187 SOBRE UNA MODELIZACIÓN EQUIVALENTE DE UN

Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
SOBRE UNA MODELIZACIÓN EQUIVALENTE DE UN PROBLEMA DE
OPTIMIZACIÓN
M. Adalid
M.J. Canós
M. Mocholí
V. Navarro
R. Sala
V. Sanchis
Departamento de Economía Financiera y Matemática
Universidad de Valencia
Resumen: El descuento financiero de efectos es una fuente financiera habitual para
cualquier empresa en la gestión del circulante, sobre todo en las pequeñas y medianas
empresas. Por tanto, resulta de suma importancia realizar una gestión óptima de la
cartera de efectos que permita minimizar el coste de dicha fuente de financiación, con el
fin de mejorar la posición competitiva de la empresa dentro de su sector. La distribución
óptima de esta cartera se traduce en varios modelos de optimización, dependiendo del
objetivo que el gerente de la empresa pretenda alcanzar. Estos modelos de optimización,
agrupados por parejas, tienen características comunes tales como que todas las
restricciones son siempre lineales y las variables son binarias; pero presentan una
diferencia fundamental, desde el punto de vista de la optimización: la función objetivo
puede ser lineal o no lineal. En el presente trabajo, englobado dentro de un proyecto
más amplio, estudiamos la relación entre dichos problemas, demostramos que la
solución que se obtiene en un problema lineal binario también es una solución óptima
para su correspondiente problema no lineal y detallamos las líneas de las futuras
investigaciones.
187
Adalid M., Canós M.J., Mocholí M., Navarro V., Sala R., Sanchis V.
1. Planteamiento del problema
El descuento de efectos es una fuente financiera habitual para cualquier empresa en la
gestión del circulante, sobre todo en las pequeñas y medianas empresas. Por tanto,
resulta de suma importancia realizar una gestión óptima de la cartera de efectos que
permita minimizar el coste de dicha fuente de financiación, con el fin de mejorar la
posición competitiva de la empresa dentro de su sector. Este trabajo forma parte de un
proyecto más amplio, donde la implementación de un software adecuado ayuda a la
empresa en su toma de decisiones. Como paso previo se requiere un estudio de las
diferentes situaciones que puede querer resolver la empresa, de los datos necesarios para
resolver cada uno de los problemas, así como de las relaciones entre los diferentes
resultados que se pueden obtener. De este modo, y mediante un buen asesoramiento, la
solución matemática del problema será también una solución óptima del problema real.
La distribución óptima de esta cartera de la empresa se traduce en varios modelos de
optimización, dependiendo del objetivo que el gerente de la empresa pretenda alcanzar
Estos modelos de optimización, agrupados por parejas, tienen algunas características
comunes tales como:
1. Las variables principales de cualquiera de los problemas son variables binarias que
representan la decisión de la empresa de descontar o no una determinada letra en un
determinado banco.
2. Las restricciones de cualquiera de los problemas son lineales y pueden agruparse
con el siguiente criterio:
a) Restricciones que dependen del banco y vienen determinadas por el riesgo
máximo que el banco está dispuesto a asumir con la línea de descuento facilitada
a la empresa mediante este procedimiento. Podemos tomar como hipótesis de
trabajo, sin ninguna limitación, que esta cota superior se fija después de todos
los contactos necesarios entre el banco y la empresa y, por tanto, estas
restricciones son de carácter duro.
b) Restricciones que dependen de la empresa y que reflejan su postura ante el
problema: conseguir una cantidad concreta de efectivo, en cuyo caso no conoce
a priori cuántas letras va a descontar, o bien descontar un número determinado
de letras. Dependiendo de lo firme que sea la decisión de la empresa, estas
188
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
restricciones pueden tener carácter duro o blando. En este último caso, la
empresa puede plantearse un análisis ex ante o ex post.
c) Otro tipo de restricciones que pueden depender del banco, de la empresa o de
ambos simultáneamente. Un ejemplo de este tipo de restricciones sería la
prioridad en el descuento de las letras que la empresa pueda tener. Este bloque
de restricciones puede ser vacío, es decir, la empresa y el banco pueden no tener
más requerimientos que los explicados en los dos apartados anteriores. Puesto
que la inclusión o no de esta clase de restricciones no afecta al razonamiento que
desarrollaremos en secciones posteriores, plantearemos los modelos teniendo en
cuenta sólo las restricciones de tipo a) y b).
