CAPITULO 5: HIDROCINEMÁTICA I. MARCO TEÓRICO I.1. CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS Estudia los Fluidos en movimiento, es decir del movimiento de sus partículas, sin considerar la masa ni las fuerzas que actúan, en base al conocimiento de las magnitudes cinemáticas: velocidad, aceleración y rotación. I.2. CAMPO DE FLUJO Es cualquier región ocupada por el fluido en movimiento, donde sus magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales (presión, densidad, temperatura, velocidad, aceleración, etc.) del fluido en movimiento, puede variar de un punto a otro y en un mismo punto de un instante a otro (función de la posición y tiempo). Ilustración 1 Campo de flujo I.2.1. CARACTERÍSTICAS DEL CAMPO DE FLUJO Campo escalar Se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad física a la cual corresponde; ejemplos: presión, densidad y temperatura. Ilustración 2 Campo de flujo análisis en un plano Campo tensorial Para definir un campo tensorial se requieren nueve o más componentes escalares; ejemplos: esfuerzo, deformación unitaria, y momento de inercia. Ilustración 3 Campo tensorial Campo Vectorial En un campo vectorial además de la magnitud, se necesita definir una dirección y un sentido para la cantidad física a la cual corresponde; ejemplos: la velocidad, la aceleración y la rotación. Ilustración 4 Campo vectorial A. Campo vectorial de velocidades: El análisis del movimiento de una partícula del fluido que recorre una línea usualmente curva que se llama trayectoria se puede hacer de dos maneras distintas: a) Por el conocimiento del vector de posición (r ) , de la partícula, como una función vectorial del tiempo (t). Ilustración 5 Coordenadas cartesianas de una partícula r xi y j zk Si r r(t) es función del tiempo entonces sus componentes son también funciones del tiempo; es decir: x x(t ) ; y y (t ) ; z z (t ) a) Por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino recorrido-tiempo. Ilustración 6 Trayectoria de una partícula En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto de origen A), como una función s st escalar del tiempo; esto es: Definición de Velocidad: El Vector velocidad de una partícula fluida se define como la rapidez (magnitud de la velocidad) temporal del cambio en su posición. Ilustración 7 Velocidad de una partícula V dr dt (1) Donde dr representa el vector diferencial de arco, sobre la curva C, que recorre la partícula en el tiempo dt. La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse la partícula según la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y del tiempo. V Vx i Vy j Vz k Expresión vectorial de la velocidad. Donde: Vx Vx (x, y,z,t) dx dt Vy Vy (x, y,z,t) dy dt Vz Vz (x, y,z,t) dz dt Módulo de la Velocidad: V V (Vx )2 (Vy )2 (Vz )2 B. Campo vectorial de aceleraciones: Es un campo vectorial que se deriva del campo de velocidades. Definición de Aceleración: El vector aceleración de una partícula en un punto se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto; esto es: dv d2 r a dt dt 2 En cuanto a su dirección la aceleración no tiene una orientación coincidente con la trayectoria de la partícula; siendo la aceleración también una función de la posición y tiempo. a ax i ay j az k Expresión vectorial de la aceleración Ilustración 8 Aceleración de una partícula Módulo de aceleración: La aceleración deriva del campo de velocidades, donde: V V x,y,z,t a V (.V)V t Representa el Campo Vectorial de Aceleraciones en función del producto escalar (.V) , denominado