COLEGIO DE EDUCACIÓN INTEGRAL ABC Código: GUIA DE

COLEGIO DE EDUCACIÓN INTEGRAL ABC
GUIA DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS
GRADO:
9
ÁREA:
Matem
áticas
Intensidad
horaria:
5 horas
PERIODO: 1
INDICADORES DE COMPETENCIA:
Docente
(s):
Sergio Andrés
Rojas Gómez
Correo:
Código:
Página 1
de
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0
[email protected]
FECHA
FECHA
Febrero 15
Abril 12
INICIAL:
FINAL:
1) Reconoce las expresiones algebraicas y permite bajo las
operación es la simplificación en cada una de ellas.
2) Aplica los casos de factorización en la solución de
expresiones algebraicas.
3) Resuelve fracciones algebraicas a partir de la simplificación
y el uso de la factorización.
GUIA #:
1
Conjuntos numéricos
Expresiones algebraicas
CONTENIDOS:
Factorización
Fracciones algebraicas
Participación y aportes para la clase
CRITERIOS DE Solución de ejercicios en el tablero
EVALUACIÓN Presentación de trabajos
Motivación para la clase
Actividades de motivación
1) Ubicar en la recta numérica el valor de las raíces.
1.1)
1.2)
1.3)
1.4)
Construir la recta numérica en papel milimetrado de tal manera que se asignen las unidades
positivas y negativas.
A partir de mediciones con regla y teniendo en cuenta la escala utilizada en la recta numérica
dibujar triángulos rectángulos cuya hipotenusa tenga los valores de √2, √3, √4, √5, √11.
Trasladar las medidas de la hipotenusa hallada a la recta numérica por medio de un compás.
Interpretar el valor aproximado de las cantidades de cada una de las raíces.
2) Productos notables.
El siguiente plano es el diseño de un pequeño centro comercial, que será ubicado en la ciudad de Medellín. Está
conformada por siete locales y en el centro una zona verde.
1.
¿Cómo
se podría
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calcular las dimensiones del local A1?
2. El área total donde está construida el centro comercial nos permite establecer el costo de la obra. ¿Cuáles
son las dimensiones del terreno? (ancho y largo)
3. ¿De cuánto es el área del terreno donde se construirá el centro comercial?
4. El area que no será construido, corresponde a la zona verde, ¿Cuánto mide ésta área?
5. ¿Cuál es el área del local más grande y cuál es el más pequeño? ¿Cómo puedo determinarlo?
6. ¿Cuál es el área del terreno que ocuparan los locales?
Actividades de estructuración
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURALES
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama
cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
NÚMEROS ENTEROS
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto
de los números enteros se designa por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por
encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados,
los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).
NÚMEROS RACIONALES
Todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero
y un natural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El
término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o
bien
, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotienten varios idiomas europeos).
NÚMEROS IRRACIONALES
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar
en forma de fracción.
El número irracional más conocido es
y su diámetro.
, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia
= 3.141592653589...
Otros números irracionales son: El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración
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radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo,
, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero,
Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
Ver el video del número dorado: http://www.youtube.com/watch?v=d_7I-uqz_ic
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras, asociados mediante operaciones
aritméticas. Un término algebraico consta de dos partes: coeficientes y parte literal. Por ejemplo, en el
término -9xy, se tiene que -9 es el coeficiente y xy es la parte literal. Un polinomio es una expresión
algebraica formada por sumas y restas entre monomio. Los monomios que conforman el polinomio se
denominan términos del polinomio. Según la cantidad de término que tenga, el polinomio recibe un nombre
particular: Monomio, Binomio, Trinomio, Polinomio.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar o restar polinomios es necesarios tener en cuenta que primero se deben destruir signos de
agrupación si existen, luego agrupar los términos que son semejante, o sea los términos cuya parte literal es
igual y luego reducir términos semejantes:
Ejemplo:
(𝟖𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝟏𝟎) − (𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟏𝟑)
(𝟖𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟏𝟑 … destrucción de paréntesis.
(𝟖𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟑 … agrupación de términos semejantes.
𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟐𝟑… reducción de términos semejantes.
