Raíces y potencias 2

POTENCIAS – PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS - ECUACIONES EXPONENCIALES –
RAÍCES – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES – APLICACIÓN – EJERCICIOS B.I. –
EJERCICIOS PSU - LOGARITMOS – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS – CAMBIO DE
BASE - APLICACIONES
HISTORIA:
Antecedentes históricos señalan que fueron los algebristas babilonios quienes primero
estudiaron la resolución de las ecuaciones exponenciales por medio de un tanteo inicial
seguido de una interpolación. con estos procedimientos trataron de calcular el tiempo
necesario para que una cantidad determinada de dinero se duplicara al ponerla a una
tasa dada de interés compuesto....
Sus tablas les indicaban que no todos los números racionales que figuraban en ellas
tenían una raíz cuadrada tabulada. Enfrentados a este problema, procedieron a
1
a + b2
. Dos mil años
obtener sus valores aproximados por medio de la regla a 2 + b 2 2 =
2a
después, Herón de Alejandría ( s. II a. De C.) deduciría esta misma regla. Resulta
interesante observar que esta aproximación razonable puede obtenerse hoy por medio
de la serie binomial de Newton. queda claro que, en cierta forma, los babilonios dos
mil años antes que los griegos, dominaban ya algunos aspectos del Álgebra.
(
)
a n ; a ∈ R, n ∈ Z
Se denomina potencia de base real y
exponente entero a toda expresión de la
forma
PROPIEDADES
Potencias de igual base
Multiplicación
a m ⋅ a n = a m+n
División
a m : a n = a m−n
∀a ∈ R ; m, n ∈ Z
∀a ∈ R * ; m, n ∈ Z
Se conserva la base y se suman los Se conserva la base y se restan los
exponentes
exponentes
Potencias de igual exponente
Multiplicación
a m ⋅ b m = ( a ⋅ b) m
∀a, b ∈ R ; m ∈ Z
División
m
a
am :bm =  
b
∀a , b ∈ R ; b ≠ 0 ; m ∈ Z
Potencia de un producto
( a ⋅ b) m = a m ⋅ b m
∀a, b ∈ R ; m ∈ Z
Para elevar un producto a potencia, se
eleva cada factor al exponente común
1
Potencia de un cuociente
m
am
a
  = m
b
b
∀a , b ∈ R ; b ≠ 0 ; m ∈ Z
Potencia de una potencia
( a m ) n = a m⋅ n
Potencia de exponente cero
a0 =1
∀a ∈ R ; m, n ∈ Z
∀a ∈ Z *
Para elevar una potencia a potencia, se Toda potencia de exponente
conserva la base y se multiplican los cero es igual a 1
exponentes
Potencia de base 1
1n = 1
Potencia de exponente negativo
a −m =
∀n ∈ Z
1
am
a
 
b
−m
b
= 
a
m
∀a, b ∈ R ; a, b ≠ 0 ; m ∈ Z *
Toda potencia de exponente negativo es
igual al valor recíproco de la base elevada
al mismo exponente, pero de signo
positivo.
Nota: Toda potencia elevada a exponente par es siempre positiva.
Nota: Toda potencia elevada a exponente impar es positiva si la base lo es y es
negativa si la base lo es.
a 2 n −1 > 0 si a > 0
a 2 n −1 < 0 si a < 0
( ) ( )
(1) 3a 4 ⋅ 2 a 3 ⋅ (2 a )
2
3
5
3a 2 ⋅ 4b 3 c
144 x13
2 a −3
⋅ x 3a + 4 ⋅ x 5− a
(3) x
( 2)
 2a 2 x 3 

( 4)  −
3 z 

3
 x 2 a −3b ⋅ x 3 a + 5 b ⋅ x a −b
(5) 
3a − 2b
: x 3a + 2b
 x
 14 x 2 a + 3 7 x 4
(6 ) 
:
3a −2
10 x 5 a
 5x






