1. El sistema de los números reales

1.
El sistema de los números reales
Se iniciará definiendo el conjunto de números que conforman a los números reales, en
la siguiente figura se muestra la forma en la que están contenidos estos conjuntos de
números.
1.1
Números enteros Z
Son los números reales que se denotan por Z ; así que se escribe
Z = {...,−2,−1,0,1,2...}
1.2
Números racionales Q
Los números racionales son los números reales que se pueden expresar como razón de
dos enteros. Se denota el conjunto de los números racionales por Q , así que
Q ={ x/ x =
p
donde p ∈ Z , q ∈ Z }
q
Por otro lado, su desarrollo decimal es finito o infinito periódico.
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Ejemplo:
1
= 0.25
4
1.3
4
= 1.3333...
3
5
= 0.454545....
11
Números naturales N
También conocidos como números para contar o enteros positivos.
N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}
1.4
Números Irracionales I
Son los números que no pueden expresarse como un cociente de enteros y su desarrollo
decimal es infinito no periódico.
Ejemplo:
2 = 1.41421356...
π = 3.14159265...
La unión del conjunto de los números racionales y del de los números irracionales se
conoce como el conjunto de los números reales.
Una manera bastante práctica es representar los conjuntos de números en una recta a la
que denominaremos recta numérica como la que aparece en la siguiente figura.
Mediante las ideas de igualdad y desigualdad pueden compararse 2 números reales.
Suponga que a y b representan dos números reales. Si sus gráficas sobre la recta
numérica están en el mismo punto, a y b son iguales. Si la gráfica de a está a la derecha
de b, entonces a es mayor que b, y si la gráfica de a está a la izquierda de b, entonces
a es menor que b . Utilizamos símbolos para representar estas ideas.
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Cuando se lee de izquierda a derecha, el símbolo < representa algo que “es menor que”,
de modo que para decir que “7 es menor que 8” escribiremos: 7 < 8. También para
escribir que “6 es menor que 9” ponemos 6 < 9.
El símbolo > significa que algo “es mayor que”. Escribimos “8 es mayor que 2”como
8 > 2. El enunciado “17 es mayor que 11” se convierte en 17 > 11.
Podemos tener claro el significado de los símbolos < y > si recordamos que éstos
siempre apuntan hacia el número más pequeño.
Hay otros dos símbolos ≤ y ≥ , que también representan la idea de desigualdad. El
símbolo ≤ significa “es menor o igual que”, por lo que 5 ≤ 9 significa que “5 es menor o
igual a 9”. Este enunciado es verdadero, ya que 5<9 es verdadero. Si la parte = es
verdadera o la parte < es verdadera, entonces la desigualdad ≤ es verdadera.
8≥ 8 es verdadero ya que 8=8 también lo es. Pero no es verdadero 13 ≤ 9, pues no son
verdaderos 13<9, ni 13=9.
Ejemplos:
Determine si cada proposición es verdadera o falsa.
a)
6 ≠ 6. La proposición es falsa ya que 6 = 6.
b)
5 < 19. Como 5 representa un número que en realidad es menor que 19 esta
proposición es verdadera.
c)
15 ≤ 20. La proposición es verdadera ya que 15<20.
d)
25 ≥ 30. Tanto 25 = 30 como 25>30 son falsas. Por lo tanto 25 ≥ 30 es falsa.
e)
12 ≥ 12. Como 12 = 12, esta proposición es verdadera.
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2.
Operaciones con números reales
Las reglas para la suma de números reales se describen a continuación:
2.1 Suma de números reales
Signos iguales. Para sumar dos números con el mismo signo, deben sumarse sus
valores absolutos. El signo de la suma (+ o - ) es el mismo que el signo de los dos
números.
Signos diferentes. Para sumar dos números con signos diferentes debe restarse el valor
absoluto más pequeño del más grande. La suma es positiva si el número positivo tiene
el valor absoluto más grande. La suma es negativa si el número negativo posee el valor
absoluto más grande.
Ejemplo: para sumar − 12 y − 8 , primero han de obtenerse sus valores absolutos
− 12 = 12 y − 8 = 8 . Como estos números tiene el mismo signo, sume sus valores
absolutos: 12 + 8 = 20 . Dé a la suma el signo de los dos números. Como los dos
números son negativos, la suma es negativa − 12 + (− 8) = −20 .
Al buscar -17 + 11, tenemos que restar los valores absolutos pues dichos números tienen
distintos signos: − 17 = 17 y 11 = 11 ; 17 – 11 = 6. Daremos al resultado el sigo del
número con mayor valor absoluto: -17 + 11= -6. El resultado es negativo ya que
− 17 > 11 .
