Progresiones. - IES Salvador Serrano

I.E.S. “Salvador Serrano” - Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO - 2015 / 16
TERCER TRIMESTRE: Sucesiones de Números Reales. Progresiones.
Actividades para preparar el examen:
I.- CUESTIONES TEÓRICAS:
Estudia si las afirmaciones siguientes son verdaderas:
1)
Una sucesión de números reales es un conjunto infinitos de números reales ordenados
2)
Las progresiones son sucesiones construidas por recurrencia.
3)
El conjunto de los números pares es una progresión aritmética.
4)
La sucesión de Fibonacci es una progresión geométrica.
5)
Todo término de una progresión aritmética se puede calcular a partir del primero y la diferencia.
6)
Las potencias de base 3 es una progresión aritmética de diferencia 3.
7)
Las potencias de base 3 es una progresión geométrica de razón 3.
8)
La sucesión de los números primos es una progresión.
9)
La sucesión de los cuadrados perfectos no es una progresión.
10) El término general de una sucesión nos permite calcular el valor de cualquier término, a partir de su posición.
11) Una serie de números están en progresión aritmética si las diferencias entre términos consecutivos es constante.
12) La sucesión: 2, 2, 2, 2, 2,… es una progresión aritmética de diferencia 0.
13) La sucesión: 2, 2, 2, 2, 2,… es una progresión geométrica de razón 1.
14) Las progresiones aritméticas de diferencia positiva es decreciente.
15) Las progresiones geométricas de razón negativa es decreciente.
16) La suma de todos los términos de una progresión aritmética decreciente es finita.
17) La suma de todos los términos de una progresión geométrica decreciente es finita.
18) En una progresión se puede calcular cualquier término a partir de otro cualquiera.
19) La suma de dos términos equidistantes de una progresión aritmética siempre es constante.
20) Si elevamos a un número muy grande, un número entre -1 y 1, el resultado de la potencia se aproxima a cero.
21) Si en una sucesión a 35 = 36 , estamos enunciando que el término trigésimo quinto vale treinta y seis.
II.- ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO.
1.- Resuelve las ecuaciones de primer grado siguientes:
1)
7x −
1 − 2x
= 11
4
2)
4x − 6
= −2
3
3)
3 x − 10 5
2x − 3
− (4 − x ) =
6
3
8
2.- Resuelve las ecuaciones de segundo grado siguientes:
1) 3 x 2 + 10 = 1
2)
x(x + 5 ) − 8 x = 0
3) x 2 − 4 x + 3 = 0
5) 6 x 2 + 2x + 1 = 0
4) x 2 − 6 x + 9 = 0
6) x x 2 − 2 x 2 + x + 1 = 0
(
)(
)
II.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
1)
 2x + 3 y = 8

− 3 x − y = −5
2)
3 x − 4 y = −6

 x + 2y = 8
3)
 2x + 3 y = 0

− 3 x − y = 0
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IV.- REPRESENTACIÓN DE RECTAS.
1.- Dibuja las gráficas de las rectas siguientes a partir de sus ecuaciones generales.
1) 2x − y = 3
3) −3 x + y = 1
5) x = −1
2) x + y = 1
4) y = −2
6) − x − y = 2
2.- Calcula las pendientes y las ordenadas en el origen de las siguientes rectas, dadas por sus ecuaciones:
1)
y = −3 x + 5
3)
y=3
5)
− x + 3y + 4 = 0
2)
2x + y = 3
4)
x + 2y = −1
6)
y −3 = 6
V.- DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.
1.- Determina las ecuaciones generales de las siguientes rectas de las que se conocen un punto y la pendiente:
1)
P = (2, 1)
m=2
2)
P = (0, 1)
m =1
3)
O = (0, 0 )
m = -1
4)
P = (2, 3 )
m = −3
5)
1

