Tema 5. PROBLEMAS DE APOLONIO

Apolonio de Perga era conocido como 'el gran geómetra'. Sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollo
de las matemáticas, en particular su famoso libro "Las cónicas" con el que introdujo términos tan familiares hoy en
día como parábola, elipse e hipérbola.
Sin embargo no es tan conocido por su tratado sobre Tangencias. En el que Apolonio describe el problema que
hoy es conocido como Problema de Apolonio:
Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia,
dibujar una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados.
Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento
particular.
PPP: Trazar la circunferencia que pasa por los tres puntos.
1
2
1º- Trazamos dos segmentos que unen los tres puntos.
2º- Trazamos las mediatrices de ambos segmentos
3º- El punto intersección de las dos mediatrices es
el centro de las circunferencias buscadas.
3
Este procedimiento podemos usarlo a la inversa
para encontrar el centro desconocido de una
circunferencia dada. Trazaremos dos secantes
y sus mediatrices.
RRR: Trazar la/las circunferencias tangentes a las tres rectas.
1
2
3
1º- Trazamos las bisectrices de los tres ángulos interiores del triángulo que forman las tres rectas
2º- El punto donde se cortan es el incentro, centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y por lo tanto
tangente a los tres lados de este. Para trazar la circunferencia antes tenemos que encontrar los puntos
de tangencia con las tres rectas. Estos se hallan TRAZANDO PERPENDICULARES A LAS RECTAS
DESDE EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA SOLUCIÓN.
3º- Trazamos la circunferencia solución.
Pero existen otras tres soluciones fuera del
triángulo.
Para encontrarlas debemos proceder de
igual forma: trazando las bisectrices, esta
vez de los ÁNGULOS EXTERIORES.
Dichas bisectrices se cortarán dos a dos
en los centros de las otras tres soluciones.
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: PPP y RRR
PPR: Trazar las circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a la recta.
Este problema tiene importancia ya que el procedimiento para resolverlo
estará incluido en procedimientos para resolver problemas de mayor
complicación.
Para el caso particular de encontrar un punto sobre la recta no
tendremos más que trazar la perpendicular a la recta por el punto
perteneciente a ella y la mediatriz del segmento que unen los dos
puntos. Pero vamos a estudiar el caso más complicado que tiene dos
soluciones.
ENUNCIADO
SOLUCIÓN
1º- Trazamos una recta que une los dos puntos y corta a
la recta en el punto p. Esta recta será el eje radical de
las dos soluciones.
2º- Tenemos que hallar los puntos de tangencia de las rectas
tangentes desde p hasta una circunfenencia auxiliar que
pase por los dos puntos del enunciado. Para ello
trazaremos la mediatriz del segmento que los une (ya
que la usaremos más tarde, pues en ella se encuentran
los centros de las soluciones) y desde el punto medio
trazaremos dicha circunferencia auxiliar.
1
2
p
p
p
3º- Puntos de tangencia de las rectas tangentes a la cir. auxiliar que pasan por p: para ello trazamos la
mediatriz entre entre p y el centro de la cir. auxiliar y desde m trazamos un arco de radio mp que corta a
la cir. auxiliar en los puntos 1 y 2 que son los puntos buscados.
4º- Con centro en p y radio p1 ó p2 trazamos
un arco que abate la distancia p1 ó p2
sobre la recta del enunciado. 1 y 2 serán
los puntos de tangencia de las
circunferencias solución al problema.
2
1
3
m
4
p
1
p
2
5º- Desde 1 y 2 levantamos perpendiculares a la recta del enunciado, sobre estas támbién se encontraran
los centros de las circunferencias de la solución. Donde estas cortan a la mediatriz del segmento que
une a los puntos del enunciado se encuentran los centros de las dos soluciones.
6º- Ya tenemos los dos centros y los dos
puntos de tangencia necesarios para
trazar las soluciones.
5
1
2
6
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: PPR
RRP: Trazar las circunferencias que pasan por un punto y son tangentes dos rectas.
ENUNCIADO
Problema con dos soluciones para el cual vamos a
presentar dos procedimientos para resolverlo. el primero
de ellos "por potencia" que resolveremos de manera similar
a PPR. y el segundo de ellos "por homotecia".
De cualquier modo tenemos que tener claro que los
centros de las soluciones se encuentran sobre la bisectriz
del ángulo que producen las dos rectas.
SOLUCIÓN
PROCEDIMIENTO POR POTENCIA (como PPR): Se trata de olvidarse de la recta superior y
sustituirla por el punto simétrico (tomando como eje de simetría la bisectriz del ángulo). A partir de ahi se resuelve como
PPR.
