Subido por MORALES CEREZO PAULINA DIXIA MACARENA

Capitulo 0 Tecnicas de Conteo

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No siempre es fácil escribir por extensión un espacio muestral
numerable (discreto), ya que en algunos casos 𝑁 es demasiado grande.
El uso correcto de las técnicas de conteo, permiten aplicar la regla de
Laplace sin tener la necesidad de describir el espacio muestral.
Técnicas de Conteo
Principio Básico Multiplicativo
Si un evento 𝐴 puede presentarse de 𝑚 formas distintas y si
cuando esto ha ocurrido, otro evento 𝐵 puede presentarse
de 𝑛 formas distintas, entonces el número de formas en que
ambos eventos pueden presentarse a la vez es 𝑚 × 𝑛.
Ejemplo: Un propietario de una casa desea efectuar algunas
remodelaciones y requiere los servicios de un gasfiter y de un
electricista. Si conoce a 12 gasfiters y a 9 electricistas, ¿de
cuantas formas los puede seleccionar?
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Principio Básico Aditivo
Si 𝐴 y 𝐵 son eventos tales que:
 𝐴 puede efectuarse de 𝑚 maneras diferentes.
 𝐵 puede efectuarse de 𝑛 maneras diferentes.
 𝐴 y 𝐵 no pueden efectuarse simultáneamente.
Entonces 𝐴 o 𝐵 puede realizarse de 𝑚 + 𝑛 maneras diferentes.
Ejemplo: Supongamos que proyectamos un viaje y debemos decidir
si el transporte será un bus o un tren. Si hay tres rutas distintas
para el bus y dos para el tren, ¿cuántas rutas disponibles hay para el
viaje?
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Principio General Multiplicativo
Si un evento 𝐴1 puede presentarse de 𝑛1 formas distintas y
por cada una de estas formas existen 𝑛2 formas de que el
evento 𝐴2 se presente, y por cada una de estas formas
existen 𝑛3 formas de que se presente el evento 𝐴3 y así
sucesivamente hasta el evento 𝐴𝑘 , entonces el número de
formas en que los k eventos pueden presentarse a la vez es:
𝑘
𝑛1 × 𝑛2 × 𝑛3 × … × 𝑛𝑘 =
𝑛𝑖
𝑖=1
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Ejemplo
Una familia se ha cambiado a una nueva ciudad y
requiere los servicios médicos de un ginecólogo, un
pediatra y un cirujano. Hay dos clínicas médicas
accesibles, cada una con dos ginecólogos, tres pediatras
y dos cirujanos. La familia obtendrá un mejor plan de
salud si todos médicos pertenecen a la misma clínica.
¿Cuántas opciones tiene la familia de satisfacer sus
requerimientos si desea obtener un mejorado plan de
salud?
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Cirujano 1
Pediatra 1
Cirujano 2
Cirujano 1
Diagrama
de Árbol
Ginecólogo 1
Pediatra 2
Cirujano 2
Cirujano 1
Pediatra 3
Cirujano 2
Clínica 1
Cirujano 1
Pediatra 1
Cirujano 2
Cirujano 1
Ginecólogo 2
Pediatra 2
Cirujano 2
Cirujano 1
Pediatra 3
Cirujano 2
Cirujano 1
Pediatra 1
Cirujano 2
Cirujano 1
Ginecólogo 1
Pediatra 2
Cirujano 2
Cirujano 1
Pediatra 3
Cirujano 2
Clínica 2
Cirujano 1
Pediatra 1
Cirujano 2
Cirujano 1
Ginecólogo 2
Pediatra 2
Cirujano 2
Cirujano 1
Pediatra 3
Cirujano 2
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Principio General Aditivo
Si un evento 𝐴1 puede presentarse de 𝑛1 formas distintas, el
evento 𝐴2 de 𝑛2 formas distintas, y así sucesivamente hasta
el evento 𝐴𝑘 , el que puede presentarse de 𝑛𝑘 formas
distintas, y además estos eventos son mutuamente
excluyentes, entonces el número de formas en que se puede
presentar 𝐴1 o 𝐴2 o … o 𝐴𝑘 es:
𝑘
𝑛1 + 𝑛2 + … + 𝑛𝑘 =
𝑛𝑖
𝑖=1
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Ejemplo
Una persona desea comprar una lavadora, para lo cuál ha
pensado que puede seleccionar de entre las marcas
Whirpool, Easy y General Electric. Cuando acude a hacer la
compra se encuentra que la lavadora Whirpool se presenta
en dos tipos de carga (8 ó 11 kg.), en cuatro colores
diferentes y puede ser automática o semiautomática,
mientras que la lavadora Easy, se presenta en tres tipos de
carga (8, 11 ó 15 kg.), en dos colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática y la lavadora GE, se presenta
en sólo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores
diferentes y sólo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras
tiene esta persona de comprar una lavadora?
