No siempre es fácil escribir por extensión un espacio muestral numerable (discreto), ya que en algunos casos 𝑁 es demasiado grande. El uso correcto de las técnicas de conteo, permiten aplicar la regla de Laplace sin tener la necesidad de describir el espacio muestral. Técnicas de Conteo Principio Básico Multiplicativo Si un evento 𝐴 puede presentarse de 𝑚 formas distintas y si cuando esto ha ocurrido, otro evento 𝐵 puede presentarse de 𝑛 formas distintas, entonces el número de formas en que ambos eventos pueden presentarse a la vez es 𝑚 × 𝑛. Ejemplo: Un propietario de una casa desea efectuar algunas remodelaciones y requiere los servicios de un gasfiter y de un electricista. Si conoce a 12 gasfiters y a 9 electricistas, ¿de cuantas formas los puede seleccionar? 2 Principio Básico Aditivo Si 𝐴 y 𝐵 son eventos tales que: 𝐴 puede efectuarse de 𝑚 maneras diferentes. 𝐵 puede efectuarse de 𝑛 maneras diferentes. 𝐴 y 𝐵 no pueden efectuarse simultáneamente. Entonces 𝐴 o 𝐵 puede realizarse de 𝑚 + 𝑛 maneras diferentes. Ejemplo: Supongamos que proyectamos un viaje y debemos decidir si el transporte será un bus o un tren. Si hay tres rutas distintas para el bus y dos para el tren, ¿cuántas rutas disponibles hay para el viaje? 3 Principio General Multiplicativo Si un evento 𝐴1 puede presentarse de 𝑛1 formas distintas y por cada una de estas formas existen 𝑛2 formas de que el evento 𝐴2 se presente, y por cada una de estas formas existen 𝑛3 formas de que se presente el evento 𝐴3 y así sucesivamente hasta el evento 𝐴𝑘 , entonces el número de formas en que los k eventos pueden presentarse a la vez es: 𝑘 𝑛1 × 𝑛2 × 𝑛3 × … × 𝑛𝑘 = 𝑛𝑖 𝑖=1 4 Ejemplo Una familia se ha cambiado a una nueva ciudad y requiere los servicios médicos de un ginecólogo, un pediatra y un cirujano. Hay dos clínicas médicas accesibles, cada una con dos ginecólogos, tres pediatras y dos cirujanos. La familia obtendrá un mejor plan de salud si todos médicos pertenecen a la misma clínica. ¿Cuántas opciones tiene la familia de satisfacer sus requerimientos si desea obtener un mejorado plan de salud? 5 Cirujano 1 Pediatra 1 Cirujano 2 Cirujano 1 Diagrama de Árbol Ginecólogo 1 Pediatra 2 Cirujano 2 Cirujano 1 Pediatra 3 Cirujano 2 Clínica 1 Cirujano 1 Pediatra 1 Cirujano 2 Cirujano 1 Ginecólogo 2 Pediatra 2 Cirujano 2 Cirujano 1 Pediatra 3 Cirujano 2 Cirujano 1 Pediatra 1 Cirujano 2 Cirujano 1 Ginecólogo 1 Pediatra 2 Cirujano 2 Cirujano 1 Pediatra 3 Cirujano 2 Clínica 2 Cirujano 1 Pediatra 1 Cirujano 2 Cirujano 1 Ginecólogo 2 Pediatra 2 Cirujano 2 Cirujano 1 Pediatra 3 Cirujano 2 6 Principio General Aditivo Si un evento 𝐴1 puede presentarse de 𝑛1 formas distintas, el evento 𝐴2 de 𝑛2 formas distintas, y así sucesivamente hasta el evento 𝐴𝑘 , el que puede presentarse de 𝑛𝑘 formas distintas, y además estos eventos son mutuamente excluyentes, entonces el número de formas en que se puede presentar 𝐴1 o 𝐴2 o … o 𝐴𝑘 es: 𝑘 𝑛1 + 𝑛2 + … + 𝑛𝑘 = 𝑛𝑖 𝑖=1 7 Ejemplo Una persona desea comprar una lavadora, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric. Cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora Whirpool se presenta en dos tipos de carga (8 ó 11 kg.), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora Easy, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 ó 15 kg.), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora GE, se presenta en sólo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y sólo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? 