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS (PRODUCTOS NOTABLES)
Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada uno de los términos del primero por cada uno de los términos
del segundo, teniendo en cuenta la ley distributiva y las propiedades de la potenciación.
Los productos notables más importantes y de mayor utilidad son:
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Producto notable
Expresión algebraica
2
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de
Nombre
2
=
a + 2ab + b
(a + b)3
=
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomio al cubo
a2
b2
=
(a + b) (a
Diferencia de cuadrados
a3
b3
=
(a
a3 + b3
=
(a + b) (a2 + b2
a4
b4
=
(a + b) (a
(a + b + c)2
=
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b)
2
Código:
Binomio al cuadrado
b)
b) (a2 + b2 + ab)
ab)
b) (a2 + b2)
Diferencia de cubos
Suma de cubos
Diferencia cuarta
Trinomio al cuadrado
FACTORIZACIÓN
La factorización de polinomios es la descomposición en factores que son polinomios diferentes a el
Los principales casos de factorización son:
Factor común
Factor común por agrupación
de términos.
Diferencia de cuadrados.
Suma y diferencia de cubos.
Suma de potencias iguales.
Diferencia
de
potencias
iguales.
Trinomio cuadrado perfecto.
Trinomio de la forma.
𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Trinomios de la forma.
𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥𝑦 = 𝑥(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦
= (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦)
= 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏)
= (𝑎 + 𝑏(𝑥 + 𝑦)
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 𝑛−1 − 𝑥 𝑛−2 𝑦+. . . −𝑥𝑦 𝑛−2 + 𝑦 𝑛−1 ); n impar
𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 𝑛−1 + 𝑦+. . . +𝑥𝑦 𝑛−2 + 𝑦 𝑛−1
𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = (𝑥 + 𝑦)2
𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = (𝑥 − 𝑦)2
2
𝑥 + 3𝑥 − 10 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 2)
5 + (−2) = 3 𝑦 5 × (−2) = −10
𝑎x 2 + bx + c = (px + r)(qx + s) donde,
𝑎 = 𝑝𝑞,
𝑏 = pq + rs y c = rs
EJEMPLOS:
1) Factorizar completamente cada uno de los siguientes polinomios:
1.1)
2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v
= (2av2 – 3uv2) – (2au2 – 3u3) + (2auv – 3u2 v) (se factoriza cada grupo)
= v2 (2a – 3u) – u2 (2a – 3u) + u v (2a – 3u) (aparece un nuevo factor común)
= (2a – 3u) (v2 – u2 + u v) (se completa la factorización). Entonces,
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1.2)
(a + b – 1)2 – (a – b + 1)2
= [(a + b – 1) + (a – b + 1)] [(a + b – 1) – (a – b + 1)]
= [a + b – 1 + a – b + 1] [a + b – 1 – a + b – 1]
= [2a] [2b – 2] = 2 a. 2 (b – 1)
= 4 a (b – 1)
1.3)
(x – 1)3 – (1 – x)3
= [(x – 1) – (1 – x)] [(x – 1)2 + (x – 1) (1 – x) + (1 – x)2]
= [x – 1 – 1 + x] [x2 – 2x + 1 + x – x2 – 1 + x + 1 – 2x + x2]
= [2x – 2] [–2x + 2x + 1 – 2x + x2]
= 2 (x – 1) (x2 – 2x + 1) = 2 (x – 1) (x – 1)2
1.4)
x2 – 7x + 12
Solución: Es un trinomio pero no cuadrado perfecto, sino de la forma x 2 + bx + c. Se abren dos paréntesis y se
saca la raíz cuadrada de x 2, la cual se distribuye en cada uno de los paréntesis. Se coloca el signo del segundo
término en el primer paréntesis y en el segundo, el producto de los signos del 2º y tercer término. Así:
x 2 – 7x + 12 = (x – ) (x – )
Ahora se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados (porque tienen signos iguales) den 7. Estos
son 4 y 3. Se coloca primero el mayor y en el segundo paréntesis, el menor. Entonces,
x 2 – 7x + 12 = (x – 4 ) (x – 3)
1.5)
3x2 – 5x – 2
Solución: Es un trinomio de la forma ax2 + b x + c. Hay dos maneras de factorizarlo:
Se multiplica y se divide por 3 el polinomio dado, de manera que el primer término quede expresado como un
cuadrado perfecto, o sea, (3x)2; en el segundo término se deja indicada la multiplicación, de manera, que
se vea la raíz cuadrada del primero, o sea, 5(3x) y en el último término, se hace la multiplicación ordinaria. Por lo
tanto,
3x2 – 5x – 2 =
ahora se factoriza como en el ejemplo anterior, resultando,
3x2 – 5x – 2 =
Se buscan dos números que multiplicados den 6 y restados (porque tienen signos diferentes) den 5. Los
números son 6 y 1. Se factoriza el primer paréntesis para eliminar el 3 que está como denominador. En
resumen:
3x2 – 5x – 2 = (x – 2) (3x + 1)
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.
