0 y 3 – 7 = -4
Definición
El conjunto de los números Enteros está formado por la unión de los naturales, el cero y
los opuestos de los naturales
Simbólicamente se expresan Z= {...... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .....}
Los números enteros permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos
acreedores o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de
referencia (las alturas sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores a
0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etc…).
En un gráfico de conjuntos se aprecia claramente que
Se representa a los números enteros en una recta graduada, donde se elige un punto
arbitrario para representar al 0 (al cual le llamaremos origen) y se adopta un segmento
como unidad y la convención de que para la derecha estarán los números enteros
positivos (naturales) y para la izquierda estarán los enteros negativos (opuestos de los
naturales).
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Operaciones en Z
La suma y el producto de enteros es siempre otro entero.
La diferencia a – b es considerada como la suma del minuendo más el opuesto del
sustraendo a – b = a + ( -b ) donde a es el minuendo y b es el sustraendo
La división entre los enteros a y b, con b≠ 0, arroja como resultados dos números enteros
llamados cociente (q) y resto)
A ase le dice dividendo y a b se le dice divisor.
Caso particular: Si r = 0, entonces a = b.q
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Se dice que la división es exacta, que “a es múltiplo de b”, que “a es divisible por b”, que
“b es factor de a” o que “b es divide a a”
La división por 0 no está definida.
Ejemplos: 2: 0 y 0: 0 no existen!!!!!
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En el caso de tener expresiones algebraicas (expresiones que combinan números y letras)
puede aplicarse, de ser necesario, la definición de potenciación y así encontrar una
expresión algebraica equivalente
Productos notables
Las siguientes expresiones resultan de aplicar la definición de potenciación y las
propiedades de la suma y el producto. Reciben el nombre de productos notables
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NUMEROS RACIONALES
Dividir es repartir en partes iguales!!!
Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de
52cartas.
El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en
el centro de la mesa. ¿Cuántas cartas le corresponden a cada
uno? ¿Cuántas cartas quedan en el centro?¡Tu puedes deducir
la respuesta!¿Y si se quiere repartir pero el dividendo es
menor que el divisor? Por ejemplo
Ejemplo:
Juana quiere repartir 1 barra de chocolate entre sus 3 amigos.
Entonces Juana da un tercio de chocolate a cada uno.
Definición
Los Números Racionales son los números que se pueden
escribir como el cociente de dos enteros. Esto es, los que se
pueden expresar como fracción. En símbolos
Los números racionales representan partes de un todo
Las partes sombreadas de los siguientes objetos están representadas por números
Racionales
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Q es un conjunto denso
Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría
justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro
racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos.
Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números
racionales encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales por más
próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso
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NUMEROS IRRACIONALES
Todos los números racionales están representados por puntos sobre la recta numérica
pero, ¿todos los puntos de la recta son representaciones de números racionales? La
respuesta es NO!!! Existen otros números que junto a los racionales completan a la recta
numérica. Ellos son los números irracionales
Definición
Los Números Irracionales son los números que no se pueden expresar como fracción.
En símbolos
Convertidos a la notación decimal son números con infinitas cifras no periódicas
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Operando con números irracionales
Las operaciones de suma, diferencia, producto, cociente y potenciación de números
Irracionales no siempre arrojan como resultado a otro irracional. Algunas veces los
resultados son racionales!!
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¿Y si necesitáramos expresar a los números irracionales en forma decimal?
Usamos las primeras cifras decimales. De ese modo se obtienen valores aproximados de
los números irracionales. Entonces siempre se comete un error al tomar la notación
decimal de un número irracional y el error cometido es menor que 1 unidad del orden de la
última cifra conservada.
Racionalización
Si las raíces aparecen en el denominador, en muchos casos es necesario eliminarla. A
este proceso se lo conoce con el nombre de Racionalización de denominadores
Primer Caso: Un único término con raíz cuadrada en el denominador
Se multiplica y divide por la raíz presente en el denominador
Segundo Caso: Un único término con raíz mayor que 2 en el denominador
Se multiplica y divide por la raíz presente en el denominador elevada a un exponente
conveniente
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Tercer Caso: En el denominador suma o resta de términos que contienen raíces
cuadradas. Se multiplica y divide por el conjugado del denominador
NUMEROS REALES
Entre los racionales y los irracionales se completa la recta numérica. Es decir ya no queda
ningún punto sobre la recta al que no le corresponda ya sea un número racional o un
número irracional. Es por ello que se considera que si se unen los dos conjuntos, esto es,
Racionales más Irracionales se forma un nuevo conjunto Definición
El conjunto de los Números Reales es la unión del conjunto de los Racionales al conjunto
de los Irracionales. Simbólicamente
A la recta numérica se le dice recta real pues en ella se representan a todos los números
reales y, viceversa, todo punto de la recta es la representación de un real.
El conjunto R también tiene la propiedad de ser denso. De acuerdo a la definición se tiene
el siguiente cuadro:
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En un diagrama de Venn, se observa la relación entre los conjuntos
Notación científica
Cuando manejamos números muy grandes o muy pequeños tenemos dificultad para
interpretarlos y para introducirlos en algunas calculadoras. Es usual, para ellos,
representarlos mediante notación científica. Se dice que un número está expresado en
notación científica cuando se escribe como el producto de un número mayor que 1 y
menor que 10, multiplicado por una potencia entera de diez.
El conjunto R tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo
El conjunto R tiene estructura de Campo o Cuerpo pues las operaciones de suma y
producto de números reales cumplen los siguientes axiomas:
Si x, y, z € R, entonces: La suma y el producto son operaciones cerradas
X+y€ R
(x.y) € R
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La suma y el producto son operaciones conmutativas
x + y =y + x
x.y = y.x
La suma y el producto son operaciones asociativas
(x+y) + z = x + (y+z)
(x.y). z = x. (y.z)
El producto es distributivo respecto a la suma
x. (x+z) = x.y + x.z
Existen números reales que son neutros respecto de la suma y el producto
0 es el neutro respecto de la suma pues x+0 = x
1 es el neutro respecto del producto pues x.1 = x
Todos los números reales tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco
– x se dice inverso aditivo u opuesto de x
1/x se dice inverso multiplicativo o recíproco de x
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Orden en el conjunto R
R es un conjunto ordenado. Esto es, dados dos números reales ha y b vale una y
solo una de las siguientes afirmaciones
a <b, a > b o a = b
Propiedades de la Igualdad en R
1) Si sumamos o multiplicamos a ambos miembros de una igualdad una misma
constante se obtiene otra igualdad
Si a = b, entonces a + c = b + c
Si a = b, entonces a.c = b.c
2) Si sumamos o multiplicamos miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra
igualdad
Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d
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Si a = b y c = d, entonces a. c = b. d
Propiedades de la desigualdad
1) Si a ambos miembros de una desigualdad se suma una misma constante , la
desigualdad se mantiene
Si a < b, entonces a+c < b+c
2) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante
positiva la desigualdad se mantiene
Si a < b y c > 0, entonces a.c < b.c
3) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante
negativa la desigualdad cambia de sentido
Si a < b y c < 0, entonces a.c>b.c
Intervalos
A menudo se trabaja con subconjuntos de números reales que representan semirrectas o
segmentos de recta. La notación de Intervalos es muy conveniente
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Modulo o Valor absoluto de un número real
El valor absoluto o módulo de un número mide la distancia desde el número al origen.
Se denota con |a|.
Propiedades
El valor absoluto de un número es siempre mayor o igual a cero |a| ≥ 0
Los números opuestos tienen el mismo valor absoluto
|a| = |-a|
El valor absoluto es distributivo respecto del producto
|a.b| = |a|.|b|
El valor absoluto es distributivo respecto del cociente |a:b| = |a|:|b|
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La séptima operación: Logaritmo de un número real
Sea a, b ∈ R +, con b ≠1. Se define logaritmo del número a en base b a aquel número n
que es el exponente necesario al que hay que elevar b para obtener a. Simbólicamente:
a es llamado número logaritmado, b es llamado base del logaritmo y n valor del logaritmo.