1
2
1º- Trazamos la bisectriz del ángulo que forman las
dos rectas. Desde el punto dado trazamos una
perpendicular a ella y con centro en la interseccion
de ambas (bisectriz y perpendicular) trazamos
una circunferencia que pasa por el punto dado,
obteniendo su simétrico al otro lado de la bisectriz.
2º- Nos quedamos con los dos puntos simetricos y
también con los trazados auxiliares, desechando
la recta superior del enunciado. A partir de ahí
procedemos igual que en PPR desde el paso 3º.
PROCEDIMIENTO POR HOMOTECIA: Dos circunferencias son siempre homotéticas. Sus centros están
alineados con el centro de homotecia y sus radios homotéticos (radios que se trazan desde las intersecciones de las
circuferencias con rectas secantes concurrentes en el centro de homotecia) son paralelos .
Por ello trazaremos una circunferencia, tangente a las dos rectas y homotética a las
dos soluciones, que nos ayudará con sus rádios a encontrar sobre la bisectriz los
centros de las circunferencias solución.
1º- Trazamos la bisectriz y una
circunferencia aux., tangente a las
dos rectas.
1
2º- Trazamos la recta que pasa por el vértice del
ángulo y el punto del enunciado. Esta recta
producirá en la cir. auxiliar dos puntos
2
desde los cuales trazar dos rádios
de la cir. auxiliar.
3º- Desde el punto dado en
el enunciado trazamos paralelas a los
radios. Estas cortan a la bisectriz en
los centros de las cir. solución. Desde
estos centros trazamos perpendiculares
a las rectas para obtener los
puntos de tangencia.
3
4º- Trazamos las circunferencias solución
4
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: RRP
CRR: Trazar las circunferencias que pasan por un punto y son tangentes dos rectas.
Para resolver este problema necesitamos reducirlo a PRR.
Hacemos dilatando el ángulo formado por las rectas y
convirtiendo la circunferencia en un punto para encontrar
las circunferencias tangentes exteriores a la dada y a las
rectas.
Convertimos la circunferencia en un pto. y contraemos el
ángulo para encontrar las circunferencias tangentes que
contienen a la dada y a las dos rectas.
Una vez hemos reducido el problema lo podemos resolver, en ambos casos bien por el método de la homotécia o bién
convirtiendo PRR en PPR. Para este ejercicio, si el punto se encuentra sobre las rectas o sobre la circunferencia, o si
ambas rectas dadas son paralelas el problema se soluciona con mayor facilidad.
EN CUALQUIER CASO, SIEMPRE (por teorema fundamental de las tangencias) EL CENTRO DE CUALQUIERA DE
LAS SOLUCIONES ESTARÁ EN LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO QUE FORMAN LAS DOS RECTAS. Si son paralelas
en una paralela equidistante de ambas
2 soluciones Dilatando el ángulo. (por homotecia)
1
2
1º- Contraemos la circunferencia dada hasta convertirla
en un punto (su centro) y dilatamos las rectas
trazando paralelas a una distancia igual al radio de
la circunferencia dada.
2º- Nos quedamos con el punto y las dos
nuevas rectas. Resolvemos PRR.
En este caso hemos resuelto PRR por el procedimiento de homotecia, pudiendo
haberlo hecho también por el procedimiento de potendia/eje radical.
Una vez obtenidos los centros de las circunferencias de las
soluciones de PRR, regresamos al problema dado.
Trazando perpendiculares
a las rectas obtenemos sus
correspondientes puntos de tangencia.
Uniendo centros encontramos los puntos de tangencia
sobre la circunferencia dada.
2 soluciones.
Contrayendo el ángulo. (por potencia)
1
2
1º- Contraemos la circunferencia dada hasta convertirla
en un punto (su centro) y contraemos también el
ángulo formado por las rectas trazando paralelas
a una distancia igual al radio de la circunferencia
dada.
2º- Nos quedamos con el punto y las dos
nuevas rectas. Resolvemos PRR.
En este caso hemos resuelto PRR por el procedimiento de potencia/eje radical,
pudiendo haberlo hecho también por el procedimiento de homotecia.
Tanto con estas dos soluciones como en las dos anteriores, tanto si resolvemos por
un método o por el otro, debemos tener cuidado en resolver PRR del centro de la
circunferencia como punto y LAS DOS NUEVAS RECTAS, no las dadas.