divergencia de V . V = aceleración local (depende del tiempo) t (.V)V = aceleración convectiva (depende de la posición) Comentario: Si el flujo es permanente: V 0 y t a (.V)V Es decir, el campo de aceleraciones se reduce solo a la componente convectiva. Desarrollemos ahora la componente convectiva, para representarla en término del producto vectorial (xV) , conocido como rotacional de V (rotV ) . (.V)V ( Vx Vy Vz)(Vxi Vy j Vzk) x y z Aceleración convectiva ( a c ): ac ac x ac y ac z ac (.V)V 1 (V 2 ) (xV)xV ; 2 Por lo tanto, la aceleración total (at ) de la partícula será: at V 1 (V 2 ) ( V) V t 2 C. El campo rotacional: Es un campo vectorial, que se deriva del campo de velocidades, y que evalúa la rotación local de una partícula y se define matemáticamente por el producto vectorial de por V . Ilustración 9 Rotación de una partícula Rotacional de V xV rot V xV i rotV x Vx j y Vy k z Vz Cuyo desarrollo es: rot V ( VZ VY V V V V )i ( Z X )j ( Y X )k y z x z x y Como deriva del campo de velocidades, también es función tanto del punto como de tiempo y es una medida de la rotación o vorticidad de la partícula dentro del flujo, por esta razón se le conoce también como campo vorticoso. Significado físico del vector rotacional: Como el cuerpo rígido, además de la traslación una partícula puede experimentar una rotación, intentemos una representación física del vector rotacional. Generalidades para la interpretación física: a) Consideremos la rotación pura de una partícula (prescindimos de la traslación de la partícula) b) Al encontrarse la partícula en rotación pura, a través del movimiento de giro alrededor de un eje instantáneo, que pasa por el centro de gravedad de la partícula “P0” (cuya dirección lo da el vector unitario ( e ), normal al plano formado por dos líneas ortogonales contenidas en la partícula. c) Para poder entender la rotación, consideramos que el punto “Po”, ha tenido una traslación pura al punto “P”, desplazándose un infinitésimo (r r0 ) dr , en un instante dt; adquiriendo una velocidad tangencial V dr . dt Descripción de la rotación pura: a) Definida la posición del punto “P” coincidente con el extremo de una de las líneas ortogonales, ésta la tomamos como posición inicial de la rotación pura, (prescindiendo de la traslación de la partícula). b) En un instante “dt” el punto “P” ha rotado a una posición “P’” habiéndose desplazado un d , con un radio de giro dr . c) Al producirse la rotación la velocidad angular "" vale: d dt Variación del ángulo de rotación “θ” con el tiempo “t”. El vector velocidad angular será: x i y j z k La velocidad tangencial " V " puede definirse como: V dr Donde: dr dxi dy j dzk Por lo tanto, el significado físico del vector rotacional en un movimiento de rotación alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad angular: rotV V 2 De la expresión (β) a V 1 (V 2 ) ( V) V t 2 La aceleración en un punto está formada por las componentes: 1 (V 2 ) = Corresponde al movimiento de traslación pura. 2 rotV xV = Correspondiente al movimiento de rotación, llamada aceleración de “Coriolis”. y V t = Aceleración local. CAPITULO 6: CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS Existen diferentes criterios para clasificar un flujo, puede ser: permanente o no permanente; uniforme o no uniforme; laminar o turbulento; supercrítico, crítico o subcrítico; tridimensional, bidimensional o unidimensional; rotacional o irrotacional, incompresible o compresible, etc. aunque no los únicos, si son los flujos