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Propiedades del Logaritmo:
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NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos son combinaciones algebraicas
de números reales con números imaginarios.
¿Por qué surgen los números imaginarios?
Las raíces de índice par de radicando negativo no tienen
respuesta en R. Para dar solución a este problema se
crea el número j.
Definición:
Potencia enésima de la unidad imaginaria
Si n Є N, al dividir n en 4 puede expresarse como n = 4. q + r, donde q es el cociente y
r es el resto. Entonces 0 ≤ r < 4 y la potencia enésima de j se calculan como:
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Definición
Se define al conjunto de los Números Complejos como
C = { z / z = a + bj , a Є R y b Є R }
a se dice componente real y b se dice componente imaginaria
El conjunto C también tiene estructura de Campo, respecto de la suma y el producto
Las relaciones entre los conjuntos numéricos estudiados se muestran en las siguientes
Figuras:
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Todo número complejo está asociado a otros llamados opuesto y conjugado
Igualdad en C
Dos números complejos son iguales si y solo si sus componentes respectivas son iguales.
Esto es:
a + bj = c + dj
;
a=c ˄ b=d
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Operaciones en c:
Propiedades del conjugado:
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Representación gráfica de los números complejos
Todo número complejo z = a+bj se representa en el plano mediante el punto (a,b).
Sobre el eje horizontal se representa a la componente real del complejo, por lo que a este
eje se lo llama eje real. Sobre el eje vertical se representa a la componente imaginaria y
por ello se lo llama eje imaginario 0.
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C tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo
El conjunto C tiene estructura algebraica de Campo respecto de las operaciones de Suma
y Producto pues en él se cumplen las propiedades de:
∀z1 ,z2 ,z3 € 1 C
La suma y el producto son operaciones cerradas
La suma y el producto son operaciones conmutativas
La suma y el producto son operaciones asociativas
El producto es distributivo respecto a la suma
Existen números complejos que son neutros respecto de la suma y el producto
0 es el neutro respecto de la suma pues z + 0 = z
1 es el neutro respecto del producto pues z.1= z
Todos los números complejos tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco
–z se dice inverso aditivo u opuesto de z
1/z se dice inverso multiplicativo o recíproco de z
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LOGICA MATEMATICA
El razonamiento matemático se apoya en la lógica, que trabaja con proposiciones. Una
proposición simple es cualquier afirmación de la cual se pueda decir Verdadero o Falso,
pero no ambos
Ejemplo:
“Estamos en año 2009” Es una proposición
“¿Qué día es hoy? No es una proposición
A las proposiciones simples las denotamos con las letras p, q, r,..etc.
Las proposiciones simples pueden generar otras proposiciones llamadas compuestas
En ellas aparecen palabras llamadas conectivos lógicos.
Tanto la notación como su significado están en la siguiente tabla:
Los valores de verdad de las nuevas proposiciones (p, pq, pq, pq, pq, pq)
dependen de los valores de verdad de las proposiciones simples intervinientes.
En particular:
Algunas proposiciones se refieren a conjuntos y hacen afirmaciones sobre la frecuencia
con la que se cumple una característica en el conjunto.
Ejemplo:
Todos los animales son cuadrúpedos
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Algunos animales son carnívoros. Estas son frases que contienen cuantificadores:
“Todos” y “Algún/os”
Es muy frecuente expresarlos simbólicamente, más aún cuando la frase se refiere a
conjuntos numéricos
Sea A la característica a la que se refiere la frase y sea x un individuo cualquiera del
conjunto, las notaciones correspondientes figuran en la siguiente tabla_
TEORIA DE CONJUNTOS
Un conjunto es cualquier colección (finita o infinita) de
elementos de cualquier naturaleza. Todo conjunto está
inmerso en otro conjunto llamado Universal
Se denotan con letras mayúsculas y a sus elementos con
minúsculas. Es usual representarlos por medio de
Diagramas de Venn.
En el siguiente cuadro presentamos algunas
Definiciones y su correspondiente notación.
Considere en los casos correspondientes dos
Conjuntos Ay B.
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NÚMEROS PRIMOS.
Sea n Є N, con n>1, n es primo si y solo si tiene exactamente dos divisores positivos:
1yn
Los primeros números primos son: 2 , 3 , 5 , 7 , 11, 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , etc.
Todo número natural puede descomponerse como producto de factores primos
Ejemplos:
Expresar a 750, 480 y 1734 en su forma factoreada
Máximo Común Divisor
Dados dos números enteros a y b.
Al número que es divisor de ambos y es el mayor de todos los divisores comunes se le
llama máximo común divisor (mcd). El mcd(a,b) es igual al producto de todos los factores
primos comunes entre a y b con su menor exponente
Mínimo Común Múltiplo
Al número que es múltiplo de ambos y es el menor de todos los múltiplos comunes se le
llama mínimo común múltiplo (mcm). El mcm(a,b) es igual al producto de todos los factores
primos comunes y no comunes con su mayor exponente
Ejemplos
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Introducción
Desde sus remotos orígenes arraigados en Egipto, Arabia y la India veinte siglos antes de
nuestra era, el álgebra ha sido considerada un método de expresión mediante fórmulas
que permiten simplificar los cálculos numéricos. En ese entonces los problemas
algebraicos aparecen formulados y resueltos de una manera verbal.
Los polinomios, se han aplicado recientemente en la transmisión de la información.
Durante los últimos años, el tráfico de datos por medio de las “carreteras” de la
información ha crecido enormemente. Se pretende aumentar las velocidades de
transmisión y conservar al mismo tiempo la integridad de los datos. Un método
desarrollado para tal fin es el PET (Transmisión Codificada con Prioridades). Con él la
información se distribuye en diferentes paquetes. Esta distribución se determina con base
en polinomios.
Objetivos generales
Conceptos previos
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MAPA CONCEPTUAL
EXPRECIONES ALGEBRAICAS
Llamamos Expresión Algebraica Real a toda combinación de letras y/o números reales
vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación y potenciación de
exponente racional.
Ejemplos:
A los números intervinientes les llamamos coeficientes y a las letras variables
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Clasificación de las Expresiones Algebraicas
Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se
clasifican en:
Las Expresiones Algebraicas Racionales Enteras, también llamadas Polinomios, son
aquellas donde las variables están afectadas por las operaciones de suma, resta, producto
y potencia de exponente entero no negativo.
Las Expresiones Algebraicas Racionales Fraccionarias son aquellas donde al menos
una variable está afectada a un exponente entero negativo o figura en el denominador.
Las Expresiones Algebraicas Irracionales son aquellas donde al menos una variable
está afectada a un exponente fraccionario o figura bajo un signo de radicación.
TEORIA DE LOS POLINOMIOS
Monomios
Es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las operaciones de suma y
resta. Es decir, un monomio es un polinomio de un solo término.
Grado de un Monomio
Es la suma de los exponentes de las letras (o variables) que contiene.
Ejemplos:
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Monomios Semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Ejemplos:
POLINOMIO
Un polinomio es la suma de dos o más monomios. El grado de un polinomio es el grado
del monomio de mayor grado que participa en él
Casos particulares.
Binomio: Es el polinomio formado por la suma algebraica de dos monomios
Trinomio: Es aquel que es la suma algebraica de tres monomios
Cuatrinomio: Es el polinomio formado por cuatro monomios
Ejemplos:
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Polinomio Homogéneo
Un polinomio se dice homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado.