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Introducción al
análisis combinatorio
Consideremos el experimento consistente en la extracción de 𝑛
bolitas, una a una, desde una urna que contiene 𝑀 bolitas. En este
caso, diremos que hemos extraído una muestra ordenada de
tamaño 𝑛. Debemos especificar primeramente si al extraer la
muestra se devuelven o no las bolitas a la urna.
 Se dice que la muestra se hizo con reemplazo si después de cada
extracción se registra el número de la bolita y se devuelve a la
urna.
 Se dice que la muestra se obtuvo sin reemplazo si la bola
extraída no se devuelve a la urna.
Vale la pena notar que si la muestra se obtiene sin reemplazo es
claro que 𝑛 debe ser menor o igual a 𝑀. Y si la muestra es con
reemplazo no hay restricciones para 𝑛.
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Introducción al
análisis combinatorio
¿Cuántos elementos tendrá el espacio de todas las
muestras de tamaño 𝑛 sin reemplazo?
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Introducción al
análisis combinatorio
¿Cuántos elementos tendrá el espacio de todas las
muestras de tamaño 𝑛 con reemplazo?
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Análisis Combinatorio
Primeramente, definiremos ciertos criterios, los cuales
nos permitirán discernir el tipo de modelo apropiado
para el resolver el problema bajo estudio.
Para relacionar y comprender con mayor rapidez las
definiciones utilizaremos un ejemplo: Si tenemos un
mazo de 52 cartas, y un jugador recibe 5 cartas de ese
mazo, nos puede interesar cuántas manos distintas
podría recibir. Es decir cuántas "combinaciones" se
pueden formar con 5 cartas tomadas de entre 52.
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Análisis Combinatorio
 Las cantidades: Es necesario determinar cuántos
elementos hay en total, y cuántos vamos a tomar. En el
ejemplo anterior, tomamos 5 elementos de 52.
 La naturaleza: Hay que determinar si estamos tomando
todos los elementos disponibles, o sólo algunos de ellos.
Por ejemplo, tomando 5 cartas entre 52, importará cuáles
tomamos (es decir, importa la naturaleza de la selección).
En cambio, si solamente nos interesa de cuántas formas
podemos ordenar 5 libros, no nos interesa la naturaleza,
porque no tenemos que elegir determinados libros sino
que vamos a estar trabajando con los 5 al mismo tiempo.
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Análisis Combinatorio
 El orden: Debemos determinar si nos interesa o no nos interesa
el orden en que tomamos los elementos. Por ejemplo, si nos
importa el orden, tirar un dado y sacar un 5 y luego un 3, no es lo
mismo que sacar un 3 y luego un 5. Serían dos resultados
distintos. En cambio si no nos importa el orden, sacar un 5 y
luego un 3 ó un 3 y luego un 5 es lo mismo, y los dos casos
constituirán un único resultado.
 La repetición: Se refiere a la posibilidad de elegir más de una vez
el mismo elemento. Por ejemplo, si en una caja hay una bolita
blanca, una negra, y una violeta, y vamos a sacar dos, si lo
hacemos con reposición entonces habrá repetición, porque es
posible sacar dos veces la misma bolita.
14
Ejemplo
Me gané un viaje al caribe para mí y 2 amigos.
Pero tengo 5 amigos, así que voy a tener que
elegir a 2. Si voy a calcular cuántas decisiones
distintas podría tomar, ¿cuáles son los factores
involucrados?
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Ejemplo
Me gané un viaje al caribe para mí y 2 amigos. Pero tengo 5 amigos,
así que voy a tener que elegir a 2. Si voy a calcular cuántas
decisiones distintas podría tomar, ¿cuáles son los factores
involucrados?
 Las cantidades: Vamos a elegir 2 elementos de un total de 5.
