Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Mecânica e Ondas
1º Ano -2º Semestre
2º Teste/1º Exame
05/06/2013 – 15:00h
Duração do Teste (problemas 3, 4 e 5): 1:30h
Duração do Exame: 2:30h
Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas.
Identifique e numere todas as folhas da prova.
Problema 1 (só Exame)
Um jogador de bilhar joga uma bola de massa com velocidade
fazendo-a colidir com outra bola de massa idêntica em
repouso. Após o choque (idealmente elástico) as duas bolas
adquirem velocidades de módulos, respectivamente
e
verificando-se, nas condições particulares deste choque, que os
ângulos ( ) entre cada um dos vectores velocidade
e
ea
direcção da velocidade inicial são idênticos (ver figura).
a) Escreva as expressões que descrevem a conservação das
grandezas físicas relevantes, neste caso, associadas ao
choque elástico, no referencial da mesa de bilhar,
indicado na figura, e determine o ângulo e os valores dos módulos das velocidades
e
em
função de . O ângulo depende de ?
b) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema formado pelas duas bolas antes e depois do
choque, no referencial indicado na figura. Comente o resultado.
Problema 2 (só Exame)
Um iô-iô é formado por um cilindro interior de raio
e massa
e dois cilindros exteriores idênticos de
raio
e massa
. O fio do iô-iô de espessura e
massa desprezáveis enrola-se (e desenrola-se) no
cilindro interior de forma que quando o sistema roda
de um ângulo o centro de massa respectivo deslocase de uma distância
(ver figura).
a) i) Sabendo que o momento de inércia de um
cilindro da massa
e raio , em relação ao
eixo de simetria de rotação deste, é dado por
, determine o momento de inércia
do iô-iô.
ii) Escreva a expressão da energia cinética
total do sistema (rotação + translação)
quando este roda devido ao desenrolar do fio sob a influência do respectivo peso, em função da
coordenada indicada na figura (que representa a posição do centro de massa do iô-iô).
iii) Indique a expressão da energia potencial gravítica do sistema em função da coordenada .
b) i) Escreva a função de Lagrange do sistema em função do grau de liberdade correspondente à
posição do centro de massa e determine a equação diferencial do movimento para essa variável.
ii) Determine a aceleração do centro de massa e a expressão de
.
iii) Utilizando o princípio da conservação da energia, determine a expressão da velocidade do
centro de massa em função de .
Problema 3 (Teste e Exame)
A carroçaria de um automóvel com uma tara de
(massa do veículo sem passageiros nem carga)
baixa
(relativamente à posição de equilíbrio para o carro vazio) quando um passageiro de
entra para o habitáculo. Considere, como aproximação, que a suspensão do veículo do é equivalente a uma
mola com uma constante elástica e um conjunto de amortecedores que originam uma força de atrito
proporcional à velocidade de oscilação vertical do carro (variação da posição vertical do centro de massa da
viatura) com uma constante de proporcionalidade .
a) A partir dos dados de que dispõe, determine o valor da constante elástica e do coeficiente de
atrito , admitindo que a suspensão está optimizada para que o sistema se encontre no regime
aperiódico limite quando o automóvel transporta 2 passageiros de
e
de bagagem.
b) i) Admita que a suspensão do automóvel é caracterizada pelos valores determinados na alínea a).
Qual será o regime de oscilação do sistema (periódico, aperiódico ou aperiódico limite) se a viatura
transportar um passageiro adicional (para além dos dois passageiros e dos
de bagagem).
Justifique utilizando as expressões apropriadas.
ii) Se os amortecedores se avariarem de modo a que a o coeficiente de atrito
se torne
desprezável, qual será a frequência das oscilações livres do automóvel nas condições da alínea a)
(com dois passageiros e 20 kg de bagagem).