8 Introducción al análisis combinatorio Consideremos el experimento consistente en la extracción de 𝑛 bolitas, una a una, desde una urna que contiene 𝑀 bolitas. En este caso, diremos que hemos extraído una muestra ordenada de tamaño 𝑛. Debemos especificar primeramente si al extraer la muestra se devuelven o no las bolitas a la urna. Se dice que la muestra se hizo con reemplazo si después de cada extracción se registra el número de la bolita y se devuelve a la urna. Se dice que la muestra se obtuvo sin reemplazo si la bola extraída no se devuelve a la urna. Vale la pena notar que si la muestra se obtiene sin reemplazo es claro que 𝑛 debe ser menor o igual a 𝑀. Y si la muestra es con reemplazo no hay restricciones para 𝑛. 9 Introducción al análisis combinatorio ¿Cuántos elementos tendrá el espacio de todas las muestras de tamaño 𝑛 sin reemplazo? 10 Introducción al análisis combinatorio ¿Cuántos elementos tendrá el espacio de todas las muestras de tamaño 𝑛 con reemplazo? 11 Análisis Combinatorio Primeramente, definiremos ciertos criterios, los cuales nos permitirán discernir el tipo de modelo apropiado para el resolver el problema bajo estudio. Para relacionar y comprender con mayor rapidez las definiciones utilizaremos un ejemplo: Si tenemos un mazo de 52 cartas, y un jugador recibe 5 cartas de ese mazo, nos puede interesar cuántas manos distintas podría recibir. Es decir cuántas "combinaciones" se pueden formar con 5 cartas tomadas de entre 52. 12 Análisis Combinatorio Las cantidades: Es necesario determinar cuántos elementos hay en total, y cuántos vamos a tomar. En el ejemplo anterior, tomamos 5 elementos de 52. La naturaleza: Hay que determinar si estamos tomando todos los elementos disponibles, o sólo algunos de ellos. Por ejemplo, tomando 5 cartas entre 52, importará cuáles tomamos (es decir, importa la naturaleza de la selección). En cambio, si solamente nos interesa de cuántas formas podemos ordenar 5 libros, no nos interesa la naturaleza, porque no tenemos que elegir determinados libros sino que vamos a estar trabajando con los 5 al mismo tiempo. 13 Análisis Combinatorio El orden: Debemos determinar si nos interesa o no nos interesa el orden en que tomamos los elementos. Por ejemplo, si nos importa el orden, tirar un dado y sacar un 5 y luego un 3, no es lo mismo que sacar un 3 y luego un 5. Serían dos resultados distintos. En cambio si no nos importa el orden, sacar un 5 y luego un 3 ó un 3 y luego un 5 es lo mismo, y los dos casos constituirán un único resultado. La repetición: Se refiere a la posibilidad de elegir más de una vez el mismo elemento. Por ejemplo, si en una caja hay una bolita blanca, una negra, y una violeta, y vamos a sacar dos, si lo hacemos con reposición entonces habrá repetición, porque es posible sacar dos veces la misma bolita. 14 Ejemplo Me gané un viaje al caribe para mí y 2 amigos. Pero tengo 5 amigos, así que voy a tener que elegir a 2. Si voy a calcular cuántas decisiones distintas podría tomar, ¿cuáles son los factores involucrados? 15 Ejemplo Me gané un viaje al caribe para mí y 2 amigos. Pero tengo 5 amigos, así que voy a tener que elegir a 2. Si voy a calcular cuántas decisiones distintas podría tomar, ¿cuáles son los factores involucrados? Las cantidades: Vamos a elegir 2 elementos de un total de 5. La naturaleza: Notamos que los 5 elementos son todos distinguibles entre sí. Invitar a Juan no es lo mismo que invitar a Pedro. O sea, como no puedo elegir a todos, importa a cuáles elijo. El orden: En este caso el orden en que escoja los 2 elementos no importa. Invitar a Martín y a Nicolás es lo mismo que invitar a Nicolás y a Martín. Repetición: Es ilógico pensar en que se puede elegir dos veces al mismo amigo. Deben ser dos personas distintas. 