Redes sometidas a excitaciones causales

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Capítulo 2
Redes sometidas a Excitaciones Causales
2.1 INTRODUCCIÓN
a) Causalidad
Se desea desarrollar métodos eficientes para analizar redes sometidas a excitaciones
causales.
Se denomina excitación causal a una señal que es igual a cero para tiempos menores que
cero. Estas señales permiten representar un cambio de condiciones en las entradas de una
red, en un tiempo determinado, usualmente el tiempo cero. Es decir, una excitación causal
modela la siguiente situación: se tiene una red sin excitaciones, y en un instante
determinado se la somete a un estímulo que causa efectos en la variable que se está
observando como respuesta.
Nuestro interés será analizar las formas de ondas de la respuesta desde el instante de
referencia en adelante; no nos interesamos en tiempos negativos, ya que las entradas no
tienen variaciones en ese intervalo.
b) Descomposición
Para una mejor comprensión de los efectos producidos por el estímulo, se suele
descomponer la respuesta. Una forma de descomponer es separar la señal de salida en sus
partes estacionaria y transitoria. Otra descomposición, usualmente utilizada, es separar la
respuesta en una parte que se debe solamente a las energías acumuladas en la red en el
instante de referencia; y en la parte debida solamente a la excitación. La primera se
denomina respuesta a entrada cero; la segunda; respuesta a estado cero. Los métodos que
desarrollamos deberán permitir visualizar fácilmente las partes de la respuesta.
c) Representación matemática
Una red constituida por la interconexión de componentes lineales, concentradas e
invariantes en el tiempo y sometida a excitaciones causales queda representada por un
sistema de ecuaciones integro-diferenciales lineales, ordinarias y de coeficientes
constantes. Un método matemático adecuado para resolver el sistema, interpretar los
resultados, y lograr una percepción profunda y amplia de la red es la Transformación de
Laplace.
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Teoría de Redes Eléctricas
La Transformada de Laplace permite modificar el problema planteado anteriormente,
obteniendo una representación analítica de la red más simple; se lograr modelar mediante
un sistema de ecuaciones algebraicas (no diferenciales) en la variable compleja s.
Existen numerosos métodos para resolver sistemas algebraicos de ecuaciones. Por
ejemplo: Cramer, diagonalización de Gauss, Gauss-Jordan, etc. Adicionalmente la
representación matricial del sistema de ecuaciones permite interpretar las variables de la
red mediante vectores n-dimensionales, y visualizar la función que realiza la estructura
interconectada como una trasformación de variables en un espacio n-dimensional.
d) Condiciones iniciales
Este capítulo también tiene como objetivo introducir un punto de vista de ingeniería en el
tratamiento, especificación e interpretación de las condiciones iniciales. Para encontrar la
solución única de un sistema de ecuaciones diferenciales será necesario conocer los
valores, en el instante de referencia, de las energías acumuladas en las componentes
dinámicas; o sea, es preciso tener especificado el estado inicial. La transformada de
Laplace, posibilita un tratamiento simple de las condiciones iniciales; y al incorporarlas a
las ecuaciones algebraicas permite visualizar con facilidad los efectos producidos por el
estado inicial.
e) Análisis dinámico
El método de la transformada de Laplace es especialmente adecuado para estudiar redes
lineales sometidas a excitaciones que contienen cambios no periódicos, permitiendo
obtener analíticamente expresiones que califican cómo responde la red a esos estímulos.
Este estudio se denomina: análisis dinámico de una red, también se le reconoce como
análisis transitorio, pero el término es menos general. Un fenómeno transitorio es sólo una
de las formas que se presentan en las respuestas de una red lineal e invariante en el
tiempo sometida a excitaciones causales.
f) Restricciones del método
Finalizando esta introducción se hace resaltar el hecho de que el método que se
desarrollará no permite resolver todos los tipos de problemas que se presentan en redes
eléctricas. Por ejemplo: Redes no lineales, variantes en el tiempo, componentes
distribuidas o que dependen de las variables especiales no podrán ser eficientemente
tratadas con el método de la transformación de Laplace. Adicionalmente algunos
problemas de geometría simple, por ejemplo: redes RC, deberán ser resueltos por métodos
ya expuestos en un curso introductorio de redes; no será conveniente aplicarles el método
que se estudiará, que deberá emplearse cuando las dificultades que se presentan están a la
altura del procedimiento.
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2.2 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Este capítulo considera conocido el procedimiento matemático denominado transformada
de Laplace.
Se desarrollarán sólo los aspectos prácticos que serán especialmente interesantes en las
aplicaciones que se estudiarán posteriormente.
2.2.1. Definición
F (s)
(2.1)
f (t ) e st dt
L[ f (t )]
0
Nótese que se especifica el tiempo cero menos (0 ) . Se escoge ese valor para incorporar,
dentro del intervalo de interés, posibles discontinuidades en el tiempo cero.
Ejemplo 2.1.
Sean las siguientes señales:
Figura 2.1
Entonces se tiene, aplicando la definición:
F1 ( s)
F2 (s)
F3 (s)
1
s
Nótese que la transformada de Laplace de una señal está asociado sólo a la parte de la
función temporal en el intervalo; 0 hasta .
También debe advertirse que las transformadas inversas entregan sólo la parte de la
función temporal para t 0 .
Entonces, dada una señal, la transformada de Laplace sólo dará resultados para t 0 . Y
será equivalente suponer que la excitación es causal. De otra forma, la aplicación de la
transformada de Laplace establece que se está tratando una red equivalente para t 0 .
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Teoría de Redes Eléctricas
También puede interpretarse, en caso de tener excitaciones no causales, por ejemplo la
señal f3 , que se modifica la entrada multiplicándola por u (t ) . De este modo queda como
excitación: f3 (t ) u (t ) que es una señal causal.
En el ejemplo, para las tres señales se tendrá:
L1
1
s
(2.2)
1 u (t )
2.2.2. Transformada de un impulso
Aplicando la definición.
(t ) e st dt
L[ (t )]
0
Recordando la definición de la función impulso o delta de Dirac, se tendrá que el
integrando es cero excepto en el origen. Entonces la integral sólo debe realizarse entre 0- y
0+; en ese intervalo la función exponencial vale uno. Y aplicando que:
0
(t )dt 1 resulta:
0
(2.3)
L[ (t )] 1
Nótese que la especificación del tiempo cero menos permite incorporar dentro del
intervalo de interés a la función impulso. Si se hubiese elegido el límite inferior en cero
más (0 ) , la transformada del impulso sería cero, y en los desarrollos no se tendría
explícitamente la información del cambio brusco de la excitación.
2.2.3. Condiciones iniciales
La especificación del tiempo cero menos, establece que para resolver una ecuación
diferencial, deberán conocerse los valores de las variables en el instante 0 . Lo anterior
se desprende de la observación de la transformada de la derivada de una función:
L
df
dt
sL[ f (t )]
(2.4)
f (0 )
Donde f (0 ) es la condición inicial.
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Recordando el significado del concepto de estado, establecemos que es suficiente conocer
los valores de las tensiones en los que condensadores y las corrientes en los inductores, en
el instante 0 , para tener completamente especificadas las condiciones iniciales de la red.
Dichos valores permiten calcular las energías acumuladas en las componentes
almacenadoras; asociados a esas energías se tendrán procesos que conformarán una parte
de las respuestas que se observen.
La forma de la relación anterior muestra cómo el método introduce explícitamente la
condición inicial.
En el siguiente ejemplo se muestra cómo son consideradas las condiciones iniciales:
Ejemplo 2.2.
Para las señales del ejemplo 2.1.:
Figura 2.2
Aplicando la relación 2.4.:
L
df1
dt
sF1 0; L
df 2
dt
sF2 ( 1)
Las condiciones iniciales se desprenden de la Figura 2.1.
Se tenía: F1
F2
1
, nótese que a pesar de tener distintas condiciones iniciales, las
s
transformadas de las señales son iguales.
Resultan:
L
df1
dt
1; L
df 2
dt
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Relaciones que también pueden obtenerse de la transformada de un impulso vista en
(2.3), y de las formas de ondas de las figura 2.2.
Debe notarse que en las transformadas de las derivadas va incorporada la información de
que las señales tienen condiciones iniciales diferentes.
De 2.4, se obtiene, el valor en el tiempo t=0+:
f (0 ) lim( sF ( s))
s
2.2.4. Descomposición de la respuesta
Se visualizará, mediante la resolución de una ecuación diferencial, la descomposición de la
respuesta que se logra aplicando la transformación de Laplace.
Sea la siguiente ecuación diferencial:
d 2r
dt 2
3
dr
dt
2r (t )
s(t )
Donde s(t) es la excitación de la red, y r(t) la respuesta observada.
La aplicación de la transformación de Laplace, y un pequeño trabajo algebraico conduce a:
sr (0 )
R( s )
dr (0 )
3r (0 )
dt
s 2 3s 2
E ( s)
s 3s 2
2
Expresión en que se advierten las partes de la respuesta. Una es debida a las condiciones
iniciales; la otra: a la excitación. Por ejemplo, si efectuamos E ( s) 0 , tendremos la parte
de la respuesta de la red lineal, que es causada por las energías acumuladas por los
elementos dinámicos, en el instante cero menos. Si se tiene una red inicialmente relajada
la respuesta será:
R( s )
E ( s)
s 3s 2
2
Análisis de la respuesta a estado cero.
Supongamos que la forma de onda de la excitación estuviera descrita por:
s(t )
sen(t )
Entonces:
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E (s)
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1
s
2
1
Y se tendrá:
R( s )
(s
2
1
3s 2)
(2.5)
Expresión que puede descomponerse según:
R( s )
As B
s2 1
Cs D
s 3s 2
(2.6)
2
Los coeficientes A, B, C y D se calculan mediante la comparación de los coeficientes de los
numeradores de 2.5 y 2.6 . Resulta:
R( s)
3
1
s
10
10
s2 1
3
8
s
10
10
s 2 3s 2
(2.7)
Relación que permite estudiar partes de la respuesta a estado cero de la red eléctrica
lineal. Una parte es debida al brusco cambio de la excitación, y describe los cambios
debidos a la particular estructura interconectada que conforma la red. Como se verá esta
parte tiende a cero para tiempos grandes. La otra parte está asociada, como puede verse
observando los denominadores de 2.6 y 2.7 , al tipo de excitación; esta componente
estará asociada a una forma de onda sinusoidal periódica de igual frecuencia que la
excitación.
Se observa que el método de la transformación de Laplace permite obtener conclusiones
acerca de las partes de la respuesta. Más estudios acerca de este tema se realizan en
asignaturas de Sistemas Lineales.
2.2.5. Operatoria
Existen dos problemas prácticos asociados al método de la transformación de Laplace
aplicada al estudio de redes eléctricas. Son los problemas de Transformación y de
Inversión.
Se denomina Transformación a todos los procedimientos que permiten pasar de
expresiones temporales a funciones de la variable s. Se recomienda disponer de tablas de
transformadas de aquellas funciones temporales que más frecuentemente se presentan en
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redes eléctricas; es decir: de un diccionario. Adicionalmente es útil disponer, en forma de
tabla, de los teoremas relativos a la transformación; es decir: una gramática.
Con la información anterior resulta cómodo y rápido el resolver el problema de la
transformación.
El problema de Inversión describe la dificultad de transformar una función de la variable
s en expresiones temporales o señales.
La inversión es, en general, un problema más difícil que el de transformación. Se
recomienda aplicar, inteligentemente, los procedimientos de expansión en fracciones
parciales. El aislar el tipo de fracciones que convienen en cada problema particular,
dependerá de la experiencia que se logre tras resolver un gran número de problemas; la
aplicación inteligente, demanda entonces: habilidad operatoria, el recuerdo de dificultades
similares del método empleado en este caso, concentración para efectuar desarrollos
algebraicos sin cometer errores, etc.
Conviene adquirir habilidad en el tratamiento de señales sinusoidales, de exponenciales,
de sinusoidales amortiguadas exponencialmente, escalones, ramplas, impulsos delta de
Dirac.
Por ejemplo, algunos elementos útiles para conformar un diccionario serían:
L eat cos(bt )
s a
( s a)2 b2
(2.8)
L eat sen(bt )
b
( s a)2 b2
(2.9)
Ejemplo 2.3.
Determinar i t para t mayor que cero, para la red de la Figura 2.3.
Figura 2.3
Donde: e(t ) 12sen(5t )
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L 1
R 6
C 0, 04
Condiciones iniciales:
vc (0 ) 1
i (0 )
iL (0 ) 5
Solución:
a) Formulación
Aplicando LVK :
e(t ) u (t )
di
dt
Ri L
1
C
t
0
i( )d
vc (0 )
Planteando de esta manera, se incorporan las condiciones iniciales sin dificultad.
b) Transformación
Resulta, aplicando las reglas gramaticales de la transformación de Laplace:
L 12sen(5t ) u (t )
sI 1 ( sI 5)
I
0, 04s
1
s
Agrupando convenientemente:
I (s)
s
( s 3) 2
4
2
60
( s 52 )
2
5s 1
( s 3) 2 42
excitacion
I (s)
I
xo
(s)
I
eo
(s)
c) Inversión
c1) Conviene la siguiente expansión en fracciones parciales, para la respuesta a estado
cero:
I xo
k1 5
s 52
2
k2 4
( s 3)2 42
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Igualando los numeradores de las expresiones para I xd , se obtienen:
4k2 5k1
30k1
(coeficiente de s 2 )
0
(coeficiente de s1 )
60
100k2 1251
0 (coeficiente de s 0 )
Resultan:
k1
k2
2
5
, una de las expresiones permite “chequear” los valores determinados.
2
Entonces: ixo (t )
5 3t
e sen(4t ); para t
2
2sen(5t )
0 .
Nótese que el primer término es periódico, y se denomina parte estacionaria o forzada. El
segundo término es transitorio, en el sentido de que tiende a cero para valores grandes de
la variable independiente tiempo.
Obsérvese que la primera parte o respuesta en estado estacionario podría haberse
calculado, aplicando transformación fasorial, para excitaciones sinusoidales, en estado
estacionario, según:
Figura 2.4
I
est
12 0o
6 5j 5j
2 0o
iest (t ) 2sen(5t )
Se empleó transformación fasorial con referencia seno. Adviértase que la red está en
5.
resonancia para la frecuencia
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c2) Para I eo , se advierte que resulta cómodo expresar:
5( s 3)
( s 3)2 42
I eo
ieo (t ) 5e
3t
4 4
( s 3) 2 42
y entonces, se tiene:
cos(4t ) 4e 3t sen(4t ) para t>0-
Finalmente,
i
ieo ixo
i
2sen(5t ) 5e
3t
cos(4t ) 6,5e 3t sen(4t ) para t>0-.
