magnitudes y error

Conceptos Básicos de
Magnitudes

Medición

 Es comparar dos objetos de la
misma naturaleza, uno de los
cuales es elegido como unidad
patrón para ver cuantas veces
está contenido en el otro que
se quiere medir, como por
ejemplo si se quiere medir el
largo de una sala es posible
utilizar el lápiz o la cuarta de
la mano como instrumento de
medición
y
contabilizar
cuantas de estas unidades
contiene el largo de la sala.
Sistema de Referencia

 Un sistema de referencia es un conjunto de
coordenadas espacio-tiempo que se requiere para
poder determinar la posición de un punto en el
espacio. Un sistema de referencia puede estar
situado en el ojo de un observador.
 En física se utilizan tres sistemas de referencia,
dependiendo de las dimensiones necesarias para
describir el movimiento
Sistema de Referencia

1.- Sistema de referencia Unidimensional (movimientos
lineales)
 Es básicamente una línea en la que las magnitudes son mostradas
como puntos marcados separados uniformemente entre sí.
 Sobre esta recta, comúnmente llamada recta numérica , se representa
el conjunto de los números reales, siendo cero su origen o punto
central y hacia la derecha e izquierda se encuentran los límites infinitos
negativos - y positivos + respectivamente
Magnitud

Es la propiedad de la materia de ser susceptible a medición,
esto significa que es posible de cuantificar .
Por ejemplo es posible medir longitud, masa, tiempo,
temperatura, etc…
Magnitudes Fundamentales

Son
todas
aquellas
magnitudes
que
quedan
completamente definidas con solo una unidad de medida
y ésta no se constituye por medio del producto y/o
cuociente entre otras unidades, como por ejemplo:
1.- Unidades de longitud (centímetro , metro, kilómetro)
2.- Unidades de masa (g, Kg. , ton ,...)
3.- Unidades de tiempo ( s , h ,día ... )
4.- Unidades de temperatura (ºC ,ºK , ºF ), etc.
Magnitudes Derivadas

Son todas aquellas magnitudes físicas que se definen en función
de las fundamentales a través del producto y/o el cuociente, como
por ejemplo:






Unidades de superficie ( cm², m² , 2pie² ,...) ;
Unidades de volumen ( m³. cm³, m³ , ...) ;
Unidades de densidad (gr/cm³, kg/m³ , ... )
Unidades de velocidad ( m/s, Km/hr)
Unidades de aceleración ( m/s², Km/hr²)
Unidades de fuerza (d , N , kgf ), etc.
Sistemas de
Unidades de Medida

Sistema de Unidades de Medida

 Consisten de un conjunto de sólo unidades
fundamentales de medidas que son elegidas a nivel
de acuerdos internacionales entre científicos con el
fin de establecer una buena comunicación en lo que a
medidas se refiere. Existen distintos sistemas de
unidades de los cuales los más utilizados se indican a
continuación:
Sistema Internacional (SI)

 Considera 7 unidades fundamentales, estas son
Unidades SI Derivadas

Otros Sistemas

 Los sistemas CGS y MKS, no presentan unidades
fundamentales para medir fuerza, esto no quiere
decir que no sea posible medir este tipo de
magnitud, lo que ocurre es que las unidades de
medida son derivadas, para el sistema CGS es la
Dina (d) y para MKS la unidad es el Newton (N)
Unidades

Al anexar unidades a todos los números que no son
fundamentalmente adimensionales, se obtienen los
siguientes beneficios prácticos:
 Menor probabilidad de invertir, sin darse cuenta, una
parte del cálculo
 Reducción en el número de cálculos intermedios y en el
tiempo durante la resolución de problemas
 Un enfoque lógico del problema, en lugar de limitarse a
recordar una fórmula e insertarle números
 Fácil interpretación del significado físico de los números
empleados.
Unidades

Las reglas para manejar unidades son sencillas:
 Sólo es posible sumar, restar o igualar cantidades si
las unidades de dichas cantidades son las mismas.
 Podemos multiplicar o dividir unidades distintas a
voluntad, pero no podemos cancelar ni combinar
unidades si no son idénticas.
Múltiplos y
Submúltiplos

Múltiplos y Submúltiplos

En el contexto de alguna problemática las
unidades anteriores pueden ser muy grandes o muy
pequeñas, lo que trae consigo escribir cantidades con
muchos ceros o en forma de potencias de base 10. Sin
embargo, también se recurre a múltiplos y submúltiplos
de la unidad requerida, esto se logra colocando un
prefijo antes de ella.
Múltiplos y Submúltiplos