Ejemplos:
Si el polinomio es en la variable x se representa simbólicamente como:
Donde:
n Є Z, n≥ 0 se llama grado del polinomio P y se escribe n = grP(x)
ai Є R se denominan coeficientes del polinomio
an ≠ 0 se denomina coeficiente principal y a0 se denomina término independiente
Ejemplos:
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VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO
Ejemplo:
CERO DE UN POLINOMIO
Polinomio Ordenado
Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus términos están dispuestos
de modo que los exponentes aumenten o disminuyan desde el primer término hasta el
último.
Ejemplos:
Polinomio Completo
Un polinomio en una variable está completo cuando figuran todas las potencias de la
variable menores al grado del polinomio.
Ejemplos:
Si un polinomio está incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la
variable que faltan con coeficiente cero.
Ejemplo:
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Polinomio Nulo
Llamamos polinomio nulo a aquel que tiene todos sus coeficientes cero
Se escribe P(x) = 0 y se dice de él que no posee grado.
Polinomio Opuesto
Esto es la suma de un polinomio con su opuesto es el polinomio Nulo
Ejemplo:
Igualdad entre Polinomios
Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los
términos semejantes son iguales.
En símbolos:
Operaciones con Polinomios:
La suma, producto y división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las
correspondientes operaciones entre reales.
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Suma de Polinomios
Aplicando la propiedad asociativa, se agrupan los términos semejantes y se obtiene un
polinomio de grado menor o igual al grado del polinomio de mayor grado.
Resta de Polinomios
Se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo.
Producto de polinomios
Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de la potenciación de potencias de igual
base, se obtiene un polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los
polinomios intervinientes.
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División de Polinomios Numéricos:
División de monomios entre si
El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente se obtiene dividiendo los
coeficientes de los monomios dados y la parte literal es el resultado de aplicar la propiedad
de cocientes de potencias de la misma base. El resultado no siempre es un monomio.
Ejemplos:
División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva. El resultado no
siempre es un polinomio
Ejemplo:
División de Polinomios entre si
Sean P(x) y Q(x) dos polinomios con Q(x) ≠ 0, tal que gr P(x) ≥ grQ(x)
Entonces existen dos polinomios únicos C(x) y R(x) tales que:
P(x) = Q(x).C(x) + R(x) con gr R(x) < grQ(x).
Llamaremos a P(x) dividendo, a Q(x) divisor, a C(x) cociente y a R(x) resto.
También puede expresarse:
Cuando R(x) = 0 la división es exacta por lo que P(x) = Q(x).C(x) y se dice que Q(x) es un
factor de P(x) o que P(x) es divisible por Q(x).
De ese modo se tendrá que:
Algoritmo de la división
Sean P(x) y Q(x) tal que grP(x) ≥ grQ(x). Para realizar la división P(x):Q(x) se procede del
siguiente modo
1) Ordenar en forma decreciente a ambos. Completar al dividendo
2) Para calcular el 1º término del cociente, dividir el término de mayor grado de
P(x) por el término de mayor grado del divisor
3) Luego se multiplica el término del cociente recién obtenido por todos los términos del
divisor y se coloca el resultado abajo de los términos de P(x) que le sean semejantes.
Luego se resta y se considera este resultado, un resto parcial, como el próximo dividendo
4) Se repiten los paso 2 y 3
5) Detener el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor.
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Caso particular
Si grQ(x) = 1, entonces R = constante (polinomio de grado cero).
En particular si Q(x) es de la forma Q(x) = x – b, se puede aplicar un algoritmo más sencillo
que se conoce con el nombre de Regla de Ruffini.
REGLA DE RUFFINI
Y un resto R que se obtienen con el siguiente algoritmo:
1º paso: En el primer renglón se colocan los coeficientes de P(x) ordenado y completo
2º paso: En el segundo renglón se coloca el valor “b” a la izquierda de los demás números
ya colocados
3º paso: En el tercer renglón se colocarán los coeficientes del cociente y el resto del
siguiente modo:
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Teorema del Resto:
Al dividir P(x) en (x – b), el resto de la división es el valor numérico del polinomio P(x)
particularizado para x = b. Esto es: R = P (b)
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Teorema del Factor
Sea P(x) un polinomio de grado n y b una constante. Se dice que
b es un cero de P(x) ↔ (x-b) es un factor de P(x)
Esto es equivalente a afirmar que
b es un cero de P(x) ↔ P(x) es divisible por (x – b )
Observación
Si (x-b) es un factor de P(x), entonces existe un polinomio C(x) tal que
P(x) = (x-b).C(x)
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Teorema Fundamental del Algebra
Teorema sobre el Numero Cero
Extensión de la Regla de Ruffini:
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Extensión del Teorema del Resto
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FACTOREO DE POLINOMIOS
Factorear un polinomio es expresarlo como producto de polinomios primos.
Caso particular
Entonces p(x) puede ser factoreado en la forma
P( x ) = an ( x – x1 ).( x – x2 )…( x – xn )
Donde cada binomio de la forma (x – xi) es un factor primo.
Las estrategias de factoreo más usadas son las siguientes:
Factor común
Una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio cuando
aparece multiplicando en cada uno de esos términos.
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Factor Común en Grupo
Una expresión algebraica puede no tener un único factor común en todos los términos sino
factores comunes distintos en cada grupo de términos. Si luego de asociar
convenientemente se puede extraer un único factor común habremos factoreado.
Diferencia de Cuadrados
Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia de las
bases de dichos cuadrados por la suma de las mismas, es decir:
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Trinomio Cuadrado Perfecto
Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo:
i) Se busca a los cuadrados y se determina a sus bases
ii) Se comprueba que el otro término sea el duplo de las bases de dichos cuadrados
iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cuadrado de una suma o al
cuadrado de una diferencia.
Cuatrinomio Cubo Perfecto
Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo:
i) Se busca a los cubos y se determina a sus bases
ii) Se comprueba que los otros términos sean el triple del cuadrado de una base por la otra
base alternativamente
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iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cubo de una suma o al cubo de
una diferencia
Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado
Estos polinomios se factorean usando la suma o diferencia de las bases según
sean.Todas las posibilidades se resumen en la siguiente tabla:
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EXPRECIONES ALGEBRAICAS RACIONALES FRACCIONARIAS
Se llama expresión algebraica fraccionaria al cociente indicado entre dos polinomios,
siempre que el denominador no sean ni el polinomio nulo ni polinomios constantes.
Ejemplos:
Valor Numérico de una Expresión Algebraica Fraccionaria
Se llama Valor Numérico de una expresión algebraica fraccionaria al número real que se
obtiene al sustituir la variable por determinados valores.
Ejemplo:
Pero la expresión no está definida para x = 2, dado que la división por cero no existe.
Se llama Dominio (Dom) de una expresión algebraica real al conjunto de valores reales
que le podemos asignar a las variables de modo que las operaciones en las que
intervienen sean posibles en el conjunto de los Números Reales.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES:
Dos expresiones algebraicas se dicen iguales o equivalentes cuando tienen iguales
valores numéricos para cualquier sistema de valores asignados a sus letras.
Simplificación
Simplificar una expresión algebraica racional fraccionaria significa dividir su numerador y
denominador por un mismo factor.
Cuando por sucesivas simplificaciones resultan el numerador y el denominador primos
entre sí, la expresión fraccionaria se dice reducida a su mínima expresión.
Para facilitar el proceso de simplificación se deben factorear numerador y denominador.
Entonces las expresiones serán equivalentes cuando una expresión se ha obtenido de otra
tras un proceso de simplificación y esto será válido en el dominio de la expresión de
partida.
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Ejemplo:
Operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias
Se procede del mismo modo que entre números fraccionarios.
Suma algebraica
1º paso: Factorear todos los denominadores e indicar el dominio de la expresión
2º paso: Calcular el mcm entre los denominadores
3º paso: Aplicar el mismo algoritmo que la suma entre números fraccionarios
Producto de expresiones algebraicas fraccionarias
1º paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la
expresión
2º paso: Aplicar el mismo algoritmo que entre números fraccionarios, simplificando si es
posible
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División de expresiones algebraicas fraccionarias
1º paso: considerar al cociente como el producto del dividendo por el inverso del divisor.