Donde la parte estacionaria corresponde a:
iest
2sen(5t )
Y la parte transitoria, corresponde a:
itran
5e
3t
cos(4t ) 6,5e 3t sen(4t )
c3) Observaciones:
1. Nótese que se denomina transitoria a toda forma de onda que tienda a cero para
tiempo tendiendo a infinito. Estos términos se presentan, generalmente, en redes
en las que existen procesos de oscilación con disipación.
2
2. Los términos temporales asociados a las fracciones con denominador ( s 3)
se denominan frecuencias naturales de la red.
42 ,
Estos términos dependen de los valores de las componentes de la red y de las
condiciones iniciales. Mayor profundidad conceptual se desenvuelve en cursos de
Sistemas Lineales.
2.3 MÉTODOS DE FORMULACIÓN EMPLEANDO TRANSFORMACIÓN DE
LAPLACE.
2.3.1. Introducción
Se desea desarrollar técnicas que permitan escribir fácil y directamente el sistema
algebraico de ecuaciones, que representa a una red eléctrica lineal sometida a excitaciones
causales, en función de las variables de la transformación de Laplace.
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La fundamentación es enteramente similar a la desarrollada en los puntos 6 y 7 del
capítulo Redes Sometidas a Excitaciones Sinusoidales en Estado Estacionario, estudiados
en Teoría de Redes Eléctricas I.
Se procederá como sigue:
Primeramente se describirán las componentes elementales mediante impedancias y
admitancias en función de la variable s, estableciendo símbolos adecuados. Luego se tratan
las leyes de interconexión, las componentes almacenadoras, y las fuentes en el dominio de
la variable s. Posteriormente se discuten las técnicas que permiten construir diagramas de
redes en el dominio de s. Finalmente se desarrollan métodos de formulación directa de las
ecuaciones de una red, apoyándose en la inspección visual de los diagramas.
2.3.2. Impedancia y Admitancia
Para una componente pasiva e inicialmente relajada se definen:
Z ( s) I ( s)
(2.10)
I ( s) Y ( s) V ( s)
(2.11)
V ( s)
Figura 2.5
Donde:
V e I son las transformadas de Laplace de las variables terminales de una componente
pasiva relajada inicialmente.
Z ( s) e Y ( s) son la impedancia y admitancia, en el plano s, de la componente.
Se suelen emplear los siguientes símbolos:
Figura 2.6
Para las componentes elementales, se tienen:
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Z (s)
Y ( s)
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R
1
R
Ls
1
Ls
1
Cs
Cs
Figura 2.7
Relaciones que pueden demostrarse sacando transformada de Laplace a las relaciones de
equilibrio temporales para las componentes elementales, y luego comparando con la
definición de Z e Y .
2.3.3. Leyes de interconexión
Debido a la linealidad de la Transformada de Laplace, las leyes de Kirchhoff pueden
visualizarse, analítica y gráficamente, según:
i1 (t ) i2 (t ) i3 (t ) 0
I1 ( s) I 2 ( s) I 3 ( s) 0
(2.12)
Figura 2.9
Figura 2.10
v1 (t ) v2 (t ) v3 (t ) 0
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V1 ( s) V2 ( s) V3 ( s) 0
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(2.13)
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2.3.4. Fuentes independientes
Se emplean los siguientes símbolos:
Figura 2.11
Figura 2.12
2.3.5. Componentes almacenadoras. Condiciones iniciales.
a) Inductor
Se tienen:
Con
vL
L
iL
0
diL
dt
(2.14)
0
Figura 2.13
Sacando transformada de Laplace a la relación de equilibrio (2.14), se logra:
VL ( s)
sL I L ( s) LiL 0
(2.15)
Despejando I L ( s) , se obtiene:
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I L ( s)
VL ( s)
sL
15
iL 0
s
(2.16)
Interpretando (2.15) mediante LVK y empleando la definición de impedancia de una
componente relajada, se logra el siguiente símbolo que recuerda gráficamente la relación.
Figura 2.14
En la figura 2.14 se advierte que las condiciones iniciales han sido incorporadas como
fuentes. Más adelante se desarrollará un procedimiento similar en redes con
interruptores.
Procediendo con (2.16) en forma similar, pero basándose en LCK y en la definición de
admitancia, se obtiene:
Figura 2.15
Observaciones:
1. Nótese que las redes son equivalentes, ya que representan la misma ecuación. Además
puede establecerse una comparación con los modelos equivalentes en el dominio del
tiempo, vistos en Teoría de Redes I.
2. Adviértase que los conceptos de impedancia y admitancia en la variable s permiten las
mismas ventajas de manipulación algebraica y de representación simbólica
simplificada, que las definiciones de impedancia y admitancia complejas, estudiados
para redes sometidas a excitaciones sinusoidales y en estado estacionario.
b) Condensador
Procediendo en forma similar al punto 2.3.5.1, se tienen:
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ic
C
Con vc 0
dvc
dt
(2.17)
0
Figura 2.16
(2.18)
I c ( s) Cs Vc ( s) Cvc (0 )
Vc ( s)
I c ( s)
Cs
vc (0 )
s
(2.19)
Figura 2.17
Figura 2.18
Observaciones:
1. Nótese las referencias para las fuentes.
2. Obsérvese que una fuente constante en s, equivale a una fuente con un impulso en el
tiempo. Y que una fuente con un escalón en el tiempo le corresponde una fuente
proporcional a 1/s.
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2.3.6. Diagramas de redes en el plano s
Dado el diagrama de una red en el dominio del tiempo, es sumamente sencillo obtener el
diagrama en el plano s, y viceversa. La ventaja de estos diagramas es que facilitan la
formulación de ecuaciones y la visualización del problema en el dominio de la variable s.
Ejemplo 2.4.
Para el siguiente diagrama temporal, que representa una red inicialmente relajada,
determinar el diagrama de la red en el plano s.
Figura 2.19
Se tiene el siguiente diagrama en s, mediante la transformación de cada elemento y de las
variables:
Figura 2.20
Entonces, aplicando teoremas de equivalencia, puede calcularse:
Z ( s)
V
I
1
R
Cs
1
Ls
Ejemplo 2.5.
Los siguientes diagramas representan la misma red.
Con:
iL (0 ) a
vc (0 ) b
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Figura 2.22
Figura 2.23
En el trabajo práctico con redes es importante destacar que en los diagramas en el plano s,
pueden aplicarse las mismas técnicas vistas en Redes Eléctricas I para los diagramas en el
dominio del tiempo. Es posible aplicar: superposición, Thevenin, Norton, equivalencias,
divisores, sumas serie y paralelo, métodos de formulación, etc., etc.
2.3.7. Relación con redes sometidas a excitaciones sinusoidales y en estado
estacionario.
Los diagramas de redes en el plano s, pueden ser modificados para estudiar la conducta en
estado estacionario. Basta eliminar el efecto de las fuentes asociadas a las condiciones
iniciales y cambiar s por jw; además se agrega un punto bajo las variables.
Esta idea puede ser aplicada con ventajas en el tratamiento algebraico de redes en estado
estacionario; por un lado se logra una notación más general, ya que se pueden tratar redes
con excitaciones causales o sinusoidales; por otro lado, los desarrollos para cálculos de
impedancias equivalentes son más simples de efectuar sin trabajar con números
complejos, y sólo terminado el proceso algebraico se reemplaza s por jw.
2.3.8. Método nodal. Formulación directa matricial.
Dada una red eléctrica, mediante la aplicación del método nodal se obtienen las ecuaciones
que describen la conducta de la red, en el dominio del tiempo. Aplicando a esas ecuaciones
integro-diferenciales la transformación de Laplace, se obtiene un sistema algebraico de
ecuaciones, en la variable compleja s. Mediante la expresión matricial de esas ecuaciones
la conducta de la red, en el plano s, queda descrita según:
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y11 ( s ) y12 ( s )
y1n ( s )
v1 s
I g1 ( s )
J1 ( S )
y21
y22
y2 n
v2
Ig2
J2
yk 1
yk 2
ykn
vk
I gk
Jk
yn1
yn 2
ynn
vn
I gn
Jn
(2.20)
La expresión anterior puede escribirse en forma abreviada según:
[Yn ] V ] I g ] J ]
nxn
nx1
nx1
(2.21)
nx1
Se ha indicado entre paréntesis redondos las dimensiones de las matrices. Las matrices
columna también se denominan vectores; por lo tanto V , que describe las incógnitas,
puede interpretarse como vector de voltajes de nodo a tierra.
Nuestro interés es desarrollar un método que nos permita escribir directamente cada uno
de los elementos de las matrices mediante la inspección visual del diagrama de la red, en el
dominio de la variable s. Para esto estudiaremos el renglón k-ésimo de la matriz; o sea, se
analizará la ecuación asociada al nodo k de la red:
yk1v1
yk 2v2 ... ykk vk
... ykn vn
I gk
Jk
(2.22)
La red descrita tiene n 1 vértices, por lo tanto existen n nodos.
Los Vk , con k
método.
1, 2,... n, son voltajes de nodo a tierra; es decir, son las incógnitas del
El renglón k-ésimo y la ecuación recién planteada están asociadas al nodo k. Nótese que
cada una de las ecuaciones está asociada a un nodo.
Nuestro interés es poder escribir, mediante inspección visual, los siguientes términos:
yk1' yk 2 ..., ykk ,... ykn ' I gk , J k
Supongamos que el nodo k tenga las siguientes componentes conectadas a él:
Red en el dominio del tiempo
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Figura 2.24
Red en el plano s.
Figura 2.25
Planteando LCK, y orientando como positivas las corrientes que salen del nodo se tiene:
I ka
I kb
I kc
I kd
0
(2.23)
Nótese que esta elección implica, como se verá luego, que el coeficiente de
VK o sea : ykk tenga signo positivo.
Aplicando relaciones terminales:
Cs Vk Va
Cvc 0
G Vk Vb
(2.24)
1
Vk Vc
Ls
iL (0 )
If
s
0
Arreglando la ecuación de tal modo que todos los términos asociados a las fuentes de
corriente queden en el lado derecho, y factorizando, se tendrá:
Cs G
1
Vk
Ls
CsVa GVb
1
Vc
Ls
If
iL (0 )
Cvc 0
s
(2.25)
Observando detenidamente la ecuación anterior, podremos sacar algunas conclusiones
generales, a pesar de haberla escrito para un caso particular.
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Redes sometidas a excitaciones causales.
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Términos de renglón k.
Debe notarse que en la ecuación k sólo aparecen valores asociados a las componentes
conectadas al nodo k. Por lo tanto, la inspección visual debe enfocarse en esos
componentes para el reconocimiento de los términos que se desea escribir.
Vectores de excitación.
Se denomina vectores de excitación a I g ] y a J ] , debido a que incorporan el efecto de
las fuentes de corriente.
Nótese que en el lado derecho de la ecuación (2.22) aparecen los efectos de las
componentes activas (fuentes de corriente) conectadas al nodo k.
En la (2.25) algunas aparecen con signos más; otros con signo menos. Adviértase que
las fuentes que “llevan corriente” al nodo k aparecen con signo positivo.
Las fuentes que “sacan corriente” del nodo aparecen con signo negativo.
Se introducen con un significado especial los verbos llevar y sacar, así suelen usarse en
electrónica; hacemos notar que es más preciso referirse a llevar o sacar cargas que
corriente. Las palabras llevar y sacar tienen, en sí mismas, asociada la idea del
movimiento; la corriente también está asociada a movimiento, por esta razón hablar
de “llevar corriente” es, en cierta forma, redundante.
Entonces, resumiendo simbólicamente, los signos están dados por:
Figura 2.26
Vector de excitación independiente.
Se denomina así el vector I g .
Al elemento del k-ésimo renglón Igk , se le llama: excitación independiente
equivalente del nodo k.
En Igk se incorpora el efecto de la totalidad de las fuentes independientes de corriente
conectadas al nodo k , y que no están asociadas a las condiciones iniciales.
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22
Teoría de Redes Eléctricas
Vector (de excitación) de condiciones iniciales.
Se llama así a J ] . Y está constituido por las fuentes de corriente que representan las
energías almacenadas en el instante cero menos.
Matriz de admitancia nodal.
Se denomina así a [Yn ] . Sus elementos tienen dimensiones de admitancia; se agrega
nodal para recordar que está asociada al método de formulación de igual nombre.
Se tienen dos tipos de elementos; los de la diagonal principal y el resto.
ykk se denomina: coadmitancia propia del nodo k. Es igual a la suma de las admitancias
conectadas al nodo k .
ykl se denomina: coadmitancia común a los nodos k y l . Es igual a: menos la suma de
la admitancias conectadas entre k y l .
Debe observarse que ykl
ylk ; es decir, la matriz Yn es simétrica.
Ejemplo 2.6.
Formular las ecuaciones que caracterizan a la siguiente red, mediante la aplicación del
método recién descrito.
Figura 2.27
Resultan aplicando las reglas dadas en 2.3.8.
G3
1
Ls
1
Ls
1
Ls
G3
0
a
s
a
s
0
bC
If
v1
+
G1 G2
G3
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G2
1
Ls
G2
v2
G2 G3 Cs
v3
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=
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2.3.9. Método de mallas. Formulación directa matricial.
Se desea desarrollar un procedimiento para escribir directamente las ecuaciones, que
describan la conducta de una red eléctrica, obtenidas aplicando el método de mallas.
Es decir, se desea poder determinar los elementos de las siguientes matrices mediante la
inspección visual del diagrama de la red:
[ Z m ] I ] Eg
(2.26)
F]
Donde:
[Zm ]
I]
Eg ]
F]
es la matriz de impedancias del método de mallas.
es el vector de las corrientes de mallas.
es el vector de excitación independiente.
es la excitación causada por el estado energético inicial.
Estudiaremos la secuencia de pasos que debe darse para escribir una ecuación. Sea esta
ecuación la asociada al renglón k de la matriz Z m .
Figura 2.29
Con:
iL (0 ) a
y
vC (0 ) b
Aplicando LVK , y considerando como positivas as las tensiones que son recorridas,
desde la polaridad positiva a la negativa, por la corriente de malla, se tendrá:
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vab vbc vcd
vda
0
(2.27)
Aplicando relaciones de equilibrio:
R (Ik
I b ) Eg
b
s
1
(Ik
Cs
I c ) Ls ( I k
I a ) aL
0
(2.28)
Arreglando la ecuación de tal modo que todos los términos asociados a las fuentes de
tensión queden en el lado derecho, y factorizando, se tendrá:
R
1
Cs
Ls I k
RI b
1
Ic
Cs
LsI a
Eg
b
aL
s
(2.29)
Observaciones:
En la ecuación asociada a la malla k sólo intervienen las componentes conectadas a esa
malla.
zkk la copedancia propia de la malla k , es igual a la suma de las impedancias que forman la
malla k .
zkl copedancia común a las mallas k y l ; está dada por zkl
impedancias que son comunes a las mallas k y l ).
