3. Ecuaciones

Modalidad virtual
Matemática
1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS, FÓRMULAS, ECUACIONES
En matemática es habitual trabajar con relaciones numéricas en las que una o más cantidades son
desconocidas. Estas cantidades se denominan incógnitas o variables y se representan por letras.
Son expresiones algebraicas:
2x –3
Aquellas expresiones en las que intervienen
números y letras,
vinculadas mediante
operaciones
aritméticas
se
denominan
expresiones algebraicas.
2
m –2m
2
x+y =5
Al traducir un cierto enunciado al lenguaje simbólico se obtienen expresiones algebraicas
Ejemplos
Lenguaje coloquial
Lenguaje simbólico
La suma entre un número natural y su consecutivo
n + (n +1)
15
x
x
100
El precio de un artículo aumentado en un 15%
2
(a – b) = 16
El cuadrado de la diferencia entre a y b es 16
Con las expresiones algebraicas se pueden realizar las mismas operaciones que con los números reales,
lo que hace posible reducirlas a expresiones más sencillas.
•
Se opera con las expresiones algebraicas de la
misma forma que con los números reales.
•
Las operaciones con expresiones algebraicas
tienen las mismas propiedades que las
operaciones con los números reales.
Ejemplos.
•
•
•
•
(4m + 3m)2 = 8m + 6m
2
2
2
2x + x –4x = 2x – 3x
ab + ac = a(b + c)
2
4
2s . s . (-3s) = -6 s
Las expresiones algebraicas aparecen en las fórmulas que se usan, por ejemplo, en Geometría. Una
fórmula es una igualdad algebraica en que dos expresiones representan el mismo número.
En la fórmula que expresa el área de un rectángulo,
A = b . h, el símbolo “A” representa el área lo
mismo que la expresión b . h, pero aquí el área se
expresa en términos de la base (b) y la altura (h) del
rectángulo.
A=b.h
A = 2. 3
A=6
h=2
Ambos miembros de la igualdad quedan
perfectamente determinados al conocer los valores
de b y de h.
1
b=3
Elizondo, Giuggiolini; Módulo 2, Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones, UBA XXI, Articulación, 2007
Elizondo, S. Elementos de Matemática y Estadística, TAGU, UBA, 2009
UBA XXI – MÁTEMATICA - Números reales
1
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Matemática
Otras igualdades algebraicas involucran números indeterminados.
Por ejemplo:
3(x –1) = 6 sólo se verifica para x = 2.
Mientras que:
(a + b) (a - b) = a2 – b 2 se verifica para cualquier número real a y b.
Definición: El conjunto de valores de las variables para los cuales ambos miembros de una igualdad
algebraica tiene sentido se denomina dominio de definición.
Por ejemplo, el dominio de definición de
3
2x

3
x 2
x- 3
es el conjunto de los números reales distintos de 2 y de 3 ya que para los números 2 y 3 se anula uno de
los denominadores y por lo tanto resultaría una división por cero que no es admisible.
Cuando una igualdad algebraica es cierta para
algunos valores en su dominio de definición se dice
que es una ecuación.
Cuando una igualdad algebraica es cierta para
todos los valores en su dominio de definición se
dice que es una identidad.
Ecuaciones con una incógnita

Una ecuación es una igualdad que contiene uno o más números desconocidos llamados
incógnitas.

En este apartado trataremos ecuaciones con una sola incógnita. Habitualmente a la
incógnita la denominamos “x”
Son ejemplos de ecuaciones:
3x + 2 = 4x – 1
2
x – 3x – 10 = 0
|x – 3| = – 2
Cada valor de la variable que al sustituirlo en la ecuación, hace que la misma
se transforme en una igualdad numérica se denomina solución de la
ecuación dada. Decimos que tal valor satisface o verifica la ecuación.
Por ejemplo, 3 es solución de 3x + 2 = 4x – 1 ya que al sustituir por 2 en la
ecuación obtenemos:
3. 3 + 2 = 4. 3 – 1
9 + 2 = 12 – 1
11 = 11
que es una igualdad numérica.
2
Y, de la misma manera -2 y 5 son soluciones de la ecuación x – 3x -10 = 0
ya que al sustituirlos en la ecuación dada se obtiene;
2
(– 2) – 3 . (– 2) – 10 = 4 + 6 – 10 = 0
2
5 – 3 . 5 – 10 = 25 – 15– 10 = 0
2
Mientras que no existe ningún número real que verifique la ecuación x = – 2
ya que el cuadrado de un número real es siempre mayor o igual que cero.
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Una ecuación



puede tener una solución,
puede no tener solución,
pero también puede ser que tenga varias.
Para encontrar las soluciones de una ecuación, realizamos operaciones que
permiten ir transformando la ecuación dada en otras equivalentes.
Mediante estas operaciones intentamos aislar la incógnita (“despejar”) en
uno de los miembros. En estos casos utilizamos propiedades de la suma y
multiplicación de números reales.
Pero también puede suceder que necesitemos de otros procedimientos que
nos permitan hallar la solución de la ecuación.
En este texto, trabajaremos ecuaciones lineales o que se reducen a ellas.
Ecuaciones de la forma
a. x = b

x es la incógnita,

a y b son números reales y a 0

a se llama coeficiente y - b término independiente.
Se denominan de primer grado (o ecuaciones lineales) porque la incógnita
sólo aparece elevada a la potencia 1.
Para recordar

Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita (o
incógnitas) que hace verdadera la igualdad. A estos valores se los
llama solución de la ecuación.

