1 La obtención y proyección de tablas de mortalidad empleando

X Reunión Nacional de Investigación Demográfica en México. México, D.F., 3-6 de Noviembre de 2010
La obtención y proyección de tablas de mortalidad empleando curvas spline
Alejandro Mina Valdés
El Colegio de México
noviembre 2010
Introducción
El análisis numérico proporciona el instrumento técnico necesario para llevar a cabo
todos los procedimientos matemáticos existentes con base a algoritmos que permitan su
simulación o cálculo. En el subcampo matemático del análisis numérico, una cura spline es
definida a trozos ( por tramos) mediante polinomios, teniéndose que en los problemas de
interpolación se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a
resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, con la
ventaja de que se evitan las oscilaciones, que en la mayoría de las aplicaciones resultan
indeseables, las que aparecen al interpolar mediante polinomios de grado elevado, en genral
mayores a grado 3. El trabajo presenta el ajuste de curvas spline con base en la serie de
sobrevivientes lx de una tabla abreviada de mortalidad mexicana, con el fin de desagregarla
por edad desplegada, respetando las concavidades que por el efecto de la mortalidad en las
primeras edades y en las siguientes se tienen en la experiencia mexicana.
Una ventaja del empleo de las curvas spline es la posibilidad de hacer simulaciones que
permitan obtener escenarios futuros de las series de sobrevivientes lx, por ello también se
obtendrán mediante los ajustes spline, proyecciones de la mortalidad mexicana para los
años 2010-2050, generando las tablas completas de mortalidad para hombres y mujeres de
dicho periodo, lo que permitirá la cuantificación de las ganancias en la esperanza de vida
por edad y sexo en México.
Interpolación segmentaria
El concepto de interpolación segmentaria se originó de la técnica de uso de una
lámina de plástico delgada (llamada curvígrafo, en inglés spline) en el trazo de curvas
suaves a través de un conjunto de puntos. En esta técnica, el dibujante colocaba papel sobre
un tablero de madera y clavaba tachuelas en el papel (y en el tablero) en la posición de los
datos. Al pasar un hilo entre las tachuelas se describía una curva cúbica suave. De ahí que
se haya adoptado el nombre de “interpelación segmentaria” (“cubic spline”) para
polinomios de este tipo.
En el análisis numérico es posible usar polinomios de n-ésimo orden para interpolar
entre n+1 puntos. Por ejemplo. En ocho puntos, se deriva un polinomio perfecto de séptimo
orden. Esta curva captura todos los serpenteos (al menos considera hasta derivadas de
séptimo orden) sugeridos por los puntos. Sin embargo, existen casos en donde estas
funciones pueden llevar a resultados erróneos. Una alternativa es la de aplicar polinomios
de orden inferior a subconjuntos de datos. Estos polinomios conectados se llaman funciones
de interpolación segmentaria ( spline functions).
Por ejemplo, las curvas de tercer orden empleadas para conectar cada par de datos
se llaman funciones de interpolación cúbica segmentaria ( cubic splines). Estas funciones
tienen la propiedad adicional de que las conexiones entre ecuaciones cúbicas adyacentes
