(a) 2

Capítulo 7
Trabajo y Energía
Contenido
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Producto escalar de dos vectores
Definición de trabajo
Trabajo de una fuerza variable
Trabajo hecho por un resorte
Trabajo y energía
Energía cinética
Potencia
Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores A y B es una
cantidad escalar igual al producto de las
magnitudes de los dos vectores y el coseno del
ángulo entre los dos vectores.
A ⋅ B=ABcos ( θ )
Proyección de A sobre B
A cosθ
θ
B
θ
Proyección de B sobre A
B
A
θ
A
B cosθ
θ
Definición de Trabajo
F
θ
F cos θ
∆r
El
trabajo W, efectuado por una fuerza constante
F , es el producto de la componente de la fuerza en
la dirección del desplazamiento y la magnitud s del
desplazamiento.
W = F ⋅ ∆r = Fs cos ( θ )
Definición de Trabajo
• De la definición dada se deduce que:
• El trabajo es una M.F. Escalar.
• El trabajo se mide en el SI en:
kg m
kg m2
1 2 m=1
s
s2
1 newton*metro = 1 joule
⇒
1 joule
⇒
1 Nm = 1 J
• El trabajo depende en forma directa de: la
magnitud de la fuerza, la magnitud del
desplazamiento y el coseno del ángulo
formado por la fuerza y el desplazamiento.
Unidades
Fuerza x Distancia = Trabajo
newton
[M][L] / [ T ]2
metro
[L]
joule
[M] [L]2 / [ T ]2
1J=1Nm
Otras unidades:
1 BTU = 1054 J
1 cal = 4,186 J
1 eV = 1,602*10 - 19 J
James Prescott Joule (1818-1889, Inglés)
Dueño de una fábrica de
cerveza. Probablemente uno
de los últimos autodidactas
que han realizado un aporte
significativo
a
la
Física.
Experto
en
técnicas
de
medición. En 1840 estableció
la ley de generación de calor
por una corriente eléctrica. En
1843 determinó la equivalencia
entre el calor y el trabajo
mecánico. Dedicó más de tres
décadas al estudio de los
procesos de transformación de
energía.
El trabajo puede ser positivo o negativo
• La fuerza que ejerce el hombre
hace trabajo positivo cuando la
caja sube.
• La fuerza que ejerce el hombre
hace trabajo negativo cuando la
caja baja.
• La fuerza de gravedad hace
trabajo positivo cuando la caja
baja.
• La fuerza de gravedad hace
trabajo negativo cuando la caja
sube.
No siempre una fuerza realiza trabajo sobre un objeto
N2
v
N1
• Una caja (m2) es levantada usando un peso
(m1), en una superficie inclinada con roce.
¿Cuántas fuerzas realizan trabajo sobre m1?
(a) 2
(b) 3
(c) 4
tensión,
roce y
peso
Trabajo de una Fuerza constante
(1D)
Trabajo de una fuerza variable
(1D)
Fx
x1
El trabajo hecho por la fuerza Fx
en ∆xi es el área del rectángulo
sombreado.
"Área" = ∆W = Fx ∆x
x2
El trabajo total es el
“área bajo la curva”.
"Área" = W = ∫ Fx dx
x2
x1
x
La curva de F se divide en un gran número de
intervalos, el trabajo será igual a:
x
W ≃
∑F
x2
x1
x
∆x
Si se hace tender a cero los ∆x, se tendrá que:
W = lim ∑ Fx ∆x = ∫ Fx dx
x2
∆x →0
x1
x2
x1
En tres dimensiones:
W = ∫
rB
rA
F ⋅ dr
W =
∫
x2
x1
F x dx
Trabajo hecho por un Resorte
(Caso de fuerza variable)
x=0
F =0
F =0
Ley de Hooke: F r = − kxiˆ k = constante elástica del resorte
Trabajo hecho por un Resorte
1 2 Fr
"Área" = kx m
2
(Caso de fuerza variable)
Wr = ∫
Fx = − kx
kxm
xm
0
x
xf
xi
1 2
Fx dx = ∫ ( − kx )dx = kxm
− xm
2
0
(base) ∗ (altura)
A∆ =
= Wr
2
1
Wr = xm kxm
2
1
W r = kx m 2
2
Trabajo realizado por la Fuerza Neta.
Si sobre una partícula actúa más de una fuerza,
entonces, el trabajo total es exactamente igual
al trabajo hecho por la fuerza resultante.
W ( Fneta ) =
∑i W ( Fi )
O sea, que el trabajo de una suma de fuerzas es
igual a la suma de los trabajos realizado por
cada una de las fuerzas.


W ∑ F  =


i
i
∑ W (F )
i
i
Teorema del Trabajo y la Energía
Una fuerza Fneta constante actúa sobre un cuerpo de
masa m, en dirección +x. Entonces, las ecuaciones de
posición y velocidad son:
1  Fneta
∆x = v0t + 
2 m
 2
t

(1)
 Fneta 
v = v0 + 
t

 m 
(2)
Despejando t de (2) y sustituyendo en (1) podemos
encontrar que:
1
1
2
W ( Fneta ) = m v − m v 2
2
2
f
i
Teorema del Trabajo y la Energía
(caso fuerza variable)
W ( Fneta ) =
∫ ( ∑ F ) dx = ∫
xf
x
xi
xf
xi
ma x dx
dv x dv x dx
dv x
ax =
= vx
=
dt
dx dt
dx
W ( Fneta ) = ∫
xf
xi
v
dv x
mv x
dx = ∫ mv x dv x
vi
dx
f
1
1
2
W ( Fneta ) = mv − mv 2
2
2
f
i
Energía cinética
La energía cinética se define como:
1
2
K = mv
2
Por lo tanto, el Teorema del Trabajo y la Energía
dice que:
El trabajo efectuado por la fuerza neta, Fneta , al
desplazar una partícula, es igual al cambio de
la energía cinética de la partícula.
W ( Fneta ) = ∆K = K − K
f
i
Definición de Energía Cinética
• De la definición dada se deduce que:
• La E.C. es una M.F. Escalar.
• La E.C. se mide en el SI en:
m2
kg m2
1 kg 2 = 1
2
s
s
1 newton*metro = 1 joule
⇒
1 joule
⇒
1 Nm = 1 J
• La E.C. depende en forma directa de: la
masa y el cuadrado de la rapidez de la
partícula.
Potencia
La potencia promedio, P, se define como la cantidad
de trabajo W, hecha en un intervalo de tiempo ∆t,
por unidad de tiempo:
W
P=
∆t
En términos más generales, la potencia es la rapidez
de transferencia de energía, en el tiempo.
De la definición se deduce que la Potencia es una M.F.
Escalar, cuya unidad en el SI es 1 watt = 1 W
J
1W=1
s
Otras unidades:
1 CV = 735 W
1 HP = 746 W
Potencia instantánea
La potencia instantánea es el valor límite de la
potencia promedio cuando ∆t tiende a cero:
W
P = lim
∆ → 0 ∆t
⇒
t
dW
P =
dt
Además, cuando F es constante:
dW dr
P=
=F⋅
dt
dt
⇒
P = F ⋅v
James Watt (1736-1819)
Debido a razones de salud,
no pudo asistir normalmente
al colegio. Comenzó como
mecánico,
para
luego
convertirse en científico. En
1765 inventó el condensador
para la máquina de vapor.
Desarrolló la máquina de
vapor hasta niveles de alta
eficiencia, lo que jugó un
importante
rol
en
la
revolución industrial. Dió
además
un impulso
al
estudio de los fundamentos
de la termodinámica.