16 Ejemplo Una habitación tiene 4 paredes, y tengo 4 colores distintos para pintarlas. No voy a mezclar colores, y voy a pintar cada pared de un color distinto. Si voy a calcular de cuántas formas distintas puedo pintar la habitación, ¿cuáles son los factores involucrados? 17 Ejemplo Una habitación tiene 4 paredes, y tengo 4 colores distintos para pintarlas. No voy a mezclar colores, y voy a pintar cada pared de un color distinto. Si voy a calcular de cuántas formas distintas puedo pintar la habitación, ¿cuáles son los factores involucrados? Las cantidades: Usaremos 4 colores de un total de 4. Es decir, todos los elementos posibles. La naturaleza: Los 4 elementos son todos distinguibles entre sí. Usaremos todos los elementos, lo cual implica que no es importante "cuáles elementos" elijo. Orden: Observemos que si no importa cuáles elementos elegimos, lo único que va a importar es el orden en que los elijamos. Elegir el rojo para la primera pared y el verde para la segunda no es lo mismo que elegir el verde para la primera pared y el rojo para la segunda. ¡Ojo! Repetición: No es posible elegir dos veces el mismo color. No hay repetición. 18 Modelamiento de Problemas Modelos Simples o Sin Reposición Modelos Compuestos Permutación Simple Variación con Repetición Variación Simple Combinación Simple Permutación Circular Combinación con Repetición Permutación con Repetición 19 Permutación Simple Se tienen 𝑛 elementos, y se desea ver de cuántas formas se los puede ordenar. Es decir, los elementos son siempre los mismos, y cada forma posible sólo difiere de las demás en el orden en que se toman los elementos. Además no interesa la naturaleza, es decir, cuales se eligen, ya que siempre se elegirán todos. 𝑃𝑛 = 𝑛! donde 𝑛 es la cantidad de elementos a ordenar 20 Ejemplos 1. Suponga que a un cartero al final del día le quedan aún por repartir 5 cartas (a 5 direcciones distintas). ¿De cuántas maneras puede repartirlas? 2. Pedro tiene 6 libros y desea leerlos (de a uno a la vez). ¿Cuántas opciones tiene, en cuanto al orden de lectura? 21 Variación Simple Es como la permutación, pero no se usan los 𝑛 elementos sino que se usan solamente 𝑘 de ellos (𝑘 < 𝑛). Entonces habrá que tener en cuenta no solamente el orden, sino cuáles de los n elementos se eligen, es decir importa el orden y la naturaleza. 𝑉𝑛,𝑘 𝑛! = 𝑛−𝑘 ! Se lee "variaciones de 𝑛 elementos tomados de a 𝑘". 22 Ejemplos 1. Pablo tiene 7 calcomanías distintas, y desea pegar una en el vidrio de adelante de su auto, y otra en el vidrio de atrás. ¿Cuántas decisiones distintas puede tomar? 2. Supóngase que un club consta de 30 miembros y que se ha de elegir de la lista de miembros un presidente y un secretario. ¿De cuántas formas se puede elegir esta directiva, si una misma persona no puede ejercer ambos cargos? 23 Combinación Simple Consiste en tomar 𝑘 elementos entre 𝑛 que hay en total, sin importar en qué orden. Es decir, importa la naturaleza ("cuáles") pero no importa el orden. Observamos que esto es como las variaciones, pero olvidándonos del orden. Las variaciones distinguen "ab" de "ba", en cambio para las combinaciones "ab" = "ba", y sólo importa el hecho de que fueron "a" y "b" los elementos elegidos. 