Son fracciones algebraicas:
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Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas. El valor de una
fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta
cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si
se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
OPERACIONES COMBINADAS ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para resolver las operaciones combinadas entre fracciones algebraicas se debe tener en cuenta las siguientes
condiciones:
 Si no hay signos de agrupación, primero se resuelven las multiplicaciones y las divisiones entre
fracciones algebraicas. Luego, se realizan las sumas y las restas, efectuando siempre en orden las
operaciones de izquierda a derecha
 Si hay signos de agrupación, se efectúan primero las operaciones que se encuentren en su interior.
Después se realizan las operaciones combinadas teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.
Ejemplo:
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Se efectúa la operación dentro del paréntesis
Se reducen términos semejantes
Se efectúa la multiplicación
Se simplifica y se efectúa la operación dentro
del corchete
Se reducen términos semejantes, se multiplica
y se simplifica.
Actividades de aplicación
ACTIVIDAD DE APLICACIÓN
1) Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
√𝟒
𝟐. 𝟓
0,3
𝝅
0.155555…
5.101001000
2) Determina si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). si es falsa da un ejemplo que es falsa.
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a.
b.
c.
d.
Todo número irracional es un número real.
No todos los números racionales son reales.
Todo decimal finito es racional.
La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales forma el
conjunto de los números reales.
3)
Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
a.
b.
c.
d.
El triple del resultado de sumar un número con su inverso.
El doble de la edad que tendré dentro de cinco años.
El quíntuplo del área de un cuadrado de lado x.
El área de un triángulo del que se sabe que su base es la mitad de su altura.
4) Completa la siguiente tabla
5) Desarrolla y reduce las siguientes expresiones:
a. (x + 5)2 - (x - 5)2
b. (2x + 3) (2x - 3) - 2(2x2 - 1)
6) En cada una de estas expresiones, razona si se trata de un polinomio, de una identidad o de una
ecuación:
a.
b.
c.
d.
2(x + 1) = 2x + 2
2(x + 1) = 8
2x = 2
X4 - 3x 2 + 5x - 1 = 0
7) Dado los siguientes polinomios:
𝒑(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 𝒚 − 𝟓𝒙𝒚 − 𝟏
Encuentra:
a. 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) + 𝑟(x)
b. 𝑝(𝑥) ∙ 𝑟(𝑥)
𝟑
𝒒(𝒙) = − 𝒙𝟐 𝒚 + 𝟖
𝟐
𝒓(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒚 − 𝟑
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c.
d.
e.
f.
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𝑝(𝑥) ∙ 𝑞(𝑥)
[𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)] ∙ 𝑟(𝑥)
[𝑟(𝑥) − 𝑝(𝑥)] ∙ 𝑞(𝑥)
𝑟(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑦)
8) Escribe una expresión algebraica para el perímetro de cada figura:
4𝑚 − 𝑛
a.
2𝑥 2 𝑦 3 + 4𝑥
b.