Signo =
{
zlk
signo (suma de las
+1 Si las corrientes de mallas I k e I l tienen direcciones iguales a través
del elemento común.
-1 Si recorren el elemento común en direcciones opuestas.
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25
Figura 2.30 b
Las fuentes de tensión conectadas en la periferia de la malla k constituyen los elementos
Egk
y
Fk
.
La determinación del signo de cada fuente de tensión puede efectuarse con la ayuda de los
siguientes símbolos:
Figura 2.31
Ejemplo 2.7.
Para la red inicialmente relajada, determinar por inspección visual las ecuaciones de
mallas:
Figura 2.32
Solución:
Z1+Z2
Z2
0
I1
Z2
Z1+Z3
Z3
I2
0
Z3
Z3+Z4
I3
0
= Eb- Ea
Eb
Casos especiales:
Los algoritmos descritos, para la determinación directa de los elementos de las matrices,
son los suficientemente generales para ser aplicados a la casi totalidad de los casos. Sin
embargo, suelen presentarse casos especiales; en estas circunstancias se recomienda
revisar los distintos pasos de la secuencia que constituye el método, y detectar cuál es la
modificación o consideración que debe efectuarse para superar la dificultad especial.
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Teoría de Redes Eléctricas
Por ejemplo, en caso de tener fuentes dependientes se recomienda, en general, tratarlas
como fuentes independientes, y sólo en la última etapa –una vez escritas las matricesreemplazarlas por expresiones en función de las variables de interés.
Otro caso especial es el tratamiento de inductores acoplados en el método de mallas.
Caso i)
Los inductores acoplados pertenecen a una misma malla. Puede comprobarse, aplicando
LVK en la malla k y siguiendo los pasos del método, que la única modificación se presenta
en la copedancia propia de la malla k , queda:
Figura 2.33
zkk
L1s L2 s 2Ms Z1 Z 2
(2.30)
Caso ii)
Los inductores acoplados están en mallas diferentes.
Figura 2.34
Preocupándonos sólo del efecto debido al acoplamiento de la malla l sobre la malla k , se
tendrá:
Z kl
Ms
(2.31)
En estos casos deberá ponerse especial cuidado en los signos de los elementos que
contienen M.
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También deberá desarrollarse una técnica particular para el tratamiento de inductores
acoplados en el método nodal. En este caso la dificultad reside al aplicar la relación de
equilibrio.
2.4. EL ESTADO DE UNA RED.
Se estudiarán algunos aspectos teóricos relativos a las energías almacenadas por los
elementos dinámicos de una red eléctrica lineal.
2.4.1. Grado de complejidad de una red eléctrica.
Este concepto permite determinar, mediante la inspección visual del diagrama de la red, el
orden de la ecuación diferencial que rige el comportamiento de alguna de las variables de
la red.
Definición: El orden o grado de complejidad de una red eléctrica es igual al número de
condiciones iniciales independientes que deben ser especificadas para obtener la solución.
Es evidente que el grado de complejidad no es mayor que el número de elementos
dinámicos de la red; a lo sumo podrá ser igual a ese número. A continuación se analizará
cuándo se producen dependencias o relaciones entre los valores iniciales de las
componentes almacenadoras de energía.
Existe dependencia entre condiciones iniciales, si existe alguna ecuación que las relacione.
Si existe un circuito formado solamente por condensadores y fuentes de tensión
independientes, se tendrá una ecuación LVK que relaciona los valores instantáneos de los
voltajes en los condensadores del circuito.
Si existe un conjunto de corte formado solamente por inductores y fuentes de corriente
independiente, se tendrá una ecuación LCK que establece dependencia entre los valores
iniciales de las corrientes, en los inductores que constituyen el conjunto de corte.
Las condiciones topológicas anteriores se denominan degeneraciones. Debe notarse que
las relaciones son válidas durante el intervalo en que se tenga los circuitos de
condensadores o los conjuntos de corte de inductores. Se hace esta observación para redes
que contengan interruptores.
Entonces, el grado de complejidad de una red eléctrica formada por la interconexión de
resistencias, inductores, condensadores y fuentes independientes es igual al número de
elementos dinámicos menos el número de degeneraciones.
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Ejemplo 2.8
Figura 2.35
Elementos dinámicos:
Condensadores
Inductores
Total
3
2
5
Degeneraciones:

1 Circuito con fuentes de tensión y condensadores
1 Conjunto de corte de inductores
Total : 2
Grupo de complejidad = 3
Si se desea determinar la corriente i , se tendrá que establecer una ecuación
diferencial. El orden de la ecuación diferencial será igual a 3, ya que el grado de
complejidad es 3.
2.4.2. Redes con interruptores.
Existe frecuentemente el caso de redes con interruptores, e interesa estudiar el
comportamiento de la red después que se abren o cierran los contactos de los
interruptores.
En redes de potencia los interruptores son generalmente relés; pero también se presentan
interruptores electrónicos, en forma de triacs y tiristores. En redes electrónicas estos
dispositivos suelen ser transistores bipolares y de efecto de campo (FET).
En un caso idealizado se supone que la apertura y cierre de contactos se produce
instantáneamente; sin embargo existen una serie de fenómenos como la producción de
arcos, rebotes mecánicos, resistencias finitas asociadas al contacto que suelen ignorarse en
un curso de redes. El objetivo de mantener modelos simples, en los cursos básicos, es
permitir la concentración en el fenómeno global y facilitar la resolución del problema.
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Desgraciadamente esta costumbre refuerza la idea errónea de que los modelos simples
son adecuados.
El problema en general puede plantearse como sigue:
Se conoce la solución de una red antes de la operación de un interruptor, interesa la
solución de la red después de la conexión o desconexión de los contactos de un
interruptor.
En los métodos clásicos se dibuja el diagrama de la red para el tiempo inmediatamente
después de la operación del interruptor; se plantean las ecuaciones de la red; se
determinan las condiciones iniciales después de la operación, conociendo el estado antes
de la operación del interruptor. En este último punto se empleaban leyes de conservación
del momentum en redes eléctricas para determinar los cambios iniciales de energía
debidos a la presencia de interruptores.
Luego de conocidas las ventajas de la transformada de Laplace que incluya el instante
t 0 , se modela los interruptores como fuentes de tensión o corriente. Los cambios en
el estado inicial, en caso que se produzcan, son reflejados por la aparición de funciones
discontinuas. Si bien esta técnica considera automáticamente tanto los impulsos
generados internamente como los aplicados externamente a través de fuentes, en forma
simple y eficiente, tiene la desventaja de obscurecer algunos fenómenos internos
característicos de la conmutación en redes dinámicas. Por esta razón se tratarán leyes de
conservación de carga y enlaces de flujo, ya que de este modo se facilitará la comprensión
e interpretación de resultados obtenidos matemáticamente mediante la aplicación de la
transformada de Laplace.
Los siguientes modelos suelen emplearse en forma idealizada:
Figura 2.36
Con:
ig
i para t
0
o para t
0
(2.32)
Y para el caso de una conexión:
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Figura 2.37
Con:
vg
v para t
0
o para t
0
(2.33)
Ejemplo 2.9.
Se tiene la siguiente red:
Ejemplo 2.9 a
Con:
e
5
v(0 ) 2
C
1
Determinar i (t ) y v(t )
Solución:
Entonces en el plano s, se tendrá:
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Ejemplo 2.9 b
Ejemplo 2.9 c
Resulta I ( s)
3; es decir, i(t ) 3 (t ) y también v(t ) 5u (t ) .
En forma gráfica:
Ejemplo 2.9 d
Se muestra con línea punteada, las formas de ondas que se tendrán si se considera una
resistencia en el circuito. Cuanto menor es la constante de tiempo, más se aproxima a la
solución con discontinuidades.
En la práctica siempre hay una pequeña resistencia, lo cual garantiza que la corriente no
será infinita en t 0 . Pero si será alta, y de mayor valor cuanto menor sea la constante de
tiempo. El modelo original supuesto es una idealización que no considera las resistencias
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de las componentes reales, su solución es mucho más sencilla que el caso que considera
resistencias.
En el laboratorio saltará una chispa de los contactos del interruptor; el pequeño arco se
produce al perforarse el aire cuando la distancia entre los contactos es tal que el campo
eléctrico toma el valor de ruptura.
Si se considera la inductancia parásita se tendrá la siguiente forma de onda:
Ejemplo 2.9 e
La escala de tiempo se ha expandido para apreciar la oscilación amortiguada. Nótese que
se produce una sobretensión en t1 que difícilmente puede advertirse desde el modelo
idealizado.
Efectos como los anteriormente descritos han producido muchas catástrofes en diseño de
equipos.
Nótese que al despreciar las resistencias no se producen transientes, los cambios ocurren
en el instante de la conexión solamente. Esto suele usarse, en forma aproximada, para
conocer las condiciones al t 0 cuando se conocen los valores iniciales al t 0 . Sin
embargo el valor de las resistencias es determinante para evaluar la conducta temporal
transiente.
2.4.3. Condiciones de continuidad
Las componentes dinámicas pueden tener asociadas variables discontinuas, se
determinarán las condiciones en que éstas se presentan.
a) Para un inductor se tiene:
v
Empleando
tendrá:
d ( Li)
dt
Li y resolviendo la ecuación diferencial, por separación de variables se
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t
(t )
(t0 )
(2.34)
v( )d
t0
Considerando t0
0 yt
0 se obtiene:
0
(0 )
(0 )
(2.35)
v( ) d
0
En la que se advierte que si el voltaje del inductor contiene impulsos y/o sus derivadas, el
enlace de flujo será discontinuo. La relación (2.35) se ha planteado en torno a t 0 ; en
forma similar pueden determinarse las condiciones para otro instante.
b) Para un condensador se tiene:
i
Se obtiene:
d (Cv)
; con q Cv
dt
0
q (0 ) q(0 )
(2.36)
i( )d
0
La carga es discontinua si la corriente a través del condensador contiene impulsos y/o sus
derivadas.
Las relaciones tienen su análogo mecánico. Considerando:
f
d (mv)
dt
Es decir, el momentun es una función continua si no se aplican impulsos de fuerza.
Las relaciones (2.35) y (2.36) pueden plantearse en el plano s, diciendo que V ( s) e I ( s ) ,
respectivamente, deben ser fracciones propias. Si se expresan como cuociente de
polinomios, el grado del denominador debe ser, a lo menos, mayor en uno al grado del
numerador.
Ejemplo 2.10
Sea V ( s)
s 5
el voltaje en un inductor.
s 3
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Teoría de Redes Eléctricas
Determinar si la corriente en t
0 es o no una función continua.
Solución:
V ( s)
s 3
s 3
2
s 3
1
2
s 3
Entonces:
v(t )
(t ) 2e 3t u (t )
Y de (2.35), se tendrá:
i(0 ) i(0 )
1
L
En la que se advierte la discontinuidad de la corriente en el instante t
0
2.4.4. Leyes de Conservación.
2.4.4.1. Conservación de la carga.
El aumento de la carga encerrada dentro de un volumen debe ser igual a la corriente que
entra al volumen.
Es decir:
i
dq
dt
(2.37)
Una aplicación importante de esta relación es cuando la carga encerrada dentro del
volumen no varía en el tiempo; entonces se tiene la ley de corrientes de Kirchhoff.
Ejemplo 2.11.
En la siguiente red se tiene un condensador; en este dispositivo se mantienen cargas
separadas de igual magnitud, pero de diferente signo.
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35
Figura 2.38 a
Cuando v es positivo, la carga q asociada a la placa correspondiente a la polaridad
positiva, es positiva; y viceversa.
a) Aplicando la ley de conservación, para la Figura 2.38b, se obtiene la siguiente
relación:
i
dq
dt
Figura 2.38b
b) Para la Figura 2.38c, se tiene:
i1 i2
d (q q)
dt
0
i1
i2
Es decir:
Figura 2.38c
c) Para la Figura 2.38d, se obtiene:
i
d ( q)
; igual expresión que en i)
dt
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Figura 2.38 d
Ejemplo 2.12
Plantear la ecuación de conservación de la carga para el volumen que se indica:
Figura 2.39.a
Debe notarse que en redes eléctricas concentradas, los modelos de las componentes no
dependen de variables espaciales. Por esta razón el volumen debe entenderse como las
componentes que quedan encerradas dentro de la superficie que define un conjunto de
corte.
Figura 2.39b
Para la resistencia se tiene:
i1 i1
dq
; es decir q=cte.
dt
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37
Si hubiera una carga constante, dentro del volumen VR , emanarían líneas de campo
eléctrico del volumen. Esas líneas terminarían en otras cargas fuera de VR . Y en ese caso
se podría definir un condensador. Pero el modelo del resistor ideal sólo contempla el
efecto Joule. Por esta razón tendremos q 0 . Análogo razonamiento puede aplicarse al
inductor y a fuentes de tensión y de corriente.
Entonces, para la Figura 2.39.a, resulta aplicando la ley de conservación de la carga:
i1 i2
d (q1 q2 )
dt
La carga dentro de V, es decir, (q1 q2 ) , aumenta en los instantes que (i1 i2 ) es positiva.
De esta condición de conservación de carga, puede obtenerse la condición para la
continuidad de la carga total. La carga total es discontinua en los instantes en que i1 o i2
contienen impulsos o sus derivadas.
Cuando se tiene un conjunto de corte formado solamente por condensadores la carga total
encerrada es constante.
Ejemplo 2.13
Para el caso indicado, en la Figura 2.13, se tiene:
0
d ( q1 q 2
dt
Es decir:
q1 q2 q3
q3 )
constante
Que al ser derivada implica LCK en el nodo.
i1 i2 i3
0
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38
Teoría de Redes Eléctricas
2.4.4.2. Conservación del flujo enlazado por un circuito.
En teoría de redes no suele tratarse con detalle la variable enlace de flujo. Esto dificulta la
aplicación de la ley de la conservación del flujo enlazado por un circuito; para subsanar
esto se deducirá a partir de la ley de Faraday algunas relaciones que serán útiles para
manipular la variable enlace de flujo.
Ley de Faraday
Para un camino cerrado C s que se apoya en una superficie S, la ley de Faraday puede
escribirse:
E dl
Cs
d
dt
(2.38)
B da
S
Donde d y da están relacionados por la ley de la mano derecha: si se colocan los dedos,
de la mano derecha, en la dirección de d , el pulgar indica la dirección de da .