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son visualmente suaves. En principio pareciera que la aproximación segmentaría de tercer
orden es inferior a la expresión de séptimo orden, lo que no es así.
Ahora bien, el objetivo de la interpolación cúbica segmentaria es obtener
polinomios de tercer orden para cada uno de los intervalos entre nodos. De la forma:
fi(x) = aix3 + bix2 + cix + di
[1]
Por to tanto, para los n + 1 puntos (i = 0, 1, 2,. . . , n), existen n intervalos y, por lo tanto,
4n incógnitas constantes por evaluar. Como se hace para polinomios cuadráticos, en este
caso se requiere de cinco condiciones para evaluar las incógnitas. Estas son:
1. Los valores de la funcion deben ser iguales en los nodos interiores
(2n - 2 condiciones).
2. La primera y la última función deben pasar a través de los puntos finales (2
condiciones).
3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n- 1 condiciones).
4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n- 1 condiciones).
5. Las segundas derivadas en los nodos finales son cero (2 condiciones).
La interpretación visual de la condición 5 es que la funcion sea una línea recta en los
nodos finales. Debido a la especificación de esta condición es que se le llama
interpolación segmentaria "natural". Se le da este nombre ya que el polinomio
interpolante se comporta de manera natural en este esquema. Si el valor de la segunda
derivada en los nodos finales fuese diferente de cero (es decir, existe alguna curvatura),
entonces esta información se usaría alternativamente para proporcionar las dos
condiciones necesarias.
Los cinco tipos anteriores de condiciones proporcionan un total de 4n ecuaciones
necesarias para encontrar los 4n coeficientes. De esta manera es posible obtener una
interpolación cúbica segmentaria. Un manera práctica de generar el ajuste segementario
mediante un spline cúbico es llevando a cabo los siguientes pasos:
El primer paso en la obtención se basa en la observación de que debido a que cada pareja
de nodos esta conectada por un polinomio cúbico, la segunda derivada dentro de cada
intervalo es una línea recta. La ecuación (1) se puede derivar dos veces para verificar esta
observación. Con base a lo anterior, las segundas derivadas se representan mediante los
polinomios de interpolacion de primer orden de Lagrange:
f i " ( x ) = f " ( xi −1 )
x − xi
x − xi −1
+ f " ( xi )
xi −1 − xi
xi − xi −1
[2]
en donde f;" (x) es el valor de la segunda derivada en el primer nodo x dentro del i-esimo
intervalo. Por to tanto, esta ecuación es una linea recta que conecta la segunda derivada en
el primer nodo f”(xi-1) con la segunda derivada en el segundo nodo f”(xi).
En seguida, la ecuación (2) se integra dos veces y se obtiene una expresión para fi(x).
Sin embargo, esta expresión contendrá dos incógnitas constantes de integración. Estas
constantes se evalúan considerando las condiciones de equiespaciamiento (f(x) debe ser
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igual f(xi-1) en xi-1 y f(xi) debe ser igual a f(xi) en xi). Llevando a cabo estas evaluaciones, se
obtiene la siguiente ecuación cúbica:
f i ( x) =
f " ( x i −1 )
( xi − x) 3
6( x i − x i −1 )
+
f " ( xi )
( x − x i −1 ) 3
6( x i − x i −1 )
 f ( xi −1 )
f " ( xi −1 )( xi − xi −1 ) 
+
−
( xi − x)
6
 xi − xi −1

