C u r s o : Matemática Material N° 05

C u r s o : Matemática
Material N° 05
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 4
UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD
RAZONES Y PROPORCIONES
a
o a : b.
b
Y se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.
RAZÓN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe
EJEMPLOS
1. Para un terreno de 0,6 km de largo y 200 m de ancho, la razón entre largo y ancho es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3 : 1.000
3:1
3 : 100
1:3
0,6 : 2
Los puntos M, N, P y Q, son puntos medios del cuadrado ABCD (fig. 1). Entonces, ¿en qué
razón están las áreas de las regiones achuradas y en blanco respectivamente?
A)
B)
C)
D)
E)
8
3
5
8
3
8
5
3
3
5
A
Q
M
P
B
D
N
C
Fig. 1
PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe
Y se lee “x es a a
x
y
=
a
b
ó
x:a= y:b
como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.
TEOREMA FUNDAMENTAL
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
(x : a = y : b) Ù (x · b = y · a)
OBSERVACIÓN:
Si x : a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de
proporcionalidad, tal que:
x = ka ,
y = kb ;
k ≠0
EJEMPLOS
1.
Si u : v = 3 : 10
y
u : w = 1 : 2 , entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es
FALSA, sabiendo que v = 30?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
u2 = 81
w – v = -12
w
=9
2
2w = 36
u – v = 21
El valor de x en la proporción
A)
B)
C)
D)
E)
x −2 x +1
=
3
4
-1
-3
-5
3
11
2
es
SERIE DE RAZONES es la igualdad de más de dos razones.
La serie de razones
x
a
=
y
b
=
z
c
también se escribe como
x:y:z = a:b:c
OBSERVACIONES :
2
2
x+y+z
x
y
z
=
=
=
=k
a+b+c
a
b
c
x a
y b
=
= ,
Si
y
y b
z
c
entonces
x:y:z = a:b:c
EJEMPLOS
1.
Si
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3
3
5
3
6
:
:
:
:
:
y
b : c = 5 : 9 , entonces a : c : b =
9 : 10
5: 9
9: 3
9: 5
18 : 5
Las edades de tres hermanas: María, Carmen y Lucía, son entre sí como 2 : 5 : 3. Si sus
edades suman 30 años, entonces la edad de Lucía es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
a:b=3:5
15 años
9 años
6 años
3 años
1 año
r 3
=
y
s 5
verdadera(s)?
Si
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
r
9
=
, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
t 10
r : t = 3 :10
3
t = s
2
2r : s : 3t = 6 : 5 : 10
Sólo II
Sólo III
Sólo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas
3
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores
correspondientes es constante.
x
x1
x
x
= 2 = 3 = ........... = n = k
y3
y1
y2
yn
Así por ejemplo, en la tabla de la figura 1,
directamente proporcionales.
Por lo tanto se deduce que
las cantidades ubicadas en las filas A y B son
A
3
4
5
x
B
9
12
15
y
Fig. 1
x 1
=
y 3
OBSERVACIONES :
2
2
En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta
(disminuye) el mismo número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por el
origen (fig. 2).
Y
Recta
yn
y3
y2
y1
Fig. 2
x1
x2
x3
xn
X
EJEMPLOS
1.
A y B son magnitudes directamente proporcionales. Respecto a la siguiente tabla
5
30
A
B
A)
B)
C)
D)
E)
7
7
6
8
9
y
y
y
y
y
x
42
15
y
los valores de x e y son respectivamente
90
60
72
90
54
4
2.
Si 2x varía directamente con
y
e
y = 4 cuando x = 3 , entonces ¿cuál es el valor de
2x cuando y = 16?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
1
12
1
3
32
24
12
Según el gráfico de la figura 3,
Entonces, ¿cuál es el valor de a?
A)
B)
C)
D)
E)
x
e
y
1
3
3
6
9
12
son magnitudes directamente proporcionales.
y
a
6
Fig. 3
2
4.
3
x
Dos obreros, A y B, reciben como pago por un trabajo $ 275.000. ¿Cuánto le toca a cada
uno si A trabajó 2 días y B trabajó 3 días?
A
A)
B)
C)
D)
E)
B
$ 137.500
$ 137.500
$ 91.666
$ 183.334
$ 55.000
$ 220.000
$ 110.000
$ 165.000
Ninguna de las anteriores
5
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores
correspondientes es constante
x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = ..........= xn · yn = k
k : constante
Así por ejemplo, en la tabla de la figura 1, las cantidades ubicadas en las filas
inversamente proporcionales
A
2
3
5
x
Fig. 1
15
10
6
y
B
A y B son
Por lo tanto se deduce que x · y = 30
OBSERVACIONES :
2
2
En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra
disminuye (o aumenta) el mismo número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera (fig. 2).
Y
y1
y2
y3
Fig. 2
yn
x 1 x2 x3
xn
X
EJEMPLOS
1.
Las cantidades ubicadas en las columnas A y B, en la tabla de la figura 3, son
inversamente proporcionales. ¿Cuál es el valor de M + N?
A
6
4
N
A)
B)
C)
D)
E)
B
3
M
18
38
36
5,5
5
4,5
6
Fig. 3
2.
Las variables x e y son inversamente proporcionales. Cuando x vale 60, y vale 90.
¿Cuánto vale x, cuando y vale 120?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
30
40
45
60
90
De acuerdo a la información entregada en el gráfico de la figura 4, el cual representa una
hipérbola, ¿cuál es el valor de C – D?
A)
B)
C)
D)
E)
-8
-4
4
8
Ninguna de las anteriores
y
D
Fig. 4
4
2
2
4.
C
8
x
8 empleados hacen un trabajo en 20 días. Para hacer el mismo trabajo en 5 días, ¿cuántos
empleados más se necesitarían?