Figura 2.40
El flujo magnético que atraviesa la superficie se define como el flujo enlazado; entonces la
(2.38) queda:
Ed
Cs
d
dt
(2.39)
Y será positivo en aquellos instantes en que el flujo magnético, a través de S, tenga igual
dirección que la dirección asumida para el diferencial de área da .
Aplicación a un inductor
Nos concentraremos en evaluar el lado izquierdo de (2.39), no importando quien produzca
.
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39
Figura 2.41
El camino cerrado CS , recorre un trecho en el aire entre los puntos denominados a y b . El
resto del circuito está definido por el conductor que define el enrollado.
En el supuesto que todas las líneas magnéticas están concentradas dentro del enrollado,
tendremos que fuera de esta zona el campo eléctrico es irrotacional o conservativo; en
este caso pueden definirse como voltajes las integrales de la línea de campo eléctrico.
Tendremos:
b
Ed
va
vb
(2.40)
vab
a
En los instantes en que va es mayor que vb , el campo eléctrico tiende a estar en igual
dirección que d . Es decir, el campo eléctrico apunta en la dirección en que disminuye el
potencial. La explicación anterior es sólo con fines de aclaración, ya que la relación (2.40)
es suficientemente precisa en su significado.
El resto de la integral se efectúa por dentro del conductor. En éste rige:
J
(2.41)
E
Que es la ley de Ohm para un conductor lineal. En redes se suponen conductores
filamentarios con una corriente i:
i
(2.42)
J A
Donde A es la sección del conductor filamentario.
Entonces:
J d
Ed
bca
bca
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il
A
(2.43)
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40
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Donde l es el largo del conductor, y se ha supuesto distribución homogénea de la densidad
de corriente.
Si se define:
R
1
A
(2.44)
Como la resistencia del conductor se tendrá, reemplazando 2.43 y 2.40 en (2.39)
vab
d
dt
Ri
(2.45)
Debe notarse que i tiene igual dirección de referencia que la asumida para el diferencial de
camino d .
En física se denomina fuerza electromotriz a la integral de línea del campo eléctrico.
Entonces:
vab
(2.46)
Ri
La fem es una cantidad escalar asociada al camino cerrado, y tiene dimensión igual a la
variable voltaje. Entonces tenemos que la ley de Faraday puede escribirse en general,
según:
d
dt
(2.47)
Figura 2.42.a
Nótese que las referencias para las variables están relacionadas por la ley de la mano
derecha. Resulta la referencia para la fem igual a la dirección de referencia para la
corriente.
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41
En teoría de redes, el modelo del inductor no contempla los efectos debidos a la resistencia
del conductor. El siguiente esquema ilustra el modelo de un inductor con las pérdidas
óhmicas concentradas fuera:
Figura 2.42 b
Si se desprecia la resistencia, o bien si se supone un conductor perfecto sin pérdidas se
tendrá en la (2.46), haciendo R 0 :
(2.48)
vab
En la relación (2.48) se iguala un voltaje entre terminales al valor de la fem asociada al
camino cerrado. Esto ha producido innumerables confusiones en las aplicaciones de la ley
de Faraday. Por esta razón y dentro de un punto de vista de redes eléctricas, definiremos
las variables con sus referencias según:
Figura 2.43
v
d
dt
(2.49)
Donde v es el voltaje inducido como reacción al campo magnético variable. Nótese la
dualidad de la relación con la definida en (2.37).
La referencia para el enlace de flujo está relacionada con la de la corriente según la ley de
la mano derecha. Si se coloca el pulgar derecho en el sentido de referencia asumido para
, la dirección del resto de los dedos indica el terminal con polaridad negativa del voltaje.
Inductor
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42
Teoría de Redes Eléctricas
En el caso de la autoinductancia, el enlace de flujo sólo es debida a la corriente:
Figura 2.44
Se define el inductor según
(2.50)
Li
Y aplicando la ley de Faraday, de la relación (2.49) se obtiene:
v
d
dt
d ( Li )
dt
Si L es constante se tendrá finalmente:
v
L
di
dt
(2.51)
En la relación (2.51) ha desaparecido la variable enlace de flujo y suele usarse el siguiente
símbolo:
Figura 2.45
En redes concentradas conviene pensar que el flujo que enlaza al inductor es normal a la
superficie en que se dibuja el inductor. Y que todas las vueltas están concentradas en una
sola, como se insinúa en el diagrama siguiente:
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43
Figura 2.46
O bien:
Figura 2.47
Sólo existe flujo magnético en el circuito definido por el solenoide.
Sin estas consideraciones no es posible aplicar la ley de conservación del flujo enlazado
que es el objetivo que se trata de lograr.
Si el sentido del enrollado cambia en la figura 2.44 se tendrá:
Figura 2.48
El inductor puede representarse por igual símbolo que el indicado en la figura 2.45; ya que
sigue siendo válida la relación (2.51).
Inductores acoplados
Para las siguientes variables, que se indican en la figura 2.49.
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44
Teoría de Redes Eléctricas
Figura 2.49
En este caso, la aplicación de (2.49), conduce a:
v2
d 2
dt
(2.52)
Mi1 L2i2
(2.53)
Pero ahora
2
El flujo enlazado es producido por ambas corrientes.
Un diagrama de redes de la situación podría ser el siguiente:
Figura 2.50
En el cual el efecto del campo inductor sobre el enrollado dos se modela con una fuente de
tensión; y el campo de reacción debida a la circulación de la corriente es el enrollado dos
se modela como inductor.
Los conceptos de este punto son fundamentales en conversión electromagnética de
energía.
Aplicación a un circuito.
Sea por ejemplo:
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45
Figura 2.51
De acuerdo con la definición de los modelos elementales de redes, la única componente
que es enlazada por un flujo es el inductor. En la figura 2.51, ni la resistencia, ni el
condensador, ni la fuente tienen flujos enlazado. En caso de que lo tuvieran debieran
agregarse inductancias (parásitas) a los símbolos indicados.
La aplicación de (2.39) al circuito ilustrado en la figura 2.51, y suponiendo que el inductor
es ideal (sin pérdidas) se tendrá:
b
v3
Ed
Ri , la integral se efectúa por dentro del conductor.
Ed
q
; en el condensador el campo es cero en los terminales del condensador,
c
a
c
v2
b
ya que se supone conductores ideales. El campo es diferente de cero entre las placas.
d
0 , si el conductor que forma el inductor es perfecto.
Ed
c
a
E d , sólo si en la zona no existen campos magnéticos.
eg
d
Entonces, aplicando la ley de Faraday, al circuito de la Figura 2.51, se obtiene:
Ri
q
eg
c
d
dt
Pero de la relación (2.49) se tiene que la tensión entre los terminales c y d, es:
v1
d
dt
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Teoría de Redes Eléctricas
Figura 2.52
Y se tienen, reemplazando las relaciones anteriores:
eg
v1 v2 v3
(2.54)
0
Que es la ley de Kirchhoff para el circuito.
Vemos que LVK es una aplicación de la ley de Faraday a redes eléctricas concentradas.
Ejemplo 2.14
Determinar ley de conservación del enlace de flujo para el circuito que se muestra.
Ejemplo 2.14 a
Si se define la dirección para el flujo enlazado por el circuito, saliendo del papel se tendrá,
por LVK:
vR vc vL1 vL 2
0
Y si suponemos el siguiente sentido de enrollamiento se tendrá aplicando (2.49)
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47
Ejemplo 2.14 b
vL1
d 1
dt
vL2
d 2
dt
1
2
Entonces:
d
dt
vR vc
Si vR y vc no contienen impulsos y/o sus derivadas se tendrá que
continua. En este caso es válida.
1
(t )
2
(t )
1
(t )
2
será una función
(t )
Debe notarse, que no importando el sentido de los enrollamientos de los inductores,
siempre se tendrá que:
1
2 . Esto puede comprobarse de la definición de enlace de
flujo dada por el lado derecho de (2.38). El flujo enlazado es una integral de área, y ésta se
calcula de acuerdo al sentido definido para da , que debe estar asociado al sentido de
recorrido del camino. En los inductores, el flujo sólo existe en el círculo que define la
sección recta del solenoide; y en esa zona debe definirse el diferencial de área según el
sentido del recorrido.
Ejemplo 2.15.
Un caso especial ocurre en circuitos formados solamente por inductores. En este caso el
flujo total enlazado será constante.
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Teoría de Redes Eléctricas
Ejemplo 2.15
Puede comprobarse, que no importando el sentido de enrollamiento se tendrán:
Donde:
1
2
5
k1
3
4
5
k2
k1 y k2
son constantes.
2.5. GENERALIZACIÓN DE REDES EMPLEANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE.
2.5.1. Introducción
Aprovechando el grado de generalidad alcanzado con la introducción de la transformación
de Laplace aplicada al estudio de redes eléctricas, se desarrollarán algunos aspectos
teóricos generales.
El conocimiento de algunas características generales de las redes eléctricas, nos permitirá
entender mejor el comportamiento y las posibles utilizaciones de estructuras
interconectadas que suelen presentarse en los ramos de ingeniería.
Basaremos la deducción de las propiedades generales en los métodos de análisis, que
hemos denominado de formulación directa.
Una red eléctrica puede ser representada analíticamente mediante un sistema algebraico
de ecuaciones en la variable compleja s . Cualquiera que sea el método de formulación que
se emplee, se llegará a expresiones con la siguiente forma:
F11
F1n
R1 s
E1
Fn1
Fnn
Rn s
En
(2.55)
Matriz de la red
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Respuestas
Excitaciones
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49
Empleando notación matricial:
(2.56)
[ F ] R] E ]
Que puede representarse según:
Figura 2.53
Nótese que la representación matricial, permite estudiar una red compleja como si fuera
una componente elemental; esto se visualiza con claridad en el símbolo gráfico de la red,
en la figura 2.53.
El vector de excitación puede ser descompuesto en términos de los generadores
independientes y de las fuentes que representan las condiciones iniciales.
El vector de respuestas, representa las incógnitas de los distintos métodos.
2.5.2. Redes consistentes y no consistentes
En un caso general, la solución de la red será:
(2.57)
R] [ F ] 1 E ]
Se dice que una red es consistente si tiene solución única. Es decir, si el determinante de
[ F ] es distinto de cero. Que también puede expresarse diciendo que [ F ] debe ser no
singular.
Puede demostrarse que una red lineal e invariante, formada por resistores, condensadores
e inductores tendrá solución única para cualquier conjunto dado de condiciones iniciales y
para cualquier conjunto admisible de excitaciones independientes aplicadas.
Si la red contiene fuentes dependientes puede que no exista una solución única para
ciertos valores de los parámetros de la red. Debe recordarse, en estos casos, que el
diagrama de la red se establece a partir de un dispositivo físico; y si al modelar se
desprecian ciertos efectos, pueden presentarse diagramas que acepten múltiples
soluciones. Se enfatiza que el aparato físico sólo tendrá solución única. La detección de una
inconsistencia refleja un modelo incompleto.
Ejemplo 2.16
Red relajada inicialmente
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Teoría de Redes Eléctricas
Ejemplo 2.16
Aplicando método de las mallas:
4s
6s
I1
0
6s
9s
I2
0
Se tiene matriz de la red singular. Luego la red es inconsistente, y acepta soluciones
múltiples. Por ejemplo:
i1 (t )
3 f (t )
i2 (t )
2 f (t )
Serán soluciones para cualquier f (t ) que cumpla con f (0)
con las condiciones iniciales.
0 , con esto último se cumple
Como puede notarse, repasando conceptos físicos, debe tenerse:
M2
L1 L2
Esto debido a que el acoplamiento magnético no es perfecto; es decir, algunas líneas
magnéticas no enlazan a ambos solenoides (por ejemplo: algunas se cierran sólo
abrazando a un enrollado). Si se construye el transformador empleando fierro de la mejor
calidad y enrollando en forma especial los devanados, es posible lograr un factor de
acoplamiento muy cercano a uno, pero siempre menor.
M
K L1 L2 ; K
1
En la red del ejemplo 2.16, se tiene M 2
L1 L2 , lo que produce la inconsistencia.
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51
2.5.3. Forma general de la respuesta
Según se vio en (2.56), una red eléctrica queda representada analíticamente por:
[ F ] R] E ] . Si la red es consistente, se tendrá que las respuestas quedan determinadas
por:
R] [ F ] 1 E ]
Existen procedimientos diversos para expresar la respuesta según la forma anterior.
Todos ellos están basados en la inversión de la matriz de la red F. Se recuerda que el
problema es obtener la solución del sistema simultáneo de ecuaciones.
Expresando detalladamente:
R1
RK
Rn
D
Donde: D jk
D11 D21
D D
Dn1
D
D1k
D
Dnk
D
D1n
D
Dnn
D
E1
EK
(2.58)
En
det[ F ]
Cofactor jk de [F]
( 1) j k M jk
M jk es el menor complementario de [ F ] ; resulta de eliminar el renglón j y la
columna k.
Nótese los subíndices, y repase la definición de matriz inversa y de traspuesta. Podremos
expresar cualquier respuesta de la red, según:
RK
D1k
E1
D
Dnk
En
D
n
D jk E j
j 1
D
(2.59)
Si expresamos con Egj a los generadores independientes, con ECIj a las fuentes asociadas
a las condiciones iniciales del renglón j, tendremos:
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D jk
n
Rk
j 1
D
n
D jk
j 1
D
Egj
RK xo
(2.60)
ECIj
RKeo
En la relación (2.60) se advierte la descomposición de la respuesta en partes; a estado cero
y a entrada cero.
Nótese que ambas partes tienen iguales denominadores, salvo cancelaciones que pueden
producirse. Se recuerda que los factores del denominador se emplean en la expansión en
fracciones parciales, que posteriormente (al invertir) determinan las formas de ondas que
tendrá la respuesta rk (t ) . Otros factores del denominador son aportados por las
excitaciones.
La expresión (2.59) es una demostración general del principio de superposición, empleado
en el curso de introductorio de redes. Ya que es evidente que Rk es una combinación lineal
de las excitaciones. Cada elemento de la sumatoria debe interpretarse como el aporte a la
respuesta total causado por cada excitación, cuando las otras excitaciones se han igualado
a cero.
2.5.4. Funciones de redes
Los coeficientes de la relación lineal anterior se denominan funciones de redes.
Por ejemplo:
D jk
D
es una función de red que indica el aporte de la excitación Ej a la
respuesta Rk .
Debe notarse que las funciones de redes:
a) Son funciones de la variable s.
b) Sólo dependen de la red. Ya que son determinantes que se calculan a partir de la
matriz F de la red. Y esa matriz contiene la información del tipo de componentes
que tiene la red y de cómo están interconectados. Se insiste: las funciones de redes
no dependen de las excitaciones; son una forma resumida de representar, desde un
punto de vista externo, a la red eléctrica.