Una vez obtenidos los centros de las circunferencias de
las soluciónes de PRR, regresamos al
problema dado. Trazando perpendiculares
a las rectas obtenemos sus correspondientes
puntos de tangencia. Uniendo centros encontramos los puntos
de tangencia sobre la circunferencia dada.
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CRR
CPP:Trazar las circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia.
SOLUCIÓN
ENUNCIADO
Este problema puede presentarse de dos formas: uno de los
puntos está sobre la circunferencia (1 solución) y los dos puntos
están fuera o dentro de la circunferencia (2 soluciones). Para los
casos con dos soluciones se puede resolver por potencia-centro
radical.
En este caso vamos a emplear el método de la potencia.
Hallando un eje radical auxiliar que nos ayudará a encontrar el
centro radical de la circunferencia del enunciado y las dos de la
solución.
1º- Trazamos la recta que pasa por los puntos dados. Al
segmento delimitado por ellos le trazamos su mediatriz
(sobre ella estarán los centros de las
C
soluciones). Sobre dicha mediatriz
elegimos un centro al azar y trazamos
una circunferencia que pase por los
dos puntos y corte a la cir.
del enunciado.
2
1
C
2º- Trazamos el eje radical de ambas.
El eje radical corta a la recta
definida por los dos puntos en el
centro radical (C) de las soluciones
con la cir del enunciado.
3
t1
t2
3º- Hallamos los puntos de
tangencia de las rectas tangentes
exteriores a la circunferencia dada
desde el punto C. Estos (t1 y t2)
serán los puntos de tangencia de
las soluciónes finales.
4
4º- Unimos t1 y t2 con el centro
de la cir. dada. Los puntos
de intersección de estas
rectas con la mediatriz del
segmento que une los puntos
dados serán los centros de
las soluciones.
5
t1
t2
5º- Trazamos las dos
circunferencias.
Si el problema se presenta con uno de los dos puntos sobre la
circunferencia la solución es mucho más obvia y rápida.
En este caso la solución
se encuentra en la
intersección de la
mediatriz del segmento
que une los dos puntos
con la recta que une el
centro de la circunferencia
dada con el punto sobre
esta.
Si el problema se presernta con los dos puntos dentro de la circunferencia
el procedimiento es exactamente el mismo.
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CPP
las circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior
CCP: Trazar
a ellas.
SOLUCIÓN
ENUNCIADO
Este problema solo puede ser resuelto por el método reductivo mediante
INVERSIÓN. Se trata invertir la circunferencia dada en la otra circunferencia,
mediante inversión positiva, lo cual nos dará como soluciones dos
circunferencias tangentes exteriores a las dos dadas, en algún caso muy
particular podriamos encontrarnos con que una de las circunferencias de
la solución. De este modo reducimós el problema a CCP. La inversión
positiva nos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles
Inversión negativa, k<0. Dos soluciones: circunferencias tangentes que contienen a la dada
1º-Unimos los centros de ambas circunferencias. Buscamos sobre el el centro
de inversión positiva (que coincide con el centro de homotecia directa, por
ello lo obtenemos trazando dos radios homotéticos que son paralelos y
trazando la recta que une los puntos homotéticos de ambas circunferencias)
P'
2º- Hallamos el inverso de P: Trazamos una circunferencia
(con centro en la interseccion de las mediatrices
A'
de AP y AA’) que pasa por A-A’-P.
Trazamos la recta OP que corta a
O
B'
la última circunferencia
C'
en el inverso de P, P’.
1
2
P
A
C
3º- A partir de aquí resolveremos el problema CPP’
T2
3
CR
P
A
A' P'
T1
El procedimiento es el mismo que el que resuelve CCP. En este caso OPP'
es eje radical de las soluciones. Y trazando una cir. que pase por P y P' y
sea secante a la dada ( la grande es la que hemos utilizado, pero podriamos
elegir cualquiera de las dos dadas en el enunciado) obtenemos otro eje
radical auxiliar que en su intersección con el anterior eje radical nos da el
centro radical de las soluciones.
A partir de CR hallamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes
a la cir (la grande o la pequeña) que pasan por CR.
T2
4
T1 y T2 son puntos de tangencia de
las soluciones
del problema inicial.
CR
P
Volvemos al problema origuinal para, por inversión obtener los T2'
restantes puntos de tangencia de las soluciones (con la otra
P'
T1
circunferencia).
C
4º-Alineando T1 y T2 con el centro
de inversión O obtenemos T1' y T2'
T1'
O
C
C'
5º- Alineando T1 y T2 con C ( o T1' y T2' con
C') encontramos sobre la mediatriz de PP'
los centros de las circunferencias solución.