 f ( xi )
f " ( xi )( xi − xi −1 ) 
+
−
( x − xi −1 )
x
−
x
6
i −1
 i

[3]
Cabe destacar que esta expresión es mucho más complicada para los polinomios de
interpolación segmentaria en el i-ésimo intervalo, es decir, la ecuación (1). Sin embargo,
nótese que esta contiene sólo dos "coeficientes" incógnitas, las segundas derivadas al
principio y al final del intervalo, f'' (xi-1) y f'' (xi) .Por lo tanto, si se determina propiamente
la segunda derivada en cada nodo, la ecuaci6n (3) es un polinomio de tercer orden que se
usa para interpolar dentro de un intervalo.
Las segundas derivadas se evalúan usando la condición de que las primeras derivadas en los
nodos deben ser continuas:
f i '−1 = f i ' ( xi )
[4]
La ecuación (3) se deriva y se obtiene una expresión de la primera derivada. Si esto se
hace para los (i - 1)-esimos a i-ésimos y los dos resultados igualan, de acuerdo a la
ecuación (4), resuelta la siguiente relación:
( xi − xi −1 ) f " ( xi −1 ) + 2( xi +1 − xi −1 ) f " ( xi ) + ( xi +1 − xi ) f " ( xi +1 ) =
+
6
[ f ( xi +1 ) − f ( xi )]
( xi −1 − xi )
6
[ f ( xi −1 ) − f ( xi )]
( xi − x i +1 )
[5]
Si la ecuación (5) se escribe para todos los nodos interiores, resultan n - 1 ecuaciones
simultáneas con n + 1 segundas derivadas incógnitas. Sin embargo ya que este es un
polinomio interpolante "natural", las segundas derivadas en los nodos finales son cero y el
problema reduce a n - 1 ecuaciones con n - 1 incógnitas. Ademas notése que el sistema de
ecuaciones será tridiagonal. Por lo tanto, no só1o se tiene que reducir el número de
ecuaciones sino que también se calculan de forma que sean muy fáciles de resolver
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La derivación genera las siguientes ecuaciones cúbicas para cada intervalo:
f i ( x) =
f ´´ ( xi −1 )
f ´´ ( xi )
( xi − x 3 ) +
( x − xi −1 ) +
6( xi − xi −1 )
6( xi − xi −1 )
 f ( xi −1 ) f ´´ ( xi −1 )( xi − xi −1 ) 
 f ( xi )
f ´´ ( xi )( xi − xi −1 ) 
−
(
x
−
x
)
+
−

 i

 ( x − x)
6
6
 xi − xi −1

 xi − xi −1

(6)
La ecuación contiene únicamente dos incógnitas, las segundas derivadas al final de cada
intervalo. Estas incógnitas se evalúan usando la ecuación siguiente:
( xi − xi −1 ) f ´´ ( xi −1 ) + 2( xi +1 − x i −1 ) f ´´ ( xi ) + ( xi +1 − x i −1 ) f ´´ ( xi +1 )
=
6
[ f ( xi +1 ) − f ( xi )] + 6 [ f ( xi−1 ) − f ( xi )]
xi +1 − xi
xi − xi −1
Si esta ecuación se escribe para todos los nodos interiores, se generan n-1 incógnitas.
(segundas derivadas en los nodos finales son cero.)
Cabe mencionar que las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para
aplicaciones como la mencionada anteriormente.
Así pues, podemos decir de manera concreta, que una función spline está formada por
varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre sí bajo ciertas
condiciones de continuidad.
Splines de grado k
Suponemos que x0 < x1 < L < xn , y dado k un número entero positivo, una función
de interpolación spline de grado k, para la tabla de datos, es una función s (x) tal que :
i)
ii)
iii )
s ( xi ) = yi , para toda i = 0,1,K , n .
s ( x ) es un polinomio de grado ≤ k en cada subintervalo [xi −1, xi ] .
s ( x ) tiene derivada contínua hasta de orden k − 1 en [x0 , xn ] .
-funciones de splines de grado uno
Una función spline de grado uno que interpole los datos es simplemente unir cada uno de
los puntos mediante segmentos de recta, entonces:
 s1 (x ) si
s ( x ) s

s ( x) =  2
 M
sn (x ) si
x ∈ [x0 , x1 ]
x ∈ [x1 , x2 ]
x ∈ [xn −1 , xn ]
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donde:
i)
s j (x )
ii)
s(x )
es un polinomio de grado menor o igual que 1
tiene derivada continua de orden k-1=0.
s (x j ) = y j
iii)
, para j = 0,1,K , n .
Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como :
si
 y0 + f [x1, x0 ]( x − x0 )
 y + f [x , x ]( x − x )
si