P =  − 3, 
3

6)
5 
P =  , 1
2 
m=2
m=
3
4
2.- Determina las ecuaciones explícitas de las siguientes rectas de las que se conocen dos puntos:
1)
P = (2, 4 )
Q = (3, 5 )
2)
O = (0, 0 )
Q = (1, 1)
3)
P = (− 2, 3 )
Q = (- 3, 4 )
4)
P = (− 7, - 4 )
Q = (0, 2)
5)
P = (2, 0 )
6)
2 
P =  , 4
3 
Q = (0, 5 )
 7
Q =  3, 
 5
VI.- TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN.
1.- Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones {a n }n∈N* :
1) a n = 2n 2 − 1
3) a n = 2 n+1
2) a n = a n−2 + a n−1, a1 = 2, a 2 = 3
4) a n = a n−2 · a n−1, a1 = 2, a 2 = 3
5) a n =
n−3
2n + 1
6) a n = a n−1 − 8,
2.- Halla el término general de las sucesiones {a n }n∈N* :
1) 1, 4, 9, 16, 25, ...
3) -3, 6, - 12, 24, ...
5) 24, 12, 6, 3, ...
3 3 3
2) 3, , , , ...
2 4 8
1 1 1 1
4) 1, , , ,
, ...
4 9 16 25
6)
2 de 5
1 2 3 5
, , , , ...
2 3 4 6
a1 = 5
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VII.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICA. Término General.
1.- Estudias si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas o geométricas. Determina el término general en los
casos que lo sean.
1) 1, 4, 7, 10, 13, ...
4) 6, 11, 16, 21, 26, ...
7) 4, 12, 36, 108, 324, ...
2) 3, 6, 12, 24, 48, ...
5) 3, 4, 3, 4, 3, ...
8) 2, 2, 2, 2, 2, ...
3) 4, 10, 19, 34, 47, ...
6)
1 1 1
1
, ,
,
, ...
4 16 64 256
3 3 3 3
9) 3, , , , , ...
2 4 8 16
VIII.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS. Término General y Suma.
1.- En una progresión aritmética sabemos que a 2 = 1, a 5 = 7 . Halla el término general y calcula la suma de los 15
primeros términos.
2.- El quinto término de una progresión aritmética vale -7, y la diferencia es -3. Calcula el primer término y la suma de los
12 primeros términos.
3.- Halla la suma de los 16 primeros términos de una progresión aritmética en la que a 4 = 7, a 7 = 16 .
4.- En una progresión aritmética, el sexto término vale 10,5; y la diferencia es 1,5. Calcula el primer término y la suma de
los 9 primeros términos.
5.- Calcula la suma de los 15 primeros términos de una progresión aritmética en la que a 3 = 1, a 7 = −7 .
6.- De una progresión aritmética conocemos a 2 = 5, a12 = 24 .
a) ¿Qué lugar ocupa en ella el término cuyo valor es 119?
b) ¿Hay algún término cuyo valor sea 500?
7.- Calcula a1 y a13 en una progresión aritmética en la que conocemos d = 6 y S13 = 572 .
8.- Calcula el quinto término y la diferencia de una progresión sabiendo que su primer término es 4 y que la suma de sus
20 primeros términos es 1 410.
9.- ¿Cuántos términos de la progresión 8, 13, 18, 23, 28,… hay que sumar para obtener como resultado 1 833?
10.- La suma de los 50 primeros términos de una progresión aritmética es 3 975 y su diferencia es 3. Calcula a1 y a 50 .
IX.- PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. Término General y Suma.
1.- En una progresión geométrica, a1 = 3, a 4 = 24 . Calcula la razón y la suma de los ocho primeros términos.
2.- El tercer término de una progresión geométrica vale 80, y la razón es 4. Calcula la suma de los cinco primeros
términos.
3.- Halla la suma de los seis primeros términos de una progresión geométrica de razón positiva en la que
a 2 = 10, a 4 = 250 .
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4.- En una progresión geométrica sabemos que a1 = 2, a 4 = 54 . Halla la razón y la suma de los seis primeros términos.
5.- La razón de una progresión geométrica es 3, y el tercer término vale 45. Halla la suma de los ocho primeros términos.
Ejercicio nº 1.-