Cuando un número es solución de una ecuación suele decirse que
“satisface” o “verifica” la ecuación.

Resolver una ecuación significa hallar todas las soluciones si las
tiene o demostrar que no las tiene.
Revisaremos mediante ejemplos, cómo resolver ecuaciones lineales de primer
grado con una incógnita.
Ejemplos
Ejemplo 1. Resolver la ecuación -2x + 5 = -3
Solución
-2x + 5 = -3
-2x + 5 – 5 = - 3 – 5
-2x = - 8
x = (-8) : (-2)
x= 4
Sumando miembro a miembro –5
Realizando operaciones
Dividiendo miembro a miembro por –2
Realizando operaciones.
Debemos asegurarnos que x = 4 es solución de la ecuación -2x + 5 = -3.
Para ello, reemplazamos el valor de x que encontramos en la ecuación:
–2. 4 + 5 = -8 + 5 = -3
Como vemos que se cumple la igualdad, podemos afirmar que x = 4 es solución
de la ecuación dada.
Escribimos el conjunto solución de esta manera: S = {4}
UBA XXI – MÁTEMATICA - Ecuaciones
3
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Matemática
Observar que:
•
Cada paso que se realiza para resolver una ecuación la transforma en otra
más simple. Se forman así ecuaciones equivalentes la última de las cuales
es la solución.
•
Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones que
tienen exactamente las mismas soluciones.
•
Para transformar una ecuación dada en otra equivalente se puede:
o Sumar o restar la misma expresión en ambos lados de la ecuación.
o Multiplicar o dividir ambos miembros de la ecuación por un número
distinto de cero
Ejemplo 2. Resolver 3(x – 1) = -x + 1
Solución.
3(x – 1) = -x + 1
3x – 3 = -x + 1
3x – 3 + 3 = - x + 1 + 3
3x = -x + 4
3x + x = -x + 4 +x
4x = 4
x=4:4
Distribuyendo en el primer miembro.
Sumando miembro a miembro 3
Resolviendo operaciones
Sumando miembro a miembro x
Resolviendo operaciones
Dividiendo miembro a miembro por 4.
x=1
Para asegurarnos que x = 1 es solución de la ecuación 3(x – 1) = -x + 1
reemplazamos:
3(1- 1) = -1 + 1  3. 0 = 0  0 = 0
Podemos afirmar que la solución es x = 1 pues al reemplazar en la ecuación
dada se verifica la igualdad:
Escribimos el conjunto solución de esta manera:
S = {1}
Ejemplo 3. Hallar el conjunto de soluciones de
x 1 x
 x  x - 1
2 3 2
Solución
x 1 x
 x  x - 1
2 3  2
x x x
   x 1
2 3 6
3 x 2 x x
x - 1
6
4x
x - 1
6
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Se resuelve el paréntesis y se lo elimina.
Se reduce a común denominador.
Resolviendo la suma
4
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4x

6 ( x 1) 6
6
4x = 6x – 6
4x – 6x = 6x – 6 – 6x
-2x = -6
Multiplicando miembro a miembro por 6.
Resolviendo las operaciones
Sumando miembro a miembro 6x
Resolviendo las operaciones
-2x : -2 = -6 : -2
Dividiendo por –2
x=3
Debemos asegurarnos que x = 3 es solución. Reemplazamos en la ecuación dada.
1 3
 