1
2 1
1
s( x ) = 
M

 yn −1 + f [xn , xn −1 ]( x − xn −1 ) si
donde
f [ xi , x j ]
x ∈ [x0 , x1 ]
x ∈ [x1, x2 ]
x ∈ [xn −1, xn ]
es la diferencia dividida de Newton.
El siguiente caso, que es el más importante en las aplicaciones, sigue exactamente los
mismos pasos del ejemplo que acabamos de resolver, solamente que en vez de trabajar con
polinomios cuadráticos, lo hace con polinomios cúbicos.
-funciones splines cúbicas
Para (k=3):
Una spline cúbica que interpola n+1 datos, es una función s (x) definida como sigue :
 s0 ( x ) si
 s ( x ) si

s( x ) =  1
M

sn −1 ( x ) si
x ∈ [x0 , x1 ]
x ∈ [x1 , x2 ]
x ∈ [xn −1 , xn ]
donde cada si (x ) es un polinomio cúbico; si ( xi ) = yi , para toda i = 0,1,K, n y tal que
s ( x ) tiene primera y segunda derivadas contínuas en [x0 , xn ] .
Resultados obtenidos con la aplicación spline
Empleando los splines podemos desagregar las estructuras por edades de la población que
tenemos por grupos quinquenales de edades en edades individuales, con el fin de tener los
denominadores de las tasas específicas de mortalidad para la elaboración de las tablas
completas de vida.
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En términos prácticos, se desea desagregar el histograma o pirámide de población, de
barras que representan grupos quinquenales a barras que representen edades individuales.
El algoritmo que lo permite, empleando los splines, a continuación se detalla, comparando
sus resultados con los que se obtienen con el uso de los factores que Henry Beers obtuvo
con sus fórmulas de interpolación.1
Supongamos:
x1 < x 2 < x3 < ... < x n+1 y que hi es la altura de la barra
correspondiente al intervalo [xi , xi +1 ]
Sea hi la frecuencia observada en el i-ésima clase.
⇒ hi ( xi +1 − xi ) = hi ∆xi que representa la frecuencia relativa fr(i)
en el intervalo [xi , xi +1 ] ,
∴
hi ∆xi = fr (i) =
fa(i )
n
∑ fa( j )
j =1
Donde fa(i) es la frecuencia absoluta de la i-ésima clase.
La función de densidad permite calcular la probabilidad de que la variable tome valores en
un cierto intervalo [a,b] y es igual a :
b
∫ f ( x)dx = P[a ≤ x ≤ b]
a
y el valor esperado de x y su desviación estándar:
1/ 2
 xn