A)
B)
C)
D)
E)
2
12
16
24
32
7
PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
Sea A una variable directamente proporcional a la variable B y al mismo tiempo inversamente
proporcional a la variable C, entonces se cumple que para sus valores correspondientes:
A1 · C1
B1
=
A2 · C2
B2
=
A 3 · C3
B3
= ......... =
A n · Cn
Bn
=k
k : constante
EJEMPLOS
1.
En un taller de costura, 6 mujeres cosen 30 trajes en 8 horas de trabajo. ¿Cuántos trajes
terminarán en 6 horas, si trabajan 16 mujeres?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Si 30 hombres pavimentan 150 m de una carretera en 12 días, trabajando 8 horas diarias,
¿cuántos metros pavimentarían 16 hombres en 18 días, trabajando la misma cantidad de
horas diarias?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
8
15
20
60
106
421,9
187,5
120,0
53,3
4,8
Una familia compuesta de 4 personas gasta mensualmente $ 380.000. ¿Cuántas personas
podrían vivir 16 días, en igualdad de condiciones, con $304.000?
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
4
5
6
8
EJERCICIOS
1.
En la tabla de la figura 1, A y B son magnitudes directamente proporcionales. ¿Cuáles
son los valores de x e y , respectivamente?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
72
60
72
2
72
3
5
12
20
40
A
7
x
12
B
42
48
y
Fig. 1
Si actualmente sus edades están en la razón
años
años
años
años
años
Las cantidades a2 y b son inversamente proporcionales. Si para a = 2 , se obtiene b = 3 ,
4
entonces ¿cuál sería el valor de a , asociado a b =
?
3
A)
B)
C)
D)
E)
4.
y
y
y
y
y
Cuando nació Pedro, Mario tenía 8 años.
3 : 5, ¿qué edad tiene Mario?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
8
8
7
8
6
Si
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
2
3
3
4
3
2
3
x:y:z=4:3:2
y
2x + 4y – 3z = 28 , entonces el valor de y es
2
3
4
6
8
9
5.
Al dividir 253 en partes proporcionales a los números 2, 5, 7 y 9, ¿cuál es la parte menor?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Hernán, Miguel y Osvaldo compraron un número de rifa y cuyos aportes fueron: Hernán
$ 800, Miguel $ 500 y Osvaldo $ 700. Si obtuvieron un premio de $ 280.000, ¿cuánto le
correspondió del premio a Miguel al realizarse el reparto en forma proporcional a lo
aportado?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
$
$
$
$
$
50.000
70.000
80.000
98.000
112.000
En una guarnición hay 4.800 soldados con alimentos para 48 días. Si la dotación disminuyera
a 3.200 hombres, ¿para cuántos días alcanzarían los alimentos?
A)
B)
C)
D)
E)
8.
11
22
77
99
121
80
72
64
60
32
Si b kilos de clavos valen $ a , entonces
A)
B)
C)
D)
E)
1
kilo valdrá
2
2ab
a
2
b
2a
2b
a
a
2b
10
9.
En el gráfico de la figura 2, x e y son cantidades directamente proporcionales. Entonces, el
valor de a – 1 es
y
A)
B)
C)
D)
E)
1,5
2,5
3,5
4,0
5,0
7
5
Fig. 2
a a+1
x
10.
El gráfico de la figura 3, muestra la hipérbola que resultó del estudio que se hizo en una
campaña militar, en que se determinó la cantidad de días que dura cierta cantidad de
alimentos, de acuerdo al número de soldados que los consumen. En base a la información
proporcionada por este gráfico, se puede deducir que
A)
B)
C)
D)
E)
p + q = 54
t = 72
t>q
t<p
t = 4p
Cantidad
de días
t
Fig. 3
6
4
2
2
11.
p
q
Cantidad de
soldados
Si 10 obreros construyen una casa en 6 meses, ¿cuánto tiempo se demorarían 12 obreros en
construir una casa similar, trabajando el mismo número de horas al día?
A)
B)
C)
D)
E)
12.
12
7
6
5
4
4
meses
meses
meses
meses
meses
y 6 días
y 6 días
y 24 días
y 12 días
Si un sitio rectangular de 24 metros de frente por 45 metros de fondo, vale $ 360.000,
¿cuánto valdría otro sitio rectangular de 32 metros de frente por 27 metros de fondo?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
25.920
28.800
45.000
288.000
450.000
11
13.
En un recipiente hay 16 litros de una mezcla que contiene agua y alcohol. Si 7 litros de esta
mezcla son de alcohol, ¿cuántos litros de agua deberán agregarse a la mezcla, para que la
cantidad de alcohol y el total de la mezcla queden en la razón 1 : 3?
A)
B)
C)
D)
E)
14.
15.
4
5
11
12
21
Con respecto a la tabla de la figura 4, ¿cuál es el valor de x + y + z?
(1)
A y B son magnitudes directamente proporcionales.
(2)
x2 = 64
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
y
3z = 45
A
B
5
30
x
z
30
48
90
y
Fig. 4
¿A cuántos billetes de color verde, equivale un billete de color azul?
(1)
Un billete de color azul equivale a mil unidades.
(2)
Un billete de color verde equivale a dos billetes de color rojo, y un billete de color rojo
equivale a diez unidades.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
RESPUESTAS
Ejemplos
Págs.
1
2
3
4y5
6y7
8
1
2
B
E
D
A
C
D
D
E
B
E
C
C
3
C
D
B
E
CLAVES PÁG. 9
4
1.
2.
3.
4.
5.
D
D
12
A
D
E
D
B
6. B
7. E
8. E
9. A
10. A
11.
12.
13.
14.
15.
C
D
B
D
C