más importantes que clasifica la ingeniería. Es de interés particular de la ingeniería las conducciones por tubería y por canal. Flujo permanente y no permanente Esta clasificación obedece a la utilización del tiempo como variable. El flujo es permanente si las características hidráulicas del flujo en una sección (velocidad, presión, densidad, etc.) no cambian con respecto al tiempo; o bien, si las variaciones en ella son muy pequeñas con respecto a sus valores medios y éstos no varían con el tiempo. Figura 1. Flujo permanente Matemáticamente se puede representar: v 0; t p 0; t 0 ; etc. t Si las características hidráulicas cambian con respecto al tiempo, tendremos un flujo no permanente, matemáticamente se representa: Ilustración 10 Flujo no permanente Figura 2. Flujo no permanente v 0; t p 0; t 0 ; etc. t Flujo Uniforme y no uniforme Esta clasificación obedece a la utilización del espacio como variable. El flujo es uniforme si las variables hidráulicas del flujo en una longitud de su desarrollo (velocidad, presión, densidad, etc.) no cambian con respecto al espacio. Matemáticamente se puede representar: v 0 L ; p 0 L ; 0 L Si las características hidráulicas cambian con respecto al espacio, tendremos un flujo no uniforme o variable. Matemáticamente se representa. v 0 L ; p 0 L ; 0 L Considérese un flujo permanente en dos situaciones distintas: una con tubería de diámetro constante y la otra con tubería de diámetro decreciente. Figura 3. Flujo uniforme Figura 4. Flujo no uniforme Flujo Unidimensional, Bidimensional y Tridimensional. Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional, es decir cuando sus características hidráulicas o variables hidráulicas, cambian en el espacio, o sea que los gradientes del flujo existen en las tres direcciones. Figura 5. Flujo tridimensional El flujo es bidimensional, cuando sus características son idénticas sobre una familia de planos paralelos, no habiendo componentes en dirección perpendicular a dicho plano, o bien ellas permanecen constantes; es decir, que el flujo tiene gradiente de velocidad o de presión (o tiene ambos) en dos direcciones exclusivamente. Figura 6. Flujo bidimensional El flujo es unidimensional, Cuando sus características varían como funciones del tiempo y de una coordenada curvilínea en el espacio usualmente la distancia medida a lo largo del eje de la conducción. Figura 7. Flujo unidimensional El flujo de un fluido real no puede ser completamente unidimensional, debido al efecto de la viscosidad, ya que la velocidad en una frontera sólida es igual a cero, pero en otro punto es distinto de cero; sin embargo, bajo la consideración de valores medios de las características en cada sección se puede considerar unidimensional. Esta hipótesis es la más importante en hidráulica, por las simplificaciones que trae consigo. En resumen, un flujo es siempre tridimensional, sin embargo, cuando en el flujo prevalece una dirección es considerada unidimensional, como ocurre con las tuberías y los canales. En el caso de los canales hay circunstancias en las cuales no se puede prescindir de una segunda dimensión para describir al flujo, debiendo hacerse el estudio del flujo plano o bidimensional. Laminar y Turbulento Clasificación de los flujos de acuerdo al predominio de las fuerzas viscosas y de las fuerzas de inercia. Figura 8. Análisis de un flujo A. Flujo Laminar: Flujo característico de velocidades bajas, de trayectorias ordenado, rectilíneas y paralelas. No existe mezcla macroscópica o