5
T2
Como hemos visto este problema, CCP se
reduce a PPC exactamente del mismo modo,
mediante inversión positiva, que reducíamos
CPR a PPR.
Del mismo modo también reduciremos el
problema a PPC, pero con una inversión
positiva para obtener las otras dos soluciones.
P
T2'
P'
CR
A
T1
A'
T1'
O
C'
C
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CCP (1)
Dos soluciones mediante inversión positiva
CCP: Trazar las circunferencias tg. a dos cir. dadas y que pasan por un punto exterior a ellas.
ENUNCIADO
SOLUCIÓN
Este problema solo puede ser resuelto por el método reductivo mediante
INVERSIÓN. Se trata invertir la circunferencia dada en la otra circunferencia,
mediante inversión negativa, lo cual nos dará como soluciones dos circunferencias
tangentes a las dos dadas, cada una de las soluciones contendrá a una de las
circunferencias dadas. De este modo reducimós el problema a CCP. La inversión
negativa nos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles
Inversión negativa, k<0. Dos soluciones: cir. tangentes que contienen a una de las dadas
1º-Unimos los centros de ambas circunferencias. Buscamos sobre el el
centro de inversión positiva (que coincide con el centro de
homotecia directa, por ello lo obtenemos trazando dos radios
homotéticos que son paralelos y trazando la recta que une
los puntos homotéticos de ambas circunferencias)
C
2º- Hallamos el inverso de P: Trazamos una circunferencia
(con centro en la interseccion de las mediatrices de PA y PA’)
A
que pasa por A-A’-P.
Trazamos la recta OP que corta a la última circunferencia
en el inverso de P, P’.
3
C'
El procedimiento es el mismo que el que resuelve
CCP. En este caso OPP' es eje radical de las
soluciones. Y trazando una cir. que pase por P y
P' y sea secante a la dada (la grande es la que
hemos utilizado, pero podriamos elegir cualquiera
de las dos dadas en el enunciado) obtenemos otro
eje radical auxiliar que en su intersección con el
anterior eje radical nos da el centro radical de las
soluciones.
C'
T1’
P
T2’
CR
2
P
C
A
1
O
3º- A partir de aquí resolveremos el problema CPP’
A'
P'
O
A'
P'
A partir de CR hallamos los puntos de tangencia
de las rectas tangentes a la cir (la grande o la
pequeña) que pasan por CR.
T1' y T2' son puntos de tangencia de las soluciones del problema inicial.
4º- Debemos encontrar T1 y T2. Para ello podemos hacer uso del centro de inversión: Alineando T1' y T2' con O
(centro de inversión) encontramos sobre la otra circunferencia los puntos inversos, que son también los puntos de
tangencia de las cir. solución con la cir. de menor radio.
Pero también podemos alinear T1' y T2' con C' para hallar los centros de las cir. solución y unir dichos centros con
C (centro e la segunda cir. dada) para encontrar así T1 y T2.
4
5º- Solo nos queda, en el caso de haber empleado la
inversión para encontrar T1 y T2 encontrar los centros
de las cir. solución. Lo hacemos del mismo modo que
muestra la segunda opción del paso 4º.
En general T1 y T2 no tienen por
que estar alineados con el centro
de inversión.
A'
P'
T1
En las ilustraciones de este
problema T1' y T2' ( y por lo tanto
T1 y T2) quedan alineados con
O (centro de inversión). Esta
circunstancia es solo casual para
las posiciones relativas entre las
dos circunferencias y el punto
dados.
5
T2
O
C'
C
A
T1’
P
T2’
CR
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CCP (2)
Dos soluciones mediante inversión negativa
Si conocemos bién el procedimiento de la inversión para el caso estandar de este problema, cuando
el punto dado es el punto de tangencia sobre una de las circunferencias dadas el problema queda
simplificado sobremanera. Al invertir una de las circunferencias en la otra, o vicebersa, teníamos
también que obtener el punto inverso (lo cual rquiere ciertos trazaos auxiliares que complican el
ejercicio).
Para los dos casos que se muestran en esta página, al estar el punto contenido en una de las
circunferencias, el punto inverso se encontrará sobre su circunferendia transformada lo cual hace
posible resolver el problema con muy pocos trazados y muy rápidamente.