𝐶𝑛,𝑘 𝑛! 𝑛 = = 𝑘 𝑘! 𝑛 − 𝑘 ! 24 Ejemplos 1. José se ganó un viaje al caribe para él y 2 amigos. Tiene 8 amigos y debe elegir sólo a 2. ¿Cuántas decisiones posibles puede tomar? 2. El conscripto Augusto tiene dos días francos por semana. ¿Cuántas formas posibles tiene el comandante de asignarle los dos días francos? 25 Permutación Cíclica o Circular Se tienen 𝑛 elementos, y se desea ver de cuántas formas se los puede ordenar cíclicamente, es decir, por ejemplo alrededor de una mesa. Dos permutaciones cíclicas no se considerarán distintas si los objetos correspondientes de los dos arreglos están precedidos y van seguidos de los mismos objetos, a medida que avanzamos en sentido horario. Además no interesa la naturaleza, es decir, cuales se eligen, ya que siempre se elegirán todos. 𝑃𝐶𝑛 = 𝑛 − 1 ! donde 𝑛 es la cantidad de elementos a ordenar. 26 Ejemplos 1. Una familia de 5 personas (padre, madre y 3 hijos) se van a sentar a su mesa redonda a almorzar. ¿De cuántas formas distintas pueden hacerlo? 2. Basándonos en la misma familia, ¿de cuántas maneras pueden sentarse a la mesa si deseamos que el padre y la madre queden sentados juntos? 27 Variación con Repetición Consiste en tomar 𝑘 elementos entre 𝑛 que hay en total, pudiendo elegirse más de una vez cada elemento. Es decir, por ser variación importa la naturaleza ("cuáles") y el orden, pero además, se puede elegir más de una vez cada elemento. 𝑉′𝑛,𝑘 = 𝑛𝑘 28 Ejemplos 1. Si lanzamos al aire cinco veces la misma moneda, ¿cuántos resultados distintos pueden producirse? 2. Fernando está loco. A veces cree que es Napoleón, a veces cree que es astronauta, y a veces cree que un día lo secuestraron los marcianos mientras estaba en la ducha. Si le hacen peritajes psicológicos y le cuenta un delirio al doctor A y un delirio al doctor B (puede contarles a los dos el mismo delirio), ¿de cuántas formas posibles pudo delirar en los peritajes psicológicos? 29 Combinación con Repetición Nuevamente, la combinación es como la variación, pero sin importar el orden. Es decir, la combinación con repetición consiste en tomar 𝑘 elementos de los 𝑛 que hay en total (naturaleza), sin tener en cuenta el orden, y pudiendo elegir más de una vez cada elemento. 𝐶′𝑛,𝑘 𝑛+𝑘−1 ! 𝑛+𝑘−1 = = 𝑘 𝑘! 𝑛 − 1 ! 30 Ejemplos 1. Hay una gran bolsa con caramelos surtidos, cuyos sabores son limón, naranja, frutilla y manzana. Nos dejan elegir dos caramelos. ¿Cuántas opciones tenemos? 2. Juan recibió 2 cartas en una determinada semana. Si le preguntan en qué día o días de esa semana recibió cartas, ¿de cuántas formas posibles puede responder? 31 Permutación con Repetición Como sucedía con la permutación simple, vamos a tomar todos los elementos. Por lo tanto ya no importa la naturaleza. Importa solamente el orden. Y puede haber elementos repetidos, pero conocemos de antemano cuántos elementos hay de cada tipo. Entonces tenemos una cantidad 𝑛 de elementos, que estará formada por 𝑛1 elementos del tipo 1, 𝑛2 elementos del tipo 2, etc. Lo que vamos a contar es todas las maneras posibles de ordenar esos elementos. 𝑃′𝑛1 ,𝑛2 ,…,𝑛𝑘 𝑛 = 𝑛 ,𝑛 ,…,𝑛 = 1 2 𝑘 𝑛! 𝑘 𝑖=1 𝑛𝑖 ! 32 Ejemplos 1. Hay que ubicar en la puerta del refrigerador 3 botellas de bebidas, 2 de agua y una de vino. ¿De cuántas formas posibles de las puede disponer? 2. Diego decide organizar su semana: dedicará 3 días a trabajar, 2 a estudiar y 2 a descansar. ¿Cuántas opciones tiene? 33 Resumen Modelos Simples 34 Resumen Modelos Compuestos 35