intercambio partículas. transversal entre Figura 9. Flujo laminar A. Flujo turbulento: Flujo característico de velocidades ordinarias (altas), de trayectoria erráticas o desordenadas. Existen pequeñas componentes de velocidad en direcciones transversales a la del movimiento general, las cuales no son constantes, si no que fluctúan con el tiempo; de acuerdo con una ley aleatoria, aun cuando el flujo en general sea permanente. Existe mezclado intenso de las partículas. Figura 10. Flujo turbulento Las componentes transversales de la velocidad en cada punto originan un mezclado intenso de las partículas que consume parte de la energía del movimiento por efecto de la fricción interna y que también en cierto modo, es resultado de los efectos viscosos del fluido. 𝐹𝐼 = 𝑚 ∗ 𝑎 = 𝜌 ∗ ∀ ∗ 𝑎 = 𝜌 ∗ 𝐿3 ∗ 𝐿𝑇 2 ; 𝜌 = 𝐹𝐼 = 𝜌 ∗ 𝐿2 ∗ 𝐿2 = 𝜌 ∗ 𝐿2 ∗ 𝑉 2 𝑇2 𝐹𝐼 = 𝜌 ∗ 𝐿2 ∗ 𝑉 2 𝐹𝑣 = 𝜏𝐴 𝑇 = 𝜇 𝑑𝑉 2 𝑉 𝐿 = 𝜇 𝐿2 = 𝜇𝑉𝐿 𝑑𝑦 𝐿 𝐹𝑣 = 𝜇 ∗ 𝑉 ∗ 𝐿 𝑚 ∀ 𝐹𝐼 𝐿2 𝑉 2 𝑉𝐿 =𝜌∗ =𝜌 𝐹𝑣 𝜇𝑉𝐿 𝜇 𝑅𝑒 = 𝜌𝑉𝐷 𝑉𝐷 = 𝜇 𝑣 𝑅𝑒 = 𝑉𝐷 𝑣 VD , y cuyo valor permite diferenciar el flujo, es Existe un parámetro que es función decir, si es laminar o turbulento, denominado Número de Reynolds (Re). Flujo Rotacional e Irrotacional Un flujo es rotacional, si en su seno el campo rot V adquiere valores distintos de cero para cualquier instante y es Irrotacional, por el contrario, si en su seno del campo de flujo, el vector rotacional de V es igual a cero para cualquier punto e instante. Si se exceptúa la presencia de singularidades vorticosas, en el caso general, el movimiento de un fluido ideal se puede suponer irrotacional. Los efectos de la viscosidad de fluido constituyen la causa principal de dichas singularidades (vorticosas). Sin embargo, el flujo irrotacional ocurre con bastante frecuencia en los problemas de la práctica. Si bien el término rotación implica un giro de partículas, esto no significa que es rotacional todo movimiento efectuado de acuerdo a una trayectoria curva o bien que todo movimiento rectilíneo es irrotacional. Ciertos escurrimientos se pueden considerar macroscópicamente como irrotacionales. En otros casos, a pesar de existir trayectorias curvas, la distribución de velocidades puede ser de forma tal que las líneas medianas o las diagonales de una partícula, de forma rectangular, no modifican su orientación durante el movimiento, el flujo es obviamente Irrotacional. Esto se representa esquemáticamente en las figuras siguientes en las cuales el vector rot V sería normal al plano del papel. El movimiento a bajas velocidades de un fluido viscoso, es generalmente rotacional. Figura 11. Flujo lineal irrotacional Figura 11. Flujo lineal rotacional Figura 12. Flujo curvilíneo irrotacional (ideal) – rotacional (real) En resumen: DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO El movimiento de un fluido queda descrito cuando se está en condiciones de conocer: El cambio de posición de una partícula La variación de la velocidad en un punto. Hay dos formas clásicas de describir el movimiento de un fluido: MÉTODO DE EULER También conocido como local, consiste en elegir un punto fijo y determinar las variables cinemáticas en ese punto, en cada instante sin considerar el camino que después siga cada partícula individual (trayectoria). Elegida la posición de una partícula en el espacio, sus características cinemáticas son funciones del tiempo, a saber, la variable relevante es la velocidad: Figura 13. Método de Euler v v(r, t ) V Vx (x,y,z,t)i Vy (x,y,z,t) j Vz (x,y,z,t)k Las variables dependientes son: