Aritmetica

IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ABRIL- JULIO 2016
ARITMÉTICA
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SEMANA Nº 03
TEMA: CUATRO OPERACIONES
COORDINADOR: ING JOSE FRANCISCO ALVARADO JUAREZ
Existen cuatro operaciones fundamentales a las cuales les
estudiaremos su propiedades, además de las cuatro
operaciones básicas, también abordaremos un punto muy
importante considerado en los problemas de examen de
admisión denominado “Complemento aritmético de un
número”.
1.
ADICIÓN
Es una operación aritmética que tiene por objeto
reunir varias cantidades en una sola. Sus términos
son: Sumandos y suma total.
Es decir:
a

a
  an
1 
2




 S

n  sum andos
2.
Sum a
SUSTRACCIÓN
Es una operación inversa a la suma, que tiene por
objeto, dadas dos cantidades Minuendo y Sustraendo,
hallar otra denominada Diferencia, que determina la
cantidad de unidades que el Minuendo excede al
Sustraendo.
Es decir: M  S  D
Donde: M: Minuendo, S: Sustraendo, D: Diferencia
sección aquella en donde hay un residuo por
defecto.
El siguiente esquema pertenece a una división
normal (residuo por defecto)
rd
q
Del esquema se tiene que: D  q  d  rd
Donde D: Dividendo, q: cociente por defecto y
rd : Residuo por defecto
Ejemplo: Encontrar el cociente y el residuo por
defecto en la siguiente división.
58  9
Solución
58
9
(4)
6
Así pues: Cociente por defecto = 6 y
Residuo por defecto = 4

3.
d
D
Cuando se quiera trabajar con un resto por
exceso lo que se debe hacer es simplemente
aumentar una unidad al cociente y en este
caso en vez de sumar el residuo se le debe
restar. Esto es:
MULTIPLICACIÓN
Es una suma, donde todos los sumandos son iguales,
tal como la siguiente:
P  
M

M 
 M

M
 
" m " veces
D
Esto se puede resumir como: P  M .m
A esta operación se le llama multiplicación. Donde:
M: Multiplicando, m: Multiplicador, P: Producto
4.
DIVISIÓN
Es la operación aritmética inversa a la multiplicación,
que tiene por objeto: Dados dos números Dividendo y
Divisor: hallar un tercero llamado Cociente, tal que al
multiplicar este Cociente por el Divisor reproduzca el
Dividendo.
re
d
q+1
En este caso : D  ( q  1) d  re
Donde: q + 1: Cociente por exceso y
re: Residuo por exceso
Ejemplo.
Del ejemplo anterior encontrar el cociente y el
residuo por exceso.
4.1 Clases de División. Se distinguen los siguientes
casos.
58
División exacta. Es aquella en la que el resto o
residuo (r) es cero
(5)
D
0
d
q
Así pues D  d  q  0 , es decir D  d  q
Donde:
D: Dividendo
q: Cociente
d: Divisor
r: Residuo
0
5
8
 40  8  5  0  40
División Inexacta (r  0). Existen dos tipos de
división inexacta, la que normalmente estudiamos
en las clases del colegio (residuo por defecto) y
una nueva que introduciremos en la presente
6+1=7
Entonces 58  (6  1)  9  5
Luego:
Cociente por exceso = 7
Residuo por exceso = 5
4.2. Propiedades de la división.
En Toda división entera se cumple que:
i)
rd  re  d
De los dos ejemplos anteriores tenemos que
Ejemplo: Dividir 40 entre 8 y comprobar que es
exacta.
Solución
40
9
el residuo por defecto “ rd ” y por exceso “ re ”
son 4 y 5 respectivamente.
Luego: 4 + 5 = 9 (di visor)
ii)
0  r  d , que puede ser el residuo por
defecto “ rd ” o el residuo por exceso “ re ”
iii)
el máximo valor que puede tomar el residuo
es una unidad menos que el divisor, es
decir rm ax  d  1
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5.
COMPLEMENTO ARITMÉTICO
El complemento aritmético (CA) de un número, es lo
que le falta a dicho número para ser igual a la unidad
de orden inmediato superior a su cifra de mayor
orden. Matemáticamente se puede formalizar de la
siguiente forma
Sea N, un número de “n” cifras
C . A ( N )  10  N
n
Así pues:
ARITMÉTICA
2
involucren sum as se debe tener mucho cuidado al sum ar los
dígitos de la primera columna puesto que puede ser “9”, “19”,
“29” o talvez “39”, en caso de que usted coloque mal el
resultado entonces no se preocupe porque a medida que
avance en el desarrollo del ejercicio, habrá un mensaje de
error como por ejemplo en el siguiente problema.
Ejemplo. Hallar “ x ”, si: a b c  b 0 a  a c  c b  1 x 1 7
Para solucionarlo dispongamos normalmente los números
en forma vertical. Esto es:
abc 
C . A (7)  10  7  10  7  3
1
b0a
C . A (15)  10  15  100  15  85
2
C . A (589)  10  589  1000  589  411
ac
C . A (4891)  10  4891  10000  4891  5109
cb
3
4
1 x17
Aunque parezca
algo irrisorio pero dispongamos las
diferencias y usted se dará cuenta de algo muy práctico
para encontrar el complemento de un número
10 7
3
100 15
85
1000 589
411
10000 4891
5109
Como usted podrá apreciar en cada una de las
operaciones a la última cifra la restamos de “10” y a todas
las demás de “9” y en forma general a la última cifra se le
resta de la “base” y a todas las restantes de una unidad
menos que la base.
Ejemplo. Hallar el complemento aritmético de 5848.
Solución
Por esta regla práctica, empezando por la cifra de las
unidades. Tenemos:
9 – 5 = 4, 9 – 8 = 1, 9 – 4 = 5, 10 – 8 = 2
 C A (5848) = 4152
Ejemplo. Hallar el complemento aritmético de 5848 ( 9 )
En este caso hay “tres” posibilidades en la suma de los
dígitos de la primera columna “7”, “17” o “27”, pero
pensemos un poquito, como son cuatro sumandos
entonces al sumar puede que sea “17”. Veamos:
Primera columna.
c  a  c  b  1 7 , escritos el “7” y llevo “1”
Segunda columna.
b  0  a  c  1  1 1 , recuerde que llevaba “1” y como
en la segunda columna hay “1” como resultado entonces
escribimos “11” y decimos escribimos el “1” y llevamos “1”
Tercera columna.
a  b  1  1 x , recuerde que llevábamos “1”
De las dos primeras relaciones se tiene:
a  b  c  1  11
ab3
Reemplazando a  b  7 en la última relación se tiene
que:
a  b  1  1x
8 – 5 = 3, 8 – 8 = 0, 8 – 4 = 4, 9 – 8 = 1
3
 1  1x
Así pues C . A  5 8 4 8 ( 9 )   3 0 4 1( 8 )