Por otra parte, la empresa puede tener dos objetivos diferentes, que son:
1. Minimizar la T.A.E. del conjunto de las remesas, con lo cual nos encontramos ante
un problema no lineal y por tanto de compleja resolución.
2. Minimizar el coste de descuento con lo que el problema es un problema lineal de
más fácil resolución.
Combinando los diferentes tipos de restricciones y de objetivos, obtenemos varios
problemas de optimización que pasamos a modelizar en la sección 2.
2. Modelización de los problemas
Consideremos una empresa que dispone de n letras que puede descontar en m bancos
diferentes y sean
§
cij el coste total de descontar la letra i en el banco j con i=1,...,n ; j=1,...,m.
§
Ni el nominal de la letra i para i=1,...,n.
§
Eij = Ni – cij el efectivo que se obtendrá si se descuenta la letra i en el banco j con
i=1,...,n; j=1,...,m.
§
I la T.A.E. global de las remesas.
§
Lj el límite de riesgo en el banco j para j=1,...,m.
§
E el efectivo que quiere conseguir la empresa.
§
NL el número de letras que desea descontar la empresa.
189
Adalid M., Canós M.J., Mocholí M., Navarro V., Sala R., Sanchis V.
Definamos las variables xij =1 si la empresa descuenta la letra i en el banco j y 0
en caso contrario, para i=1,...,n ; j=1,...,m.
Con la anterior notación, planteamos los siguientes programas:
( PL 1) Min
∑c x
(PNL1) Min I
ij ij
i, j
s.a.
∑N x
i ij
≤ Lj
j = 1,..., m
(1.1)
i = 1,..., n
(1.2)
s.a.
ij
=1
∑x
ij
∑c x
ij ij
(PNL 2) Min I
i, j
∑N x
i ij
≤ Lj
j = 1,..., m
(2.1)
s.a.
∑x
= NL
∑x
≤1
(2.2)
ij
i = 1,..., n
(2.3)
= NL
∑x
≤1
ij
xij ∈{0,1}
∑c x
ij ij
(PNL 3) Min I
i, j
∑N x
≤ Lj
∑E x
≥E
i ij
j = 1,..., m
(3.1)
(3.2)
∑N x
≤ Lj j =1,...,m
∑E x
≥E
i ij
≤1
ij ij
i, j
i, j
ij
s.a.
i
i
ij ij
i =1,...,n
j
xij ∈ {0,1}
∑x
≤ Lj j =1,...,m
∑x
ij
j
s.a.
i ij
i, j
i, j
( PL 3) Min
∑N x
i
i
ij
i =1,...,n
xij ∈{0,1}
xij ∈ {0,1}
s.a.
=1
j
j
( PL 2) Min
≤ Lj j =1,...,m
i ij
i
i
∑x
∑N x
i = 1,..., n
(3.3)
∑x
ij
j
j
≤1
xij ∈{0,1}
xij ∈ {0,1}
190
i =1,...,n
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
Observemos que estos seis problemas están agrupados de dos en dos de modo
que el conjunto de oportunidades de ambos es el mismo y sólo cambia la función
objetivo: en los problemas lineales binarios, (PL), se minimiza el coste de descuento,
que es una función lineal, mientras que en los problemas no lineales, (PNL), se busca la
mínima T.A.E. global de las remesas, que es una función implícita no lineal obtenida a
partir de la ecuación:
∑ Eij xij = ∑ N i xij (1 + I )
i, j
−
di
365
(Ec.1)
i, j
donde di son los días al vencimiento.
Las restricciones de los problemas reflejan bajo que condiciones está planteada
la gestión de la cartera. Y así, las restricciones (1.1), que son iguales a las restricciones
(2.1) y (3.1), representan el límite de riesgo de cada banco. Recordemos que estas
condiciones no admitían relajación alguna. Las restricciones (2.3), que son las mismas
que las restricciones (3.3) garantizan que la misma letra no se descuente en más de un
banco, así como la restricción (1.2). Esta última también indica que la empresa ha
decidido descontar todas las letras, mientras que la restricción (2.2) refleja que la
empresa ha decidido descontar un número determinado de letras NL y la restricción
(3.2) dice que la empresa quiere conseguir una cantidad determinada de efectivo,
decisiones que, según el criterio de la empresa, podrán ser relajadas, antes o después de
la resolución del problema, o no.