Vx, Vy y Vz Las variables independientes son: x, y, z, t. MÉTODO DE LAGRANGE Consiste en elegir una partícula y determinar las variables cinemática de esa partícula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Identificada una partícula por su posición inicial ro (xo, yo, zo), en el instante t = to , en otro instante cualquiera “t”, la misma partícula se encuentra en la posición r(x,y,z) . Entonces la posición de la partícula se tiene conocida en cualquier instante si el vector de posición r se determina como función del tiempo “t” y la posición inicial ro ; o sea: r r (r0 , t ) r0 ai b j ck r x(a, b, c, t )i y (a, b, c, t ) j z (a, b, c, t )k Las variables dependientes son: x, y, z. Las variables independientes son: a, b, c, t. De los dos métodos se prefiere el primero por qué su manejo analítico es más simple. Es el que normalmente se emplea en los libros de mecánica de fluidos. Figura 14. Método de Lagrange LÍNEA DE CORRIENTE Es toda línea trazada idealmente en el seno líquido, de modo que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la dirección del vector velocidad correspondiente. No existe posibilidad de que dos líneas de corriente tengan un punto común, pues ello significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores distintos. Flujo permanente: La configuración de dos líneas de corriente es la misma en cualquier momento. Flujo no permanente: Para otro instante “t” la configuración de las líneas de corriente es otra. Figura 15. Líneas de corriente para un instante “t” ECUACIONES DE LAS LÍNEAS DE CORRIENTE En la línea de corriente de la figura, para un instante “t”, donde el punto “1” está ⃗. infinitamente próximo a “2”, de manera que se puede considerar que ⃗⃗⃗ 𝑉1 = ⃗⃗⃗ 𝑉2 = 𝑉 Figura 16. Análisis de L.C. para un instante “t” ⃗ y d𝑟 son vectores paralelos (tienden a ser colineales), luego: Como 𝑉 ⃗ × d𝑟 = 0 𝑉 ⃗ × d𝑟 = |𝑉 ⃗ ||d𝑟| sin 𝛼 𝑢 𝑉 ⃗ Donde: 𝑢 ⃗ : 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 "0", "1" y "2". ⃗ × d𝑟 = 0 Como son paralelos: 𝛼 = 0° → 𝑉 𝑖 ⃗ × d𝑟 = | 𝑉𝑥 𝑉 𝑑𝑥 𝑗 𝑉𝑦 𝑑𝑦 𝑘⃗ 𝑉𝑍 | = 0 𝑑𝑧 (𝑉𝑦 𝑑𝑧 − 𝑉𝑍 𝑑𝑦)𝑖 − (𝑉𝑥 𝑑𝑧 − 𝑉𝑍 𝑑𝑥)𝑗 + (𝑉𝑥 𝑑𝑦 − 𝑉𝑌 𝑑𝑥)𝑘⃗ = 0 𝑉𝑦 𝑑𝑧 = 𝑉𝑍 𝑑𝑦 𝑉𝑦 𝑉𝑍 = … (1) 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑉𝑥 𝑉𝑍 = … (2) 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑉𝑦 𝑉𝑥 = … (3) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Obtenemos un sistema de tres ecuaciones diferenciales de (1), (2) y (3): 𝑉𝑦 𝑉𝑥 𝑉𝑍 = = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Esta vendría a ser la ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA LÍNEA DE CORRIENTE para un instante “t”. TRAYECTORIA Es la curva que marca el camino que sigue una partícula con el transcurrir del tiempo. Flujo no permanente: La línea de corriente y trayectoria son líneas distintas. Flujo permanente: Significan lo mismo. La razón está en que el flujo permanente el campo de velocidad no cambia con el tiempo. Toda partícula que pase por “a0” sigue la misma trayectoria. En cada punto a0, a1, …, an el vector velocidad permanece igual. Figura 17. Trayectoria de una partícula “a”. ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA ⃗ = 𝑑𝑟 𝑉 𝑑𝑡 ⃗ . 