Clasificación de las funciones de redes.
Funciones de punto motriz
Se denomina función de punto motriz o de punto de alimentación, a aquella que relacione
una excitación con la respuesta en un mismo par de terminales.
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53
Ejemplo 2.17
Sea una red con solo una excitación.
Ejemplo 2.17
Fa s
I1
E1
Respuesta
Excitacion
Nótese que las variables I1 y E1 están asociadas al mismo par de terminales.
De acuerdo con definiciones anteriores, la dimensión de Fa es igual que la de una
admitancia. Razón por la cual se denomina función admitancia de punto motriz. Es
usual también denominar a Fa s , admitancia de entrada de la red.
Ejemplo 2.18
Fb ( s)
E1
I1
Respuesta
Excitacion
Fb = Función de punto motriz
= Impedancia de punto motriz
= Impedancia de entrada
Ejemplo 2.18
Observación: se denominan funciones de punto motriz, ya que, generalmente, en el par de
terminales en los que se estudia la relación se aplica un generador. Punto motriz debe
interpretarse como un punto de acceso energético a la red; o sea, a dos terminales que
permitan sostener una tensión y una circulación de corriente.
Funciones de transferencia
Si la excitación y la respuesta están asociados a pares de terminales diferentes, la función
que las relaciona se denomina: función de transferencia.
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Teoría de Redes Eléctricas
Ejemplo 2.19
Sea una red que no tenga fuentes independientes.
Ejemplo 2.19
Se puede expresar, la respuesta I 2 , según:
I2
F1E1 F2 E2
F1 = Función de transferencia
F1 = Admitancia de transferencias entre I 2 y E1
F2 = es admitancia de entrada, en los terminales ab
Ejemplo 2.20.
Para la red indicada, se tiene
Ejemplo 2.20
I3
F3 I1
V2
F4 I1
F3 = Ganancia de corriente = función de transferencia entre I 3 e I1 .
F4 = Impedancia de transferencia entre V2 e I1 .
Ejemplo 2.21.
Para la siguiente red, se tiene
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Ejemplo 2.21
V2
F E1
F = Función de transferencia entre V2 y E1
= Ganancia de voltaje.
2.5.5 Red lineal
Existe una forma de describir una red lineal, desde sus terminales, basándose en la
relación (2.59).
La red L es lineal; la red R puede ser cualquiera.
Figura 2.54
Aplicando teorema de substitución por fuente de voltaje se tendrá:
Figura 2.55
Y de la relación (2.59):
I
FV
G
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Teoría de Redes Eléctricas
Donde F es una función de red y G es un cuociente de polinomios en s, en el cual se han
reemplazado las excitaciones por sus correspondientes funciones de s.
Si se aplica teorema de substitución por fuente de corriente se obtendrá:
V
HI J
Entonces, en general:
AV BI
(2.61)
C
Donde A, B y C son funciones de S.
Relación que puede representarse según:
Figura 2.56
Siempre que A sea diferente de cero. Un caso particular es cuando B
equivalente Thevenin de L.
0 . La red es el
También, si B es diferente de cero, puede representarse L según la red Norton que se
muestra:
Figura 2.57
Un caso particular corresponde a A igual a cero.
Si en L las fuentes son cero, o se igualan a cero, se tendrá:
C 0
La relación (2.61) ha probado ser útil en desarrollos en los que interese mostrar
algebraicamente que L es una red lineal.
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57
2.6. Problemas resueltos.
P2.1. Transformada de Laplace para entrada cero.
Para la siguiente red:
Figura 2.58
Con:
e(t ) sen(2t )
v(0 ) 0
i(0 ) 3
Determinar la transformada de Laplace de iR para entrada cero.
Solución:
En las condiciones dadas se tiene:
Figura 2.59
Con:
I x ( s) L[iRE 0 ]
La red Norton equivalente, para la red de la Figura 2.59, es:
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58
Teoría de Redes Eléctricas
Figura 2.60
Y aplicando un divisor de corriente se logra:
I x ( s)
24s
2
6
2s 3
P2.2. Determinar la impedancia de la red Thevenin, vista por la red R.
Figura 2.61
Con:
iL (0 ) 3
vc (0 )
2
ig (t ) 2t u (t )
vg (t ) 3sen(3t ) u (t )
Solución:
En el plano s:
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59
Figura 2.62
La fuente controlada por una fuente de corriente puede tratarse como una fuente de
tensión independiente.
Haciendo cero las fuentes, se tiene:
Figura 2.62
Resulta:
ZT ( s )
3
6s 1
P2.3. Determinar V ( s)
Figura 2.63
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Con
Teoría de Redes Eléctricas
i (0 )
Io
v(0 ) Vo
Solución:
Se tienen:
e v
Ro
v
dv
dt
di
R i L
dt
i C
Aplicando transformada de Laplace.
E V
V
Ro I
R Ls I
RC (sV V0 )
L Io
Eliminando la variable I, se obtiene:
V
R sL
E sLCVo
Ro
s 2 LC s
L
Ro
LI o
RC
RCVo
1
R
Ro
P2.4. Ganancia de voltaje.
Para la siguiente red, inicialmente relajada:
Figura 2.64
Determinar la ganancia de voltaje.
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61
Solución.
Aplicando movilidad de fuentes, y transformaciones a fuentes de corriente, se logra:
Figura 2.65
Aplicando método nodal:
sC2
1
R2
s(C1 C2 )
sC2
sC2
1
R1
Despejando la relación V2 / V1 , se obtiene:
V2
V1
s2
s2
s
s
1
R1C1
1
R1C2
1
R1C2
1
R1C1
1
R1 R2C1C2
1
R2C1
1
R1 R2C1C2
P2.5. Obtener transformada inversa de un voltaje.
Para la siguiente red, determinar v(t )
Figura 2.66
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Vb
Va
=
V1sC1
V1 / R1
62
Teoría de Redes Eléctricas
Solución:
Si se supone en estado estacionario antes de abrir el interruptor, se tendrá:
E
iL (0 )
R1 R2
vc (0 )
R2iL (0 )
Con la red, en el plano s, se obtiene:
E
2C ( R1 R2 )
V ( s)
1
s2
1
2CR1
R2
s
L
R2
1
1
LC
2 R1
Para determinar v(t ) , se obtiene la inversa, de acuerdo con los valores numéricos. Pueden
presentarse tres casos; lo que es típico en sistemas de segundo orden.
P2.6. Transformada inversa de una corriente.
Para la siguiente red, determinar i(t)
Figura 2.67
Solución:
Se tienen
eg
R i L
i
C
Eg
RI
di
vc
dt
dvC
dt
En el plano s:
LsI Li(0 ) vc
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I
63
CsVc Cvc (0 )
Entonces:
vc (0 )
s
1
R Ls
Cs
Eg
Li (0 )
I
I
s
Eg
L
s2
Para eg (t )
vc (0 )
L
si (0 )
R
s
L
1
LC
E u (t ) se tienen tres tipos de soluciones, de acuerdo con los valores de los
parámetros R, L y C.
Las raíces del denominador están dadas por:
s1,2
R
2L
R
2L
2
1
LC
a) Si b es real, es decir, si R
s x
( s y )( s z )
L
x y
e
z y
a b
2
L
, la solución puede obtenerse mediante:
C
yt
z x
e
z y
zt
La solución consta de dos exponenciales decrecientes, con diferentes constantes de
tiempo. Este caso se llama sobreamortiguado; como se verá después, una de las formas de
la solución es una oscilación amortiguada, y este caso se denomina subamortiguado. El
prefijo sobre insinúa que no habrá oscilación debido a un gran amortiguamiento.
b) Con b
0 ; es decir, con R 2
L
, se tiene una raíz doble, y la solución puede
C
obtenerse de:
s x
(s y)2
L[( x y )t 1]e
yt
En este caso no hay términos oscilatorios, y se denomina amortiguamiento crítico.
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64
Teoría de Redes Eléctricas
c) Con b imaginario; es decir con R
s x
( s y)2 z 2
Con g
( x y)2
z
L
arctg
z2
2
L
, la solución puede escribirse:
C
e yt sen( zt
g)
z
x
y
Este caso es el oscilatorio amortiguado y se conoce con el nombre de subamortiguado.
Las soluciones obtenidas son características de sistemas de segundo orden. Sobre este
tema existen completos desarrollos en textos de sistemas lineales.
P2.7. Red de tercer orden.
Para la siguiente red, determinar I1 s .
Figura 2.68
Solución:
Se tienen:
i1 (0 )
i2 (0 )
vg (0 )
4 8
5
12
v1 (0 ) 4 i1 (0 ) 1, 67
v2 (0 ) vg (0 ) v1 (0 ) 3,33
v3 (0 ) 8 i1 (0 ) 3,33
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Redes sometidas a excitaciones causales.
65
Planteando las ecuaciones de la red, se tienen:
vg
v1 v2
2 i1 v8
4 i 2 v2
v8 v3 3 5 v3
v1
2 v1 3 v 2 i1
4
i1 i2 0
v8
5v3 i1
8
Eliminando variables: i2 , v2 y v8 se logra:
6 i1 v3 15 v3 v1
v1
5 v1 i1
4
v3 55 v3
a)
vg
b)
3 vg
c)
8 i1
En el plano S
6 s I1
1 15s V3 V1
I1
8 I1
0 V3
2
52, 45
s
1
5s V1
4
1 55s V3 0 V1
0, 65
183,15
Despejando I1 resulta:
I1 ( s) 0, 416
( s 3 0, 0474s 2 8, 015 10 3 s 7,35 10 4 )
s( s 3 0, 432s 2 0, 076s 1,82 10 3 )
P2.8. Valor inicial.
Determinar el valor inicial de la primera derivada de una función, en términos de su
transformada de Laplace y del valor inicial de la función.
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66
Teoría de Redes Eléctricas
Solución:
Se tienen:
df
s F ( s ) f (0 )
dt
f (0 ) lim s F ( s)
L
s
Siempre que F ( s) sea fracción propia.
Entonces:
df (t )
dt t
df
dt
lim s L
0
s
lim s 2 F ( s ) s f (0 )
s
P2.9. Función con retardo.
s
Con F ( s )
4e 2
s2 4
Determinar f (t ) .
Solución:
F ( s) e
s
2
22
s2
22
Entonces:
f (t ) 2 sen(2t
)u t
2
P2.10. Determinar constante.
Se tienen:
F ( s)
3s 2 17 s 47
s 3 6s 2 37 s 58
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Redes sometidas a excitaciones causales.
f (t ) ae
2t
67
bg (t )
Donde a es constante y g (t ) una función de tiempo.
Determinar la constante a y la función g (t )
Solución:
Sacando transformada de Laplace a f (t ) resulta:
F ( s)
a
s 2
G( s)
Entonces:
a
F ( s )( s 2) s
Siempre que G ( s )( s
2
2) s
0
2
La ocurrencia del término e
2t
garantiza que un polo de F ( s) está en s
Se tiene
( s 3 6s 2 37 s 58) : ( s 2) s 2 4s 29
Entonces:
a
3s 217 s 47
s 2 4 s 29 s
1
2
2s 9
, con g ( 2)
s 4s 29
Resulta además G( s)
2
1
5
Lo cual asegura que:
G ( s )( s 2) s
2
0
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2
68
Teoría de Redes Eléctricas
P2.11. Identificación de constantes.
Se tiene:
s 5
2( s 4s 7)
L A e at sen (bt c)
2
Determinar las constantes A, a, b y c.
Solución:
Se tiene de trigometría:
f
A e at sen(bt c)
L( f )
A cos c
Se tiene además: s
2
A e at (cos(c)sen(bt ) sen(c) cos(bt ))
b
( s a) 2 b 2
Asen(c)
s a
( s a) 2 b 2
4s 7 ( s 22 ) 3
Entonces:
sAsen(c) A(b cos(c) asen(c ))
( s a)2 b 2
s
2
5
2
( s 2) 2 3
Comparando coeficientes resultan:
A 2
b
3
Asen(c)
1
2
A( 3 cos(c) 2 sen(c))
5
2
Las dos últimas implican:
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Asen(c)
1
2
A2 ( sen 2 c cos 2 c)
A cos(c)
69
1
4
3
1
4
3
2
Entonces:
c 30º y A 1
P2.12. Determinar un valor de una resistencia.
Se tiene la siguiente red en el tiempo, inicialmente relajada:
Figura 2.69
Y se conoce, para esta red, su equivalencia en el plano s.
Figura 2.70
Determinar el valor de R2 .
Solución:
Método 1.
Si s tiende a cero, se tendrá que la red equivalente en el tiempo es:
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70
Teoría de Redes Eléctricas
Figura 2.71
Las impedancias de los condensadores, en esta condición, tienden a infinito. Han sido
reemplazados por circuitos abiertos.
Entonces:
R2
Z (0) 1
Método 2.
Calculando la impedancia de la red es términos de sus componentes, resulta:
sR2 ( R1C1 R1C2 ) R2
s ( R1R2C1C2 ) s ( R1C1 R1C2 R2C2 ) 1
Z ( s)
2
Comparando coeficientes resulta también:
R2
1
Y pueden determinarse:
R1 1
C1 1
C2
1
Método 3.
Se tiene
Y
1
R2
1
1
sC2
1
1
R1
sC1
Y de la impedancia dada se tiene:
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Y
Entonces:
1 3s s 2
1 2s
1
sC2
1
R1
1
1
R1
s s2
1 2s
1
sC1
sC1 1 s
1 2s
s s2
71
R2
1
s
1
s
s s2
C2 1
R1 1
C1 1
P2.13. Calcular corriente.
Para la siguiente red
Figura 2.72
Con e
3, vc (0 )
3 determinar i
Solución:
Figura 2.73
Resulta:
I
0; entonces, i(t ) 0
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72
Teoría de Redes Eléctricas
P2.14. Admitancia en s y en el dominio del tiempo.
Para la red dada, determinar la red en el dominio del tiempo equivalente a la admitancia:
2 3s
Figura 2.74
Solución:
En el tiempo se tiene
Figura 2.75
Entre c y b hay una admitancia, que puede descomponerse en dos admitancias en paralelo.
P2.15. Transiente en red oscilatoria.
Para la siguiente red:
Figura 2.76
Con v(t )
2 u(t ) determinar i(t )
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73
Solución:
Se tiene vc (0 )
v(0 ) 2
En el plano s:
Figura 2.77
Dividiendo la corriente, resulta:
I
1
3s
1
3s
s
3
6
6
s
2
1
En el tiempo:
i(t ) 6 sen(t ) u (t )
P2.16. Forma de onda en oscilador.
Para la siguiente red:
Figura 2.78
Con:
1
2
v(0 ) 2
i (0 )
Determinar i (t ) .