Con todo ello, y de acuerdo con la discusión de la sección 1, tenemos que:
1. Las restricciones impuestas por el banco aparecen en todos los problemas.
2. La empresa puede tomar dos actitudes diferentes que son:
a) Descontar un número determinado de letras (problemas 2). En particular, puede
decidir descontarlas todas (problemas 1).
b) Conseguir, como mínimo, una determinada cantidad de efectivo (problemas 3).
3. Relaciones entre los problemas
La recogida de datos y su posterior estructuración son un problema fundamental en la
resolución de problemas reales mediante técnicas de programación matemática, hecho
éste injustamente olvidado por la mayoría de los investigadores pioneros en
191
Adalid M., Canós M.J., Mocholí M., Navarro V., Sala R., Sanchis V.
aplicaciones de la programación, pero que más recientemente ha ocupado su justo lugar.
Tanto es así que en algunas de las técnicas de resolución más modernas, tales como la
optimización por escenarios o la optimización borrosa, el análisis y tratamiento de los
datos es una materia con su propio peso específico y es considerado, evidentemente,
como el primer paso de un correcto proceso de resolución, no menos importante que la
algoritmia o el análisis de las soluciones.
Desde este punto de vista, el estudio de las relaciones entre los seis problemas
planteados en la sección anterior y sus consecuencias no sólo es necesario para un
correcto planteamiento matemático y su posterior resolución. También sienta las bases
del asesoramiento previo que debe tener la empresa para que la recogida, análisis e
incorporación de los datos al software proporcione una fructífera implementación real
de la solución matemática.
Definimos dos tipos diferentes de relaciones:
1. Relaciones verticales: llamaremos así a las relaciones existentes entre los problemas
con la misma función objetivo y diferentes conjuntos de oportunidades, es decir,
entre los problemas (PL1), (PL2) y (PL3) y entre (PNL1), (PNL2) y (PNL3).
2. Relaciones transversales: son aquéllas entre problemas con el mismo conjunto de
oportunidades y diferentes funciones objetivos, esto es, entre (PL1) y (PNL1), entre
(PL2) y (PNL2) y entre (PL3) y (PNL3).
Las relaciones verticales vienen dadas por la similar estructura de los conjuntos de
oportunidades de los problemas y es obvio que:
1. Todos los problemas tienen un número finito de soluciones.
2. El motivo por el que la empresa se plantee uno de los problemas 2 conducirá
también a determinar qué letras desea descontar. Por ejemplo, si la empresa
decide descontar las cinco letras que le reportan más riesgo, sabrá cuales son
esas cinco letras. Por tanto, el planteamiento de los problemas 2 es interesante,
desde un punto de vista conceptual, para el análisis de los datos o de la solución,
según discutimos en la sección 1. No obstante, a efectos de resolución, un
problema 2 puede reducirse a su correspondiente problema 1.
3. El conjunto de oportunidades de un problema 1 está incluido en el conjunto de
oportunidades de su correspondiente problema 3 y, en consecuencia, el valor
192
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
óptimo de la función objetivo del problema 1 será mayor o igual que el valor
óptimo de la función objetivo de su correspondiente problema 3.
Mucho más interesantes, desde el punto de vista computacional, son las relaciones
transversales. En el presente trabajo establecemos las relaciones transversales entre los
problemas 1.
3. Relaciones transversales
Proposición 3.1. El número máximo de soluciones factibles para los problemas 1 es mn.
Demostración. Teniendo en cuenta que cada letra se descuenta sólo una vez y que en un
mismo banco puede descontarse más de una letra, el número de soluciones que cumplen
la restricción (1.2) es el número de variaciones con repetición de m elementos tomados
de n en n, es decir, mn.
Caracterización de las soluciones factibles mediante aplicaciones. Vamos a definir una
aplicación cuyo rango nos permita obtener una caracterización de las soluciones
factibles que utilizaremos en resultados posteriores.
Consideremos los conjuntos de índices I={1,...,n}, que representa el número de
letras, y J={1,...,m}, que representa el número de bancos.