2
E ( x ) = ∫ xf ( x )dx σ =  ∫ ( x − E ( x) ) ) f ( x)dx 
 x1

x1
La condición del spline parabólico f que suaviza el histograma es:
xn
b
∫ f ( x)dx = h ∆x
i
i
a
1
Ver: Beers Henry, “ Six-Term Formulas for Routine Actuarial Interpolation” en Record of the American
Institute of Actuaries, Vol.34, June, 1945.
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Para cada sección Pi(x) de f se puede escribir vía la fórmula de Taylor como
Pi ( x) = ai + bi ( x − xi ) + ci ( x − xi ) 2
donde :
y ci = f ´´ ( xi ) / 2!
ai = f ( xi ) , bi = f ´( xi )
i.e.
( x − xi )
( x − xi ) 2
Pi ( x) = f ( xi ) + f ´( xi )
+ f ´´( xi )
1!
2!
Problema fundamental, consiste en escoger los polinomios r1(x), r2(x) y r3(x) tales que:
Pi ( x) = a1r1 ( x) + b1r2 ( x) + c1r3 ( x)
para : xi ≤ x ≤ xi +1
sea :
y=
x − xi
x − xi
=
xi +1 − xi
∆xi
para : i = 1,2,3,..., n
⇒ f ( x) = Pi ( y ) = a1r1 ( y ) + b1r2 ( y ) + c1r3 ( y ) con
0 ≤ y ≤1
sean :
r1 ( x ) = (1 − y )(1 − 3 y ) = 1 − 4 y + 3 y 2
r2 ( x) = y (3 y − 2) = 3 y 2 − 2 y
r3 ( y ) = 6 y (1 − y ) = 6 y − 6 y 2
Nótese que:
1
r1 (0) = 1, r1 (1) = 0 ,
∫ r ( x)dx = 0
1
0
1
r2 (0) = 0 , r2 (1) = 1,
∫ r ( x)dx = 0
2
0
1
r3 (0) = 0 , r3 (1) = 0 ,
∫ r ( x)dx = 1
3
0
⇒ f ( xi ) = Pi (0) = ai r1 (0) + bi r2 (0) + ci r3 (0) = ai (1) + bi (0) + c i (0) = ai
y
f ( xi +1 ) = Pi (1) = ai r1 (1) + bi r2 (1) + ci r3 (1) = ai (0) + bi (1) + c i (0) = bi
Y ya que en el histograma se satisface que:
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xi + 1
∫
1
1
1
0
0
0
f ( x)dx = ∫ Pi ( y )∆xi dy =∆xi ∫ Pi ( y )dy = ∆xi ∫ (ai r1 ( y ) + bi r2 ( y ) + c i r3 ( y )d ) y
xi
= ∆xi (ai (0) + bi (0) + c i (1)) = ∆x i ci = hi ∆xi
∴
ci = hi
Finalmente :
f ( x) = Pi ( x) = f ( xi )ri ( y ) + f ( xi +1 )r2 ( y ) + hi r3 ( y )
Para garantizar la continuidad, se obtiene para xi ≤ xi +1
P´i ( y )
= [ f ( xi )(6 y − 4) + f ( x i +1 )(6 y − 2) + hi (6 y − 12 y )] / ∆x i
∆xi
De tal manera que la condición de continuidad de f´: P´i −1 ( xi ) = P´i ( xi )
Es tal que:
∆xi f ( xi −1 ) + 2(∆xi + ∆xi −1 ) f ( xi ) + ∆xi −1 f ( xi +1 ) = 3(∆xi hi −1 + ∆xi −1hi )
f ´( x ) =
tomando :
∆x i
di =
∆x i + ∆xi −1
y
i = 2,..., n
ei = 3(d i hi −1 + (1 − d i )hi )
entonces :
d i f ( xi −1 ) + 2 f ( xi ) + (1 − d i ) f ( x i +1 ) = ei
i = 2,...n
con : f ( xi ) = ei = f ( x n+1 ) = e n+1 = 0
Matricialmente:
1 . .
d
2
 2
0 d 3

0 . .
0 . .

0 . .
0 . .

. . . . . . .
0   f ( x1 )  e1 
(1 − d 2 ) . . . .   f ( x 2 )  e 2 
 .
 . 
2
(1 − d 3 ) .
 
  
. . . . . .
 = .
 = . 
 .
 . 
. . . . . .
 
  
d n 2 (1 − d n ) .
. .
 . 
. . .
1   f ( x n+1 ) e n+1 
donde :
e1 = en+1 = 0
y para corregir los extremos se tiene que:
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2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) = 3hi = e1
y
f ( x n ) + 2 f ( x n+1 ) = 3hn = en +1
Modificándose el sistema matricial a:
2
d
 2
0

0
0

0
0

1
0   f ( x1 )  e1 
(1 − d 2 ) . . . .   f ( x 2 )  e 2 
 .
 . 
2
(1 − d 3 ) .
 
  
. . . . .
 = .
 = . 
 .
 . 
. . . . .
 
