Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Mecânica e Ondas 1º Ano -2º Semestre 2º Teste/1º Exame 05/06/2013 – 15:00h Duração do Teste (problemas 3, 4 e 5): 1:30h Duração do Exame: 2:30h Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Problema 1 (só Exame) Um jogador de bilhar joga uma bola de massa com velocidade fazendo-a colidir com outra bola de massa idêntica em repouso. Após o choque (idealmente elástico) as duas bolas adquirem velocidades de módulos, respectivamente e verificando-se, nas condições particulares deste choque, que os ângulos ( ) entre cada um dos vectores velocidade e ea direcção da velocidade inicial são idênticos (ver figura). a) Escreva as expressões que descrevem a conservação das grandezas físicas relevantes, neste caso, associadas ao choque elástico, no referencial da mesa de bilhar, indicado na figura, e determine o ângulo e os valores dos módulos das velocidades e em função de . O ângulo depende de ? b) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema formado pelas duas bolas antes e depois do choque, no referencial indicado na figura. Comente o resultado. Problema 2 (só Exame) Um iô-iô é formado por um cilindro interior de raio e massa e dois cilindros exteriores idênticos de raio e massa . O fio do iô-iô de espessura e massa desprezáveis enrola-se (e desenrola-se) no cilindro interior de forma que quando o sistema roda de um ângulo o centro de massa respectivo deslocase de uma distância (ver figura). a) i) Sabendo que o momento de inércia de um cilindro da massa e raio , em relação ao eixo de simetria de rotação deste, é dado por , determine o momento de inércia do iô-iô. ii) Escreva a expressão da energia cinética total do sistema (rotação + translação) quando este roda devido ao desenrolar do fio sob a influência do respectivo peso, em função da coordenada indicada na figura (que representa a posição do centro de massa do iô-iô). iii) Indique a expressão da energia potencial gravítica do sistema em função da coordenada . b) i) Escreva a função de Lagrange do sistema em função do grau de liberdade correspondente à posição do centro de massa e determine a equação diferencial do movimento para essa variável. ii) Determine a aceleração do centro de massa e a expressão de . iii) Utilizando o princípio da conservação da energia, determine a expressão da velocidade do centro de massa em função de . Problema 3 (Teste e Exame) A carroçaria de um automóvel com uma tara de (massa do veículo sem passageiros nem carga) baixa (relativamente à posição de equilíbrio para o carro vazio) quando um passageiro de entra para o habitáculo. Considere, como aproximação, que a suspensão do veículo do é equivalente a uma mola com uma constante elástica e um conjunto de amortecedores que originam uma força de atrito proporcional à velocidade de oscilação vertical do carro (variação da posição vertical do centro de massa da viatura) com uma constante de proporcionalidade . a) A partir dos dados de que dispõe, determine o valor da constante elástica e do coeficiente de atrito , admitindo que a suspensão está optimizada para que o sistema se encontre no regime aperiódico limite quando o automóvel transporta 2 passageiros de e de bagagem. b) i) Admita que a suspensão do automóvel é caracterizada pelos valores determinados na alínea a). Qual será o regime de oscilação do sistema (periódico, aperiódico ou aperiódico limite) se a viatura transportar um passageiro adicional (para além dos dois passageiros e dos de bagagem). Justifique utilizando as expressões apropriadas. ii) Se os amortecedores se avariarem de modo a que a o coeficiente de atrito se torne desprezável, qual será a frequência das oscilações livres do automóvel nas condições da alínea a) (com dois passageiros e 20 kg de bagagem). Problema 4 (Teste e Exame) a) Considere uma corda vibrante de comprimento fixa nos extremos. Admita que tem nessa corda duas ondas progressivas com amplitudes, frequências e comprimentos de onda idênticos a propagarem-se em sentidos contrários: Mostre que a condição de corda fixa nos extremos ( seguintes condições: Nota: b) Um elevador de uma mina ficou avariado no interior de um túnel vertical, não havendo possibilidade de comunicação com o exterior. Para saber se se encontrava alguém no interior do elevador mediuse a frequência de oscilação do