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74
Teoría de Redes Eléctricas
Solución:
Se tiene:
I (s)
v(0 )
s
Ls
L i (0 )
1
Cs
v(0 )
s i (0 )
2
s2 1
Es decir:
i(t )
Entonces:
v(0 )
sen(t ) i(0 ) cos(t )
2
i(t ) sen(t )
1
cos(t )
2
P2.17. Corriente a entrada cero.
Determinar la corriente i a entrada cero.
Figura 2.79
Con:
v1 (0 ) 3
v2 (0 ) 1
Solución:
Haciendo vs
0 se tiene:
Figura 2.80
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Redes sometidas a excitaciones causales.
75
Aplicando equivalencias para el sector izquierdo de la red se logra:
Figura 2.81
Resulta:
I eo
4s 1
4 s 11s 4
I eo
A
s 0, 43
2
1
4
( s 0, 43)( s 2,32)
s
Con:
B
s 2,32
Resultan:
A
0, 43 0, 25
0, 43 2,32
B
1,36
0,36
Entonces:
ieo (t ) ( 0,36 e
0,43t
1,36 e
2,32 t
)u (t )
P2.18. Excitación exponencial en una frecuencia natural.
Para la siguiente red
Figura 2.82
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76
Teoría de Redes Eléctricas
Con v(0 )
0, 2 determinar i(t ) , e i(0 )
Solución:
En el plano s
Figura 2.83
Resulta:
I ( s)
1
( s 2 15s 60)
10 ( s 5)( s 2 11s 30)
I ( s)
(0,1s 2 1,5s 6)
( s 5)( s 5)( s 6)
I ( s)
1
( s 5)2
i (t )
te
5t
1
1
3 1
2 ( s 5) 5 ( s 6)
1
e
2
5t
3
e
5
6t
u (t )
Aplicando teorema valor inicial:
i(0 )
1
10
También puede obtenerse de la expresión temporal de i (t )
P2.19. Análisis transitorio.
Determinar v(t )
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Redes sometidas a excitaciones causales.
77
Figura 2.84
Solución:
La tensión continua se supone conectada largo tiempo antes de t 0 ; de este modo la
corriente fluye en el condensador es cero; y éste tiene una tensión vc (0 ) que puede
determinarse mediante el siguiente diagrama:
Figura 2.85
Se tienen:
vc (0 ) 2 R i1 R i2
i1
E
; i2
R 2R
E
R R
Resulta:
vc (0 )
Para t
E
6
0 , en el plano s, se tiene:
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78
Teoría de Redes Eléctricas
Figura 2.86
I
E
1
6s 1 (2 R // 3R)
Cs
5E
36 R
1
5
6 RC
s
Con el divisor de corriente, se calcula la corriente por la resistencia, para el voltaje se
tiene:
V
I
V
E
9
1
3R 2 R
2R
4R
I
5
1
s
Entonces para t
v(t )
2R
E
e
9
1
6 RC
5
0 , se tendrá:
t / 6 RC / 5
u (t )
P2.20. Análisis transitorio, red de segundo orden.
Para la siguiente red, determinar v(t )
Figura 2.87
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Redes sometidas a excitaciones causales.
Se tienen:
79
vc (0 ) 1
iL (0 ) 1
La red en el plano s:
Figura 2.88
Aplicando método nodal:
2
s
s
2
s
2
s
1
2
s
Va
V
Resultan:
Va
s 1
s 2s 2
V
s 2
s 2s 2
2
2
Pero,
s 2 2s 2
s 1
2
1
Entonces:
v(t ) e t (cos t sent )u (t )
va (t ) e t cos(t ) u (t )
P2.21. Cambio de condiciones iniciales.
Determinar i2 (t )
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1
s
1
=
1
s
80
Teoría de Redes Eléctricas
Figura 2.89
Solución:
2
1
2
iL (0 )
4
vc (0 ) iL (0 )
Para t
1
2
2
0 , en el plano s:
Figura 2.90
Para calcular I 2 , puede escribirse la siguiente red equivalente:
Figura 2.91
Resulta:
I2
I2
1
1/ 5
5s 8s 3 ( s 1)( s 3/ 5)
0,5
0,5
s 1 s 3/ 5
2
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Redes sometidas a excitaciones causales.
81
Entonces:
t
i2 (t ) 0,5( e
e
0,6 t
) u t
En forma similar puede calcularse la corriente en el inductor, resulta:
iL (t ) (0,5 e
t
2,5 e
0,6 t
6) u t
P2.22. Excitación en una frecuencia natural.
Determinar i t
Figura 2.91
e 5t
10
Con vg (t )
Solución:
En el plano s
Figura 2.92
Nótese que las condiciones iniciales han sido consideradas iguales a cero.
Se tiene:
I
2
s
I1
2
I1
2
s
( s 1)
En la siguiente red, puede calcularse I1 :
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82
Teoría de Redes Eléctricas
Figura 2.93
Resulta:
s 1
( s 5)( s 2 11s 30)
I1
Pero
( s 2 11s 30) ( s 5)( s 6)
Entonces:
1
( s 5)2 ( s 6)
I
Descomponiendo en fracciones parciales:
1
( s 5)2
I
1
1
( s 5)
( s 6)
Resulta:
i(t )
(t 1) e
5t
e
6t
u t
Debe notarse que la impedancia de entrada tiene un polo igual al de la excitación. Esta
coincidencia origina el término proporcional a t en la respuesta.
P2.23. Exponencial amortiguada.
Se tiene la siguiente red:
Figura 2.94
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Redes sometidas a excitaciones causales.
Con
ig
83
3 u (t ); R 1
vc (o ) 0; C 1
iL (0 ) 0; L
1
4
Determinar vc (t ) .
Solución:
Para 0
t 1
Vc
1
3
s
s
1
s1
4 s
43
s ( s 2) 2
a
s
b
( s 2) 2
Resultan:
Vc
3
1
3 2
s
( s 2) 2
vc / t ) 3(1 2te
2t
1
( s 2)
e 2t ) u t
vc ( 1) 1, 78
Para t 1 en el plano s, se tiene:
Figura 2.95
Resulta:
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c
s 2
84
Teoría de Redes Eléctricas
Vc
3 0, 41
s s 1
3 1, 22
5 ( s 1)
vc (t ') (3 1, 22e t ' ) u t '
Donde:
Figura 2.96
Entonces, para todo t :
vc (t ) 3(1 t e
2t
2e 2t ) (u (t ) u (t 1)) (3 0, 41 e
P2.24. Cálculo de condiciones iniciales.
Para la siguiente red
Figura 2.96
Con q(0 ) 10
y
Figura 2.97
Determinar:
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t 1
) u t 1
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85
a) i (0 ), i (1 ), vc (1 )
b) i(t )
Solución:
Para 0
t 1
Figura 2.98
Ya que i(0 )
0 , pues el inductor está abierto.
Entonces:
I
2
s ( s 0, 7)
2,86
i(t ) 2,86(1 e
0,7 t
1
s
) u (t )
1
s 0, 7
0 t 1
i(1 ) 1, 44
vc (1 )
Para t
10
2
5
1
Figura 2.99
I
1, 44
s 0, 7
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86
Teoría de Redes Eléctricas
I (t ') 1, 44 e
0,7 t '
t 1
t' t 1
P2.25. Condiciones iniciales en red de primer orden.
En la siguiente red
Figura 2.100
Con I ( s)
3s 4
( s 1)( s 2)
Determinar:
i(0 ) e i(0 )
Solución:
En el plano s:
Figura 2.101
Resulta:
I
1 i(0 )( s 1)
( s 1)( s 2)
Comparando coeficientes:
i(0 ) 3
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Redes sometidas a excitaciones causales.
87
Por el teorema del valor inicial
i(0 ) lim sI ( s)
s
Resulta:
i(0 ) 3
P2.26. Carga por gotas.
Se tiene la siguiente red:
Figura 2.102
Con ig (t )
Figura 2.103
Se tiene que es una fuente de corriente, que envía pulsos en forma periódica.
Determinar la forma de onda de voltaje que muestre cómo se carga el condensador.
Solución:
Se tiene
i
dq
dt
y v
q
c
Entonces:
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Teoría de Redes Eléctricas
Figura 2.104
El pulso de corriente tiene una carga asociada igual a TI . Que es la carga de una “gota”
Por cada “gota” de carga que ingresa al condensador, éste aumenta su voltaje en TI / C .
Esta forma de cargar a un condensador se emplea cuando se dispone de una fuente de
corriente que no puede suministrar toda la carga en un intervalo de tiempo.
P2.27. Desconexión de cargas inductivas.
Estudiaremos primero desconexión de inductores por los que circula corriente continua.
Figura 2.105
Si el interruptor ha estado conectado un tiempo suficientemente largo (mayor que 4L/R).
Se tendrá con buena aproximación que:
i
E
R
En el inductor se tendrá:
v
L
di
dt
Al efectuar la desconexión, la corriente en el inductor será cero, una vez abierto el
contacto; entonces, la forma de onda de la corriente será:
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Redes sometidas a excitaciones causales.
89
Figura 2.106
Y el voltaje en el inductor será:
v
LE
(t )
R
La tensión infinita no puede producirse en la práctica. Sin embargo, con buena
aproximación hemos determinado que en el contacto b aparecerá una tensión negativa
muy grande.
Para entender mejor lo que sucede en la práctica, deberá refinarse el modelo. Una
posibilidad es considerar que existe una resistencia en el contacto, y que al comenzar a
abrirse existe un condensador entre las placas de los contactos. Pero inmediatamente se
perfora el dieléctrico debido a la alta tensión entre los contactos. Mientras hay chispa debe
considerarse una baja resistencia entre los contactos. La energía que debe disiparse será:
L i (0 ) 2
2
L E2
2 R2
A medida que el inductor disminuye su energía interna, la tensión va bajando; y de pronto
se interrumpirá el arco.
Existen varias forma de evitar la producción del alto voltaje, una de ellas es conectar un
diodo en el inductor, en la forma que se indica:
Figura 2.107
De esta forma, con el contacto cerrado, el diodo no conduce y puede considerarse abierto.
En la desconexión la corriente en el inductor no irá a cero, pues podrá circular por el
diodo. Cuando el diodo conduce podrá considerarse como una resistencia y la corriente
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90
Teoría de Redes Eléctricas
decaerá exponencialmente, con una constate de tiempo dada por L / Rd . Donde Rd es la
resistencia del diodo.
Otra forma es colocar un circuito especial entre los contactos:
Figura 2.108
Se tendrá ahora:
s
E
R
I
s2
Con i (0 )
(1/ LC )
i
Ae
Con a
at
R
L
R r
s
L
1
LC
E
y no habrá discontinuidad en la corriente. Puede comprobarse que si
R
( R r / 2 L) 2 se tendrá respuesta oscilatoria amortiguada, de la forma:
sen(bt
)
R r / 2L
y
b
1
LC
R r
2L
2
Figura 2.109
Las oscilaciones terminan aproximadamente en t
4/ a .
Aplicando el teorema del valor inicial, puede comprobarse que
v(0 )
r
E
R
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Redes sometidas a excitaciones causales.
91
Aumentando r se logra mayor amortiguación, menor voltaje máximo; pero las oscilaciones
tendrán mayor período.
Las desconexiones de cargas inductivas excitadas con tensiones alternas pueden
analizarse en forma similar. En este caso la solución con diodo no puede aplicarse.
Existen diferentes criterios de diseño dependiendo del tipo del elemento de conmutación.
En algunos casos desea evitarse grandes valores de la derivada del voltaje; en otros
importa el máximo valor alcanzado por la tensión.
Los desarrollos analíticos son dificultosos, incluso empleando transformación de Laplace.
Con este ejemplo se desea mostrar que los circuitos más simples usados en la ingeniería
tienen un grado de complejidad creciente cuando se intenta refinar el modelo. En las
redes que se analizan debían agregarse componentes parásitas. Por ejemplo, la resistencia
de pérdidas de la bobina, las capacidades de la bobina y conexiones, una resistencia de
fuga en los condensadores, etc. En esas condiciones el modelo ya no es manejable y debe
resolverse en un computador.
P2.28. Interruptores y fuentes.
Representar la red con interruptores, mediante fuentes independientes.
Figura 2.110
Solución:
Si se supone el condensador cargado de tal modo que su tensión sea la de la fuente,
entonces la red R ve la siguiente situación:
Figura 2.111
Pero el condensador se supone descargado; en el plano s se tendrá:
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92
Teoría de Redes Eléctricas
Figura 2.112
O bien,
Figura 2.113
P2.29. Impulso en el voltaje.
En la siguiente red
Figura 2.114
Se tiene
Figura 2.115
Determinar v para todo t.
Solución:
a) En el tiempo
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93
Se tiene:
v
4dig
dt
Es decir:
v
4 (t ) .
b) En el plano s
Figura 2.116
Se tiene
iL (0 ) 3
2
s
I g ( s)
La tensión en la impedancia está dada por:
V
v(t )
4s
2 3
s s
4
4 (t )
P2.30. Discontinuidad en la corriente.
Para la red indicada
Figura 2.117
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94
Teoría de Redes Eléctricas
Con ig (t )
3u (t 1) 2 u (t )
Determinar:
a) v(t )
b) i (0 ) e i(0 )
Solución:
Obviamente i(0 )
Se tiene
0 ; pues estaba abierto el circuito.
Figura 2.118
Entonces, I g
5/ s
En el plano s:
Con:
V
5
2s 10
s
Figura 2.119
Entonces:
v t
10 (t )
Con:
Figura 2.120
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Redes sometidas a excitaciones causales.
95
P2.31. Corriente con impulso.
Determinar condiciones para que la corriente contenga un impulso.
Figura 2.121
Solución:
Aplicando transformación de Laplace se obtiene:
I
1 ( sE v(0 ))
1
R
s
RC
Sea:
E
a
Es decir:
b
s
c
s2
.....
e(t ) a (t ) b u (t ) c r (t ) ....
Entonces:
I
I
i (t )
1 (as v(0 ))
R s 1
RC
a
R
b
s
c
s2
R s
....
1
RC
(aT v(0 ))
....
1
R s
RC
a
(t )
R
aT v(0 )
e
R
t / RC
u (t ) ..
Si e(t ) contiene impulsos, también los tendrá i (t ) , Pero si e(t ) no contiene impulsos, se
tendrá a 0 y en este caso no se tendrá impulsos en la corriente.
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96
En t
Teoría de Redes Eléctricas
0
se tendrá:
v(0 ) v(0 ) a / R
P2.32. Red con inductancias.
Para la siguiente red
Figura 2.122
Determinar i (t ) e i (0 )
Solución:
Método 1.
50
10
Se tiene i(0 )
5
En el plano s:
Figura 2.123
Con:
Figura 2.124
Entonces I g
0
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Redes sometidas a excitaciones causales.