2º paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la
expresión
3º paso: Aplicar el algoritmo del producto entre números fraccionarios, simplificando si es
posible.
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APANDICE
Expresiones algebraicas enteras primas y compuestas
Una expresión algebraica se dice prima cuando sólo es divisible por si misma y la unidad.
Es decir no puede factorearse en el conjunto de las expresiones algebraicas con
coeficientes reales.
En cambio una expresión algebraica que admite otros divisores distintos de la unidad y de
si misma se llama compuesta
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El máximo común divisor (mcd) de dos o más expresiones algebraicas enteras se
obtiene formando el producto de los factores primos comunes con su menor exponente.
Se denota con mcd [A, B], donde A y B son las expresiones algebraicas consideradas.
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más expresiones algebraicas enteras se
obtiene formando el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor
exponente.
TRIGONOMETRÍA
Introducción
La palabra TRIGONOMETRIA proviene del griego Trigonom: triangulo y Metrom: medida.
Entonces significa “MEDIDA DE TRIANGULOS”.
Desde sus orígenes, la TRIGONOMETRIA estudia: las relaciones entre los lados y los
ángulos del triangulo.
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Como asítambién las propiedades y las aplicaciones de las funciones trigonométricas de
ángulos.
El estudio del tema abarca:
- Trigonometría Plana, que se ocupa de triángulos contenidos en el plano.
Trigonometría Esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de
una esfera.
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En la vida diaria .empleamos trigonometría?
Con frecuencia nos encontramos con situaciones como:
- determinar a que distancia del piso esta la
ventana de un edificio.
- determinar la altura de un muro
determinar el peso que soportan los tirantes . de lacubierta
- calcular la resultante de un sistema de fuerzas
En todos los casos, para dar solución a las situaciones planteadas, aplicamos
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TRIGONOMETRÍA
Entonces:
En esta oportunidad vamos a encarar el tratamiento del tema TRIGONOMETRÍA PLANA.
Objetivos
Conceptos previos
ANGULOS
Ángulo plano es la porción de plano determinada por la rotación de una semirrecta desde
una posición inicial hasta una posición final. El origen de la semirrecta es llamado vértice
del ángulo.
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Sea O el origen de la semirrecta y sean P y Q dos puntos cualesquiera de la semirrecta en
posición inicial y final respectivamente.
Denotaremos con Q O ˆ P al ángulo, o con cualquier letra griega, por ejemplo θ,
O al vértice y OP y OQ a las semirrectas inicial y final respectivamente.
La medida del ángulo Q O ˆ P es la “cantidad de rotación”, respecto al vértice requerida
para mover la semirrecta OP sobre la semirrecta OQ en sentido contrario a las agujas del
reloj. Es en definitiva cuanto se “abre” el ángulo.
Ángulos especiales
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Sistemas de medición
Sistema Sexagesimal Unidad: Grado sexagesimal Ej.: 30º 20' 35''
Sistema Circular Unidad: Radian Ej.: 2 rad.
Sistema Centesimal Unidad: Grado centesimal Ej.: 100ºc
Los sistemas de medición de ángulos mas usados son Sexagesimal y Circular.
Sistema Sexagesimal
La unidad es el grado, que es la 180 ava parte de un ángulo llano giro. Los submúltiplos
son: minutos y segundos que a su vez son 60 avas partes de su anterior.
De la definición se deduce que:
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Conversión de un ángulo en grados minutos y segundos a grados y viceversa
Sistema Circular y Longitud de Arco
En el sistema Circular o Radial la unidad de medida es el radian.
Para precisarlo recordemos que todo ángulo con vértice en el centro de cualquier
circunferencia determina un arco sobre la misma. Llamemos α al ángulo, r al radio de la
circunferencia y s al arco determinado por el ángulo.
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Se define al ángulo de 1 radian como el ángulo que determina un arco de circunferencia
cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.
Para medir cualquier otro ángulo, usando como unidad de medida el radian, se debe
contar la cantidad de veces que el arco determinado en la circunferencia lo contiene al
radio de la circunferencia.
En este caso el arco determinado por α contiene 3 radios entonces diremos que
Α = 3 radianes = 3 rad.
Responde: .Si consideramos otra circunferencia con el mismo centro, la
medida del ángulo cambia?
El sistema Circular es el que se trabaja generalmente en la práctica ya que permite operar
con los números Reales abstractos.
Podemos dar el valor de los ángulos medidos en radianes usando la abreviatura rad o no
Relación entre arco, radio y ángulo
En una circunferencia de radio “r”, la longitud “s” de un arco que subtiende un ángulo
central de α radianes es:
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Relaciones de equivalencias entre los dos sistemas
De la definición de radian y de grado se desprende que:
Para realizar equivalencias entre los sistemas usamos proporcionalidad directa:
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De este modo se deducen los siguientes valores, también muy frecuentes:
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Antes de definir a las seis razones trigonométricas vamos a nombrar los elementos de un
triangulo rectángulo.
Se define RAZONES TRIGONOMÉTRICAS de un ángulo agudo en un triangulo
rectángulo a los siguientes cocientes:
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De la definición se desprende que:
Dado que la hipotenusa es siempre mayor que cualquiera de los catetos se desprende
que, en un triangulo rectángulo, para cualquiera de sus ángulos agudos se cumple que:
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APLICACIÓN DE TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Otro de los conceptos que aplicamos para dar solución a las situaciones planteadas es
elde ANGULO DE ELEVACION Y ANGULO DE DEPRESION.
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Resolución de Triángulos Rectángulos
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Considerando un sistema de ejes cartesianos, es
posible representar cada una de las razones
trigonométricas por medio de segmentos. Para ello se
considera una circunferencia de radio unidad centrado
en el origen de coordenadas, llamada
“circunferencia trigonométrica”. En ella podremos
analizar que sucede con los valores de las razones
trigonométricas cuando el valor del ángulo está
comprendido entre 0o y 360o (0 a 2π rad).
De este modo podremos resolver situaciones
problemáticas que son modeladas por triángulos
oblicuos.
Considere un ángulo, θ, con vértice en el origen de
coordenadas, el lado fijo sobre el eje de las abscisas y
el lado móvil en el primer cuadrante.
Sea P(x, y) un punto sobre la circunferencia
determinado por la intersección del lado móvil del
ángulo con la circunferencia.
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La proyección del punto P sobre el eje x, determina el punto Q. El triangulo POQ es un
triangulo rectángulo con catetos de longitudes x e y.
Por ala definición se tiene que:
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Los signos de las razones trigonométricas tienen que ver con las abscisas y ordenadas del
punto P, y estas coordenadas tendrán distintos signos según en qué cuadrante este
ubicado P.
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VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES.
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
A partir de los resultados anteriores y aplicando el Teorema de Pitágoras en el triangulo
POQ se tiene que:
de lo que se deduce que:
Llamada RELACION FUNDAMENTAL O RELACION PITAGORICA. Y como:
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Se tiene que:
Además a partir de la relación (1) podemos deducir otras relaciones.
Si en la expresión (1) dividimos ambos miembros por sen2 se tendrá que:
Si en la expresión (1) dividimos ambos miembros por cos2 se tendrá que:
Entonces se tienen las siguientes relaciones:
APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Problema Directo: A partir de un determinado ángulo α, determinar el valor de las razones
trigonométricas.
Ejemplo:
Si α = 20º30 determine el valor del sen α
La calculadora debe estar preparada para trabajar en sistema sexagesimal (DEG)
Sen 20º 30= 0,35
Problema Inverso: Conocido el valor de una razón trigonométrica, queremos calcular el
valor del ángulo. Con frecuencia se nos presenta el problema de determinar los ángulos
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de un triangulo conocidos los lados del mismo, tal como se plantea en la siguiente
situación.