 La naturaleza: Notamos que los 5 elementos son todos distinguibles entre
sí. Invitar a Juan no es lo mismo que invitar a Pedro. O sea, como no puedo
elegir a todos, importa a cuáles elijo.
 El orden: En este caso el orden en que escoja los 2 elementos no importa.
Invitar a Martín y a Nicolás es lo mismo que invitar a Nicolás y a Martín.
 Repetición: Es ilógico pensar en que se puede elegir dos veces al mismo
amigo. Deben ser dos personas distintas.
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Ejemplo
Una habitación tiene 4 paredes, y tengo 4 colores
distintos para pintarlas. No voy a mezclar colores, y voy
a pintar cada pared de un color distinto. Si voy a calcular
de cuántas formas distintas puedo pintar la habitación,
¿cuáles son los factores involucrados?
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Ejemplo
Una habitación tiene 4 paredes, y tengo 4 colores distintos para pintarlas. No voy a
mezclar colores, y voy a pintar cada pared de un color distinto. Si voy a calcular de cuántas
formas distintas puedo pintar la habitación, ¿cuáles son los factores involucrados?
 Las cantidades: Usaremos 4 colores de un total de 4. Es decir, todos los elementos
posibles.
 La naturaleza: Los 4 elementos son todos distinguibles entre sí. Usaremos todos los
elementos, lo cual implica que no es importante "cuáles elementos" elijo.
 Orden: Observemos que si no importa cuáles elementos elegimos, lo único que va a
importar es el orden en que los elijamos. Elegir el rojo para la primera pared y el verde
para la segunda no es lo mismo que elegir el verde para la primera pared y el rojo para
la segunda. ¡Ojo!
 Repetición: No es posible elegir dos veces el mismo color. No hay repetición.
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Modelamiento de Problemas
Modelos Simples o
Sin Reposición
Modelos
Compuestos
Permutación Simple
Variación con Repetición
Variación Simple
Combinación Simple
Permutación Circular
Combinación con
Repetición
Permutación con
Repetición
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Permutación Simple
Se tienen 𝑛 elementos, y se desea ver de cuántas
formas se los puede ordenar. Es decir, los elementos
son siempre los mismos, y cada forma posible sólo
difiere de las demás en el orden en que se toman los
elementos. Además no interesa la naturaleza, es decir,
cuales se eligen, ya que siempre se elegirán todos.
𝑃𝑛 = 𝑛!
donde 𝑛 es la cantidad de elementos a ordenar
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Ejemplos
1.
Suponga que a un cartero al final del día le quedan
aún por repartir 5 cartas (a 5 direcciones distintas).
¿De cuántas maneras puede repartirlas?
2. Pedro tiene 6 libros y desea leerlos (de a uno a la
vez). ¿Cuántas opciones tiene, en cuanto al orden
de lectura?
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Variación Simple
Es como la permutación, pero no se usan los 𝑛
elementos sino que se usan solamente 𝑘 de ellos (𝑘 <
𝑛). Entonces habrá que tener en cuenta no solamente el
orden, sino cuáles de los n elementos se eligen, es decir
importa el orden y la naturaleza.
𝑉𝑛,𝑘
𝑛!
=
𝑛−𝑘 !
Se lee "variaciones de 𝑛 elementos tomados de a 𝑘".
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Ejemplos
1.
Pablo tiene 7 calcomanías distintas, y desea pegar una en
el vidrio de adelante de su auto, y otra en el vidrio de
atrás. ¿Cuántas decisiones distintas puede tomar?
2.
Supóngase que un club consta de 30 miembros y que se
ha de elegir de la lista de miembros un presidente y un
secretario. ¿De cuántas formas se puede elegir esta
directiva, si una misma persona no puede ejercer ambos
cargos?
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Combinación Simple
Consiste en tomar 𝑘 elementos entre 𝑛 que hay en total, sin
importar en qué orden. Es decir, importa la naturaleza
("cuáles") pero no importa el orden. Observamos que esto es
como las variaciones, pero olvidándonos del orden. Las
variaciones distinguen "ab" de "ba", en cambio para las
combinaciones "ab" = "ba", y sólo importa el hecho de que
fueron "a" y "b" los elementos elegidos.
𝐶𝑛,𝑘
𝑛!
𝑛
=
=
𝑘
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
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Ejemplos
1.