Consideremos la siguiente aplicación:
f: Jn → Mnxm ({0,1})
1 si j = ji
donde f(j1,...,jn) = x siendo xij= 
0 en caso contrario
Es evidente que si x ∈ rang f entonces x cumple la restricción (1.2). Por lo tanto,
el conjunto de oportunidades de los problemas 1 es un subconjunto del rango de f, cuyo
cardinal es, precisamente, mn, como ya sabíamos por la proposición 3.1.
n
Proposición 3.2. Si
min
m
∑ N jl > ∑ L j entonces los problemas 1 son infactibles.
( j1 ,..., j n )∈ J n l =1
j =1
Demostración. Es evidente que si ninguna de las soluciones que cumplen la restricción
(1.2) pueden cumplir las restricciones (1.1) simultáneamente, el problema es infactible.
193
Adalid M., Canós M.J., Mocholí M., Navarro V., Sala R., Sanchis V.
Proposición 3.3. Si x es un óptimo (estricto) del problema (PL1) entonces x es un
óptimo (estricto) del problema (PNL1).
Demostración. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el conjunto de
oportunidades del problema (PL1) es igual al rango de f y sea xr = f(r1,...,rn) un óptimo
para el problema (PL1). Se cumplirá que:
n
n
∑c
< ∑ cis i
iri
i =1
(1)
i =1
para cualquier otro (s1,...,sn) ∈ Jn tal que xs = f(s1,...,sn) no sea óptimo de (PL1).
La T.A.E. para la solución xr = f(r1,...,rn), Ir, podemos calcularla, según (Ec.1), como
n
n
∑E
iri
i =1
= ∑ N i (1 + I r )
−
di
365
,
i =1
es decir,
n
∑(N
n
− ciri ) = ∑ N i (1 + I r )
i
i =1
−
di
365
.
(2)
i =1
La T.A.E. para la solución xs = f(s1,...,sn), Is, podemos calcularla como
n
n
∑E
i =1
isi
= ∑ N i (1 + I s )
−
di
365
,
i =1
es decir,
n
∑(N
i =1
n
i
− cis i ) = ∑ N i (1 + I s )
−
di
365
.
(3)
i =1
Por (1), sabemos que
n
n
i =1
i =1
∑ ( Ni − ciri ) > ∑ ( Ni − cisi ) .
(4)
Luego, a partir de (2), (3) y (4), deducimos que
n
∑ N (1 + I )
i
−
di
n
365
r
i =1
> ∑ N i (1 + I s )
−
di
365
.
(5)
i =1
Por otra parte, supongamos que xr = f(r1,...,rn) no es un óptimo para (PNL1). Entonces
existirá un (t1,....,tn) ∈ Jn tal que It < Ir.
Si It < Ir entonces (1 + I t )
−
di
365
> (1 + I r )
n
∑ N (1 + I )
i
i =1
t
−
−
di
365
di
365
para todo i=1,...,n; con lo cual
n
> ∑ N i (1 + I r )
i =1
194
−
di
365
.
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
que es una contradicción con (5).
Por tanto, si xr = f(r1,...,rn) es un óptimo de (PL1) también es un óptimo de (PNL1).
4. Conclusiones y futuras investigaciones
En este trabajo hemos expuesto el estado actual de nuestras investigaciones respecto a
las relaciones horizontales y transversales de los problemas deterministas que puede
desear resolver la empresa, que pasamos a resumir a continuación.
Como consecuencia de la proposición 3.3, no es necesario implementar el
problema no lineal. Basta con considerar el problema lineal, de resolución mucho más
sencilla, para asegurarnos de que la solución encontrada, que minimiza el coste de
descuento, también minimiza la T.A.E. de la remesa, si es que es éste el objetivo
perseguido por la empresa. Además, si la empresa decide descontar un número
determinado de letras será suficiente con una trivial modificación de los datos para
remitirnos al problema (PL1). En conclusión, es suficiente implementar (PL1) para
poder resolver los casos planteados por (PL1), (PNL1), (PL2) y (PNL2).
En estos momentos estamos estudiando las relaciones transversales de los
problemas 3 y nuestros proyectos a corto plazo son estudiar el caso en que la empresa
no se decida a presentar como un dato en firme E o NL, utilizando para ello técnicas de
análisis de sensibilidad o paramátricas para hacer un análisis ex post o bien técnicas de
optimización por escenarios o técnicas borrosas para hacer un análisis ex ante,
comparando ambos resultados.
195