Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de

Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Álgebra II
Segundo semestre de 2012
Examen. 13/12/2012.
1. Sea G un grupo y X un conjunto. Decimos que una acción de G en X es doblemente transitiva si para
todo (x, x0 ), (y, y 0 ) ∈ X × X con x 6= x0 e y 6= y 0 , existe g ∈ G tal que y = g · x e y 0 = g · x0 .
a) Probar que si n ≥ 3, entonces la acción del grupo simétrico Sn en {1, . . . , n} es doblemente
transitiva.
b) Consideremos la acción del grupo alternado An en {1, . . . , n}. Probar que si n = 3, entonces no
es doblemente transitiva, y que si n ≥ 4 entonces sı́ lo es.
2.
a) Sea G un grupo finito, K un subgrupo normal de G y H un p-subgrupo de Sylow de K.
1) Probar que si g ∈ G, entonces gHg −1 es un p-subgrupo de Sylow de K.
2) Probar G = K · NG (H), siendo NG (H) el normalizador de H en G.
b) Sea G un grupo finito y S un p-subgrupo de Sylow de G. Probar NG NG (S) = NG (S).
3. Sean u =
p√
p√
3+1 y v =i
3 − 1.
a) Hallar los polinomios irreducibles de u y v sobre Q.
b) Hallar los polinomios irreducibles de u y v sobre Q
√ c) Probar Q(u) ∩ Q(v) = Q 3 .
√ 3 .
√ d ) Probar que Q(u), Q(v) y Q(u, v) son extensiones de Galois de Q 3 .
√ e) Determinar Gal Q(u, v)/Q 3 y describir los automorfismos que lo forman.
f ) Determinar Gal Q(u, v)/Q .
1
Solución.
1.
a) Dados x, x0 , y, y 0 ∈ In con x 6= x0 e y 6= y 0 , definimos σ ∈ Sn por σ(x) = y, σ(x0 ) = y 0 y
σ : In \ {x, x0 } → In \ {y, y 0 } una biyección cualquiera.
b) Si n = 3, entonces A3 = {id, (123), (321)}. Luego no existe σ ∈ A3 tal que σ(1) = 1 y σ(2) = 3.
Sea n ≥ 4 y x, x0 , y, y 0 ∈ In con x 6= x0 e y 6= y 0 . Sea A = {x, x0 } ∩ {y, y 0 }.
Si A = ∅, entonces σ = (xy)(x0 y 0 ).
Si A = {x}, entonces tenemos dos posibilidades: x = y o x = y 0 . Si x = y, es σ = (x0 y 0 z),
siendo z ∈
/ {x, x0 , y 0 }. Si x = y 0 , es σ = (x0 xy).
Si A = {x0 }, es análogo al caso anterior.
Si A = {x, x0 }, entonces tenemos dos posibilidades: x = y y x0 = y 0 o x = y 0 y x0 = y. Si
x = y y x0 = y 0 , entonces σ = id. Si x = y 0 y x0 = y, entonces σ = (xx0 )(zt), siendo z 6= t,
z, t ∈
/ {x, x0 }.
2.
a) 1) gHg −1 ⊂ K porque K es normal y gHg −1 = |H|.
2) Existe k ∈ K tal que gHg −1 = kHk −1 , luego k −1 g ∈ NG (H).
b) Es NG (S) C NG NG (S) y S es un p-subgrupo de Sylow de NG (S).
Luego NG NG (S) = NG (S) · NG (S) = NG (S).
3.
a)
IrrQ (u) = IrrQ (v) = X 4 − 2X 2 − 2.
b)
IrrQ(√3) (u) = X 2 − 1 −
√
3,
IrrQ(√3) (v) = X 2 − 1 +
√
3.
√ √ c) Es Q(u) : Q 3 = Q(v) : Q 3 = 2 y v ∈
/ Q(u).
d ) Q(u), Q(v) y Q(u, v) son los cuerpos de descomposición de
X2 − 1 −
e) Gal Q(u, v)/Q
√
3, X 2 − 1 +
√
3, X 4 − 2X 2 − 2 ∈ Q
√ 3 [X].
√ 3 = C2 × C2 .
Gal Q(u, v)/Q
√ 3 = {id, σ, τ, στ },
σ(u) = u, σ(v) = −v, τ (u) = −u, τ (v) = v.
f ) |Gal Q(u, v)/Q | = 8 y Gal Q(u, v)/Q u) es un subgrupo de Gal Q(u, v)/Q que no es normal,
luego Gal Q(u, v)/Q = D4 .
2