El estudio que sigue se basa en la simetría de los puntos de los distintos cuadrantes,
respecto a los ejes de coordenadas y al centro.
Relación entre ángulos del 1º y 2º cuadrante
Sea α un ángulo del 1o cuadrante, entonces existe β del 2° cuadrante llamado
Suplementario a α. Esto es β = 180o- α, y se tendrá que:
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Relación entre ángulos del 1º y 3º cuadrante
Sea α un ángulo del 1o cuadrante, entonces existe β en el 3° cuadrante tal que
β = 180°+ α y se tendrá que:
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Relación entre ángulos del 1º y 4º cuadrante
Sea α un ángulo del 1o cuadrante, entonces existe β en el 4° cuadrante tal que
β =360°– α y se tendrá que:
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Para la resolución de estos triángulos se emplean los siguientes teoremas:
Teorema del Seno
En cualquier triangulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos correspondientes
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Teorema del Coseno
En cualquier triangulo ABC se tiene:
En forma directa se emplea cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido pero
también puede usarse en el caso indirecto cuando se conocen los tres lados y se desean
calcular los ángulos del triangulo.
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Una aplicación del teorema del coseno es la formula de Heron:
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APENDICE
Para resolver la situación planteada al inicio del capitulo, como tantas otras que se
presentan en la vida diaria, vamos a repasar algunos conceptos.
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ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO
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TEOREMA DE PITAGORAS
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TEOREMA DE TALES
Como consecuencia del teorema de Tales se puede enunciar el teorema fundamental de
SEMEJANZA DE TRIANGULOS.
Toda paralela a uno de los lados de un triangulo, divide a los otros dos en segmentos
proporcionales, por lo que forman un triangulo semejante al primero.
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ECUACIONES
Introducción
En casi todas las ramas de la Matemática las ecuaciones aparecen como protagonistas
centrales pues ellas permiten describir en forma exacta y sencilla la situación problemática
o el fenómeno del que se esté hablando.
En esta Unidad nos limitaremos a rever todos los tipos de ecuaciones y los métodos de
resolución vistos en la escuela secundaria, preparándolos para poder enfrentar los temas
de mayor complejidad en los que aparecerán otros tipos de ecuaciones definidos en
nuevos conjuntos. Un ejemplo de ello son las ecuaciones matriciales, las que no se
podrían resolver si no se manejan las ecuaciones sencillas y los métodos más simples de
cálculo.
Objetivos
Conceptos previos
Una ecuación es una igualdad donde figuran una o más incógnitas.
Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de las incógnitas que verifican la
igualdad. A dichos valores se les llama raíces o soluciones de la ecuación.
Ejemplos:
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Clasificación de las ecuaciones de acuerdo a las soluciones
De acuerdo a las soluciones las ecuaciones se clasifican en:
Clasificación de las ecuaciones de acuerdo a las expresiones
El siguiente cuadro representa la clasificación de las ecuaciones, correspondiéndose
exactamente con la clasificación de las expresiones
A su vez se dan ejemplos de las que se verá en este curso.
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Una ecuación algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que
intervienen una o varias incógnitas.
Los miembros de una ecuación son las expresiones que están a ambos lados del signo
igual. Así, se llama primer miembro a la de la izquierda y segundo miembro al de la
derecha.
Ejemplo:
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5X + 2 = -3X2 + 4
Un valor es solución si se verifica ala ecuación. Esto es, si se sustituyen las soluciones en
lugar de la/s incógnitas, convierten ala ecuación en identidad.
Ejemplo:
Se llama así al proceso de hallar la/las solución/es de una ecuación.
Para resolverla se transforma la ecuación dada, aplicando propiedades, en una ecuación
equivalente de la forma x = K, cuya solución es inmediata.
La ecuación equivalente tiene las mismas soluciones que la ecuación original.
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Propiedades que se aplican en la resolución de una ecuación
1) Propiedad simétrica: Los miembros de una igualdad pueden conmutarse entre si
Esto es: Si a = b entonces b = a
Se aplica esta propiedad para que la incógnita aparezca en el 1er miembro de la ecuación.
Ejemplo: si -3 =2 - 5y →2 - 5y = - 3
2) Propiedad uniforme para la suma: Si se suma una constante, positiva o negativa,
a ambos miembros de una igualdad, la misma se mantiene.
Esto es: Si a = b, entonces a + c = b + c
Se usa cuando se quiere eliminar un término de un miembro de la ecuación,
posteriormente se aplica el axioma de los elementos opuestos
Ejemplo: Si 2x + 3 = - 1 →2x + 3 - 3 = - 1 - 3 →2x = - 4
3) Propiedad cancelativa para la suma: Si una constante, positiva o negativa, esta
sumando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse
Esto es: Si a + c = b + c, entonces a = b
4) Propiedad uniforme para el producto: Si se multiplica una constante no nula,
positiva o negativa, a ambos miembros de una ecuación, se mantiene la igualdad.
Esto es: Si a = b y c ≠ 0, entonces a.c = b.c
Se usa cuando se quiere eliminar un factor de un miembro de la ecuación, posteriormente
se aplica el axioma de los elementos recíprocos
5) Propiedad cancelativa para el producto: Si una constante no nula, positiva o
negativa, está multiplicando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse
Esto es: Si a.c = b.c con c≠0, entonces a = b
1) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se les
extrae una misma raíz, siempre que este definida, la igualdad subsiste.
Se aplica cuando se quiera eliminar una potencia o un radical de algún miembro de una
ecuación:
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Una ecuación lineal real en una variable es una ecuación de la forma ax+b= 0 donde a y b,
coeficientes de la ecuación, son números reales y x es la variable.
Toda ecuación real de primer grado en una incógnita tiene exactamente una raíz real.
Ejemplo:
A una ecuación lineal en una variable ax+b= 0 le podemos asociar una ecuación lineal en
dos variables y = ax+b. Dicha ecuación representa geométricamente una recta en el plano.
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Si hacemos y = 0 en esa ecuación se obtiene la ecuación en 1o grado en una variable
ax+b= 0. Entonces la raíz de la ecuación ax+b= 0 representa la abscisa del punto donde la
recta y = ax+b intercepta al eje X.
Ejemplo:
La ecuacion3x - 12 = 0 tiene por raíz x = 4
La grafica de la ecuación y = 3x - 12 intercepta el eje X en (4 , 0 )
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RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
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RESOLUCION DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO*
“Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una condición
formulada con palabras; es una traducción de un lenguaje corriente al lenguaje de las
fórmulas matemáticas. Las dificultades que podamos tener al plantear ecuaciones son
dificultades de traducción. En primer lugar, hemos de comprender totalmente la condición.
En segundo lugar, hemos de estar familiarizados con las formas de expresión
matemática.” George Polya
¿Como expresar lenguaje Matemático consignas dadas en lenguaje Coloquial?
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Se denomina así a la consideración simultánea de dos ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas.
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SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar, si existen, el o los puntos
en común que posean las rectas que intervienen en el sistema. Llamamos conjunto
solución al conjunto de pares ordenados que verifican a todas las ecuaciones a la vez. Un
sistema de Ecuaciones Lineales puede tener:
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Son muy usados los métodos que a continuación se describen para resolver,
analíticamente, sistemas de ecuaciones: Ellos son: método de sustitución, método de
igualación, método de reducción y el método por determinantes
Método de Sustitución
Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su
expresión en la otra, la cual se transformara en una ecuación con una sola incógnita la
cual se puede resolver. Una vez determinado el valor de dicha incógnita se obtiene, de
inmediato, el valor de la otra al reemplazarlo en la expresión donde ella se encuentra
despejada.
Método de Igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e
igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta
se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.
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Método de Reducción
Consiste en lograr que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos
ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando
lugar a una ecuación con solo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la
incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el
valor de la otra incógnita.
