Esercizi di geometria analitica del piano. Ejercicios de geometría analítica

Politecnico di Torino – II Facoltà di Architettura
Corso di Istituzioni di Matematiche I
Esercizi di geometria analitica del piano
1) Determinare le componenti di un vettore parallelo e di un vettore perpendicolare alle rette:
r1 :
r4 :
x = 2 + 3t
y = 5 − 4t
2x + y − 5 = 0,
r2 :
r5 :
x = −1 − 3t
y=2
x + y = 0,
r3 :
r6 :
y+4
x−3
=
2
3
y−3=0
r7 :
x = 0.
2) Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane delle rette passanti per i punti
a) A = (0, 0), B = (3, −2)
b) A = (2, 1), B = (0, 0),
c) A = (2, 1), B = (5, 1)
3) Scrivere l’equazione cartesiana delle rette r ed s passanti per il punto P0 = (3, −5) e parallele rispettivamente alle rette
r0 :
4) Date le rette r :
ed s0 :
x + 2y − 4 = 0
x + ky + k = 0 ed s :
x = 1 + 2t
y =3+t
kx + y + k = 0, con k ∈ R, determinare per quali valori di
k le rette sono parallele.
5) Calcolare l’area del triangolo di vertici A = (0, 1), B = (3, 0), C = (1, 5).
6) Data la retta y = 4x+k, con k ∈ R, determinare k in modo che la retta passi per il punto P 0 = (−1, −1).
7) Trovare i valori di k per cui le rette dell’esercizio 4 sono perpendicolari. Quali rette si otengono?
8) Scrivere l’equazione cartesiana della retta passante per i punti A = (1, 0) e B = (2, k). Trovare per
quale valore di k ∈ R tale retta è perpendicolare alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. Per
tale valore di k trovare il punto di intersezione delle due rette.
Risultati.
1) r1 : parallelo (3, −4), perpendicolare (4, 3);
r3 :parallelo(1,
3
3
2 ),perpendicolare(− 2 , 1);
r5 :parallelo(1, −1),perpendicolare(1, 1);
r7 :parallelo(0, 1),perpendicolare(−1, 0);
x = 3t
x = 2t
2) a)
, y = − 32 x; b)
y = −2t
y=t
r2 : parallelo (−3, 0),perpendicolare(0, 3);
r4 :parallelo(1, −2),perpendicolare(2, 1);
r6 :parallelo(0, 3),perpendicolare(−3, 0);
, y = − 21 x;
3) r : x + 2y + 7 = 0, s : 2y = x − 13;
4) k = ±1;
5) S =
13
2
;
6) k = 3;
7) k = 0;
8) y = (2 − k) · (x − 1), k = 1, intersezione in( 21 , − 21 );
1
c)
x = 5 − 3t
y=1
, y = 1;
Esercizi di geometria analitica dello spazio
1) Scrivere le equazioni cartesiane dei piani soddisfacenti le seguenti condizioni:
a) passante per A = (1, 2, 3) e perpendicolare a u = j − 2k;
b) passante per A = (1, 2, 3) e parallelo a u = i − k e v = i + 2j + k;
c) passante per A = (1, 2, 3) e B = (0, 2, 1) e parallelo a u = j − 2k;
d) passante per A = (1, 2, 3), B = (0, 2, 1) e C = (1, −1, 2).
2) Scrivere l’equazione parametrica delle rette soddisfacenti le seguenti condizioni:
a) passante per A = (1, 2, 3) e B = (0, 2, 1)
b) passante per A = (1, 2, 3) e parallela a u = j − 2k;
b) passante per A = (1, 2, 3) e ortogonale al piano 2x − y + 3z − 5 = 0.
3) Verificare che i piani π : 2x − 3y + z = 0 e π 0 : x − 23 y + 12 z =
1
2
non hanno punti in comune;
4) Dire se il piano 2x − y + z = 0 contiene almeno una retta parallela alla retta
s:
(
x=t
y =2+t
z =1+t
5) Trovare l’equazione parametrica di una retta passante per A = (1, 0, 1) e parallela ai piani x − y + z = 0
e x + y = 1.
6) Verificare che la retta
r:
(
x=1
y=t
z=1
non interseca il piano passante per i punti P1 = (1, 1, 0), P2 = (1, −1, 0) e P3 = (2, 1, 0).
7) Verificare che la retta passante per P1 = (1, 1, 1) e P2 = (2, 2, 2) è contenuta nel piano di equazione
x + y − 2z = 0.
8) Dati il piano π : x + 2y − 3z + 1 = 0 e la retta passante per A = (0, 0, 4) e B(k, 2, 1 − k), determinare
k ∈ R in modo che la retta non intersechi il piano.
9) Trovare l’equazione parametrica della retta intersezione del piano π :
0
π : x − y + 2z = 0.
Risultati.
1) a)
2
x + y + z = 1 con il piano