Ejemplo.
Determine cada una de las siguientes sumas:
a)
(-6) + (-3) = -(6+3) = -9
b)
(-12) + (-4) = -(12 + 4) = -16
c)
4 + (-1) = 3
d)
-9 + 16 = 7
e)
-16 + 12 = -4
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2.2 Definición de sustracción
Para todos los números reales a y b
a − b = a + (− b )
(Cambie el signo del segundo número y sume)
Ejemplo.
Realice las operaciones indicadas:
a)
6 – 8 = 6 + (-8) = -2
b)
-12 – 4 = -12 + (-4) = -16
c)
-10 – (-7) = -10+ 7= -10 + 7 = -3
d)
15 – (-3) – 5 – 12. Cuando se resuelve un problema con sumas y restas, la suma
y las restas se realizan en orden de izquierda a derecha.
2.3 Multiplicación de números reales
Signos iguales. Para multiplicar dos números con el mismo signo, multiplique sus
valores absolutos. El producto es positivo.
Signos diferentes. Para multiplicar dos números con signos diferentes, multiplique sus
valores absolutos. El producto es negativo.
Ejemplo.
Determine cada uno de los productos siguientes.
a) − 9 ⋅ 7 = −63
b) − 14 ⋅ (− 5) = 70
c) − 8 ⋅ (−4) = 32
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2.4 División de números reales
Signos iguales. Para dividir dos números con el mismo signo, deben dividirse sus
valores absolutos. El cociente es positivo.
Signos diferentes. Para dividir dos números con signos diferentes, hay que dividir sus
valores absolutos. El producto es negativo.
Ejemplo.
Determine cada uno de los cocientes siguiente.
a)
15
= −3 Esto es cierto ya que − 5 ⋅ (− 3) = 15
−5
b)
− 100
=4
− 25
c)
− 60
= 20
−3
Si 0 se divide entre un número diferente de cero, el cociente es 0. esto es
0
= 0 para
a
a ≠ 0 . Esto es verdadero, ya que 0 ⋅ a = 0 . Sin embargo, no podemos dividir entre 0.
Hay una buena razón para esto. Siempre que se realiza una división, queremos encontrar
un solo cociente. Ahora, considere el problema de división
7
. Nos debemos preguntar
0
“¿qué número multiplicado por 0 da 7?”·. No existe tal número ya que el producto de 0
y cualquier número es cero. Por otra parte, si consideramos el cociente
0
existe un
0
número infinito de respuestas a la interrogante “¿qué número multiplicado por 0 da 0?”
Como la división entre 0 no da como resultado un único cociente, no se permite. Para
resumir estas dos situaciones, expresamos el enunciado siguiente: La división por 0 no
está definida
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3.
Orden de las operaciones
Si hay paréntesis o corchetes
Paso 1. Resuelva arriba y debajo de las rayas de fracciones por separado.
Paso 2. Utilice las reglas siguientes dentro de cada conjunto de paréntesis o corchetes.
Inicie con el conjunto más interno y trabaje hacia fuera.
Si no hay paréntesis o corchetes:
Paso 1. Aplique todos los exponentes.
Paso 2. Haga las multiplicaciones o divisiones en el orden en que aparezcan,
trabajando de izquierda a derecha.
Paso 3. Haga las sumas y restas en el orden en que aparezcan, trabajando de izquierda
a derecha.
Ejemplo.
Utilice el orden de las operaciones para simplificar la siguiente
expresión:
5 + 2 ⋅ 3 Primero multiplique y después sume 5 + 6 = 11
4 ⋅ 3 2 + 7 − (2 + 8)
Trabaje dentro del paréntesis
4 ⋅ 3 2 + 7 − (2 + 8) = 4 ⋅ 3 2 + 7 − 10
Aplique los exponentes
4 ⋅ 3 2 + 7 − 10 = 4 ⋅ 9 + 7 − 10
Haga todas las multiplicaciones y divisiones
trabajando de izquierda a derecha.
Por último, realice todas las sumas o restas, trabajando de izquierda a derecha
4 ⋅ 9 + 7 − 10 = 36 + 7 − 10 = 33
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Ejemplo.
Pablo Vázquez ganó $150. en sus ventas del lunes, $135, tuvo de
ganancias en las ventas del martes. El miércoles no pudo trabajar y el jueves vendió
muy poco, así y que los gastos superaron las ventas y tuvo una perdida de $83. El
viernes también tuvo pérdidas, por $147. Y el sábado se repuso pues tuvo ganancias por
$200.¿Cuál fue su ganancia total?