Trazar las circunferencias tangentes a dos circunferencia y una conocido un punto
de tangencia sobre una de las circunferencias. POR INVERSIÓN POSITIVA
CCP:
ENUNCIADO
SOLUCIÓN
1º- Los centros de la solución, en
cualquier caso, se encontrarán
sobre la recta que pasa por el punto
de tangencia dado y el centro de la
circunferencia a la que pertenece.
2º- A partir de ahí aplicaremos una
inversión positiva en problema.
El centro de inversión positiva es
el centro de homotecia directa de O
este modo trazamos una paralela
a CT por C' obteniendo el punto
nomotético de T (T)'. Uniendo T con
(T)' obtenemos O, centro de
inversión.
1
T
C
(T)’
2
T’
T
Sobre la recta OT, encontramos el
punto T' sobre la circunferencia de
centro C'.
C'
C
T' es el punto de tangencia de la
solución sobre la segunda
circunferencia.
Uniendo T y T' con los centros de sus respectivas circunferencias obtenemos una intersección que por teorema
fundamental de las tangencias es el centro de la solución.
Esta método tiene el inconveniente de, generalmente, tener el centro de inversión algo alejado de las circunferencias
dadas, por lo que si no nos dan el problema preparado en función al espacio gráfico, el centro de inversión se sale
del límite del papel y su resolución se complica considerablemente. Esto puede suceder en ejercicios donde este
problema es solamente uno mas de los varios que el ejercicio pueda contener.
las circunferencias tangentes a dos circunferencia y una conocido un punto
CCP:Trazar
de tangencia sobre una de las circunferencias. POR INVERSIÓN NEGATIVA
2º- INVERSIÓN NEGATIVA: Situamos
el centro de inversión (O). Para ello
hemos trazado un radio paralelo al
radio CT desde C' obteniendo (T)',
que es el homotético inverso de T.
Uniendo T con (T)' obtenemos el
centro O.
3
C'
O
C'
C
2
T
C'
C
1
T
O
T’
(T)’
Trazando una recta que pasa por T y por
O ( en este caso ya la hemos trazado para
resolver el centro de inversión. Obtenemos
otro punto, T', sobre la cir. de centro C',
que es el inverso de razon negativa del
punto T. este punto es el punto de
tangencia de la solución sobre la segunda
circunferencia.
3º- Uniendo C' con T' ( propiedad fundamental de las tangencias)
obtenemos el centro de la circunferencia solución.
T
C
Los centros de la solución
en cualquier caso se
encontrarán sobre una
recta que pasa por el centro
de la cir. y el punto de
tangencia dados.
SOLUCIÓN
ENUNCIADO
T’
(T)’
Para ilustrar estos métodos ( que en realidad es el mismo
a diferencia del signo positivo o negativo de la razón de
inversión) hemos cambiado el punto de tangencia por razones
de espacio, pero el método no cambia en cualquier caso.
En ambas modalidades de este problema el procedimiento es el mismo, no importa sobre que
circunferencia se situe el punto de tangencia dado.
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CCR (3)
El punto es el punto de tangencia
POR INVERSIÓN
CCP: Trazar las circunferencias tangentes a dos circunferencias
ENUNCIADO
SOLUCIÓN
conocido un punto de tangencia sobre una de las dos circunferencias
dadas. Resolución por Potencia (eje radical y centro radical)
1º- Unimos el centro de la circunferencia con el punto de
tangencia. Sobre esta recta estará indiscutiblemente
(propiedad fundamental de tangencias) el centro de las
soluciones
T
2º- Trazamos una circunferencia tangente por el
punto dado a la primera y secante a la segunda.
Hallamos el centro radical, CR, de las tres
circunferencias. Para ello debemos trazar los
ejes radicales de las dos parejas de
circunferencias.
T
Este centro radical, CR, lo es respecto de las dos circunferencias
dadas y de la auxiliar que hemos trazado, pero tambien lo es
respecto de las dos soluciones.
CR
T1
T
CR
T2
3º- Con centro el centro radical CR, trazamos una circunferencia
que pasa por el punto de tangencia dado. Los puntos de
intersección con la otra circunferencia, T1 y T2 serán los
puntos de tangencia de las circunferencias soluciones
soluciones.
Esto se debe a que el valor CR-T debe ser el mismo desde
CR a los puntos de tangencia de las soluciones al ser CR el
punto que cumple la misma potencia respecto a las tres
circunferencias.
4º-Unimos estos puntos de tangencia, T1 y T2, con el
centro de la circunferencia, C. donde estas rectas corten
a la recta que pasa por el centro de la otra cir. y el punto
de tangencia dado tendremos los centros de las
soluciones.
