Tema 1

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.
Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C3v:
sistema de referencia:
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Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C3v:
sistema de referencia:
La rotación de 120º a través del eje z traslada un punto de
coordenadas (x,y) a uno de nuevas coordenadas (x’,y’):
En azul se representa el nuevo sistema de coordenadas rotado un
ángulo 
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Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C3v:
sistema de referencia:
Podemos determinar las nuevas coordenadas (x’,y’) a partir de las
(x,y) expresadas en el sistema de referencia fijo (en negro):
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Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C3v:
sistema de referencia:
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Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C3v:
sistema de referencia:
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Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C3v:
sistema de referencia:
calculemos el pedacito…
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Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C3v:
sistema de referencia:
entonces: x’ = x cos  - y sen 
calculemos ahora y’ :
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Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C3v:
sistema de referencia:
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Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C3v:
sistema de referencia:
entonces: y’ = x sen  + y cos 
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Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C3v:
sistema de referencia:
CONCLUSIÓN:
x’ = x cos  - y sen 
y’ = x sen  + y cos 
CON  = 2/3 = 120º
PARA AMONÍACO.
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Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C3v:
así que las matrices de transformación son:
Notar que siempre el plano vertical en el NH3 debe contener
el átomo de nitrógeno y uno de los hidrógenos, dejando dos
hidrógenos para el cambio tras la operación.
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También se observa que en las matrices, z nunca esta mezclada
con x o con y, esto es, z’ es función de z solamente. Por tanto, z
constituye una representación irreducible independiente del
grupo. Por otra parte x Y y forman conjuntamente una
representación. Esto es equivalente a ver las matrices en forma
de bloques diagonalizados.
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con diagonales:
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Con las propiedades de los caracteres de las representaciones
irreducibles podemos hallar la que falta!.
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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles
en los grupos puntuales (2do ejemplo: amoníaco C3v):
Primero: el número total de operaciones de simetría en un grupo
se denomina orden (h).
h = 6 (6 operaciones de
simetría: E, 2C3, 3sv)
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Segundo: las operaciones de simetría se arreglan en clases. Todas las
operaciones de una misma clase tienen los mismos caracteres para
sus matrices transformación.
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Tercero: El número de representaciones irreducibles debe ser igual
al número de clases. Estos significa que la tabla de caracteres debe
ser cuadrada.
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Cuarto: la suma del cuadrado de las dimensiones (caracteres
debajo E) para cada una de las representaciones irreducibles
debe ser igual al orden del grupo.
h    i ( E )
2
i
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Quinto: para una representación irreducible en particular, la suma
de los cuadrados de los caracteres multiplicado por el número de
operaciones de una misma clase, es igual al orden del grupo.
h    i ( R)
2
R
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Sexto: las representaciones irreducibles son ortogonales entre sí.
La suma de los productos de los caracteres, multiplicados por el
número de clase, de cualquier par de representaciones irreducibles
es igual a cero.
  ( R) 
i
R
j
( R)  0
para i ≠ j
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Séptimo: todos los grupos tienen una representación irreducible
totalmente simétrica, que tiene todos los caracteres igual a 1
para todas las operaciones.
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Ahora podemos completar el resto de los caracteres para la
representación irreducible que nos faltaba:
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Finalmente queda:
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Ahora asignemos nombres a las rep. irred. encontradas:
con los siguientes significados:
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1.- Todas las representaciones unidimensionales se designan
mediante A o B. E (no me refiero a oper. ident.)es el símbolo
para las
representaciones bidimensionales.
Los
casos
tridimensionales se designan por medio de T (o a veces F).
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2.- Las representaciones unidimensionales que son simétricas con
respecto a la rotación por 2/n alrededor del eje principal Cn
(significa simétrico (Cn) = 1) se designan por A, mientras
que aquellas antisimétricas ((Cn) = -1) se designan por B.
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3.- Los subíndices 1 y 2 van unidos a los A y B para designar aquellos
que son, respectivamente, simétrico o antisimétrico con respecto a
un eje C2 perpendicular al eje principal, o bien si no existe ese eje, a
un plano vertical de simetría.
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4.- Las primas y dobles primas van unidas a todas las letras, cuando
sea conveniente, para indicar las que sean simétricas o asimétricas,
respectivamente, con respecto a
sh.
5.- En los grupos con un centro de inversión, el subíndice g (del
vocablo alemán gerade que significa par) se une a los símbolos de
las representaciones que son simétricas con respecto a la inversión,
y el subíndice u (ungerade en alemán, impar) se utiliza para aquellos
asimétricos a la inversión.
6.- En uso de los subíndices numéricos para E y T, también sigue
ciertas reglas, pero éstas no pueden establecerse fácilmente sin
un desarrollo matemático previo. Nos bastará considerarlos como
denominaciones arbitrarias.
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Recapitulando, la tabla de caracteres para el grupo C3v es la
siguiente:
zona 1
☜
zona 2
☜
zona 3
☜
zona 4
☜
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Repaso sobre la zona 3:
En la zona 3 se encuentran siempre tres símbolos: x, y, z, Rx, Ry, Rz.
Los tres primeros representan las coordenadas x, y, z. Los símbolos
R establecen las rotaciones en torno a los ejes especificados con los
subíndices.
En las matrices de transformación se nota que x’ es función de x Y y.
Además z’ es solo función de z.
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Repaso sobre la zona 3:
De modo que (x, y), Y z constituyen entre sí representaciones
diferentes.
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Repaso sobre la zona 3:
Para las propiedades de transformación de las rotaciones tenemos
lo siguiente:
se coloca una flecha curva en torno al eje elegido para la rotación.
Dicha flecha alrededor del eje z se transforma en sí misma mediante
E.
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Repaso sobre la zona 3:
La flecha alrededor del eje z se transforma en sí misma mediante C3.
La flecha alrededor del eje z cambia su sentido con los planos
verticales.
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Repaso sobre la zona 3:
Así se constituye la base para una representación irreducible con los
caracteres: 1
1
-1, que corresponde a la A2. Esto se señala
entonces como Rz en la zona 3.
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Repaso sobre la zona 3:
Ahora: que pasa con los vectores Rx y Ry????.
Hasta los momentos los ejemplos escogidos han sido muy sencillos
porque los vectores se transforman en  si mismos por las
operaciones de simetría y por ellos las representaciones contenían
únicamente  1. Esta condición no se cumple porque los dos vectores
dependen entre sí y son mezclas de los originales; no pueden por lo
tanto discutirse por separado.
Es decir, la idea de la flecha circular no me sirve; pero
un punto sí…
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Repaso sobre la zona 3:
Al aplicar C3 el punto gira 120º. Las nuevas
coordenadas de rotación son:
1
3
Rx   Rx 
Ry
2
2
'
3
1
Ry  
Rx  Ry
2
2
'
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Repaso sobre la zona 3:
La expresión de transformación de los vectores es muy
engorrosa. Puede simplificarse mediante las siguientes
matrices:
para C31
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Repaso sobre la zona 3:
La expresión de transformación de los vectores es muy
engorrosa. Puede simplificarse mediante las siguientes
matrices:
para C32
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Repaso sobre la zona 3:
Las matrices de transformación para todas las demás
operaciones de simetría, usando como base los vectores
Rx y Ry son las siguientes:
para E
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Repaso sobre la zona 3:
para el primer plano vertical
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Repaso sobre la zona 3:
para el segundo plano vertical
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Repaso sobre la zona 3:
para el tercer plano vertical
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que corresponde bien con la representación irreducible E.
NOTA: Sí se coloca el punto magenta en (y) el
razonamiento es análogo y conduce a la misma
conclusión.