150 + 135 + 0 + (− 83) + (− 147 ) + 200 = 255
La ganancia total en la semana fue de $255.
Ejemplo.
El record de temperatura más alta fue de 43º c, en la fábrica, fue
registrada en el área de pintura, el 15 de julio de 2005. El record de temperatura más
baja fue de -11º c registrada en el área refrigeración el 31 de enero de 2006. ¿Cuál es la
diferencia entre la temperatura más alta y la más baja?
Debemos determinar el valor de la temperatura más alta menos la más baja: 43 − (− 11)
la diferencia entre la temperatura más alta y la más baja es de 54º c
4.
Números racionales
Los cocientes de los enteros se denominan fraccionarios o números racionales, en la
forma a . A a se le da el nombre de numerador y al número ubicado donde está b se le
b
llama denominador. El denominador debe ser distinto de cero.
4.1 Propiedad fundamental de los números racionales
Si a , b y k son números enteros y b ≠ 0 y k ≠ 0 , entonces
a⋅k a
=
b⋅k b
Ejemplo:
Reduzca
Se puede escribir
36
a su mínima expresión.
54
36 2 ⋅ 18 2
=
=
54 3 ⋅ 18 3
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4.2 Suma y resta de números racionales
Si
a
c
y
son números racionales, entonces
b d
a c ad + bc
+ =
b d
bd
a c ad − bc
− =
b d
bd
y
Efectúe las siguientes operaciones:
Ejemplos
a)
1 4
1 4 (1)(5) + (3)(4) 17
+
se utiliza la fórmula para la suma + =
=
(3)(5)
3 5
3 5
15
b)
−2+
3
4
−2+
3
2 3
−2 3 −8+3 −5
= − + entonces
+ =
=
4
1 4
1
4
4
4
como todo número siempre esta dividido por 1, tenemos
Forma alternativa para resolver − 2 +
3
4
Se multiplica el número entero por el número del denominador y al resultado se
suma el número del numerador, (−2) ⋅ (4) + 3 = −5 a este resultado se le divide
entre el denominador de la fracción que se esta operando, así el resultado queda
como
c)
−5
.
4
⎛2 1⎞ ⎛3
⎜ − ⎟−⎜ +
⎝ 3 5⎠ ⎝5
2⎞
⎟ Primero efectuamos las operaciones dentro de los paréntesis
3⎠
⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 3 2 ⎞ ⎛ 10 − 3 ⎞ ⎛ 9 + 10 ⎞ 7 19
⎜ − ⎟−⎜ + ⎟ = ⎜
⎟−⎜
⎟= −
⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 5 3 ⎠ ⎝ 15 ⎠ ⎝ 15 ⎠ 15 15
En este caso como los
denominadores son iguales solo se efectúa las operaciones de los numeradores y
el denominador pasa igual, quedando como resultado
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7 19
12
4
−
=− =−
15 15
15
5
9
4.3 Multiplicación de números racionales
Si
a
c
y
son números racionales, entonces
b d
a c ac
⋅ =
b d bd
Ejemplo
Determine cada uno de los siguientes productos
a)
3 7
3⋅7
21
⋅ =
=
4 10 4 ⋅ 10 40
b)
5 3
15
1
⋅ =
=
18 10 180 12
4.4 División de números racionales
Si
a
c
y
son números racionales, entonces
b d
a c ad
÷ =
b d bc
Ejemplo
Determine cada uno de los siguientes cocientes
a)
3 7 3 ⋅ 15 45 9
÷ =
=
=
5 15 5 ⋅ 7 35 7
b)
5 3 50 25
÷ =
=
8 10 24 12
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Ejemplos:
a)
Escribir en forma de entero o número mixto:
19
5
=2
7
7
19
7
Escribe el cociente en forma de entero y coloca el residuo sobre el
divisor como la fracción propia.
b)
Escribir en forma de fracción el número mixto 3
3 ⋅ 7 + 1 = 22
1
7
Hay 3 ⋅ 7 o 21 séptimos en 3 unidades completas. 21 séptimos
más 1 séptimo son 22 séptimos. 3
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1 22
=
7 7
11
Procedimiento para realizar operaciones con números mixtos
Transformar los números mixtos a fracciones impropias y efectuar la suma.
Ejemplo:
a)
Efectúe las siguientes operaciones
1
1
2 +5
2
3
Primero se transforma a fracciones impropias y luego se efectúa la
operación.
1
1 7 11 14 + 33 47
=
2 +5 = + =
3
2 3 2
6
6
b)
2
3
−5 +3
3
4
11
3
17 15
23
2
−5 +3 = − +
=−
= −1
12
4
3
4
12
3
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