  
.
d n 2 (1 − d n ) .
 . 
. .
1
2   f ( x n+1 ) e n+1 
0. . . .
2
d3
. . .
. . .
. . .
. . .
México: Gráfica de la desagregación obtenida vía histospline y vía factores de Beers. 2005.
Des agregaciones his tospline vs beers
2000000
1500000
1000000
500000
0
0
10
20
30
40
50
SP LINE
60
70
80
B EERS
90
100
110
En el ajuste y proyección de las funciones de supervivencia, que permiten la elaboración de
tablas de vida desagregadas por edad, se han empleado funciones como la Gompertz,
Gompertz- Makeham, y Lazarus, entre otras, las que tiene el problema del ajuste de ellas en
las primeras edades, ya que la concavidad no se ajusta a dichas funciones , si bien es cierto
que lo hacen para el resto de las edades.
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México: Ajuste Gompertz-Makeham. 2005
100000
90000
80000
70000
60000
l(x) observada
50000
l(x) estimada
40000
30000
20000
10000
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Con el ajuste de interpolación segmentaria (spline) se logra superar el problema ya que al
ajustarse un polinomio de grado tres en las primeras edades la concavidad se conserva en el
ajuste.
México: Ajuste spline. 2005
100000
90000
80000
70000
60000
l(x) observada
50000
l(x) estimada
40000
30000
20000
10000
0
0
20
40
60
80
100
Una de las ventajas del ajuste spline es que la tendencia de las probabilidades de muerte
nqx de las tablas de vida son consistentes con las tendencias observadas, hecho que no
necesariamente se da en los ajustes tipo Gompertz- Makeham
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El spline obtenido de los sobrevivientes a edad exacta (lx) por sexo, para el año 2010, por
nodos especificados en rango de edades es:
México: lx-spline por sexo, 2010
hombres
rango de edades Polinomio
0-5
-5.2640x3 + 63.8268x2 - 290.8945x + 98,661.1524
6 -24
-0.1642x3 + 3.8579x2 - 55.6200x + 98,344.2181
25 -69
-0.4133x3 + 39.6988x2 - 1,469.1728x + 115,312.2847
2.2249x3 - 541.6550x2 + 41,217.1692x - 928,245.0081
mujeres
rango de edades Polinomio
70 - 100
0-5
3.4226x3 + 43.4798x2 - 215.6789x + 98,921.5714
6 -24
-0.0247x3 + 0.2489x2 - 16.632x + 98567
25 -69
-0.3865x3 + 39.9820x2 - 1,445.0263x + 115,382.8753
70 - 100
3.2764x3 - 824.5830x2 + 65,949.7388x - 1,623,309.1608
Fuente: Cálculos propios
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Las tablas de vida por edad individual, para hombres y mujeres a nivel nacional para el año
2010, obtenida con el ajuste spline son:
México: Tabla de vida por sexo y edad desplegada, 2010
Hombres
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
nqx
0.015706
0.001412
0.000675
0.000451
0.000355
0.000301
0.000277
0.000268
0.000270
0.000280
0.000300
0.000326
0.000361
0.000408
0.000468
0.000544
0.000636
0.000741
0.000856
0.000976
0.001096
0.001213
0.001323
0.001424
0.001515
0.001596
0.001670
0.001737
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X Reunión Nacional de Investigación Demográfica en México. México, D.F., 3-6 de Noviembre de 2010