Este método podría ser más
apropiado en el caso de que el
centro de inversión positíva se
salirea de los límites del papel.
T1
En este caso el centro de una de
las circunferencias se aleja
bastante del nucleo del ejercicio,
pero eso es debido a las posiciones
relativas de las dos circunferencias
y puntod e tangencia dado que
hacen que una de las cir. solución
tenga un rádio considerablemente
mayor que los de las cir. dadas.
T
C
T2
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CCP (4)
El punto es el punto de tangencia
POR POTENCIA: EJE RADICAL-CENTRO RADICAL
las circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta que pasan por
CPR:Trazar
un punto exterior a ambas.
Este problema puede ser resuelto mediante distintos métodos. No obstante
vamos a desarrollar el método reductivo mediante INVERSIÓN. Se trata
invertir la circunferencia dada en la recta,mediante inversión positiva, lo
cual nos dará como soluciones dos circunferencias tg. exteriores a la cir.
dada. De este modo reducimós el problema a PPR. Este procedimiento
nos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles para este caso.
ENUNCIADO
4 SOLUCIÓNES
Inversión positiva, k>0. 2 soluciones, circunferencias tangentes exteriores a la dada
1º- Trazamos una perpendicular a la
recta dada pasando por el centro de la
cir. Situamos en el extremo superior el
centro de inversión (O) siendo el otro
extremo del diámetro A y el punto de
intersección con la recta dada su inverso
A’. Así la recta es la inversa de la
circunferencia.
2º- Hallamos el inverso de P: Trazamos
una circunferencia (con centro en la
interseccion de las mediatrices de AP
y PA’) que pasa por A-A’-P. Trazamos
la recta OP que corta a la última
circunferencia en el inverso de P, P’.
1
2
O
O
A
A
P
P
P'
A partir de aquí resolveremos el
problema PP’R
A'
A'
Para aclarar la resolución (que en parte puede ser estudiada en el problema
PPR) hemos ampliado el area del problema en que nos vamos a ocupar.
A
3
P
t1
P'
T1'
T'
A'
t
CR
Dichos puntos de tangencia son t y t’ (en minusculas y remarcados con
circulos menores). Con centro en CR, abatimos la distancia CR-t (CRt1)
sobre la recta dada obteniendo T1’ y T’. Estos YA son puntos de tangencia
de las dos soluciones finales.
Pero a partir de aquí regresamos al problema inicial aprobechando la
inversión para encontrar los inversos de estos puntos sobre la primera
circunferencia dada.
O
4º- Alineamos T’ y T1’ con O ( centro de
inversión, encontrando sus inversos sobre la
circunferencia, T’ y T1, estos tambien son
puntos de tangencia de las soluciones finales.
4
A
T1
Para encontrar la sotras circunferencias (que
contienen a la dada y son tangentes a la react
pasando por el punto dado procedemos de
igual modo pero transformando la
circunferencia en la recta mediante una
inversión negativa.
P
P'
A'
O
5
5º- Alineando T y T1 con el centro de la cir.
dada y trazando perpendiculares a R por los
puntos T’ y T1’ hallamos intersecciones donde
se encuentran los centros de las
circunferencias que solucionan la mitad del
problema.
T
T'
3º- PP’ es un eje radical auxiliar que corta a la recta dada en CR ( centro
radical auxiliar). trazamos una circunferencia auxiliar que pasa por P-P’ (en
este caso nos sirve la trazada para obtener P’) y encontramos los puntos
de tangencia de las rectas tangentes desde CR a dicha circunferencia.
T1'
T1
A
T
P
P'
T'
A'
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CPR (1)
Dos soluciones mediante inversión positiva
las circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta que pasan por
CPR:Trazar
un punto exterior a ambas.
Este problema puede ser resuelto mediante distintos métodos. No obstante
vamos a desarrollar el método reductivo mediante INVERSIÓN. Se trata
invertir la circunferencia dada en la recta,mediante inversión negativa,
lo cual nos dará como soluciones dos circunferencias tg. que contienen
a la cir. dada. De este modo reducimós el problema a PPR. Este método
nos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles
ENUNCIADO
4 SOLUCIÓNES
Inversión negativa, k<0. Dos soluciones: circunferencias tangentes que contienen a la dada
1º- Trazamos una perpendicular a la recta dada
pasando por el centro de la cir. Situamos en el
extremo inferior el centro de inversión (O) siendo
el extremo superior del diámetro A y el punto de
intersección con la recta dada su inverso A’. Así
la recta es la inversa de la circunferencia.