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Método por Determinantes
Se trabaja solamente con los coeficientes de las incógnitas y se forman los siguientes
determinantes:
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Calculo de las soluciones:
Análisis del determinante del sistema:
Valor de un determinante:
El valor del determinante de segundo orden se encuentra por medio de la siguiente regla:
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Raíces o soluciones
Toda ecuación de 2° grado tiene exactamente dos raíces complejas.
Ecuaciones cuadráticas en una y dos variables
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Caso 1: Ecuaciones incompletas
Llamamos ecuación incompleta de 2° grado a aquella donde b = 0 o c = 0
En los casos donde b = 0 se llega al valor de x con solo despejar
En los casos donde c = 0 se llega al valor de x factoreando
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Caso 2: Ecuaciones completas
- método de completar cuadrados
- por medio de la formula general
- usando las propiedades de las raíces
METODO DE COMPLETAR CUADRADOS
Este método consiste en convertir a una expresión que posee un término cuadrático y uno
lineal, como mínimo, en una expresión que contenga un trinomio cuadrado perfecto y que
posteriormente se podrá factorear
Ejemplo:
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- Queda formado un trinomio cuadrado perfecto donde x puede despejarse de dos modos
distintos
CALCULO DE LAS RAICES POR LA FORMULA de BHASKARA
que se emplea para determinar las raíces de la ecuación. En esta fórmula se observa que
las soluciones dependen del signo del radicando presente en la misma.
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NATURALEZA DE LAS RAICES
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Usando las propiedades de las raíces se puede factorear el polinomio cuadrático como así
también encontrar las raíces en caso de ser desconocidas.
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Esto nos permite factorear el trinomio presente en el primer miembro de la ecuación, los
que sean cuadrados perfectos y los que no
Esta propiedad se aplica para la resolución de las ecuaciones de manera mental,
buscando dos números que sumen –b y que multiplicados arrojen el resultado c
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APLICACIONES
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Se llaman así a las ecuaciones poli nómicas de 4°que presentan la siguiente forma:
Este tipo de ecuaciones, como cualquier ecuación polinómicas de 4° grado, tiene
exactamente cuatro raíces, que pueden ser todas reales, dos reales y dos complejas, o
todas complejas.
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Son todas las ecuaciones donde las incógnitas aparecen al menos una vez bajo el signo
de radicación. La resolución se basa en la aplicación de las propiedades de las
operaciones de los números reales, especialmente las de la radicación y/o potenciación.
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Las ecuaciones exponenciales más sencillas son de la forma
Para resolver ecuaciones exponenciales, en algunas oportunidades se puede aplicar
propiedades de la potenciación, pero en todos los casos se puede aplicar las propiedades
de los logaritmos. Ambas se detallan a continuación
Propiedades:
Igualdad entre potencias de la misma base: Si dos potencias con la misma base son
iguales, entonces los exponentes también deben serlo:
Propiedad uniforme del logaritmo: si en una igualdad se aplica logaritmo de la misma
base miembro a miembro, la igualdad se mantiene
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Las ecuaciones logarítmicas más sencillas presentan la forma:
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Un sistema de ecuaciones exponenciales (o logarítmicas) es un conjunto de ecuaciones
exponenciales (o logarítmicas) cuyas soluciones comunes se pretende hallar. También
pueden presentarse sistemas de ecuaciones mixtos, o sea sistemas integrados por
ecuaciones exponenciales, logarítmicas y/o algebraicas.
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Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran relaciones
trigonométricas, verificables para cualquier valor permitido de la variable o variables que
se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que
se aplican las relaciones).
Estas identidades son útiles para:
- simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas
- en el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas
Las identidades más importantes son las siguientes:
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Dichas identidades sirven para probar otras. El método de demostración más usual
consiste en partir de un miembro de la igualdad y llegar al otro miembro.
Resolver una ecuación trigonométrica en el intervalo [0 , 2 π ] es encontrar todos los Las
ecuaciones trigonométricas son aquellas donde la/s incógnitas son ángulos.
Ángulos menores o iguales a un giro que verifican la ecuación.
Las estrategias a emplear son diversas. La elección del método depende de la ecuación
en sí. A continuación damos ejemplos de algunos casos típicos
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a) Ecuaciones que se puede expresar usando una única razón trigonométrica
b) Ecuaciones que se pueden resolver como una ecuación cuadrática
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c) Ecuaciones que se pueden resolver factoreando
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FUNCIONES
Introducción
Uno de los conceptos matemáticos más útiles es el de función. A estas alturas el
estudiante ya está familiarizado con ellas. El propósito de este capítulo es repasar las
definiciones y características de las funciones matemáticas más elementales y resaltar su
importancia debido a las aplicaciones en las ciencias.
Ejemplos:
1) En la factura de energía eléctrica se prevé el pago de $26 por concepto de impuestos y
$2,50 por cada KWh consumido. ¿Cuánto se debe pagar si se consumen 320KWh?
Esta es una correspondencia entre el consumo de energía eléctrica (en KWh) y el costo
(en $)
2) Ramiro conduce su automóvil a una velocidad constante de 1.000 m/min. ¿Cuál es el
espacio recorrido por el móvil al cabo de 10 minutos?
En este ejemplo se hace corresponder al espacio (en m) recorrido por el móvil con el
tiempo (en min) transcurrido.
3) Un compañía de teléfono posee el número gratuito 0800737842467 que corresponde a
0800SERVICIOS. Otro de sus teléfonos disponibles es 080025436837 que es fácil de
recordar pues corresponde a 0800CLIENTES. ¿Qué número habrá que marcar para
comunicarse con
0800VENTAS? ¿Qué palabra corresponderá a 08002667727?
Esta es una correspondencia entre números y letras.
Objetivos generales
Conceptos previos
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Par ordenado
Se llama par ordenado de números reales a dos números reales dados en un cierto
orden.
Notación: Al par ordenado formado por los números x e y , en ese orden, se lo representa
entre paréntesis: ( x , y )
Se dice que x es la primera componente e y es la segunda componente
Se representan en un sistema de ejes formado por dos rectas perpendiculares. Dichos
ejes reciben el nombre de ejes coordenados Es usual disponer los valores de x en el eje
horizontal y los valores de y en el eje vertical. Al punto de intersección le llamamos origen
de coordenadas.
Cada par ordenado está representado por un punto del plano y recíprocamente, cada
punto del plano tiene coordenadas que se representan por un par ordenado.
Notación:
Los puntos se suelen representar con letras mayúsculas seguidos del par ordenado
formado por sus coordenadas. Ejemplos: A(-1, 2) ; B(3,0)
Para ubicar un punto en el plano conocidas sus coordenadas se deben seguir los
siguientes pasos
1) A partir del origen de coordenadas desplazarse sobre el eje horizontal tantas unidades
como indique la 1o componente (hacia la derecha si es positiva y hacia la izquierda si es
negativa). Este dato es la abscisa del punto. Si su valor es cero significa que el punto
pertenece al eje Y
2) A partir de allí, marcamos hacia arriba (si es positivo) o hacia abajo (si es negativo) el
valor de la 2° componente del par. Este dato es la ordenada del punto. Si su valor es 0
(cero) no desplazarse. Si su valor es cero significa que el punto pertenece al eje X
3) Queda así ubicado el punto A(x,y) en el plano.
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Producto Cartesiano
Sean dos conjuntos A y B. Se define Producto Cartesiano A x B como:
A x B = {( x , y) / x Є A e y Є B }
Esto es, el producto cartesiano AxB está formado por todos los pares ordenados que se
pueden formar de tal modo que la 1° componente pertenece a A y la 2° componente
pertenece a B.