troço horizontal do cabo representado na figura. Explique como através desta medição poderia determinar a massa do elevador e, consequentemente saber se teria ou não ocupantes (uma vez que a massa da cabina é conhecida). Suponha que sabe a densidade linear do cabo, , a massa da cabine , e a frequência correspondente ao modo fundamental de vibração ) corresponde às do cabo no troço de comprimento . Apresente detalhadamente a dedução das expressões a utilizar (na realidade os elevadores são suspensos por vários cabos e não apenas por um mas, conceptualmente, o problema é idêntico, considerando a carga dividida pelos cabos, considere neste caso APENAS UM cabo a sustentar a totalidade da massa da cabina e ocupantes). Problema 5 (Teste e Exame) Numa experiência de Física da Partículas pretende-se medir o tempo de decaímento de um muão. Observase que esta partícula percorre, no referencial do laboratório uma distância de cerca de 1500m antes de decair e (observando o raio de curvatura da partícula num campo magnético conhecido) sabe-se que esta tem um momento linear de . A massa do muão é . a) i) Com que velocidade se desloca o muão relativamente ao laboratório? ii) Atendendo ao valor da distância percorrida, determine o tempo de vida desta partícula no referencial do laboratório. b) i) Com base nos resultados da alínea a) determine o tempo de vida do muão no seu referencial próprio. ii) Determine a energia do muão e compare-a com a parte da energia associada à respectiva massa (em repouso). Soluções: Problema 1 a) Da segunda equação obtemos (para ): Substituindo nas outras equações do sistema, temos: e finalmente: não depende de . b) Antes do choque: Depois do choque A velocidade do centro de massa é igual antes e depois do choque uma vez que não existem forças exteriores aplicadas ao sistema e portanto a aceleração do centro de massa é nula. Problema 2 a) i) ii) ou iii) b) i) ii) iii) Supondo que o iô-iô parte do repouso para temos Para uma coordenada teremos: Problema 3 a) i) - ii) Regime aperiódico limite Sendo a massa total do sistema (automóvel + passageiros + bagagem): O coeficiente de atrito dos amortecedores será: b) i) Se o automóvel transportar um passageiro adicional de de massa, teremos: ; regime periódico De facto: Isto é, quando a massa aumenta (mantendo-se os valores da constante elástica e do coeficiente de atrito) a frequência própria das oscilações livres cresce mais do que o coeficiente de atenuação (de um factor ). Ou seja: quando a massa aumenta, tanto a frequência como o coeficiente de atenuação diminuem mas o coeficiente de atenuação diminui mais porque varia com enquanto varia com . ii) Nas condições da alínea a), a frequência angular própria das oscilações livres sem atrito será: A frequência própria das oscilações livres sem atrito será: Verificação: Considerando o valor do coeficiente de atrito calculado na alínea a), o coeficiente de atenuação será: Verificando-se portanto: Problema 4 a) (atendo ao facto do coseno ser uma função par). ; para ; com para Nota: a solução trivial para não tem interesse físico pois corresponde à condição uniforme e estática (ausência de variação com e, consequentemente com ), i.e.: ; . b) De acordo com a expressão fundamental (correspondente a obtida na alínea anterior, o comprimento de onda do modo ) pode ser determinado através da expressão: A frequência do modo fundamental pode ser obtida a partir do comprimento de onda respectivo através da expressão: em que representa a velocidade de propagação de uma vibração transversal no cabo (corda vibrante) sendo dada por: em que é a massa do cabo por unidade de comprimento e é a tensão do cabo dada por: sendo a massa da cabine do elevador e a massa dos ocupantes. Assim a frequência do modo fundamental pode ser relacionada com a massa do elevador através da seguinte expressão: Finalmente, a massa dos ocupantes será dada pela expressão: Problema 5 a) i) ii) Tempo de vida do muão no referencial do laboratório: b) i) Dilatação do tempo: : tempo de vida do muão no referencial do laboratório. : tempo de vida do muão no referencial no referencial próprio. ii) ou Parte da energia do muão associada à massa: Verificação: 2 . f F ma P mv W F dr C L r i Pi i I N ri Fi i m R i 2 i F U 1 T mv 2 2 dp F dt L T U L d L 0 qi dt qi dL N dt L I TROT i Mm F G 2 er r 2 T 1 2 I 2
