Repaso de Matemáticas al curso de Física 2

COLEGIO DE BACHILLERES
PLANTEL NO. 9 “ARAGON”
Profesor: ________________________________Fecha: _____________
Grupo: ________
Alumno (a): ______________________________________________
Repaso de Matemáticas aplicado al curso de Física 2. (Semestre 2013-B)
En el estudio de la Física empleamos distintas fórmulas, para el cálculo del valor de las
variables que intervienen en la solución de problemas. Al conocer la fórmula que rige a un
fenómeno físico, podemos predecir los valores que tendrían bajo ciertas condiciones, de ahí
la necesidad de saber realizar despejes para encontrar la solución que necesitamos cuando
tengamos ciertas condiciones. Según el libro "Álgebra” de Baldor, una fórmula es la
expresión de una ley o de un principio general y se expresa por medio de símbolos o letras.
Citando las ventajas del uso de las fórmulas, tenemos:
1. Expresan de forma breve una ley o un principio general, esto es sin tantas palabras
𝐅
que tengamos que interpretar. Es más fácil decir P =
que: la Presión es
𝐀
directamente proporcional a la Fuerza aplicada e inversamente proporcional a su
Área.
2. Son fáciles de recordar.
3. Su aplicación es muy fácil, pues para resolver un problema por medio de la fórmula
adecuada, basta sustituir las letras por lo valores en el caso dado.
4. Una formula nos dice la relación que existe entre las variables que en ella
intervienen. Nos dice habla de si hay relaciones directas, inversas, o si hay
constantes.
Para obtener resultados correctos en la solución de un problema, es muy importante
conocer la forma en que se puede despejar una incógnita de una expresión matemática, ya
que si no se hace adecuadamente, la sustitución y el resultado serán erróneos.
Con el propósito de mejorar y ayudar en la solución de problemas numéricos, se realizan
algunos ejemplos con sus reglas para despejar una incógnita de una ecuación o expresión
matemática.
Cuando se tiene una Ecuación Matemática, donde se presenta una división (las letras de
arriba son el numerador y las de abajo son el denominador) es conveniente mover las letras
del denominador arriba haciendo la ecuación lineal: si está dividiendo, pasa al otro miembro
de la ecuación, multiplicando, si hay más letras o sumas y restas, se coloca un paréntesis
que indique la multiplicación.
Es muy importante aclarar que la(s) letra(s) que están en el denominador, debajo de la
fracción o división, están dividiendo a la(s) letra(s) que están en el numerador (arriba de la
fracción o división).
1
Reglas para realizar despejes de una incógnita:
1).- Si en una igualdad un elemento de la ecuación está multiplicando, puede `pasar al otro
lado del signo igual, dividiendo.
Si está multiplicando
pasa dividiendo.
2).- Si en una igualdad un elemento de la ecuación está dividiendo, puede pasar al otro lado
del signo igual, multiplicando.
Si está dividiendo
pasa multiplicando
3).- Si en una igualdad un elemento de la ecuación está sumando, puede pasar al otro lado
del signo igual, restando.
Si está sumando
pasa restando
4).- Si en una igualdad un elemento de la ecuación está restando, puede pasar al otro lado
del signo igual, sumando.
Si está restando
pasa sumando
Para que recuerdes como se despeja una variable, plantearemos algunos ejemplos:
1).- De la siguiente fórmula para calcular la densidad “ρ”, despejar “m” (masa) y “V”
(Volumen)
ρ=
𝒎
𝑽
a) Como primer paso, la letra “V” que está dividiendo, pasa al otro lado de la igualdad
multiplicando, es decir:
(ρ)(V) = m
b) “m” ya está despejada y pasa al lado izquierdo de la igualdad sin cambio, es decir:
m = (ρ)(V)
c) Despejar V de la ecuación anterior:
La letra ρ que está multiplicando, pasa a la primera parte de la igualdad dividiendo
es decir:
𝒎
𝛒
=𝑽
“V” ya está despejada y pasa al lado izquierdo de la igualdad sin cambio es decir:
𝑽=
𝒎
𝛒
2).- De la siguiente fórmula E = (ρ)(V)(g), que expresa la fuerza de empuje “E” del Principio
de Arquímedes, despejar:
“ρ” (densidad) y “V” (Volumen)
2
a) Como primer paso, la letra “V” y “g” que están multiplicando, pasa al otro lado de la
igualdad dividiendo, es decir:
𝑬
(𝐕)(𝐠)
=ρ
ρ ya está despejada y por lo tanto la pasamos al lado izquierdo de la igualdad sin cambio,
es decir:
𝑬
ρ=
(𝐕)(𝐠)
b) Para despejar “V” de la ecuación original, como primer paso, la letra “ρ” y “g” que
están multiplicando, pasa al otro lado de la igualdad dividiendo, es decir:
𝑬
(𝛒)(𝐠)
=V
“V” ya está despejada y por lo tanto la pasamos al lado izquierdo de la igualdad sin cambio,
es decir:
V=
𝑬
(𝛒)(𝐠)
3).- De la siguiente ecuación que es la fórmula de la Presión, despejar “F” (Fuerza)
P=
𝐅
𝐀
a) Como primer paso, la letra A que está dividiendo, pasa al otro lado de la igualdad
multiplicando, es decir:
(P)(A) = F
b) “F” ya está despejada y se puede pasar al lado izquierdo de la igualdad, es decir:
F = (P)(A)
4).- De la misma ecuación
P=
𝐅
𝐀
Despejar “A” (Área)
a) Como primer paso, la letra “A” que está dividiendo, pasa al otro lado de la igualdad
multiplicando, es decir:
3
(A)(P) = F
b) Como “A” y la “P” están multiplicando, entonces “P”pasa dividiendo, al otro lado de
la igualdad, es decir:
A=
𝐅
𝐏
3).- De la siguiente expresión matemática, PH representa la Presión Hidrostática, despejar
“h” (profundidad).