Si los conjuntos son finitos, el resultado de A x B se podrá enumerar, en caso contrario
solo se podrá representar de modo general
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A las correspondencias entre los elementos de dos conjuntos las llamamos Relaciones
Binarias
Dados dos conjuntos A y B se dice que R es una relación entre A y B si es cualquier
subconjunto del producto cartesiano A x B
En símbolos R⊆AXB
Caso particular A = B = ℝ
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En esta oportunidad vamos a recordar el tema de funciones definidas en R.
En los dos primeros ejemplos se vinculan cantidades fijas y cantidades a determinar. A las
primeras llamaremos constantes y a las segundas variables.
A su vez en cada uno de los problemas consideramos dos variables, consumo de energía
y monto a pagar; espacio recorrido y tiempo trascurrido.
En el primer caso observe que el monto a pagar depende de la energía consumida.
Diremos que el monto a pagar es la variable dependiente y el consumo de energía es la
variable independiente.
Del mismo modo es claro que, en el caso del vehículo que se desplaza a una velocidad
constante, el espacio recorrido dependerá del tiempo transcurrido.
La variable dependiente será el espacio recorrido y la variable independiente será el
tiempo transcurrido.
Vemos que en estos problemas podemos responder a las preguntas porque cada valor de
la variable independiente le corresponde un único valor de la variable independiente.
Sin embargo, en el último ejemplo esto no sucede. Si las variables son números y letras
del teclado del teléfono se ve claramente que a cada número le corresponde más de una
letra, por lo que no podemos responder a la segunda de las preguntas.
Analizaremos solo aquellas relaciones que hacen corresponder a cada valor de la variable
independiente con un único valor de la variable dependiente.
Conceptos generales
Definición: Dados dos conjuntos no vacios A y B, se llama FUNCIÓN de A en B a una
correspondencia tal que a cada elemento del conjunto A le asigna un único elemento del
conjunto B.
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Notación:
Es usual designar con “x” a cualquier elemento del conjunto de partida y con “y” a
cualquier elemento del conjunto de llegada. Se dice que “x” es la variable independiente
y que “y” es la variable dependiente
A las funciones se les llama f, g, h, etc y se indica
f : A →B o f : y = f(x)
Esta ultima notación se lee “y es función de x” o “y es imagen de x por medio de f”
Si A y B son subconjuntos de números reales se dice que las funciones son FUNCIONES
ESCALARES o NUMERICAS
En diagramas de Venn, la identificación de las funciones es sencilla
El caso a) no es función pues se observa que hay un elemento de A a quien le
corresponde dos elementos de B. Pero los casos b) y c) si lo son pues cumplen la
definición Dominio y Rango de una función:
Sea y = f(x) una función
Llamamos Dominio de f (Dom f) al conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente
Llamamos Rango de f (Rgo f) al conjunto de valores que puede tomar la variable
dependiente
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En cuanto a las funciones expresadas por fórmulas se distinguen dos formas:
Forma explicita
Se dice que una función está en su forma explícita cuando las variables x e y, están
relacionadas por una ecuación de la forma: y = f(x).
Ejemplo: y = 2x
Forma implícita
Se dice que una función está en su forma implícita cuando las variables x e y, están
relacionadas por una ecuación de la forma F(x, y) = 0
Ejemplo: 3x + y - 5 = 0
En cuantos a las funciones expresadas en notación de conjuntos se distinguen dos
formas:
Por enumeración o extensión:
Cuando se enumeran todos los pares de valores relacionados por medio de la función
Ejemplo: f {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)}
Por propiedad o comprensión:
Cuando se indica mediante una formula la propiedad que cumplen los pares (x,y)
Ejemplo: f {(x, y)/ y = 2x}
En cuantos a las funciones dadas por tablas
Estas son prácticas si son pocos los datos; de lo contrario serian tablas muy grandes y
difíciles de manejar a menos que se disponga de un programa informático para graficar.
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Respecto de las formas gráficas
Se pueden representar por medio de Diagramas de Venn y Gráficos cartesianos
La grafica en diagramas de Venn sería posible pues son pocos los valores, de lo contrario
no es una representación práctica
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Si toda recta vertical corta a la grafica de una relación en uno y solo un punto, entonces la
relación es función.
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En distintas circunstancias se hace necesario conocer la intersección de la grafica de f con
los ejes coordenados.
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Intersección con el eje de las abscisas: Ceros de la función
Son los puntos de la forma P(x; 0) de la grafica. Pueden o no existir. A los valores de x que
satisfacen esta condición se les llama ceros de la función
Entonces surge la siguiente definición:
x = a es un cero de f si y solo si f(a) = 0
Intersección con el eje de las ordenadas: f(0)
Es el punto Q(0 ; y) de la grafica. Puede o no existir. Al valor de y que satisface esta
condición se le llama f(0) (se lee f de cero.
Se dice que la función y=f(x) es creciente en el intervalo (a, b) si se cumple que:
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Se dice que una función y= f(x) es decreciente en el intervalo (a, b) si se cumple que:
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Se dice que la función f alcanza un máximo absoluto en el punto a del dominio si para
todo x perteneciente al mismo, x ≠ a, la imagen de x es menor que la de a.
Simbólicamente escribimos:
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En el curso de nivelación para ingresar a la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad
Regional Tucumán, consideramos pertinente repasar en particular a las siguientes:
 Funciones Algebraicas Racionales Enteras (o polinomiales)
 Función constante
 Función lineal
 Función cuadrática
 Funciones definidas por tramos
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- Se observa que si x = 0, entonces y = b. Por lo tanto la grafica pasa por el punto (0,b) .
Se deduce que b es la ordenada del punto donde la recta corta el eje Y, por ello el nombre
de ordenada al origen
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- Observando la siguiente tabla de valores se deduce que cada vez que a “x” se le
aumenta una unidad, “y” varia m unidades. Esto es, m representa la variación (aumento o
disminución) de la variable dependiente por cada unidad que aumenta la variable
independiente. A m se le llama pendiente, dado que está relacionada con la inclinación de
la recta.
Al único cero de la función lineal, se le llama abscisa al origen y se le representa con la
letra a .Se deduce que a es la abscisa del punto (a,0).
La recta, representación grafica de la función lineal, se puede obtener mediante dos
procedimientos:
i) Conociendo P1 y P2, puntos de paso: Dado que por dos puntos pasa una única recta, se
puede obtener las coordenadas de dos puntos de paso y con ellos trazar la recta
ii) Conociendo b y m: Dado que la ordenada al origen informa sobre un punto de paso y la
pendiente informa sobre la variación de y, se puede trazar la recta
Conociendo dos puntos de paso
Ejemplo:
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Conociendo la ordenada al origen y la pendiente
Ejemplos:
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Importancia de la pendiente
Las siguientes rectas tienen la misma ordenada al origen pero distintas pendientes.
Sus graficas se presentan en el mismo sistema de ejes coordenados
Se observa que:
 Todas pasan por el punto (3 , 0 ) pues poseen la misma ordenada al origen
 Las rectas de pendientes positivas representan a funciones crecientes.
 Las rectas de pendientes negativas representan a funciones decrecientes.
 Cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente mayor es la velocidad con la que
la función crece o decrece, según corresponda.
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La representación grafica de este cálculo es
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Ejemplo:
Ejemplo
Decir si las siguientes ecuaciones corresponden a rectas paralelas, coincidentes o
perpendiculares. Justifique.
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Respuesta:
Para ello expresamos las ecuaciones en forma explicitas para determinar la pendiente y la
ordenada al origen
Cuando se estudio el tema Sistema de Ecuaciones se realizo la resolución analítica del
mismo. En esa oportunidad se aplicaron distintos métodos para determinar la solución,
pero se dijo que había también una forma de resolución llamada “método grafico”.