2 a −3b
2
2
ECUACIONES EXPONENCIALES
Ecuación exponencial es aquella que tiene al menos una potencia con una o más
incógnitas en su exponente. Para resolver una ecuación exponencial debemos reducir
cada miembro a una potencia y luego igualar las bases, aplicando las propiedades
correspondientes. En consecuencia, como las potencias son iguales, sus exponentes
también lo son, quedando así planteada la ecuación a resolver.
Ejemplo:
3
(0,75) 3 x − 2 =  
4
3
 
4
3
 
4
3x −2
3x −2
3
= 
4
2x
3
= 
4
2x
3x −2
3
3
= 
 
4
4
Igualando los
2x
9
• 
 16 
x +1
 3  2 
•   
 4  
3
• 
4
x +1
igualdad de las bases
2 x+2
potencia de una potencia
4 x+2
multiplicación de potencias
exp onentes
3x − 2 = 4 x + 2
x = −4
POTENCIAS DE BASE REAL Y EXPONENTE RACIONAL
1
POTENCIAS DE LA FORMA a n
1
a n = n a ; n ∈ N , Lo que se lee:
Raíz enésima de a
m
POTENCIAS DE LA FORMA a n
m
a n = n a m ; n ≠ 0 . Lo que se lee: Raíz enésima de a elevada a m
Nota: El valor de una raíz en el conjunto de los números reales depende del signo de la
cantidad subradical y del índice de la raíz.
Nota: siempre existe la raíz de un número real positivo, cualquiera sea su índice ( par
o impar)
Nota: La raíz de un número real negativo, existe si y solo si su índice es impar
3
Nota: La raíz de índice par de un número real negativo no es un número real, es un número
llamado imaginario.
PROPIEDADES
(1) Raíz de radicando cero
0 =0
n
Es una consecuencia inmediata de la definición de raíz. En efecto
=0
n
0 = 0 , ya que 0n
(2) Raíz de la unidad
n
1 =1
(3) La multiplicación de raíces de igual índice n es igual a la raíz enésima del
producto de las cantidades subradicales.
n
a ⋅n b = n a ⋅b
∀a, b ∈ R0+ , si n es par y ∀a, b ∈ R, si n es impar
También es valida para la multiplicación de tres o más raíces de igual índice.
Ejemplo:
m2 − n2 ⋅
(1)
(
(3) (
( 2) 6 − 2 x + 1
)
1
m−n
2
2x +1 − 3 x − 2
)
2
(4) La raíz enésima de un producto de dos o más factores es igual al producto de
las raíces enésimas de cada factor.
n
a ⋅b = n a ⋅ n b
(a ) 75 = 25 ⋅ 3 = 25 ⋅ 3 = 5 3
48 =
(b)
(c)
3
40 =
(d )
3
24ab 3 x =
(5) Forma típica de una raíz: Una raíz está expresada en su forma típica cuando se
ha reducido al máximo la cantidad subradical. 80 = 16 ⋅ 5 = 4 5
Ejemplo:
8 x 3 y 2 z 10
(1)
(2) 4 64 x 4 y 10
2 + 32 + 5 8
(3)
(4) 128 + 5 18 − 5 98 − 23 16
3
4
(6) Introducir un coeficiente de una raíz como factor de la cantidad subradical. Para
introducir un coeficiente dentro de una raíz enésima, debemos elevar el