Instrumentos de Medida

 La parte fundamental de todo
proceso de medida es la
comparación de cierta cantidad
de la magnitud que deseamos
medir con otra cantidad de la
misma que se ha elegido como
unidad patrón. En este proceso
se utilizan los instrumentos de
medida que previamente están
calibrados en las unidades
patrón utilizado.
 Un instrumento de medida se
caracteriza por los siguientes
factores:
Exactitud

 Se define como el grado
de concordancia entre el
valor verdadero y el
valor experimental, de
modo que un aparato es
tanto más exacto cuanto
más aproximado es el
valor de la medida
realizada
al
valor
verdadero
de
la
magnitud medida.
Precisión

 Hace
referencia
a
la
concordancia
entre
varias
medidas
de
la
misma
magnitud,
realizadas
en
condiciones
sensiblemente
iguales. Es por tanto un
concepto relacionado con la
dispersión de las medidas, de
modo que un aparato será
tanto más preciso cuanto
menor sea la diferencia entre
distintas medidas de una
misma magnitud
Sensibilidad

 Es la variación de la
magnitud a medir que
es capaz de apreciar el
instrumento.
Mayor
sensibilidad
de
un
aparato indica que es
capaz
de
medir
variaciones
más
pequeñas
de
la
magnitud medida
Clasificación de los
Errores

ERROR

Muchas de las decisiones tomadas en ingeniería se
basan en resultados de medidas experimentales, por lo
tanto es muy importante expresar dichos resultados con
claridad y precisión.
En este capítulo se pretende aprender a estimar los
posibles errores en las medidas, así como la
propagación de estos errores a través de los cálculos a
los resultados, a expresar los resultados y a analizarlos
Valor estimado y error asociado en
medidas directas

Una medida nunca puede ser exacta, es decir, siempre
cometemos un error, por lo que nuestra medida no será
completa sin la estimación del error cometido. Unas
veces ese error será debido a los instrumentos de
medida, otras a nuestra propia percepción, etc. Los
errores al medir son inevitables.
Clasificación de los Errores

 El error se define como la
diferencia entre el valor
verdadero y el obtenido
experimentalmente.
 Los errores siguen una ley
determinada y su origen
reside en múltiples causas,
y respecto a ellas se pueden
clasificar en dos grandes
grupos:
Error Sistemático

Tienen que ver con la metodología del proceso de medida
Son debidos a problemas en el funcionamiento de los
aparatos de medida o al hecho de que al introducir el aparato
de medida en el sistema, éste se altera y se modifica, por lo
tanto, la magnitud que deseamos medir cambia su valor.
Error Accidentales o Aleatorios

 Son debidos a causas imponderables que
alteran aleatoriamente las medidas.
 Al producirse aleatoriamente las medidas se
distribuyen alrededor del valor real, por lo que un
tratamiento estadístico permite estimar su valor..
ERRORES

Debido a la existencia de errores es imposible conocer el
valor real de la magnitud a medir. Si somos cuidadosos
podemos controlar los errores sistemáticos, en cuanto a
los errores accidentales podemos reducirlos si tomamos
un conjunto de medidas y calculamos su valor medio.
Cifras Significativas

Cifras Significativas

 Las cifras significativas de una medida están formadas
por los dígitos que se conocen no afectados por el error,
más una última cifra sometida al error de la medida.
 Así, por ejemplo, si decimos que el resultado de una
medida es 3,72 m, serán significativas las cifras 3, 7 y 2;
donde los dígitos 3 y 7 son cifras exactas y el dígito 2
puede ser erróneo. O sea, el aparato de medida puede
medir hasta las centésimas de metro (centímetros), aquí es
donde está el error del aparato y de la medida.
Teoría del error

 ERROR ABSOLUTO
Se da cuando se aproxima el valor real con un valor
aproximado
Donde : ã = valor aproximado
a = valor real
Error = ã - a
Ejemplo

 Se mide cinco veces la distancia entre dos puntos y
se obtienen como resultados 4,56 m; 4,57 m; 4,55 m;
4,58 m; 4,55 m. Si calculamos la media aritmética
(sumamos todas las medidas y dividimos por el total
de medidas, cinco en este caso) da como resultado
4,562 m. Como el aparato no sería capaz de medir
milésimas, redondeamos y nos queda 4,56 m como
medida real.

 ERROR RELATIVO PORCENTUAL
Suele ser un mejor indicador de la precisión, es más
independiente de la escala usada, y esto es una propiedad más
que deseable.
EJEMPLO

Planteamiento del problema:
Suponga que se tiene que medir la longitud de un
puente y la de un remache, y se obtiene 9999 y 9 cm
respectivamente..
Si los valores son 10000 y 10 cm, calcule el error
absoluto y error relativo porcentual
Desviación típica

Para obtener un buen resultado de una medida,
minimizando el efecto de los errores accidentales, es
conveniente repetir la medida varias veces. El valor
medio será el que tomaremos como resultado de la
medida, ya que probablemente se acerque más al valor
real. Cuantas más repeticiones de la medida se
efectúen, mejor será en general el valor medio obtenido,
pero más tiempo y esfuerzo se habrá dedicado a la
medida.