Todo sistema de ecuaciones lineales está formado por las ecuaciones de dos funciones
lineales, que expresados en forma implícita seria:
Cada una de las funciones lineales tiene por representación grafica una recta. Entonces de
acuerdo al valor de los parámetros m y b, puede analizarse si las rectas se interceptan o
no, esto es, si el sistema es compatible o incompatible y, en el caso de compatibilidad, si
es determinado o indeterminado
Los casos que pueden presentarse son:
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Para resolver gráficamente un sistema se debe analizar los valores de m y b y graficar.
A veces se encuentra la solución en forma grafica fácilmente pero otras veces solo se
puede llegar a valores aproximados.
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APLICACIONES
1) Una empresa dedicada al alquiler de automóviles quiere encontrar una función que les
permita saber el precio del alquiler de los vehículos de acuerdo a los km recorridos. Cobra
$50 por el contrato del servicio y $2,50 por cada km recorrido.
a) .Cuales son las variables intervinientes? .Que tipo de función es? Que formula deberán
programar?
b) .Cuanto deberá pagar un cliente que hace un viaje desde San Miguel de
Tucumán a San Pedro de Colalao? (distante aproximadamente 100km)
c) .Cuantos km puede recorrer un cliente que dispone de $275?
d) Realice la representación grafica
2) Un auto parte de San Miguel de Tucumán hacia Tartagal por la ruta 9 a una velocidad
constante de 95 km/h. En ese mismo instante, otro auto que se encuentra en El Cadillal, a
20 km de San Miguel de Tucumán, parte también por ruta 9 hacia Tartagal de modo tal
que a 1 h se encuentra a 110km de San Miguel de Tucumán.
171
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a) Determinar gráficamente si se encuentran los autos en algún momento.
b) .Cuando se encuentran?
c) .A qué distancia de San Miguel de Tucumán es el encuentro?
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Las pendientes de las rectas son distintas por lo tanto se trata de un sistema compatible
determinado, hay solución única. Esto nos indica que los vehículos se encuentran. El
punto de encuentro se puede observar en la siguiente grafica
Los móviles se encuentran a 380 km de S.M.T y a las 4 hs de haber partido
Las características de dichas funciones son las siguientes:

Dominio: R
En situaciones problemáticas a veces el dominio se acota para que tenga sentido la
función (por ejemplo si la variable es tiempo o espacio, no deben considerarse valores
negativos de la misma)

Representación gráfica: la grafica de la función cuadrática es una curva llamada
parábola de eje vertical. Las particularidades de dicha grafica se muestran en el
siguiente figura
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Se observa que:
- Las tres graficas son simétricas respecto del eje Y, pues a pares de valores opuestos de
x le corresponde el mismo valor de y.
- Además el mínimo valor que toma la función es y = 0, por lo que el Rango es [0,∞}.
- Además el origen de coordenadas ( 0 , 0 ) es el punto por donde pasa el eje de simetría y
es el punto más bajo de la curva, por ello es el vértice de la parábola.
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Se observa que:
- Las curvas siguen siendo simétricas respecto del eje Y, pero ahora se abren hacia abajo.
Esto tiene que ver con el signo de a, dado que independientemente del valor que tome x,
siempre ax2 será negativo cuando a < 0.
- El rango es (∞, o]
- La función toma su mayor valor en el origen de coordenadas, por ello el vértice de la
parábola es (0, 0 )
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Se observa que las presencia de los parámetros b y c no nulos provoco
- Desplazamiento del eje de simetría quien es ahora una recta paralela al eje Y
- El vértice no está sobre el eje Y
- De nuevo se observa la influencia del parámetro a:
Si a >0, la parábola es cóncava hacia arriba
Si a <0, la parábola es cóncava hacia abajo
- Las parábolas interceptan al eje Y en el punto (0, c), por ello se dice que c es la ordenada
al origen
- La determinación del vértice no es evidente y el rango no se puede deducir si antes no
encontramos las coordenadas del vértice
A continuación explicaremos un método para encontrar el vértice de la parábola
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Se puede pasar de una forma a la otra por manipulaciones algebraicas
El mecanismo que nos permite pasar de la forma explícita a la forma canoníca se llama
procedimiento de completar cuadrados. Se deben realizar los siguientes pasos
1°) Se asocian los coeficientes cuadráticos y lineal en x
2°) El coeficiente del término cuadrático debe ser 1, entonces se debe extraer factor
común si es necesario
3°) Dentro del paréntesis sumamos y restamos un término convenientemente para que se
forme un trinomio cuadrado perfecto. Dicho término se calcula como la mitad del
coeficiente lineal elevado al cuadrado
Entonces queda:
4°) Los tres primeros términos del paréntesis forman un trinomio cuadrado perfecto
5°) Entonces se puede expresar como
6°) Una vez conseguida la forma canónica se lee de la expresión cuales son las
coordenadas del vértice, se puede graficar la parábola y escribir el rango de la función
cuadrática.
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Son funciones definidas por dos o más ecuaciones, una para cada tramo del dominio.
A pesar que no se puede generalizar sobre ellas, son de mucha aplicación en situaciones
reales
Ejemplos:
Dadas las siguientes funciones, se pide: dominio, intersección con los ejes coordenados,
grafica y rango.
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El rango es R
a) .que variables se relacionan? .qué tipo de función determinan?
b) .cual es la variable independiente?, .cual es la variable dependiente?
c) Dar dominio y graficar.
d) Dar rango
e) Cual es a la altura máxima que alcanza? En qué momento?
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Respuestas:
a) Las variables son: distancia y tiempo
b) La variable independiente es el tiempo y la variable dependiente es la distancia
c) El dominio estará dados por los valores de t en el que el objeto estuvo en el aire; es
decir desde que el objeto es arrojado (e=0) hasta que cae nuevamente al suelo (e=0). Por
lo tanto debemos calcular los ceros de la función dada.
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Matematica
Área de Carreras Cortas y Licenciaturas
3) La Dirección General Impositiva (DGI) decide implementar la siguiente reglamentación.
“Todas las personas que ganen menos de $5000 mensuales deben pagar, en conceptos
de impuestos, un 18% de lo que ganan por encima de los $2000”
a) .Cual es la función que caracteriza los impuestos que hay que pagar en función del
salario percibido? Representación grafica
b) .cuanto debe pagar una persona que gana $3000?
c) .Cuanto gana una persona que paga de impuesto un valor de $504?
Respuestas:
a) Sea x: salario de la persona e y: impuestos a pagar. Es claro que y es función de x y
que el impuesto es un porcentaje sobre la parte del salario que supera los $2000.
Entonces la expresión que representa a y en función de x es:
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Matematica
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BIBLIOGRAFIA
SISTEMA DE INGRESO A LA UNIVERSIDAD – UTN – TUCUMAN - 2007
MATEMATICA PARA INGRESANTES – UTN – TUCUMAN - 2009
DIRECCION DE ACCESO A LA UNVIERSIDAD – UTN – SANTA FÉ - 1998
MATEMATICA ELEMENTAL DESDE LA UNVIERSIDAD –UNT–FACET 2009
MATEMATICA 1 – 2 – 3 – Editorial Santillana Secundaria
MATEMATICA 7 – 8 – 9 – Editorial Santillana
MATEMÁTICAS EN CONTEXTO - Grupo Editorial Iberoamerica
MATEMÁTICA – BACHILLERATO 2 – Miguel de Guzman
MATEMÁTICA 7 – 8 – 9 EGB (3º ciclo) Editorial A – Z
EL LIBRO DE LA MATEMÁTICA 7 – EGB – Editorial Estrada
CARPETA DE MATEMATICA – Ed. Aique – Garaventa – Legorburu – Rodas - Turano
TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA CON APLICACIONES- Barnett- Raymond
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – Baldor
MATEMÁTICA APLICADA PARA ESTUDIANTES DE ARQUITECTURA E INGENIERÍA
Gonzalez-Juarez.
MATEMATICA – POLIMODAL – Edit Longseller – Altman – Comparatore - Kurzrok
www.virtual.unal.edu.com
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