PH = (ρ)(g)(h)
a) Como primer paso la letra “ρ” y “g” que están multiplicando, pasa al otro lado de la
igualdad dividiendo es decir:
𝐏𝐇
=𝒉
(𝛒)(𝐠)
“h” ya está despejada y se puede pasar al lado izquierdo de la igualdad, sin
cambios, es decir:
𝐏𝐇
h=
(𝛒)(𝐠)
4.- De la siguiente expresión matemática correspondiente a una Prensa Hidráulica,
despejar F1, A1, F2 y A2
𝐅𝟏
𝐀𝟏
=
𝐅𝟐
𝐀𝟐
a) Como primer paso las letras A1 y A2 que están dividiendo, pasan a los otros lados de la
igualdad respectivamente multiplicando, es decir:
(F1)(A2) = (F2)(A1)
b) Como A2 está multiplicando entonces pasa al lado derecho de la igualdad dividiendo, es
decir:
F1 =
(𝐅𝟐)(𝐀𝟏)
𝑨𝟐
c) De la expresión del inciso a) despejar A2, como F1 está multiplicando entonces pasa al
lado derecho de la igualdad dividiendo es decir:
A2 =
(𝐅𝟐)(𝐀𝟏)
𝑭𝟏
5.- De la siguiente expresión matemática correspondiente a la Primera Ley de la
Termodinámica despejar W.
Q = W + ΔEi
a) Como primer paso la letra ΔEi que está sumando, pasa al lado izquierdo de la
igualdad restando, es decir:
Q – Δei = W
4
b) “W” ya está despejada y se puede pasar al lado izquierdo de la igualdad, es decir:
W = Q – ΔEi
6.- De la siguiente expresión matemática correspondiente a la Primera Ley de la
Termodinámica despejar ΔEi.
Q = W + ΔEi
a) Como primer paso la letra W que está sumando, pasa al lado izquierdo de la igualdad
restando, es decir:
Q – W = ΔEi
b) ΔEi ya está despejada y se puede pasar al lado izquierdo de la igualdad, es decir:
ΔEi = Q – W
5
Repaso de Notación Científica
Potencias de base 10.
En las potencias con base 10, siempre será el 10 el que se eleve a una potencia:
10 1 = 10
10 2 = (10)(10) = 100
10 3= (10)(10)(10) = 1000
10 4 = (10)(10)(10)(10) = 10 000
10 5= (10)(10)(10)(10)(10) = 100 000
10 6= (10)(10)(10)(10)(10)(10) = 1 000 000
Si observamos cada caso, encontraremos que cuando la base 10 se eleva a una potencia, el
resultado es igual al número 1 , seguido de tantos ceros como indique la potencia o
exponente.
Ejemplo 108 es igual al 1 seguido de ocho ceros.
108 = 100 000 000
Ahora bien, en el caso de elevar el 10 a una potencia negativa, esto equivale a dividir el
número uno entre 10 elevado a esa misma potencia, pero con signo contrario.