6.- Halla la suma de todos los términos de la sucesión: 15; 3; 0,6; 0,12; 0,024; …
7.- En una progresión geométrica a 2 = 6, r = 0,5 ; calcula la suma de todos sus términos.
8.- La razón de una progresión geométrica es
3
, el segundo término vales 2. Halla la suma de los infinitos términos de la
4
sucesión.
9.- Calcula la suma de todos los términos de la sucesión: 20; 2; 0,2; 0,02; 0,002; ...
10.- En una progresión geométrica de razón positiva, a1 = 4, a 3 =
1
. Halla la suma de sus infinitos términos.
4
11.- Escribe los siete primeros términos de una progresión geométrica de la que se conoce S 7 = 762, r = 2 .
1 2.- En la progresión geométrica 3, 6, 12, ... ¿qué término vale 768?
1
5
13.- Calcula a1 de una progresión geométrica con: r = , S ∞ =
1
.
4
1 4.- La suma de todos los término de una progresión geométrica es 180 y la razón
5
. Halla el primer término.
6
15.- La suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica es 2 343, si su razón es 5, ¿cuál es su primer
término?
X.- PROBLEMAS DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS.
1.- Un estudiante de 3° de ESO se propone el día 1 de s eptiembre repasar matemáticas durante una quincena, haciendo
cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio:
a) ¿Cuántos ejercicios le tocará hacer el día 15 de septiembre?
b) ¿Cuántos ejercicios hará en total?
2.- Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética y su suma es de 24 años. Halla la edad de cada
uno sabiendo que la edad del mayor es triple que la del menor.
3.- ntonio decide invertir 25 000 € en un negocio a lo largo de cuatro meses. Las cantidades aportadas cada mes forman
una progresión aritmética. Calcula el dinero que aporta cada mes sabiendo que el último mes puso 4 500 € más que el
primer mes.
4.- Cuántos múltiplos de 3 hay entre 100 y 200? Calcula la suma de todos ellos.
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5.- Un ciclista quiere participar en cierta competición deportiva y dispone de todo el mes de marzo para entrenarse. El
primer día dedica media hora a su entrenamiento y se propone entrenar, cada día, 5 minutos más que el día anterior.
a) ¿Durante cuántas horas entrenará el último día del mes?
b) ¿Cuánto tiempo habrá dedicado el mes de marzo a preparar la competición?
Exprésalo en horas y minutos.
XI.- PROBLEMAS DE PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.
1.- Una máquina costó inicialmente 10 480 €. Al cabo de unos años se vendió a la mitad de su precio. Pasados unos
años, volvió a venderse por la mitad, y así sucesivamente.
a) ¿Cuánto le costó la máquina al quinto propietario?
b) Si el total de propietarios ha sido 7, ¿cuál es la suma total pagada por esa máquina?
2.- ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 3 años colocando 3 000 € al 6% de interés anual compuesto? ¿Y al cabo de 5
años?
3.- La población de un cierto país aumenta por término medio un 1% anual. Sabiendo que en la actualidad tiene 3
millones de habitantes:
a) ¿Cuántos tendrá dentro de 10 años?
b) ¿Y dentro de 20 años?
4.- La maquinaria de una fábrica pierde cada año el 20% de su valor. En el momento de su compra valía 40 000 €.
a) ¿Cuánto valía un año después de comprarla? ¿Y dos años después?
b) ¿En cuánto se valorará 10 años después de haberla adquirido?
5.- ¿En cuánto se convertirán 2 000 € colocados al 5% de interés anual compuesto durante 4 años? ¿Y durante 6 años?
Alcaudete, 21 de mayo de 2016
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