coeficiente a su enésima potencia.
an b = n a n ⋅ b
(a) a b =
(b) 23 3 x =
(c) m mx =
(d ) a 3 b =
(7) División de raíces de igual índice. La división de raíces de igual índice n es igual
n
a n a
a la raíz enésima del cuociente de las cantidades subradicales.
=
; b≠0
n
b
b
Ejercicios:
(1) 5 y 3 x − 2 : 5 y 2 x −3
(2) (5 10 − 2 15 ) : 5
(8) Raíz de un cuociente. La raíz enésima de un cuociente de dos cantidades, es
a na
igual al cuociente de las raíces enésimas de cada una de ellas. n =
;b ≠ 0
b nb
Ejemplo:
5 5
+
(1)
12 18
(2) 3
(3) 4
64m 3 n 5 p 7
125a 6 b 3
16a 8 p 12
81b 4
(9) La raíz enésima de una raíz enésima es equivalente a una raíz cuyo índice es el
producto m⋅n.
a = m⋅ n a
5 =45
(a)
3
(b)
2 =
2 3=
(c)
(d )
mn
3
2 2 a =
5
RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN
Racionalizar una expresión fraccionaria consiste en transformar su denominador
irracional en un número racional
x
, se debe amplificar por a , ya que de esta forma
Para racionalizar la fracción
a
se elimina la raíz del denominador, quedando este transformado en un número
racional.
(a)
(b)
(c)
(d )
3
3⋅ 2
=
2
2⋅ 2
1+ 3
5
2
2 3
6
2x
=
3 2
( 2)
2
=
3 2
2
=
=
=
x
x
, se debe amplificar por un factor
a± b
a− b
adecuado que forme un producto suma por un producto diferencia
Para racionalizar la fracción
o
Ejemplo:
(a)
3
7+ 5
=
=
3
7+ 5
•
7− 5
7− 5
3( 7 − 5 )
7 2 − 52
3( 7 − 5 )
7−5
3( 7 − 5 )
=
2
6 −2
5
(c )
(b)
=
=
3 3 +1
2 3− 2
=
(d )
x+2
x+2 −2
=
6
Aplicación: En
incógnita que
radicación, tal
desea conocer
toda fórmula o expresión algebraica en que se requiera despejar una
aparece elevada a algún exponente, se hace necesario aplicar la
es el caso que se presenta en la fórmula del interés compuesto, si se
la tasa de interés.
Tasa de interés compuesto: La fórmula para determinar el monto final M, con un
capital inicial C, durante n periodos de capitalización, a una tasa de interés i ( tanto
por uno) es: M = C(1 + i)n
(1 + i ) n =
M
M
→ 1+ i = n
C
C
i=n
M
−1
C
Esta fórmula permite calcular la tasa de interés i, conociendo M, C y n
Nota: Es importante insistir en que i corresponde al tanto por uno, de modo que para
obtener el tanto por ciento, es necesario multiplicar por 100
Ejemplo: Un capital de $100.000, colocado a interés compuesto durante 3 meses, se
convirtió en $106.120. ¿A qué tasa de interés mensual fue colocado?
C = $ 100.000
M = $ 106.120
n = 3 meses
i=?
i=3
=3
M
−1
C
106.120
−1
100.000
= 3 1,0612 − 1