P'
1
2
A
A
2º- Hallamos el inverso de P: Trazamos una
circunferencia (con centro en la interseccion de
las mediatrices de AP y PA’) que pasa por A-A’P. Trazamos la recta OP que corta a la última
circunferencia en el inverso de P, P’.
O
A partir de aquí resolveremos el problema PP’R
A'
O
P
P
A'
Con el fin de observar mejor los siguientes pasos, que pueden ser en parte estudiados en el procedimiento de PPR,
hemos eliminado los trazados auxiliares empleados hasta ahora, exceptuando la cir. PP'AA', para quedarnos con PP'R
(también hemos dejado visible la cir. del enunciado, que por el momento no va a intervenir en el proceso.
P'
3º- PP’ es un eje radical auxiliar que corta a la recta dada en CR ( centro
radical auxiliar). trazamos una circunferencia auxiliar que pasa por P-P’ (en
este caso nos sirve la ya trazada para obtener P’) y encontramos los puntos
de tangencia de las rectas tangentes desde CR a dicha circunferencia.
3
A
Dichos puntos de tangencia son t y t1 (en minusculas y remarcados con
circulos menores). Con centro en CR, abatimos la distancia CR-t (CRt1)
sobre la recta dada obteniendo T1’ y T’. Estos YA son puntos de tangencia
de las dos soluciones finales.
t1
O
P
Pero a partir de aquí regresamos al problema inicial aprobechando la
inversión para encontrar los inversos de estos puntos sobre la primera
circunferencia dada.
t
5º- Alineando T y T1 con el centro de la cir. dada y
trazando perpendiculares a R por los puntos T’ y T1’
hallamos intersecciones donde se encuentran los centros
4º- Alineamos T’ y T1’ con O ( centro de
de las circunferencias que solucionan la mitad del
inversión, encontrando sus inversos sobre la
problema.
circunferencia, T’ y T1, estos tambien son
puntos de tangencia de las soluciones finales.
Como vemos, el
procedimiento es
exactamente el mismo
que para resolver las cir.
P'
tangentes exteriores pero
aplicando un ainversión
A
P'
de razon negativa.
4
A
Este procedimiento es
5
algo complejo y largo,
pero se simplifica
T
O
sobremanera cuando el
T1
P
punto está sobre la recta
T
O
o la circunferencia.
T1
P
A' CR
T'
T1'
T'
A' CR
T1'
T'
A' CR
T1'
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CPR (2)
Dos soluciones mediante inversión negativa
Si conocemos bién el procedimiento de la inversión para el caso estandar de este problema cuando
el punto dado es el punto de tangencia sobre la recta o sobre la circunferencia el problema queda
simplificado sobremanera. Al transformar la rectaen la circunferencia o vicebersa teniamos tambien
que obtener el punto inverso(lo cual rquiere ciertos trazaos auxiliares que complican el ejercicio).
Para estos dos casos, al estar el punto contenido en la recta o la circunferencia, el punto inverso
se encontrará sobre su transformada (recta o cricunferencia) lo cual hace posible resolver el
problema con muy pocos trazados y muy rápidamente.
Trazar las circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta conocido un punto
de tangencia sobre la recta. POR INVERSIÓN
CPR:
ENUNCIADO
SOLUCIÓN
1º- INVERSIÓN POSITIVA: Situamos el
centro de inversión (O) en el extremo
superior del diámetro perpendicular a la
recta. Trazamos una recta desde O pasando
por T hasta obtener T' sobre la cir. dada. Y
a partir de T' trazamos una recta pasando
por el centro de la cir. dada para encontrar
el centro de la solución en la intersección
de esta con la primera perpendicular a la
recta dada.
2º- INVERSIÓN NEGATIVA: Situamos el
centro de inversión (O) en el extremo
superior del diámetro perpendicular a la
recta. Trazamos una recta desde O pasando
por T hasta obtener T' sobre la cir. dada. A
partir de T' trazamos una recta pasando por
el centro de la cir. dada para encontrar el
centro de la solución en la intersección de
esta con la primera perpendicular a la recta
dada.
Los centros de la solución en cualquier caso
se encontrarán sobre una perpendicular a la
recta dada que pasa por el punto de tangencia
dado.