1
10-1 = — = 0.1
101
1
1
10-2 = — = — = 0.01
102 100
1
1
10-3 = — = — = 0.001
103 1000
1
1
10-4 = — = — = 0.0001
104 10 000
1
1
10-5= — = —
= 0.00001
105 100 000
1
1
10-6 = — = — =
0.000001
106 1000 000
Si observamos cada caso, encontraremos que cuando la base 10 se eleva a una potencia
negativa, el resultado es igual a recorrer hacia la izquierda el punto decimal a partir del
número uno, tantas veces como señale la potencia negativa.
10-5= 0.00001
6
10-8= 0.00000001
Ejemplo 1
Expresar la cantidad de 620 000 con una sola cifra entera, utilizando la potencia con la base
10.
Como se puede observar, 620 000 consta de seis cifras enteras, para expresarlo con una
sola cifra entera, debemos recorrer el punto decimal cinco posiciones.
620 000 = 6.2 x 105
Como se observa, la base 10 está elevada a la 5a. potencia, ya que fue el número de veces
que recorremos el punto decimal.
Ejemplo 2
Expresar las siguientes cantidades con una sola cifra entera, utilizando la potencia con base
10
a) 500 = 5 x 102 (la potencia, es 2 ya que recorrimos dos posiciones el punto hacia la
izquierda)
b) 75 000 =
c) 800 000 =
d) 110 000 000 =
Ejemplo 3
Expresar la cantidad 0.000003 con una sola cifra entera, utilizando la potencia con base
10.
Para expresarlo con una cifra entera debemos recorrer el punto decimal seis posiciones,
así:
0.000003 = 3 x 10-6 (la potencia es -6, ya que recorrimos el punto decimal 6 posiciones
hacia la derecha)
0.03 =
0.000135 =
0.0000705 =
0.000000001 =
Principales operaciones utilizando potencias de base 10
1).- Suma y resta con potencias de base 10
Para efectuar éstas dos operaciones, los exponentes deben de ser iguales. En caso
contrario tenemos que igualarlos, ya sea aumentar uno o disminuir el otro.
Ejemplos:
2 x 103 + 3 x 103 =
8 x108 + 4 x108 =
7 x1012 + 5 x 1012 – 6 x 1012
7
15 x 10-5 – 5 x 10-5 + 20 x 10-5
4.5 x 108 + 2 x 1010
6 x 104 + 9 x 105 =
En este último ejemplo, debemos igualar los exponentes. Para ello, aumentamos el
exponente menor o disminuimos el exponente mayor y el resultado será el mismo.
Si aumentamos el menor:
6 x 104 = .6 x 105
Y por lo tanto:
.6 x 105 + 9 x 105 = 9.6 x 105
Si disminuimos el exponente mayor, tenemos que:
9 x 105 = 90 x 104
Y por lo tanto:
6 x 104 + 90 x 104
2).- Multiplicación de potencias con base 10.
El resultado se obtiene multiplicando los coeficientes y los exponentes se suman
algebraicamente, es decir:
(a)m (a)n = am+m
Ejemplos:
1 x 103 x 1 x 102 =
2 x 104 x 3 x 102 =
5 x 102 x 4 x 105 =
4 x 106 x 2 x 10-2 =
6 x 10-3 x 5 x 10-4 x 2 x 107 =
4 x 10-5 x 2 x 10-2 x 2 x 107 =
3).- División de Potencias con base 10
El resultado se obtiene dividiendo los coeficientes,, los exponentes se restan
(exponente del numerador menos exponente del denominador), o también se cambia el
signo del denominador y se suma al del numerador, es decir:
(a)m
— = (a)m-n
(a)n
8
Ejemplos:
10 x 105
5 x 102
8 x 104 =
2
25 x 10-2 =
3 x 10-4
45 x 10-8 =
15 x 10-3
5 x 107 =
2 x 10-7
(2 x 10-5) (8 x 10-4) =
(4 x 10-6) (4 x 10-3)
(3 x 10-4) (6 x 10-8) =
(2 x 108) (4 x 10 -8)
4).- Elevación de un exponente a otro exponente
El resultado se encuentra multiplicando los exponentes, es decir:
((a)m)n = (a)mn
Ejemplos:
( 1 x 105)2 =
(1 x 10-4)3 =
(5 x 10-2)2 =
(3 X 103)3 =
(2 X 106)4 =
(3 X 102)5=
9
5).- Raiz cuadrada de una potencia con base 10,
Cuando el exponente es par, se procede a obtener la raiz cuadrada directamente empleando
el siguiente modelo matemático:
√(a)m = (a)m/2
√(1 x 10)8
√(1 x 10)6
√(9 x 10)8
√(36 x 10)18
√(144 x 10)16
Cuando el exponente es impar, debe convertirse a un exponente par, para no obtener un
exponente fraccionario.
10