= 1,02 − 1
= 0,02
i = 2%
Ejercicio: Si la suma de $ 200.000 se ha convertido en $ 231.730 después de un año,
con capitalización trimestral de intereses. Calcular la tasa de interés anual.
7
EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
(1) 75 :72 – 7 =
A) 72
B) 7⋅72
C) 7⋅(72 – 1)
D) 7⋅(7 – 1)
E) 73 – 1
(2) Si n es un número impar mayor que uno, entonces: (−1) n +1 + (−1) n −1 + (−1) n + 2
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
E) –1
(3)
A)
B)
C)
D)
E)
(−2 3 ) 2 − (−2 2 ) 3 =
128
24
0
–24
–128
1
1 − 0,05
(4) 9
=
5
⋅1,9
18
A) 2
B) 36
C ) 38
18
19
19
E)
18
D)
(5)
2 −1 − 3 −1
2 −1 ⋅ 3 −1
=
A) –1
B) 1
C) 0
D)
E)
1
3
1
2
8
(6) (0,5 + 0,25) –1 =
1
6
3
B)
4
4
C)
3
D) 3
A)
E) 6
(7) (10 −3 ) −3 ⋅ (0,5 ⋅10 −3 ) −2 =
A) 4 ⋅10 −3
B) 2 ⋅10 −3
C ) 10
D) 10 −15
E ) 4 ⋅1015
(8) (1,69 ⋅10 −5 ) : (1,3 ⋅10 4 ) =
A) 1,3 ⋅10 −9
B ) 1,3 ⋅10 −1
C ) 1,3 ⋅101
D ) 1,3 ⋅10 −1
E ) 13 ⋅10 9
(9) Al multiplicar (a5)2 por a7 se obtiene:
A)
B)
C)
D)
E)
a14
a32
a17
a70
a3
9
(10) La fracción
A) −
B)
2a −1 − 3b −2
a −1 + 2b − 2
equivale a:
1
3
1
3
2b − 3a 2
b + 2a
2b − 3a
D)
b + 2a
2b 2 − 3a
E) 2
b + 2a
C)
(11) La suma de
a
1+ y
a
+
a
1 + y −a
es igual a:
A) 0
B) a
C)
D)
2a
1 − y 2a
2
1− y 2
E ) Ninguna de las anteriores
(12) Si 8ª = 2, entonces 8a+3es igual a:
A) 24
B) 32
C) 48
D) 512
E) 1.024
(13) Si el área total de un cubo es 294 dm2, entonces su arista mide:
A) 49 dm
B) 98 dm
C) 7 2 dm
D) 7 dm
E) 14 dm
(14) La suma de 7
A) 15
B) 17
C) 11
D) 5
0
1
+ 16 2
es igual a:
1
E) 5 2
10
(15) La expresión (x 18 )
A) x2
B) x 6
C) x 10
D) x4
E) No se puede calcular
2
es equivalente a:
(16) El producto 5 ⋅ (4 −1 + 3 −1 ) es :
35
12
7
B)
5
C ) − 35
5
D)
7
E ) 35
A)
(17) Si la medida del área de un cuadrado es 729 cm2, entonces su diagonal debe medir:
A) 17 cm
B) 27 cm
C ) 27 2 cm
D) 364,5 cm
E ) 364,5 2 cm
(18) El valor de 512
A) −
−
1
3
−3
+ 3 ⋅ (16) 4
 1 
− 
 32 
−
2
5
es :
7
2
7
2
9
C)
2
B)
9
2
E ) Ninguna de las Anteriores
D) −
(19) Los números a = 2 2 , b = 3 , c = π , escritos en orden creciente es:
A) a,b,c
B) a,c,b
C) b,a,c,
D) b,c,a
E) c,a,b
11
1
3
(20) 0, 3 ⋅ • 0, 9 =
A) 0,1
B ) 0,09
C ) 0, 3
D)
0, 9
E)
0,01
(21)
0,0501 50,1
=
:
0,51
5,1
A)
B)
C)
D)
E)
104
102
10-3
10-4
10-8
1
1
(22) Si a = 1 , el valor de la expresión : a
2
A)
B)
C)
D)
E)
−1
+
1+ a
1
a − 2 es :
−1
9
4
5
4
25
16
1
4
4
5
(23) Si a = -
1
3
1
2
y b = , entonces
+
=
2
4a 3b
3
A) 2
B) 1
11
72
D) − 1
C) −
E) − 2
12
(24) El valor de la expresión
A)
2 