3  3 - 1
2 3 2
3
3
1
1  2
2
2
1 1 2
Luego es: S = {3}
Ejemplo 4. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 4x – 1 = -2( 1 –2x)
b) 3x – 2 = 2(x - 1) + x
Solución a)
4x – 1 = -2( 1 –2x)
4x – 1 = -2 + 4x
4x – 1 – 4x = -2 + 4x – 4x
-1 = -2
Distribuyendo.
Sumando el opuesto de 4x.
Resolviendo las operaciones.
Al resolver las operaciones se llega a un absurdo. Así se concluye que la ecuación
planteada no tiene solución
Se dice que el conjunto solución es vacío y se escribe S = 
Solución b)
3x – 2 = 2(x -1) +x
3x –2 = 2x -2 + x
3x –2 = 3x -2
3x – 3x = -2 + 2
Distribuyendo
Asociando y resolviendo las operaciones.
Agrupando los términos en x en un
miembro y los números en el otro
0=0
En este caso, al resolver las operaciones se llega a una igualdad.
Esto significa que la ecuación planteada se verifica para cualquier número real.
Esto es, tiene infinitas soluciones.
Por ejemplo x = 1 satisface la ecuación, pues al reemplazar en la ecuación dada es:
3.1 –2 = 2 (1 – 1) +1  1 = 0 + 1 = 1
Y también x = 0 satisface la ecuación, pues
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3.0 – 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2.(-1) = -2
El conjunto solución es el de los números reales.
Lo expresamos: S = 
Revisando los resultados de cada una de las ecuaciones planteadas, se observa
que una ecuación lineal de primer grado con una incógnita puede:
 tener una solución,
 no tener solución,
 tener infinitas soluciones.
Ecuaciones y
resolución de
problemas
En muchas ocasiones para resolver situaciones problemáticas enunciadas en
lenguaje corriente o coloquial es necesario traducir las condiciones del problema a un
lenguaje simbólico apropiado para su resolución. Es decir, plantear una ecuación que
exprese en símbolos matemáticos una condición planteada con palabras. Para ello
es necesario tener en cuenta los siguientes pasos.
•
•
•
•
•
•
Leer comprensivamente el enunciado.
Identificar la(s) incógnita(s)
Traducir al lenguaje simbólico
Expresar mediante una ecuación las condiciones que deben cumplir las
incógnitas.
Resolver la ecuación.
Analizar si la solución hallada responde a las condiciones del problema.
Ejemplo 1.
Si a un número se lo multiplica por 8 el resultado es el mismo número aumentado en
21. Encontrar dicho número.
Solución.
•
La incógnita es un número real
•
Traducir al lenguaje simbólico:
x
o
a un número se lo multiplica por 8

8. x
o
el mismo número aumentado en 21

x + 21

8x = x + 21
•
Expresión de la ecuación
•
Resolución de la ecuación:
8x – x = 21
Restando miembro a miembro x.
7x = 21
x=3
•

Resolviendo la resta
Dividiendo miembro a miembro
por 7
Verificar si la solución planteada responde a las condiciones del problema.
8. 3 = 24 = 3 + 21
Como se cumplen las condiciones, el número buscado es x = 3.
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Ejemplo 2.
La suma de dos números naturales consecutivos es igual al triple del primero más
dos. ¿Cuáles son estos números?
Solución
•
Las incógnitas son dos números naturales consecutivos  n y n +1
•
Traducimos al lenguaje simbólico:
o
La suma de esos números
 n + (n +1)
o
El triple del primero más dos
 3n + 2
•
Planteamos la ecuación
•
Resolvemos
 n + (n +1) = 3n + 2 (*)
Sumando los términos en n del primer miembro de la igualdad es:
2n + 1 = 3n + 2
Agrupando los términos en n en el primer miembro y los números en otro:
2n – 3n = 2 – 1
-n = 1
dividiendo miembro a miembro por –1 (ya que – n = (1) .n): n = -1
•
Analizamos la solución hallada.
Si bien el valor de n hallado resuelve la ecuación planteada en (*) no
resuelve el problema ya que el número buscado es un número natural y –1
no lo es.
Luego el problema no tiene solución.
Ejemplo 3.
De su viaje de turismo aventura, Miguel cuenta que la mitad de los días anduvo por
tierra. Después de descansar 3 días reinició la travesía en un bote, allí empleó la
quinta parte del tiempo total. Esta vez necesitó descansar 4 días para emprender el
ascenso a una montaña que sólo le llevó la octava parte del tiempo total ¿Cuántos
días duró el viaje?
Solución
Llamando d a la cantidad de días que duró el viaje, planteamos:
d
d
d
3  4 
d
2
5
8
donde:
d
•
3 es la cantidad de días que anduvo por tierra y lo que descansó;
2
d
•
4 es la cantidad de días que usó en la travesía en bote y lo que
5
descansó.
d
•
cantidad de días que le llevó el ascenso a la montaña.
8
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Al agrupar los términos en d en un miembro de la ecuación y los números en otro,
resulta
d d d
  - d - 4 - 3
2 5 8
Reduciendo a común denominador
20d 8d 5 d 40 d
40
7
Operando y multiplicando miembro a miembro por 40:
20d + 8d + 5d –40d = -7 . 40
-7d = -280
Dividiendo miembro a miembro por –7 y operando
d = 40.
Entonces el viaje duró 40 días.
Comprobación
40
40
40
3  4  20 3 8 4 5 40 d
2
5
8
Ejemplo 4.
Resolver en  dando las condiciones de posibilidad.
2
1
3


x 1 x 1
2x - 2
Solución
Los denominadores contienen expresiones racionales. Se anulan para x = -1 y
x = 1.
Luego la igualdad anterior está definida para x 1 y x -1.
Para resolver consideramos el denominador común que es 2 (x-1) (x+1). La
expresión dada resulta:
2 ( x 1) 
2 2 (x - 1)
3 (x 1)

2
(x - 1) (x 1)
2
(x - 1) (x 1)
Cancelando denominadores, ya que son distintos de cero, y operando es:
4x + 4 + 2x – 2 = 3x + 3
6x + 2 = 3x + 3
6x – 3x = 3 - 2
3x = 1
1
que podemos pensar que es solución ya que cumple la
3
condición de ser distinto de 1 y –1.
De donde x 
Verifique que lo es.
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