¿Cuál es el número óptimo de repeticiones? Para
decidirlo hay que realizar tres medidas iniciales. A
partir de estas medidas se calcula la dispersión D.
D = X máx - X min
* 100
----------------------X
Si el valor de la dispersión es mayor del 2% es necesario
realizar más medidas
Tabla medidas mínimas

D<2%
con tres medidas es suficiente
2 % < D< 8 %
realizar un total de seis medidas
8 % < D< 12 %
realizar un total de quince medidas
D > 12 %
mínimo 50 medidas y tratamiento estadístico
Error debido al aparato

Existen diferencias entre la forma de evaluar los errores
debidos a los aparatos. Se ha de distinguir entre
aparatos analógicos y digitales.
Aparatos digitales.
El error accidental que se comete en un aparato digital
es la suma del error de precisión y el error de lectura
EJEMPLO

Error de precisión: Es un porcentaje del valor leído en pantalla.
Ejemplo, si el error de precisión es 1%
Medida: 4,56 V
Error de precisión: 4,56 * 1/100 = 0,05 V
Error de lectura: La salida en pantalla se realiza con un número limitado
de dígitos por lo que, aunque el aparato pueda medir con mayor
precisión, sólo nos podrá mostrar una medida limitada al número de
dígitos de que dispone. El error de lectura equivale a N unidades del
último dígito.
Error de lectura: 3d (tres unidades)
Medida: 4,56 V
Error de lectura: 0,01 · 3 = 0,03 V
El error debido al aparato será la suma D = 0,05 + 0,03 = 0,08 V
http://jogomez.webs.upv.es/material/errores.htm
Combinación de errores

Muchas veces no resulta posible medir directamente
una variable, teniendo que obtenerse ésta mediante la
combinación de otras variables conocidas. En estos
casos es necesario determinar la incertidumbre en la
variable desconocida a partir de las incertidumbres en
las variables conocidas. A este proceso de cálculo se le
conoce como propagación de errores.
Suma de magnitudes
afectadas de error

Supongamos que se miden las variables a y b, obteniéndose
los valores experimentales a ± Δ a y b ± Δ b,
donde Δ a y Δ b son los errores absolutos, y se nos pide
calcular el valor x = a + b, es decir,
x ± Δ x = (a ± Δ a) + (b ± Δ b)
Para sumar dos o más magnitudes afectadas de error, se
suman las magnitudes y como error absoluto se
toma la suma de los errores absolutos de las magnitudes.
x ± Δx = (a + b) ± (Δa + Δb)
Diferencia de magnitudes
afectadas de error

Sean a y b dos magnitudes afectadas de error. Se pide
calcular x = a – b, es decir,
x ± Δ x = (a ± Δ a) – (b ± Δ b)
Para restar dos magnitudes afectadas de error, se restan
las magnitudes y como error absoluto se toma la
suma de los errores absolutos de las magnitudes.
x ± Δx = (a − b) ± (Δa + Δb)
Producto de una magnitud afectada de error
por un número exacto

Sea b una magnitud afectada de error y a un número
exacto (la incertidumbre de un número exacto es
nula). Se pide calcular x = ab, es decir,
x ± Δ x = a (b ± Δ b)
Para multiplicar una magnitud afectada de error por un
número exacto, se multiplica el valor y el error
absoluto de la magnitud por el número exacto.
x ± Δx = ab ± aΔb
Cociente de una magnitud afectada de error
por un número exacto

Sea b una magnitud afectada de error y α un número
exacto. Se pide calcular x = bα −1 , es decir,
x ± Δ x = (b ± Δ b) α-1
Para dividir una magnitud afectada de error por un
número exacto, se divide el valor y el error absoluto de
la magnitud por el número exacto
Producto de dos magnitudes
afectadas de error

Sean a y b dos magnitudes afectadas de error. Se pide
calcular x = ab, es decir,
x ± Δ x = (a ± Δ a)(b ± Δ b)
Para multiplicar dos magnitudes afectadas de error, se
multiplican las magnitudes entre si, y como error
relativo se toma la suma de los errores relativos de las
magnitudes.
Cociente de dos magnitudes
afectadas de error

Sean a y b dos magnitudes afectadas de error.
Se pide calcular x = a/b
Para dividir dos magnitudes afectadas de error, se dividen las
magnitudes entre si, y como error relativo se toma la suma de los
errores relativos de las magnitudes.
Ejemplo:

Un móvil recorre 2,38 ± 0,01 m en un tiempo de 4,27 ± 0,01 s.
¿Cuál es su rapidez media?