1


3  es :
1,8 ⋅

2 − 0, 6 




3
2
B) 2
1
4
4
9
D) 1,44
C)
E)
15
7
3



2
− 0,5 − (−1) 
(25) 
 =
2
  1 − 3  : 2 

  2 2 
A)
B)
C)
D)
E)
27
9
–3
–9
–27
(26)
A)
B)
C)
D)
E)
 3,14 
 0,00314 


−3
 2,04 
:

 204 
−1
=
10-5
10-7
10-9
10-11
107
(27) El valor de
1
1− 3
+4−
1
1+ 3
es igual a:
A) 2 + 3
B) 2 − 3
C) 4
D) 4 + 3
E) 4 − 3
13
(28) La expresión
A) –6
B) 10
C) 2
D) –2
E) 10 + 2 10
(
)
2
2 − 8 es equivalente a:
(29) Si x = 3 ; y = -2 ; z = -4, entonces el valor de 3 3x − 2 y − 3z será :
A) –5
B) 3 25
C) 9
D) –9
E) 3 − 7
(30) La expresión 3 ⋅ 3 2 es equivalente a :
A)
3
B)
6
6
6
C) 5
D) 6 6
E ) 108
( −2 ) ⋅ ( 0, 25)
−3
(31)
a)
b)
c)
d)
e)
−2
(1,5) −3 ⋅ 33
0,25
0,75
4
–16
1
(32) (23 )−2 
A) -1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
0,5
⋅ (0,5)0,75 
−4
(33) 5x3 – 3x2 + 4x-2 + 16x-3, cuando x = -2
A)
B)
C)
D)
E)
60
106
–53
81
72
14
(−1) −9 ⋅ (0, 25) −3 ⋅ 8−2
(−0, 4)−2 ⋅10−3
100
–160
–105
153
(0,25)-3
(34)
A)
B)
C)
D)
E)
(35) (a2 – b3)( a – b2) , para a = -3 y b = -2
A)
B)
C)
D)
E)
–7
1
–1
17
–119
(36) (a2 – b3)٠a – b2 , para a = -3 y b = -2
A)
B)
C)
D)
E)
–7
1
–55
109
19
(37) (−a 3 ) ⋅ (−a 2 )3 ⋅ (−a −2 )
A)
B)
C)
D)
E)
a7
–a-5
a-5
–a11
Ninguna de las anteriores
(38)
A)
B)
C)
D)
E)
a n + 2 ⋅ b n −3 ⋅ a
a 2 n − 3 ⋅ b n − 3 ⋅ a 2 n −5
a 11-3n
a 11-n
a 3n+8
a0
a3
15
(39) 0, 75 ⋅ (−b −4 ) ⋅ 5b 7 ⋅ 4b −3
A)
B)
C)
D)
E)
15b
–60
5b0
–b1
–15
(40) (−2a 5 )3 ⋅ (−5a −4 ) 2 ⋅ (7 a −2 )0
A) –200
B) –200a7
C) 70a5
D) 10a7
E) Ninguna de las anteriores
(41)
A)
b
a
B) −
C)
a 3 x + 2 ⋅ b3 x + 2 (ba )3 x + 2
:
=?
a
b
b
a
a
b
a
b
E ) Ninguna de las anteriores
D) −
(42) (0,5)-1 : (0,25)-1 =
1
8
1
B)
2
1
C)
5
D) 2
E) 5
A)
16
(43) 5 ⋅102 + 4 ⋅101 + 3 ⋅100 + 2 ⋅10−1 + 1 ⋅10−2 =
A)5,4321
B) 54,321
C) 543,21
D) 5432,1
E) Ninguna de las anteriores
3
−2
 2, 03 
 0,572 
(44) 
• 0,1 • 