97
Resulta:
50
10
s
25 3s
I (s)
2
s
4
3s 25
Entonces:
i (t )
4
e
3
2
25t / 3
u (t )
Y se tiene
10
3
i(0 )
Método 2.
Mediante LVK se logra:
d (2i i ig )
dt
50 25i 15 ig
Donde el flujo total enlazado por el circuito es
(3i ig )
Integrando la ecuación diferencial entre 0
y 0 , se obtiene:
0
(0 )
0
(0 ) 50t 0
0
25 i( )d
0
15 ig ( )d
0
La primera y tercera integral, del lado derecho, son ceros. Y si i (t ) no contiene impulsos, el
enlace total de flujo es continuo. Si este es el caso, se tendrá
3i(0 ) ig (0 ) 3i(0 ) ig (0 )
Reemplazando los valores conocidos, se tiene:
3i(0 ) 0 3 5 5
Resulta:
i(0 )
10
3
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98
Teoría de Redes Eléctricas
Para la red dada, se tiene t
0 :
di
50 25i 3
dt
Cuya solución es:
i
2
4
e
3
25t / 3
Se advierte de la gráfica de i (t ) que ésta no contiene impulsos. Lo cual podría haberse
deducido, ya que en el circuito no hay impulsos externos aplicados.
Figura 2.125
La tensión en las inductancias contendrá un impulso. En la práctica no pueden producirs,
en una red real, tensiones infinitas. Debe suponerse que el modelo dado es inexacto,
seguramente en el interruptor se producirá un arco; que podría modelarse con una
resistencia no lineal. Además habría que considerar en el modelo algunas capacidades
parásitas. Sin embargo al simplificar el modelo se obtuvo fácilmente una solución; ésta nos
indica que habría altos voltajes en la conmutación, y que mientras dure la desconexión
nuestra solución estará alejada de la realidad.
P2.33. Determinar los valores iniciales en t=0+.
Si se conocen:
C1
1
C2
2
vc1 0
2
vc 2 0
4
Figura 2.126
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Redes sometidas a excitaciones causales.
99
Solución:
Se tiene que para tiempos menores que cero, las corrientes son cero. Nótese que si en la
red no hubiera interruptor, existiría un voltaje dependiente del otro; en este caso no
podrían ser los valores 2 y 4, ya que su suma es diferente de 3.
Para tiempos mayores que cero se tiene:
LVK : 3 v1 (t ) v2 (t )
Derivando se obtiene:
0
i
c1
Con solución i
i
de
, ya que
c2
dt
0y
dv1
dt
1
c1
0 para t mayor que cero.
Se tiene: 3 v1 (0 ) v2 (0 ) , y la única forma de calcular los valores al tiempo cero más es
aplicando la ley de continuidad, que proporciona otra relación entre las incógnitas.
Se tiene:
q2 q1
cte; c2v2 (0 ) c1v1 (0 ) c2v2 (0 ) c1v1 (0 )
Reemplazando valores, resulta:
2v2 (0 ) v1 (0 ) 6
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen:
v2 (0 ) 3
v1 (0 )
0
Gráficamente:
Figura 2.127
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100
Teoría de Redes Eléctricas
Obsérvese que en el instante cero se produce una corriente con discontinuidad infinita
(impulso delta de Dirac.). Su interpretación, del punto de vista de redes, es que en el
instante cero se produce un movimiento instantáneo de 2 Coulombs. Debe notarse que un
artefacto físico tendrá resistencias, en el diagrama de redes del problema se las ha
aproximado a cero; esta simplificación conduce a la red con sólo condensadores, en la cual
se producen movimientos instantáneos de carga (el impulso de corriente), que son
imposibles de interpretar físicamente. Sin embargo, los resultados obtenidos con los
modelos (idealizados mediante aproximaciones) de redes pueden ser interpretados y
además se simplifica la operatoria matemática para obtener los resultados.
Puede comprobarse que si se agregan resistencias, los voltajes no pueden ser
discontinuos; el paso de un valor estacionario al otro se produce después de un cierto
tiempo. Dicho tiempo, en el ejemplo, se estima mediante las constantes de tiempo de la red
RC.
El problema anterior, será resuelto ahora aplicando las técnicas de la transformación de
Laplace. Según se verá no será necesario incorporar los conceptos recién descritos; esta
ventaja es debida a la definición de las transformadas a partir del tiempo cero menos.
Diagrama en el plano s.
Figura 2.128
Aplicando método de las mallas, se tiene:
I (s)
3
s
2
s
1
s
4
5
2
2
s
Sacando transformada inversa:
i(t )
2 (t )
También pueden determinarse, las tensiones en los condensadores, por ejemplo:
V1 ( s)
I ( s)
1
s
2
s
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0
v1 (t ) 0
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Redes sometidas a excitaciones causales.
V2 ( s)
I ( s)
1
2s
4
s
3
s
101
v2 (t ) 3 u(t )
Obs.: Los problemas asociados a redes con discontinuidades en las condiciones iniciales, o
bien con excitaciones que contengan impulsos, pueden ser eficientemente solucionados
aplicando el método de la transformación de Laplace. Las leyes de continuidad permiten
una mejor captación e interpretación de los resultados que se obtengan aplicando
métodos de transformación.
P2.34. Conservación enlaces de flujo.
Para la siguiente red:
Figura 2.129
Con:
Figura 2.130
Determinar i (0 )
Solución:
Método 1.
Se tiene i (0 )
ig (0 )
1
En el plano s
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102
Teoría de Redes Eléctricas
Figura 2.131
Resulta:
4
3s
I
4
u (t )
3
En el tiempo i (t )
En t
0 , se tiene:
4
3
i(0 )
Método 2
Aplicando ley de conservación del enlace de flujo.
Figura 2.132
Se tiene v1
v2
0
1
2
Es decir:
d
(
dt
) 0
O sea,
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Redes sometidas a excitaciones causales.
L1 i1 L2 i2
103
cte.
Entonces:
1 i1 (0 ) 2 i2 (0 ) 1 i1 (0 ) 2 i2 (0 )
Pero:
i1 (0 ) 0; i2 (0 )
1
Y resulta:
i1 (0 ) 2 i2 (0 )
2
Además en t
0 se cumple LCK, que evaluada en 0 implica:
i1 (0 ) i2 (0 )
ig (0 )
2
Resolviendo el sistema de ecuaciones, resulta:
i2 (0 )
i1 (0 )
4
3
2
3
Debe notarse que se ha planteado LVK para el circuito formado por inductores, sólo con
objeto de plantear la ley de conservación con sus signos correctos. Pues para tiempos
menores que cero no existe circuito.
P2.35. Red de segundo orden.
Determinar i t para la red inicialmente relajada que se muestra:
Figura 2.133
Solución:
Método 1.
Se tienen:
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104
Teoría de Redes Eléctricas
e
Ri L
i
Cdvc
dt
di
vc
dt
(i)
(ii)
Sacando transformada de Laplace, se tienen:
E
RI
s LI Vc
I
Cs Vc
Eliminando Vc y reemplazando los valores numéricos:
1 2 103 I
(0,1 10 6 s) 1 I
s 0, 4 I
Entonces:
I
0, 4s
s
2000 s 107
2
Resulta:
i (t ) e
2500 t
2,5cos 4330t 1, 44 sen 4330t
Método 2 (clásico)
Consiste en determinar las condiciones iniciales en t
diferencial de la red para t 0
De las ecuaciones i) e ii), con e
di 2
L 2
dt
R
di
dt
i
C
0 , y luego resolver la ecuación
0 , se obtiene:
0
La excitación es cero para t
0 . Y la corriente se debe a las condiciones iniciales.
Como se verá el impulso fija las condiciones iniciales.
Observando i) se advierte que i no puede contener impulsos, pues si los tuviere
aparecería un doblete en el lado izquierdo.
Entonces si se integra desde 0
Profesor Leopoldo Silva Bijit
a 0 se tendrá:
12-07-2010
Redes sometidas a excitaciones causales.
0
0
( )d
0
R i ( )d
0
105
0
L di ( )
0
0
vc ( ) d
0
De ii) se advierte que vc tampoco puede contener impulsos; si los tuviera resultaría que i
tendría dobletes. Incluso se puede establecer que vc debe ser continua; pues si tuviera una
discontinuidad finita resultaría i con impulsos.
Entonces:
1 L(i(0 ) i(0 ))
Se obtiene:
i (0 )
1
0, 4
2,5
Integrando ii) se logra:
0
id
C (vc (0 ) vc (0 ))
0
Pero como i no tiene impulsos resulta:
vc (0 ) vc (0 ) 0
Si se desea obtener la condición inicial de la primera derivada de la corriente, haciendo
t
0 en i) se obtiene:
0
R i (0 ) L
di
dt
0
0
Entonces:
di
dt
0
R i (0 )
L
12.500
P2.36. Transformada de la derivada.
Se tienen:
V ( s) 5 s I ( s) 4
di
dt
2t u (t )
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106
Teoría de Redes Eléctricas
i(0 ) 2
Determinar v t .
Solución:
Sacando transformada de Laplace a di / dt , se logra
sI
i (0 ) 2 / s 2
De la que resulta:
sI
2 2 / s2
Entonces:
V ( s) 6
10
s2
P2.37. Impedancia en el plano s.
De la que se obtiene:
v(t ) 10t u (t ) 6 (t )
Se tiene:
Figura 2.134
Determinar:
Z ( s)
V ( s)
I ( s)
Solución:
Se tiene:
Figura 2.134
Profesor Leopoldo Silva Bijit
12-07-2010
Redes sometidas a excitaciones causales.
V1
s L1 I
s MI 2
V2
s MI 2
L2 sI 2
I2
sC ( V2 )
V
IR V1
107
Despejando lo pedido resulta:
Z (s)
R s L1 s 3 M 2C /(1 L2Cs 2 )
P2.38. Inductores acoplados.
La red está en estado estacionario para tiempos menores que cero.
Figura 2.135
Las fuentes son continuas: eg
2, ig
2
Determinar:
a) i1 (0 ) e i2 (0 )
b) v2 (t ) para todo t.
Solución:
En estado estacionario
i1 (0 ) 2 / 2 1
i2 (0 )
Para t
ig
0 se tienen:
4 di1
e 2 i1
dt
2
3 di2
dt
Profesor Leopoldo Silva Bijit
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108
Teoría de Redes Eléctricas
v2
3 i2
i2
0
3 di2
dt
3 di1
dt
Aplicando transformada de Laplace:
2
s
2 I1 4s I1 4 3s 0 3( 2)
V2
6 3s I1 3
Resulta:
3s 6
2s 1
V2
3
2
9
4
1
2
s
Entonces:
v2 (t )
Para t
3
9
(t )
e
2
4
t/2
para t
0
0 se tiene
v2
3 i2
3( ig )
6
P2.39. Condiciones iniciales en inductores acoplados.
Se tiene un sector de una red
Figura 2.136
Y se cumple que:
V1
Con i1 (0 )
3 s I1 2s I 2 2
2 determinar i2 (0 ) .
Solución:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
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Redes sometidas a excitaciones causales.
109
Sacando transformada de Laplace a la ecuación de equilibrio de los inductores acoplados,
se tiene
V1
s L1 I1 s MI 2
L1i1 (0 ) M i2 (0 )
Comparando coeficientes se tienen:
L1 3
M 2
L1 i1 (0 ) M i2 (0 ) 2
De la última relación:
i2 (0 ) (2 3 2) / 2
2
P2.40. Copedancia propia.
Determinar la copedancia propia de la malla por la que circula i2 (t )
Figura 2.137
Solución:
Planteando LVK en la malla y suponiendo cero el resto de las corrientes de mallas, se
tendrá que el factor de I 2 será la copendancia pedida.
Para la malla dada se tiene:
vR1
vL1
vL1
L1
vL2
vL3
0
Con
di2
dt
M12
di2
dt
Profesor Leopoldo Silva Bijit
M13
di2
dt
12-07-2010
110
Teoría de Redes Eléctricas
di2
dt
M 23
di2
dt
vL2
L2
vL3
( L3 M 31 M 32 )
M 21
di2
dt
di2
dt
Donde M ij implica el aporte de tensión en la rama de i debida la circulación de corriente
en la rama j. Como se cumple que M ij
z22 ( s) ( L1 L2
M ji se tendrá:
L3 2M12 2M13 2M 23 ) s R1
P2.41. Ecuaciones de mallas.
Determinar las ecuaciones de malla en el plano s.
Figura 2.138
Con vc (0 )
b y las corrientes iniciales en los inductores iguales a cero.
Solución:
( s L1 2sM
( sL2
sM ) I1
( sL1 sM ) I1
sL2 ) I1 ( sL2 sM ) I 2 ( sL1 sM ) I 3
1
Cb
I 2 sM I 3 E
sC
s
sM I 2 ( sL1 R) I 3
E
sL2
Adicionalmente:
I
I3
P2.42. Consistencia de una red.
Para la siguiente red, determinar condiciones de consistencia
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kI
Redes sometidas a excitaciones causales.
111
Figura 2.139
Solución:
Aplicando método nodal:
Y1 Y2
Y2
Y2
V1
Y2 Y3
V2
El determinante de la matriz de admitancia nodal es
det F
(Y1 Y2 )(Y2 Y3 k ) Y22
det F
Y1Y2 (Y1 Y2 )(Y3 k )
Entonces, si
k
Y1 Y2
Y1 Y2
Y3
La red será consistente.
P2.43. Condición para que un voltaje sea cero.
Determinar condición que asegure que V será cero.
Figura 2.140
Solución:
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=
I1
kV2
112
Teoría de Redes Eléctricas
Condiciones triviales son Z 4
Por otra parte, con Z 5
0 ; o bien, Z 6
0
también se tendrá V
0.
Se intenta encontrar condición cuando no se cumplen las anteriores; es decir, cuando
Z 4 0, Z 6 0 y Z5
.
Aplicando el método nodal puede determinarse que:
Y5 ( E1 YY
I (Y1 Y2 Y3 ))
1 3
V
Y5Y3 (Y1 Y2 ) (Y4 Y6 ) Y5 (Y1 Y2 Y3 ) Y3 (Y1 Y2 )
Entonces, V
0 cuando:
a) E1Y1Y3
I (Y1 Y2 Y3 ), o
b) Z 5
Y5
c) Z 4
0, o
d ) Z6
0
0 ,o
P2.44. Reducción de redes.
Se tiene una red con 5 vértices
Figura 2.141
a)
Determinar una red equivalente de 4 vértices y tal que se mantengan los valores de los
voltajes en los nodos 1, 2 y 3.
b)
Dibujar la red equivalente, obtenida en a)
Solución:
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Redes sometidas a excitaciones causales.