𝑑𝑡 … (1) 𝑑𝑟 = 𝑉 ⃗ 𝑑𝑟=𝑑𝑥𝑖+𝑑𝑦𝑗+𝑑𝑧𝑘 } … (2) ⃗𝑉 =𝑉𝑥 𝑖+𝑉𝑦 𝑗+𝑉𝑧 ⃗𝑘 Luego: (2) → (1) 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘⃗ = (𝑉𝑥 𝑖 + 𝑉𝑦 𝑗 + 𝑉𝑧 𝑘⃗ )𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑉𝑥 𝑑𝑡 → 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 … (3) 𝑉𝑥 𝑑𝑦 = 𝑉𝑦 𝑑𝑡 → 𝑑𝑡 = 𝑑𝑦 … (4) 𝑉𝑦 𝑑𝑧 = 𝑉𝑧 𝑑𝑡 → 𝑑𝑡 = 𝑑𝑧 … (5) 𝑉𝑧 Comparando (3), (4) y (5): 𝑉𝑦 𝑉𝑥 𝑉𝑍 = = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Esta expresión representa la ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA TRAYECTORIA. TUBO DE FLUJO Llamado también tubo de corriente. Si se considera dentro del flujo una curva cerrada “c” y las líneas de corriente que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad de éstas líneas de corriente definen una superficie que se denomina tubo de flujo y que no puede ser atravesada por el fluido. El volumen encerrado se conoce como vena líquida o vena fluida. Cuando el tubo de corriente es de pequeña sección se le denomina filete hidráulico. Figura 18. Tubo de flujo. CAUDAL O GASTO Se define caudal o gasto a la relación: 𝑑𝑄 = 𝑑𝑉𝑜 = 𝑉. 𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑉𝑜 = 𝑑𝑠.𝑑𝐴 𝑑𝑠 = 𝑉. 𝑑𝑡 ⃗ 𝑑𝑉𝑜𝑙 =. 𝑑𝐴. 𝑑𝑡. 𝑑𝑉 Si dA es un elemento de una superficie finita A, entonces: 𝑄 = ∫ 𝑑𝑄 = ∫𝐴 𝑉. 𝑑𝐴 Y si, como es costumbre, se escoge la superficie A de modo que las L.C sean normales a ellas: 𝑄 = ∫ 𝑉. 𝑑𝐴 𝐴 Figura 19. Análisis del gasto. Se llama velocidad media del flujo a través de la superficie A al cociente: 𝑉= 𝑄 ∫𝐴 𝑉. 𝑑𝐴 = 𝐴 𝐴 EJERCICIOS 1) Dado el campo de velocidades: 𝑥 𝑢 = 𝑡+𝑡 0 𝑣 = 𝑣0 Encontrar la ecuación de la línea de corriente que pasa por el punto (𝑥0 , 𝑦0 ) para el tiempo 𝑡1 . Solución: De la ecuación general de la línea de corriente: 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑑𝑦 𝑣 = 𝑑𝑧 𝑤 Se aplica para un instante 𝑡1 y se resuelve reemplazando: 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑥 =𝑣 0 𝑡 + 𝑡0 Sea: (𝑡1 + 𝑡0 )𝑣0 = 𝐴 Luego: 𝐴𝑙𝑛(𝑥) = 𝑦 + 𝐶, representa las L.C. En particular para el punto (𝑥0 , 𝑦0 ): 𝐴𝑙𝑛(𝑥0 ) = 𝑦0 + 𝐶, despejamos el valor de C. La línea buscada resulta ser una curva con la siguiente ecuación: (𝑡1 + 𝑡0 )𝑣0 ln(𝑥) = 𝑦 + 𝐴𝑙𝑛(𝑥0 ) − 𝑦0 , reemplazando A: (𝑡1 + 𝑡0 )𝑣0 ln(𝑥) = 𝑦 + (𝑡1 + 𝑡0 )𝑣0 𝑙𝑛(𝑥0 ) − 𝑦0 (𝑡1 + 𝑡0 )𝑣0 ln(𝑥⁄𝑥0 ) = 𝑦 − 𝑦0 2) Un campo de velocidades (análisis euleriano), está dado por 𝑢 = 𝑦 − 1 (componente de la velocidad según el eje x) y 𝑣 = 𝑦 − 2 (componente de la velocidad según el eje y). Grafique la línea de corriente que pasa por el punto (𝑥, 𝑦) = (4,3). Solución: De la ecuación general de la línea de corriente: 𝑑𝑥 𝑢 𝑑𝑥 𝑦−1 = 𝑑𝑦 𝑣 𝑑𝑦 = 𝑦−2 1 𝑑𝑥 = (1 + 𝑦−2) 𝑑𝑦 Integrando: 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑦 + ∫ 𝑦−2 Resolviendo: 𝑥 = 𝑦 + ln(𝑦 − 2) + 𝐶 Evaluando para el punto (4,3), obtenemos 𝐶: 4 = 3 + ln(1) + 𝐶 𝐶=1 Por lo tanto, nuestra ecuación de corriente será la siguiente: 𝑥 = 𝑦 + ln(𝑦 − 2) + 1 3)Determinar la ecuación de las líneas de corriente de un flujo permanente plano, simétrico respecto del eje y, dirigido hacia abajo, que choca contra una placa horizontal, cuyo campo de velocidades está definido por las componentes: 𝑉𝑥 = 3𝑥 𝑉𝑦 = −3𝑦 Por definición: 𝑑𝑥 = 𝑉𝑥. 𝑑𝑡 𝑉= 𝑑𝑆 𝑑𝑡 → 𝑑𝑠 = 𝑉. 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑉𝑦. 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑉𝑥 𝑑𝑦 ……….. = 𝑉𝑦 Ecuación diferencial de las líneas de corriente 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 3𝑥 −3𝑦 𝑑𝑥 (1/3)( 𝑥 ) = −1/3(𝑑𝑦/𝑦) lnx=-lny +c lnx + lny =c XY = C 4)En el problema anterior, determinar el gasto por unidad de ancho del chorro que incide sobre la placa y limitado en la forma que a continuación se indica: Solución: El vector velocidades : 𝑉=3x𝑖-3y𝑗 Y el vector diferencial del área: d𝐴=(-dx).1.𝑗 Q= ∫ 𝑉 . 𝑑𝐴 Pero: 𝑉.d𝐴=3y.dx 0.5 0.5 𝑄 = ∫−0.5 3𝑦. 𝑑𝑥 = 3y. x| =3y −0.5 Q=4.5cm3/s por metro de ancho perpendicular al papel.