𝑥 2 𝑦 3 + 2𝑥
4𝑚 − 𝑛
𝑛2 − 1
9)
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Factorizar los polinomios:
9x4 − 4x2 =
x5 + 20x3 + 100x =
3x5 − 18x3 + 27x =
2x3 − 50x =
2x5 − 32x =
2x2 + x − 28 =
10) Factorización por factor común.
a.  35m 2 n 3  70m 3
b. - x 3  x 5  x 7
c. - 9a 2  12ab  15a 3 b 2  24ab3
d .  16x 3 y 2  8 x 2 y  24x 4 y 4  40x 2 y 3
e. - 93a 3 x 2 y  62a 2 x 3 y 2 - 124a 2 x
f .  3 x x  2   2 y  2  x 
g .  1  x  2a1  x 
h.  3a 2 b  6ab  5a 3b 2  8a 2 bx  4ab2 m
11) Completa los siguientes trinomios para que sean trinomios cuadrados perfectos y luego, factoriza:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
𝑥 2 + 16𝑥 + ___
4(𝑚 − 𝑛)2 − 9𝑝2 − ___
𝑡 2 − 𝑡 + ___
𝑎2 + 2𝑎(𝑎 − 𝑏) + ___
𝑚4 − 𝑚2 𝑛2 +
49𝑚6 − … + 25𝑎2 𝑛4
9(𝑎 − 𝑏)2 + 12(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) +
𝑦8
4
+ 4𝑦 4 +
12) Determina las dimensiones de cada polígono a partir del área dada:
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a. 𝐴 =
21𝑥 2 +11𝑥−2
b. 𝐴 =
2
36𝑘 2 −𝑚2
2
h
d
b
D
c. 𝐴 = 𝑥 8 − 2𝑥 4 − 80
d. 𝐴 = 𝑚2 + 12𝑚 + 36
h
L
b
Q
13) Factorización de Trinomios de la forma x  bx  c
2
1) a 2  13a  40
5) a 2  7 a  60
2) n 2  28n  29
6) a 2 14a  33
3) n 2  6n  40
7) x 2  5 x  36
4) m 2  13m  30
8) a 2  2a  35
14) Expresa cada expresión como el producto de tres factores:
a.
b.
c.
d.
e.
𝑚4 − (𝑚 + 2)2
𝑟 − 3𝑟 2 − 18𝑟 3
𝑥 3 𝑦 + 2𝑥 2 𝑦𝑤 + 𝑥𝑦𝑤 2 − 𝑥𝑦𝑧 2
𝑘6 + 𝑘
(ℎ + 𝑘)(ℎ2 − 𝑘 2 ) − (ℎ2 − 𝑘 2 )
15) Completa cada factorización:
a. (𝑎 − 2) + 5𝑎(𝑎 − 2) = (𝑎 − 2)(______)
𝑠4
𝑠3
𝑠2
𝑠2
b.
− + = − (_____)
8
4
2
8
c. 27𝑥 3 − 1 = (9𝑥 2 + 3𝑥 + 1)(_____)
d. −2𝑚(𝑛 − 𝑝) + 3(𝑛 − 𝑝) = (𝑛 − 𝑝)(_____)
e. 𝑡 4 𝑣 3 𝑤 2 − 3𝑡 3 𝑣 2 𝑤 2 − 5𝑡 2 𝑣 2 𝑤 2 = 𝑡 2 𝑣 2 𝑤 2 (_____)
16) Expresa cada polinomio como el producto de dos factores:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
8𝑚2 − 4𝑚𝑛
35𝑥 3 𝑦 2 − 40𝑥 2 𝑦 2 + 15𝑥 3 𝑦 + 55𝑥 2 𝑦
5𝑥(𝑎 + 𝑏) + 3𝑦(𝑎 + 𝑏)
−𝑥 − 𝑦 + 𝑧(𝑎 + 𝑦)
(𝑚 − 𝑛)(𝑚 + 𝑛) − (𝑚 − 𝑛) − 𝑚(𝑚 − 𝑛)
2𝑥 2 𝑦 + 4𝑥𝑦 − 8𝑥 3 𝑦 2 + 10𝑥 "𝑦𝑧 + 8𝑥𝑦 2 𝑤
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17) Simplifica las fracciones algebraicas
18) Multiplica las fracciones algebraicas:
19) Divide las fracciones:
20) Determina la cantidad de botellas necesarias para envasar 3𝑎𝑥 − 3𝑏𝑥 − 6𝑎 − 6𝑏 litros de agua si la
capacidad para cada botella es de 3𝑏 − 2𝑎 − 𝑏𝑥 + +𝑎𝑥 litros.
21) Determina el ancho de una piscina rectangular si su área es 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 y su largo es 𝑥 − 3