113
a)
En redes de potencia interesa reducir un sistema complejo en otro equivalente con un
número menor de nodos.
Un método será efectuar reducciones mediante transformaciones estrella-triángulo. De este
modo se elimina el nodo interno de la estrella.
Procederemos a reducir a partir de la matriz de admitancia nodal. Esto permitirá visualizar un
método general susceptible de ser programado en un computador digital.
Se tiene:
3
-1
0
-1
V1
-1
4
-1
-1
V2
0
-1
3
-1
V3
I2
-1
-1
-1
3
V4
0
I1
=
0
Dividiendo la cuarta ecuación por 3, y sumándola a las tres primeras se obtiene:
2,67
-1,33
-0,33
0
V1
-1,33
3,67
-1,33
0
V2
-0,33
-1,33
2,67
0
V3
I2
-0,33
-0,33
-0,33
1
V4
0
I1
=
0
Puede verse que el procedimiento general consiste en dejar ceros en la columna de la
variable que se desea eliminar; excepto en el coeficiente de la ecuación (que se emplea
para reducir) asociado a la variable que se elimina (al coeficiente se lo denomina el
pivote).
De este modo las tres primeras ecuaciones no dependen de V4 y se puede escribir:
2,67
-1,33
-0,33
0
V1
-1,33
3,67
-1,33
0
V2
-0,33
-1,33
2,67
0
V3
La red asociada es:
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12-07-2010
I1
=
0
I2
114
Teoría de Redes Eléctricas
Figura 2.142
Nótese que idéntico resultado se habría obtenido al transformar la estrella en triángulo y
sumar las admitancias en paralelo.
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Redes sometidas a excitaciones causales.
115
Índice general.
CAPÍTULO 2 ............................................................................................................................................. 1
REDES SOMETIDAS A EXCITACIONES CAUSALES ...................................................................... 1
2.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... 1
a) Causalidad ..................................................................................................................................... 1
b) Descomposición .............................................................................................................................. 1
c) Representación matemática ............................................................................................................ 1
d) Condiciones iniciales ...................................................................................................................... 2
e) Análisis dinámico ............................................................................................................................ 2
f) Restricciones del método ................................................................................................................. 2
2.2 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.................................................................................................. 3
2.2.1. Definición .................................................................................................................................. 3
Ejemplo 2.1. ..................................................................................................................................................... 3
2.2.2. Transformada de un impulso ................................................................................................... 4
2.2.3. Condiciones iniciales ................................................................................................................. 4
Ejemplo 2.2. ..................................................................................................................................................... 5
2.2.4. Descomposición de la respuesta ............................................................................................... 6
Análisis de la respuesta a estado cero. ............................................................................................................. 6
2.2.5. Operatoria ................................................................................................................................. 7
Ejemplo 2.3. ........................................................................................................................................ 8
a) Formulación ................................................................................................................................................. 9
b) Transformación ........................................................................................................................................... 9
c) Inversión ...................................................................................................................................................... 9
2.3 MÉTODOS DE FORMULACIÓN EMPLEANDO TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE. ...................... 11
2.3.1. Introducción ............................................................................................................................ 11
2.3.2. Impedancia y Admitancia ....................................................................................................... 12
2.3.3. Leyes de interconexión ............................................................................................................ 13
2.3.4. Fuentes independientes .......................................................................................................... 14
2.3.5. Componentes almacenadoras. Condiciones iniciales. ............................................................ 14
a) Inductor .................................................................................................................................................... 14
Observaciones: .......................................................................................................................................... 15
b) Condensador ............................................................................................................................................ 15
Observaciones: .......................................................................................................................................... 16
2.3.6. Diagramas de redes en el plano s ........................................................................................... 17
Ejemplo 2.4. ................................................................................................................................................... 17
Ejemplo 2.5. ................................................................................................................................................... 17
2.3.7. Relación con redes sometidas a excitaciones sinusoidales y en estado estacionario. ........... 18
2.3.8. Método nodal. Formulación directa matricial. ...................................................................... 18
Red en el dominio del tiempo ................................................................................................................... 19
Red en el plano s. ...................................................................................................................................... 20
Ejemplo 2.6. ................................................................................................................................................... 22
2.3.9. Método de mallas. Formulación directa matricial. ................................................................ 23
Observaciones:............................................................................................................................................... 24
Ejemplo 2.7. ................................................................................................................................................... 25
Casos especiales: ........................................................................................................................................... 25
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12-07-2010
116
Teoría de Redes Eléctricas
2.4. EL ESTADO DE UNA RED................................................................................................................27
2.4.1. Grado de complejidad de una red eléctrica.............................................................................27
Ejemplo 2.8 .................................................................................................................................................... 28
2.4.2. Redes con interruptores. ..........................................................................................................28
Ejemplo 2.9. ................................................................................................................................................... 30
2.4.3. Condiciones de continuidad .....................................................................................................32
Ejemplo 2.10 .................................................................................................................................................. 33
2.4.4. Leyes de Conservación. ............................................................................................................34
2.4.4.1. Conservación de la carga. .................................................................................................................. 34
Ejemplo 2.11. ............................................................................................................................................ 34
Ejemplo 2.12 ............................................................................................................................................. 36
2.4.4.2. Conservación del flujo enlazado por un circuito. .............................................................................. 38
Ley de Faraday .......................................................................................................................................... 38
Aplicación a un inductor ........................................................................................................................... 38
Inductor ..................................................................................................................................................... 41
Inductores acoplados ................................................................................................................................. 43
Aplicación a un circuito. ........................................................................................................................... 44
Ejemplo 2.14 ............................................................................................................................................. 46
Ejemplo 2.15. ............................................................................................................................................ 47
2.5. GENERALIZACIÓN DE REDES EMPLEANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE............................48
2.5.1. Introducción.............................................................................................................................48
2.5.2. Redes consistentes y no consistentes .......................................................................................49
Ejemplo 2.16 .................................................................................................................................................. 49
2.5.3. Forma general de la respuesta ................................................................................................51
2.5.4. Funciones de redes ...................................................................................................................52
Clasificación de las funciones de redes. ......................................................................................................... 52
Funciones de punto motriz ........................................................................................................................ 52
Ejemplo 2.17 ............................................................................................................................................. 53
Ejemplo 2.18 ............................................................................................................................................. 53
Funciones de transferencia ........................................................................................................................ 53
Ejemplo 2.19 ............................................................................................................................................. 54
Ejemplo 2.20. ............................................................................................................................................ 54
Ejemplo 2.21. ............................................................................................................................................ 54
2.5.5 Red lineal ..................................................................................................................................55
2.6. PROBLEMAS RESUELTOS...................................................................................................................57
P2.1. Transformada de Laplace para entrada cero. ..........................................................................57
P2.2. Determinar la impedancia de la red Thevenin, vista por la red R. ..........................................58
P2.3. Determinar V ( s ) .....................................................................................................................59
P2.4. Ganancia de voltaje. .................................................................................................................60
P2.5. Obtener transformada inversa de un voltaje. ..........................................................................61
P2.6. Transformada inversa de una corriente. ..................................................................................62
P2.7. Red de tercer orden. .................................................................................................................64
P2.8. Valor inicial. .............................................................................................................................65
P2.9. Función con retardo. ................................................................................................................66
P2.10. Determinar constante. ............................................................................................................66
P2.11. Identificación de constantes. ..................................................................................................68
P2.12. Determinar un valor de una resistencia. ................................................................................69
P2.13. Calcular corriente. .................................................................................................................71
P2.14. Admitancia en s y en el dominio del tiempo. ..........................................................................72
Profesor Leopoldo Silva Bijit
12-07-2010
Redes sometidas a excitaciones causales.
117
P2.15. Transiente en red oscilatoria. ................................................................................................ 72
P2.16. Forma de onda en oscilador. ................................................................................................. 73
P2.17. Corriente a entrada cero........................................................................................................ 74
P2.18. Excitación exponencial en una frecuencia natural. ............................................................... 75
P2.19. Análisis transitorio................................................................................................................. 76
P2.20. Análisis transitorio, red de segundo orden. ........................................................................... 78
P2.21. Cambio de condiciones iniciales. ........................................................................................... 79
P2.22. Excitación en una frecuencia natural. ................................................................................... 81
P2.23. Exponencial amortiguada. ..................................................................................................... 82
P2.24. Cálculo de condiciones iniciales. ........................................................................................... 84
P2.25. Condiciones iniciales en red de primer orden. ...................................................................... 86
P2.26. Carga por gotas. .................................................................................................................... 87
P2.27. Desconexión de cargas inductivas. ........................................................................................ 88
P2.28. Interruptores y fuentes. .......................................................................................................... 91
P2.29. Impulso en el voltaje. ............................................................................................................. 92
P2.30. Discontinuidad en la corriente............................................................................................... 93
P2.31. Corriente con impulso. ........................................................................................................... 95
P2.32. Red con inductancias. ............................................................................................................ 96
P2.33. Determinar los valores iniciales en t=0+. ............................................................................. 98
P2.34. Conservación enlaces de flujo. ............................................................................................ 101
P2.35. Red de segundo orden. ......................................................................................................... 103
P2.36. Transformada de la derivada. .............................................................................................. 105
P2.37. Impedancia en el plano s. .................................................................................................... 106
P2.38. Inductores acoplados. .......................................................................................................... 107
P2.39. Condiciones iniciales en inductores acoplados. .................................................................. 108
P2.40. Copedancia propia............................................................................................................... 109
P2.41. Ecuaciones de mallas. .......................................................................................................... 110
P2.42. Consistencia de una red. ...................................................................................................... 110
P2.43. Condición para que un voltaje sea cero............................................................................... 111
P2.44. Reducción de redes. ............................................................................................................. 112
ÍNDICE GENERAL. ................................................................................................................................. 115
ÍNDICE DE FIGURAS............................................................................................................................... 118
Profesor Leopoldo Silva Bijit
12-07-2010
118
Teoría de Redes Eléctricas
Índice de figuras.
FIGURA 2.1 ....................................................................................................................................................3
FIGURA 2.2 ...................................................................................................................................................5
FIGURA 2.3 ....................................................................................................................................................8
FIGURA 2.4 ..................................................................................................................................................10
FIGURA 2.5 ..................................................................................................................................................12
FIGURA 2.6 ..................................................................................................................................................12
FIGURA 2.7 ..................................................................................................................................................13
FIGURA 2.9 ..................................................................................................................................................13
FIGURA 2.10 ................................................................................................................................................13
FIGURA 2.11 ................................................................................................................................................14
FIGURA 2.12 ................................................................................................................................................14
FIGURA 2.13 ................................................................................................................................................14
FIGURA 2.14 ................................................................................................................................................15
FIGURA 2.15 ................................................................................................................................................15
FIGURA 2.16 ................................................................................................................................................16
FIGURA 2.17 ................................................................................................................................................16
FIGURA 2.18 ................................................................................................................................................16
FIGURA 2.19 ................................................................................................................................................17
FIGURA 2.20 ................................................................................................................................................17
FIGURA 2.22 ................................................................................................................................................18
FIGURA 2.23 ................................................................................................................................................18
FIGURA 2.24 ................................................................................................................................................20
FIGURA 2.25 ................................................................................................................................................20
FIGURA 2.26 ................................................................................................................................................21
FIGURA 2.27 ................................................................................................................................................22
FIGURA 2.29 ................................................................................................................................................23
FIGURA 2.30 B .............................................................................................................................................25
FIGURA 2.31 ................................................................................................................................................25
FIGURA 2.32 ................................................................................................................................................25
FIGURA 2.33 ................................................................................................................................................26
FIGURA 2.34 ................................................................................................................................................26
FIGURA 2.35 ................................................................................................................................................28
FIGURA 2.36 ................................................................................................................................................29
FIGURA 2.37 ................................................................................................................................................30
EJEMPLO 2.9 A .............................................................................................................................................30
EJEMPLO 2.9 B .............................................................................................................................................31
EJEMPLO 2.9 C .............................................................................................................................................31
EJEMPLO 2.9 D .............................................................................................................................................31
EJEMPLO 2.9 E .............................................................................................................................................32
FIGURA 2.38 A .............................................................................................................................................35
FIGURA 2.38B ..............................................................................................................................................35
FIGURA 2.38C ..............................................................................................................................................35
FIGURA 2.38 D .............................................................................................................................................36
FIGURA 2.39.A .............................................................................................................................................36
FIGURA 2.39B ..............................................................................................................................................36
Profesor Leopoldo Silva Bijit
12-07-2010
Redes sometidas a excitaciones causales.
119
EJEMPLO 2.13 ............................................................................................................................................. 37
FIGURA 2.40 ............................................................................................................................................... 38
FIGURA 2.41 ............................................................................................................................................... 39
FIGURA 2.42.A ............................................................................................................................................ 40
FIGURA 2.42 B ............................................................................................................................................ 41
FIGURA 2.43 ............................................................................................................................................... 41
FIGURA 2.44 ............................................................................................................................................... 42
FIGURA 2.45 ............................................................................................................................................... 42
FIGURA 2.46 ............................................................................................................................................... 43
FIGURA 2.47 ............................................................................................................................................... 43
FIGURA 2.48 ............................................................................................................................................... 43
FIGURA 2.49 ............................................................................................................................................... 44
FIGURA 2.50 ............................................................................................................................................... 44
FIGURA 2.51 ............................................................................................................................................... 45
FIGURA 2.52 ............................................................................................................................................... 46
EJEMPLO 2.14 A .......................................................................................................................................... 46
EJEMPLO 2.14 B .......................................................................................................................................... 47
EJEMPLO 2.15 ............................................................................................................................................. 48
FIGURA 2.53 ............................................................................................................................................... 49
EJEMPLO 2.16 ............................................................................................................................................. 50
EJEMPLO 2.17 ............................................................................................................................................. 53
EJEMPLO 2.18 ............................................................................................................................................. 53
EJEMPLO 2.19 ............................................................................................................................................. 54
EJEMPLO 2.20 ............................................................................................................................................. 54
EJEMPLO 2.21 ............................................................................................................................................. 55
FIGURA 2.54 ............................................................................................................................................... 55
FIGURA 2.55 ............................................................................................................................................... 55
FIGURA 2.56 ............................................................................................................................................... 56
FIGURA 2.57 ............................................................................................................................................... 56
FIGURA 2.58 ............................................................................................................................................... 57
FIGURA 2.59 ............................................................................................................................................... 57
FIGURA 2.60 ............................................................................................................................................... 58
FIGURA 2.61 ............................................................................................................................................... 58
FIGURA 2.62 ............................................................................................................................................... 59
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FIGURA 2.64 ............................................................................................................................................... 60
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120
Teoría de Redes Eléctricas
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Redes sometidas a excitaciones causales.
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