José se ganó un viaje al caribe para él y 2 amigos.
Tiene 8 amigos y debe elegir sólo a 2. ¿Cuántas
decisiones posibles puede tomar?
2. El conscripto Augusto tiene dos días francos por
semana. ¿Cuántas formas posibles tiene el
comandante de asignarle los dos días francos?
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Permutación Cíclica o Circular
Se tienen 𝑛 elementos, y se desea ver de cuántas formas se
los puede ordenar cíclicamente, es decir, por ejemplo
alrededor de una mesa. Dos permutaciones cíclicas no se
considerarán distintas si los objetos correspondientes de los
dos arreglos están precedidos y van seguidos de los mismos
objetos, a medida que avanzamos en sentido horario.
Además no interesa la naturaleza, es decir, cuales se eligen,
ya que siempre se elegirán todos.
𝑃𝐶𝑛 = 𝑛 − 1 !
donde 𝑛 es la cantidad de elementos a ordenar.
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Ejemplos
1.
Una familia de 5 personas (padre, madre y 3 hijos)
se van a sentar a su mesa redonda a almorzar. ¿De
cuántas formas distintas pueden hacerlo?
2. Basándonos en la misma familia, ¿de cuántas
maneras pueden sentarse a la mesa si deseamos
que el padre y la madre queden sentados juntos?
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Variación con Repetición
Consiste en tomar 𝑘 elementos entre 𝑛 que hay en
total, pudiendo elegirse más de una vez cada elemento.
Es decir, por ser variación importa la naturaleza
("cuáles") y el orden, pero además, se puede elegir más
de una vez cada elemento.
𝑉′𝑛,𝑘 = 𝑛𝑘
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Ejemplos
1.
Si lanzamos al aire cinco veces la misma moneda,
¿cuántos resultados distintos pueden producirse?
2.
Fernando está loco. A veces cree que es Napoleón, a
veces cree que es astronauta, y a veces cree que un día
lo secuestraron los marcianos mientras estaba en la
ducha. Si le hacen peritajes psicológicos y le cuenta un
delirio al doctor A y un delirio al doctor B (puede
contarles a los dos el mismo delirio), ¿de cuántas formas
posibles pudo delirar en los peritajes psicológicos?
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Combinación con Repetición
Nuevamente, la combinación es como la variación, pero
sin importar el orden. Es decir, la combinación con
repetición consiste en tomar 𝑘 elementos de los 𝑛 que
hay en total (naturaleza), sin tener en cuenta el orden, y
pudiendo elegir más de una vez cada elemento.
𝐶′𝑛,𝑘
𝑛+𝑘−1 !
𝑛+𝑘−1
=
=
𝑘
𝑘! 𝑛 − 1 !
30
Ejemplos
1.
Hay una gran bolsa con caramelos surtidos, cuyos
sabores son limón, naranja, frutilla y manzana. Nos
dejan elegir dos caramelos. ¿Cuántas opciones
tenemos?
2. Juan recibió 2 cartas en una determinada semana. Si
le preguntan en qué día o días de esa semana
recibió cartas, ¿de cuántas formas posibles puede
responder?
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Permutación con Repetición
Como sucedía con la permutación simple, vamos a tomar
todos los elementos. Por lo tanto ya no importa la
naturaleza. Importa solamente el orden. Y puede haber
elementos repetidos, pero conocemos de antemano cuántos
elementos hay de cada tipo. Entonces tenemos una cantidad
𝑛 de elementos, que estará formada por 𝑛1 elementos del
tipo 1, 𝑛2 elementos del tipo 2, etc. Lo que vamos a contar es
todas las maneras posibles de ordenar esos elementos.
𝑃′𝑛1 ,𝑛2 ,…,𝑛𝑘
𝑛
= 𝑛 ,𝑛 ,…,𝑛 =
1 2
𝑘
𝑛!
𝑘
𝑖=1 𝑛𝑖 !
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Ejemplos
1.
Hay que ubicar en la puerta del refrigerador 3
botellas de bebidas, 2 de agua y una de vino. ¿De
cuántas formas posibles de las puede disponer?
2. Diego decide organizar su semana: dedicará 3 días a
trabajar, 2 a estudiar y 2 a descansar. ¿Cuántas
opciones tiene?
33
Resumen Modelos Simples
34
Resumen Modelos Compuestos
35
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