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1.22
0.57
0.003357
0.003686
0.004045
0.004439
0.004870
0.005341
0.005856
0.006429
0.007057
0.007746
0.008502
0.009332
0.010242
0.011240
0.012335
0.013536
0.014853
0.016298
0.017881
0.019617
0.021519
0.023604
0.025888
0.028389
0.031129
0.034128
0.037411
0.040792
0.044465
0.048453
0.052778
0.057466
0.062543
0.068037
0.073974
0.080386
0.087381
0.095011
0.103334
0.112407
0.122297
0.133071
0.144800
0.157561
0.170952
0.185520
0.201354
0.218544
0.237182
0.257357
0.279154
1.000000
94950
94631
94283
93901
93484
93029
92532
91990
91399
90754
90051
89285
88452
87546
86562
85495
84337
83085
81730
80269
78694
77001
75183
73237
71158
68943
66590
64099
61484
58750
55904
52953
49910
46788
43605
40379
37134
33889
30669
27500
24409
21424
18573
15883
13381
11093
9035
7216
5639
4302
3194
2303
319
349
381
417
455
497
542
591
645
703
766
833
906
984
1068
1157
1253
1354
1461
1575
1693
1818
1946
2079
2215
2353
2491
2615
2734
2847
2950
3043
3122
3183
3226
3246
3245
3220
3169
3091
2985
2851
2689
2503
2287
2058
1819
1577
1337
1107
892
2303
94790.7
94456.9
94091.8
93692.7
93256.6
92780.6
92261.2
91694.6
91076.4
90402.4
89668.2
88868.8
87999.2
87054.3
86028.4
84915.9
83710.9
82407.5
80999.7
79481.7
77847.6
76092.2
74210.2
72197.5
70050.4
67766.4
65344.4
62791.4
60117.1
57326.8
54428.3
51431.5
48349.3
45196.8
41992.3
38756.5
35511.2
32278.9
29084.4
25954.2
22916.1
19998.1
17228.0
14632.1
12237.0
10064.3
8125.6
6427.5
4970.2
3748.0
2748.6
1151.4
2990612.7
2895822.1
2801365.2
2707273.4
2613580.7
2520324.0
2427543.5
2335282.3
2243587.7
2152511.3
2062108.8
1972440.7
1883571.9
1795572.6
1708518.4
1622490.0
1537574.1
1453863.2
1371455.7
1290456.0
1210974.3
1133126.7
1057034.5
982824.3
910626.8
840576.4
772810.0
707465.7
644674.3
584557.2
527230.4
472802.1
421370.6
373021.3
327824.5
285832.2
247075.7
211564.5
179285.6
150201.2
124246.9
101330.8
81332.7
64104.7
49472.6
37235.6
27171.3
19045.7
12618.2
7648.0
3900.0
1151.4
31.50
30.60
29.71
28.83
27.96
27.09
26.23
25.39
24.55
23.72
22.90
22.09
21.29
20.51
19.74
18.98
18.23
17.50
16.78
16.08
15.39
14.72
14.06
13.42
12.80
12.19
11.61
11.04
10.49
9.95
9.43
8.93
8.44
7.97
7.52
7.08
6.65
6.24
5.85
5.46
5.09
4.73
4.38
4.04
3.70
3.36
3.01
2.64
2.24
1.78
1.22
0.61
Fuente: Cálculos propios
13
X Reunión Nacional de Investigación Demográfica en México. México, D.F., 3-6 de Noviembre de 2010
Y las esperanzas de vida que se obtuvieron con el ajuste spline-lx proyectando los
parámetros de los polinomios por nodos, para los años 2010 al 2050, por edad y sexo,
tomadas de tablas de vida completas obtenidas son:
Hombres
Edad
ex.2010 ex.2015 ex.2020 ex.2025 ex.2030 ex.2035 ex.2040 ex.2045 ex.2050
0
73.06
73.85
74.81
75.73
76.61
77.45
78.26
79.03
79.78
5
69.42
70.02
70.82
71.59
72.35
73.08
73.79
74.49
75.17
10
64.52
65.10
65.88
66.64
67.39
68.11
68.82
69.51
70.18
15
59.63
60.20
60.96
61.71
62.45
63.16
63.86
64.54
65.21
20
54.85
55.38
56.13
56.86
57.58
58.28
58.96
59.63
60.29
25
50.19
50.69