4  1x
Entonces no se olvide, a la última cifra de la base y
todas las demás de una unidad menos que la base.
¿Y que pasaría si se trabaja con letras?; no se alarme el
truquito es fácil, veamos
C . A ( ab )  100  ab  (9  a )(10  b )
C . A ( abc )  1000  abc  (9  a )(9  b )(10  c )
C . A ( abcd )  10000  abcd  (9  a )(9  b )(9  c )(10  d )
¿Y en una base diferente de 10?, muy fácil
C . A  ab ( n )   ( n  1  a )( n  b ) ( n )


C . A  abc ( n )   ( n  1  a )( n  1  b )( n  c ) ( n )


C . A  abcd ( n )   ( n  1  a )( n  1  b )( n  1  c )( n  d )


6. TRUQUITOS IDEPUNP
Para que se entienda lo que pretendemos explicar
analicemos algunas sumitas.
1487+
48
44
1579
 17
Y restando miembro a miembro se tendrá que c  7 y
En este caso la base es 9 entonces se tendrá
22+
17
39
a  b  2c
455+
258
346
23
97
1179
En la primera operación al sumar las cifras de la primera
columna se obtiene “9”, en la segunda suma “19” y en la
tercera “29”, sin embargo en las tres operaciones el último
digito es “9”. Entonces cuando se tenga problemas que
Lo cual es algo absurdo, pues no puede ser que un número
de dos cifras sea igual a uno de una cifra.
Esto significa que no debemos igualarle a “17”, intentemos
con 27.
Primera columna.
c  a  c  b  2 7 , escritos el “7” y llevo “2”
Segunda columna.
b  0  a  c  2  2 1 , recuerde que llevaba “2” y como
en la segunda columna hay “1” como resultado entonces
escribimos “21” y decimos escribimos el “1” y llevamos “2”
Tercera columna.
a  b  2  1 x , recuerde que llevábamos “2”. De las dos
a  b  2c
 27
primeras relaciones se tiene:
a  b  c  2  21
Y restando miembro a miembro se tendrá que c  8 y
a  b  1 1 . Reemplazando a  b  1 1 en la última
relación se tiene que:
a  b  2  1x
11  2  1x
13  1x