A partir de ahí aplicaremos dos inversiones el
en problema. 1º Inversión positiva para
encontrar una solución (tg. exterior a la cir.
dada) y 2º Inversión negativa para enontrar la
otra solución (tg que contiene a la cir. dada)
O
1
T'
2
T'
O
T
T
Siendo tan sencilla la resolución de este problema mediante
este método nos podemos permitir sin problemas resolver
ambas soluciónes en el mismo ejercicio.
las circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta conocido un punto
CPR:Trazar
de tangencia sobre la circunferencia. POR INVERSIÓN
ENUNCIADO
SOLUCIÓN
1º- INVERSIÓN POSITIVA: Situamos el
centro de inversión (O) en el extremo
superior del diámetro perpendicular a la
recta. Trazamos una recta desde O pasando
por T hasta obtener T1' sobre la recta dada.
A partir de T1' trazamos una recta
perpendicular a la recta dada para encontrar
el centro de la solución en la intersección
de esta con la recta que une T y el centro
de la cir. dada.
2º- INVERSIÓN NEGATIVA: Situamos el
centro de inversión (O) en el extremo inferior
del diámetro perpendicular a la recta.
Trazamos una recta desde O pasando por
T hasta obtener T' sobre la recta dada. A
partir de T' trazamos una recta perpendicular
a la dada para encontrar el centro de la
solución en la intersección de esta con la
solución en la intersección de esta con la
recta que une T y el centro de la cir. dada.
Los centros de la solución en cualquier caso
se encontrarán sobre una recta que pasa por
el centro de la cir. y el punto de tangencia
dados.
T
A partir de ahí aplicaremos dos inversiones el
en problema. 1º Inversión positiva para
encontrar una solución (tg. exterior a la cir.
dada) y 2º Inversión negativa para enontrar la
otra solución (tg que contiene a la cir. dada)
O
1
T
2
T
O
T1'
T2'
Siendo tan sencilla la resolución de este problema mediante
este método nos podemos permitir sin problemas resolver
ambas soluciónes en el mismo ejercicio.
Ambos problemas se resuelven mediante el mismo método,
pero adaptado a los datos del enunciado.
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CPR (3)
El punto es el punto de tangencia
POR INVERSIÓN
las circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta conocido un punto
CPR:Trazar
de tangencia sobre la recta. POR POTENCIA.
ENUNCIADO
SOLUCION
1
2
1º- La perpendicular por el punto T dado a
la recta dada contiene los centros d etodas
las circunferencias tangetes a la recta por el
punto dado.
2º. Con centro arbitrario trazamos una cir.
que pasa por T y corta a la cir dada en dos
puntos, trazamos el eje radical de ambas cir.
cobteniendo sobre la recta dada un Centro
radical Auxiliar CR.
T
T2
3
3º- Llevamos el valor constante CR-T a la
cir. dada haciendo centro en CR, con radio
CR-T para obtener T1 y T2 sobre la cir dada.
T1 y T2 son los puntos de tangencia de las
rectas tangentes a la cir. dada que pasan por
CR.
T1
T
CR
4º- T1 y T2 son los puntos de tangencia sobre la circunferencia dada de las cir.de la solución. Así pues solo nos queda
alinear T1 y T2 con el centro de la cir. dada para obtener sobre la perpendicular los centros de las soluciones.
las circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta conocido un punto
CPR:Trazar
de tangencia sobre la circunferencia. POR POTENCIA.
ENUNCIADO
SOLUCIÓN
1º- Trazamos una recta
por T y el centro de la
circunferencia. En esta
estarán los centros de
las soluciones.
2
1
T
T
CR
2º- Trazamos por T una perpendicular a la recta que une el centro de la cir dada con T. Esta recta es un eje radical
que corta a la recta dada en CR que es el centro radical de las dos circunferencias de la solución y la cir. dada.
3º- Con centro en CR y radio CR-T abatimos esa distancia sobre la recta. Sobre la cir. dada obtenemos T', que en este
caso no nos sirve, T y T' son los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la cir. dada desde CR. Sobre la recta
obtenemos T1 y T2, que son los puntos de tangencia sobre la recta dada de las soluciones.
4º- Solo nos queda trazar perpendiculares a la recta dada por T1 y T2 para hallar los centros de las circunferencias
de la solución en la recta que une T con el centro de la cir. dada.
3
4
T'
T
T1
CR
Ambos casos explicados en
esta página están resueltos
por el mismo procedimiento.
Para entenderlos bien es
necesario tener claros los
conceptos de potencia, eje
y centro radical.
Conociendolos el
procedimiento es muy
sencillo y más fácil de
memorizar.
T2
LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CPR (4)
El punto es el punto de tangencia
POR POTENCIA: EJE RADICAL-CENTRO RADICAL