Problema 4 (Teste e Exame)
a) Considere uma corda vibrante de comprimento fixa nos extremos. Admita que tem nessa corda
duas ondas progressivas com amplitudes, frequências e comprimentos de onda idênticos a
propagarem-se em sentidos contrários:
Mostre que a condição de corda fixa nos extremos (
seguintes condições:
Nota:
b) Um elevador de uma mina ficou avariado no interior
de um túnel vertical, não havendo possibilidade de
comunicação com o exterior. Para saber se se
encontrava alguém no interior do elevador mediuse a frequência de oscilação do troço horizontal do
cabo representado na figura. Explique como através
desta medição poderia determinar a massa do
elevador e, consequentemente saber se teria ou
não ocupantes (uma vez que a massa da cabina é
conhecida). Suponha que sabe a densidade linear do
cabo, , a massa da cabine , e a frequência
correspondente ao modo fundamental de vibração
) corresponde às
do cabo no troço de comprimento . Apresente detalhadamente a dedução das expressões a
utilizar (na realidade os elevadores são suspensos por vários cabos e não apenas por um mas,
conceptualmente, o problema é idêntico, considerando a carga dividida pelos cabos, considere
neste caso APENAS UM cabo a sustentar a totalidade da massa da cabina e ocupantes).
Problema 5 (Teste e Exame)
Numa experiência de Física da Partículas pretende-se medir o tempo de decaímento de um muão. Observase que esta partícula percorre, no referencial do laboratório uma distância de cerca de 1500m antes de
decair e (observando o raio de curvatura da partícula num campo magnético conhecido) sabe-se que esta
tem um momento linear de
. A massa do muão é
.
a) i) Com que velocidade se desloca o muão relativamente ao laboratório?
ii) Atendendo ao valor da distância percorrida, determine o tempo de vida desta partícula no
referencial do laboratório.
b) i) Com base nos resultados da alínea a) determine o tempo de vida do muão no seu referencial
próprio.
ii) Determine a energia do muão e compare-a com a parte da energia associada à respectiva
massa (em repouso).
Soluções:
Problema 1
a)
Da segunda equação obtemos (para
):
Substituindo nas outras equações do sistema, temos:
e finalmente:
não depende de
.
b)
Antes do choque:
Depois do choque
A velocidade do centro de massa é igual antes e depois do choque uma vez que não existem forças
exteriores aplicadas ao sistema e portanto a aceleração do centro de massa é nula.
Problema 2
a)
i)
ii)
ou
iii)
b) i)
ii)
iii) Supondo que o iô-iô parte do repouso para
temos
Para uma coordenada teremos:
Problema 3
a)
i)
-
ii) Regime aperiódico limite
Sendo
a massa total do sistema (automóvel + passageiros + bagagem):
O coeficiente de atrito
dos amortecedores será:
b) i) Se o automóvel transportar um passageiro adicional de
de massa, teremos:
;
regime periódico
De facto:
Isto é, quando a massa aumenta (mantendo-se os valores da constante elástica e do coeficiente de atrito) a
frequência própria das oscilações livres
cresce mais do que o coeficiente de atenuação (de um factor
).
Ou seja: quando a massa aumenta, tanto a frequência
como o coeficiente de atenuação diminuem mas o
coeficiente de atenuação diminui mais porque varia com
enquanto
varia com
.
ii) Nas condições da alínea a), a frequência angular própria das oscilações livres sem atrito será:
A frequência própria das oscilações livres sem atrito será:
Verificação:
Considerando o valor do coeficiente de atrito
calculado na alínea a), o coeficiente de atenuação será:
Verificando-se portanto:
Problema 4
a)
(atendo ao facto do coseno ser uma função par).
;
para
; com
para
Nota: a solução trivial para
não tem interesse físico pois corresponde à condição uniforme e
estática (ausência de variação com e, consequentemente com ), i.e.:
;
.
b) De acordo com a expressão
fundamental (correspondente a
obtida na alínea anterior, o comprimento de onda do modo
) pode ser determinado através da expressão:
A frequência do modo fundamental pode ser obtida a partir do comprimento de onda respectivo através da
expressão:
em que representa a velocidade de propagação de uma vibração transversal no cabo (corda vibrante) sendo
dada por:
em que
é a massa do cabo por unidade de comprimento e
é a tensão do cabo dada por:
sendo
a massa da cabine do elevador e
a massa dos ocupantes.
Assim a frequência do modo fundamental pode ser relacionada com a massa do elevador através da seguinte
expressão:
Finalmente, a massa dos ocupantes
será dada pela expressão:
Problema 5
a)
i)
ii) Tempo de vida do muão no referencial do laboratório:
b) i) Dilatação do tempo:
: tempo de vida do muão no referencial do laboratório.
: tempo de vida do muão no referencial no referencial próprio.
ii)
ou
Parte da energia do muão associada à massa:
Verificação:
2 . f
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