 =
 0, 0203 
 0, 0572 
A) 0,1
B) 1
C) 10
D) 100
E) 1.000
(5) ( 2a 2 x3 y 5 ) = ?
5
A) 2a 2 x8 y10
B) 2a 7 x8 y10
C )10a10 x15 y 25
D)32a10 x3 y15
E ) 32a10 x15 y 25
(46) Si a = 5 ⋅10−2 entonces
a −3 − 5 a −2
=
2 ⋅103
A) 5
B) 3
1
C)
3
1
D)
5
3
E)
10
17
2
 5
18 
(47)  2
−5
 =
5 
 2
A) -80
B) – 13
C) 4
D) 40
E) 94
(48) Si a = 102 , entonces
a −1 ⋅ a −2
=
a −3 ⋅ a
A) 100
B) 10
C) 102
D) 104
E) 105
(49) 29 - 23 =
A) 23 ⋅ 32 ⋅ 7
B ) 26
C ) 23 ⋅ 7
D) 22 ⋅ 3
E ) 23
2 − 8 + 18
(10)
A)
2
B) 8
C ) 12
D)
28
E ) 72
(51) ¿Para qué valor de x se cumple la siguiente igualdad: 3x + 3x + 4 + 3x −1 =
247
?
27
A) -5
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
18
(52) Sea n ∈ Z + , si N = 3n − 2n entonces N 2 es igual a :
A) 3n+ 2 − 2(6n ) + 2n+ 2
B) 9n + 4n
C ) 9n − 4n
D) 9n + 2(6n ) + 4n
E ) 9n − 2(6n ) + 4n
(13) 2 ⋅ 2n + 4 ⋅ 2n − 2 + 8 ⋅ 2n−3 =
A) 2n +1
B) 2n + 2
C ) 22 n − 2
D) 22 n −1
E ) 22 n + 4
(54) Si a y b son números reales no nulos, entonces (a-1+b-1)-1 : ( a + b) –1 =
A) ab
ab
B)
a+b
C) a + b
a+b
D)
ab
1
E)
a+b
(55) 25 – 24 + 23 – 22 + 21 =
A) 8
B) 16
C) 22
D) 32
E) 64
19
3n +1 ⋅ 3n −1
=
(56) 32− n ⋅ 3n
A) 9n −1
B) 3n−1
C ) 3n − 2
D) 32 n+ 2
E) 3
n 2 −1
2 n − n2
(57) La expresión ( 2 3n)2m es equivalente a:
I)
II)
III)
( 22n)3m
(22m)3n
(2mn)6
De estas afirmaciones, es(s0n) verdaderas:
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
(58) Si n es un número natural, entonces, la expresión: (−1) n
2
−n
+ (−1)2 n + (−1) 2 n −1 =
A) -3
B) -2
C) -1
D) 1
E) 3
(59) Si “a” es un número real positivo, entonces
( − a 2 )3 + ( − a 3 ) 2
=
a6
A) -2
B) –1
C) 0
D) 2
E) a –6
20
(60) 1 : ( 0,125) –1 =
1
8
1
B)
4
1
C)
2
D) 4
A)
E) 8
(61) (2z)-3 - 2z –3 =
A) − 120 z −3
B) − 15 z −3
C) −
15 −3
z
8
D) 0
E )15 z −3
(62) Al racionalizar la fracción
5( 2 + 3 )
2 2+ 3
se obtiene:
A) 5(1 + 6 )
1
B) (1 + 6 )
5
C) 5 + 6
D) 1 + 6
E ) Ninguna de las anteriores
(63) Se afirma que dos cuadriláteros que tienen:
I)
Sus 4 lados respectivamente iguales son congruentes
II)
Sus 4 ángulos respectivamente proporcionales, son semejantes
III)
Sus 4 lados respectivamente proporcionales, son semejantes.
Entonces, de estas afirmaciones es(son) verdadera(s):
A) sólo I
B) solo II
C) II y III
D) Todas
E) Ninguna de las anteriores
21
(64) Los rectángulos APQR y ABCD son semejantes en la razón 1: 3. entonces sus áreas
están en la razón:
A) 1 : 3
B) 3 : 1
C) 1 : 9
D) 9 : 1
E) 1 : 12
(65) Si las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 1 : 2 y su
área es 25 cm2, entonces la hipotenusa mide:
A) 5 3 cm
B) 5 5 cm
C ) 10 cm
D) 10 3 cm
E ) 10 3 cm
(66) En el triángulo ABC, rectángulo en C, hc =
I) (p + q)2 = 4pq
II) q =
p
2
c
en relación con esto se afirma que:
2
III) p = q
De estas afirmaciones es(son) verdadera(s):
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I y III
(67) Si el área de un triángulo equilátero mide 25 3 m 2 , entonces su lado mide:
A) 5 3 m
B) 10 m
C ) 100 m
D) 20 3 m
E ) 50 3 m
(68) Si las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 1 : 2 y su
hipotenusa es 10 m, entonces su área mide:
A) 20 m 2
B) 10 3 m 2
C) 4 5 m 2
D) 5 5 m 2
E) 5 3 m 2
22
(69) Si 5 + 2 4 = x, entonces ( x − 3) 2 =
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 9
(70) (−3 3 ) 2 =
A) − 27
B) 27
C)
27
D) − 27
E ) No es un número real
(71) 3 3 + 2 • 3 3 − 2 =
A) 3
B) 25
C) 25
D) 5
E) 6 3
(72) ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) real(es)?
I)
2 5 −5
II )
4 3 −3 5
III )
9−4 5
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) Ninguno de ellos
2
 7
75 
(73)  3 − 7
 =

3
7 
A) 546
B) –546
C) 504
D) –504
E) 336
23
RESPUESTAS
1C
2C
3A
4A
5B
6C
7E
8A
9C
10E
11B
12E
13D
14D
15B
16A
17C
18A
19C
20C
21D
22A
23A
Patricio Figueroa
Cel.: 618 69106
e-mail: [email protected]
sitio web: www.amatematicas.cl
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