51.41
52.11
52.80
53.48
54.14
54.79
55.43
30
45.60
46.06
46.74
47.41
48.06
48.71
49.35
49.97
50.59
35
41.05
41.46
42.10
42.72
43.34
43.96
44.56
45.16
45.76
40
36.57
36.92
37.51
38.09
38.67
39.25
39.82
40.39
40.96
45
32.19
32.49
33.02
33.56
34.10
34.64
35.18
35.71
36.25
50
27.98
28.22
28.70
29.19
29.69
30.18
30.68
31.18
31.67
55
23.97
24.15
24.59
25.03
25.48
25.93
26.38
26.83
27.29
60
20.23
20.34
20.73
21.12
21.52
21.92
22.32
22.73
23.14
65
16.78
16.84
17.17
17.51
17.85
18.20
18.55
18.91
19.27
70
13.67
13.69
13.97
14.25
14.54
14.83
15.13
15.43
15.74
75
10.94
10.94
11.16
11.39
11.63
11.87
12.11
12.36
12.61
80
8.57
8.57
8.75
8.93
9.12
9.31
9.51
9.71
9.91
85
6.52
6.52
6.65
6.79
6.93
7.08
7.22
7.37
7.53
90
4.71
4.71
4.80
4.89
4.98
5.07
5.17
5.26
5.36
95
3.00
3.00
3.04
3.08
3.12
3.16
3.21
3.25
3.29
Mujeres
edad
ex.2010 ex.2015 ex.2020 ex.2025 ex.2030 ex.2035 ex.2040 ex.2045 ex.2050
0
77.76
78.42
79.32
80.17
80.98
81.75
82.48
83.18
83.84
5
73.93
74.42
75.18
75.91
76.61
77.28
77.93
78.56
79.17
10
69.00
69.48
70.23
70.95
71.64
72.31
72.96
73.58
74.19
15
64.07
64.54
65.28
65.99
66.67
67.33
67.98
68.60
69.20
20
59.18
59.62
60.35
61.05
61.72
62.38
63.01
63.62
64.22
25
54.29
54.72
55.42
56.11
56.77
57.42
58.04
58.65
59.24
30
49.42
49.82
50.51
51.17
51.82
52.46
53.07
53.67
54.26
35
44.59
44.96
45.62
46.26
46.89
47.51
48.12
48.71
49.29
40
39.82
40.15
40.78
41.40
42.01
42.61
43.20
43.78
44.34
45
35.14
35.43
36.03
36.61
37.20
37.77
38.34
38.90
39.45
50
30.60
30.84
31.40
31.95
32.50
33.04
33.58
34.11
34.64
55
26.23
26.42
26.93
27.44
27.95
28.45
28.95
29.45
29.95
60
22.09
22.22
22.68
23.14
23.60
24.06
24.51
24.97
25.43
65
18.23
18.30
18.70
19.10
19.51
19.91
20.32
20.72
21.13
70
14.72
14.74
15.07
15.41
15.75
16.09
16.44
16.79
17.14
75
11.61
11.61
11.87
12.14
12.42
12.69
12.97
13.26
13.54
80
8.93
8.93
9.13
9.33
9.54
9.75
9.96
10.18
10.39
85
6.65
6.65
6.79
6.93
7.07
7.22
7.36
7.51
7.66
90
4.73
4.73
4.81
4.90
4.98
5.07
5.16
5.24
5.33
95
3.01
3.01
3.04
3.08
3.12
3.16
3.19
3.23
3.27
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X Reunión Nacional de Investigación Demográfica en México. México, D.F., 3-6 de Noviembre de 2010
A manera de conclusión
Las ganancias en la esperanza de vida, que se espera tendrá la población mexicana en los
próximos 40 años, obtenidas a partir del las tablas de vida completas obtenidas por ajuste y
proyección spline-lx, para hombres y mujeres, son:
México: Ganancias en la esperanza de vida del año 2010 al 2050, por edad y sexo.
Hombres
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
ganancias
6.72
5.74
5.67
5.58
5.44
5.24
4.98
4.70
4.39
4.06
3.70
3.32
2.92
2.49
2.07
1.68
1.34
1.01
0.65
0.28
Mujeres
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
ganancias
6.09
5.24
5.18
5.12
5.05
4.95
4.84
4.70
4.53
4.30
4.03
3.71
3.34
2.90
2.42
1.94
1.46
1.01
0.60
0.26
15
X Reunión Nacional de Investigación Demográfica en México. México, D.F., 3-6 de Noviembre de 2010
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16