E.9 División de Complejos

Materia: Matemáticas de 4to año
Tema: Multiplicación y división de números complejos
Marco teórico
En esta lección, vamos a explorar la multiplicación y división de números
complejos. En general, las operaciones con números complejos se comportan
igual que las operaciones en polinomios regulares: combinar términos semejantes,
binomios FOIL, distribuir, y así sucesivamente. Las diferencias son generalmente
evidentes cuando los productos y cocientes de números complejos se simplifican.
Recordemos el caso inusual de:
Dado que
, al multiplicar números complejos a menudo resulta en
términos imaginarios convirtiéndose en términos reales.
Multiplicación de números complejos
Al multiplicar números complejos en forma rectangular, recordar el método para
multiplicar dos binomios (a veces llamados FOIL): ( m + n ) ( x + y )
= mx + mi + nx + ny . Usamos el mismo procedimiento para la multiplicación de
números complejos:
( a + bi ) + ( c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2
Pero, a diferencia de la expresión algebraica, la expresión anterior contiene el
número, i .
Recordemos que i 2 = -1, por lo bdi 2 = bd (-1) = - bd y
adi + bci se puede combinar y luego factorizar como ( ad + bc ) i . Así tenemos que
el resultado general,
( a + bi ) + ( c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc ) i
Dividir números complejos
Para dividir dos números complejos es similar a la división de dos números
irracionales. Recordemos que en ese problema, el procedimiento era encontrar lo
irracional conjugado del denominador y luego multiplicar el numerador y el
denominador por el conjugado que, por ejemplo:
Divide:
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En primer lugar encontramos el conjugado del denominador irracional:
luego multiplicar el numerador y el denominador por este valor:
,y
esto se reduce a
o
El proceso es muy similar a los números complejos. Con los números complejos,
ya que usted está interesado en la eliminación de los números complejos del
denominador, se encuentra el complejo conjugado del denominador y multiplica
el numerador y el denominador por el mismo.
Usted encuentra el complejo conjugado de la misma manera que encontró el
conjugado de los números irracionales, cambiar el signo de la parte
imaginaria. Por ejemplo, el conjugado complejo de 4 + 3i es 4 - 3i
Un número complejo multiplicado por su conjugado complejo producirá un número
real. Al recordar ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 simplificando un número complejo y su
conjugado puede ser fácil, por ejemplo:
El conjugado de 4 + 3i se encuentra mediante la retención de la parte real
(4) y de inversión sólo el signo de la parte imaginaria (es decir, se convierte
en 3i-3i)
(4 + 3 i ) (4 - 3 i ) = 16 - 12i + 12i - 9i 2 . Observe que -12 i y
12 i cancelar. También recordar que i 2 = -1
Eso nos da:
16 + 9 = 25
Por lo tanto: (4 + 3i) (4 - 3i) = 25
El producto de este número complejo y su conjugado es 25.
Al multiplicar números complejos a veces la intuición acerca de la naturaleza del
producto puede inducir a error.
Por ejemplo, en (a + b) (a + b), donde todos los términos son números reales, no
hay términos de cada uno de los cuatro productos se cancelarán. Algunos de los
términos pueden combinarse. Sin embargo, en (1 + i) (1 - i), donde algunos
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términos son números reales y algunos términos son números imaginarios, esto ya
no es cierto. Dos de estos términos cancelar: el primer producto se obtiene 1,
mientras que el último producto se obtiene i 2 o -1, y esos términos cancelar!
Ejemplo A
Multiplique:
Solución
(Nota al combinar términos semejantes: -9 i 2 reduce a -9 (-1) o 9)
Ejemplo B
Multiplique:
Solución
o
Ejemplo C
Encontrar el cociente:
Solución
En primer lugar, observar que el complejo conjugado del denominador es 4 - 3i
Multiplique el numerador y el denominador por 4 - 3i:
Palabras claves
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Los conjugados son términos binomiales que son iguales a un lado de las
operaciones inversas entre ellos, por ejemplo, (3 + 2x) y (3 - 2x).
Conjugados complejos tales como: (3 + 2i) y (3 - 2i) se traducen en números
reales cuando se multiplica.
Ejercicios Resueltos
1) Multiplicar
2) Multiplicar
3) Divida
4) Divida
Soluciones
1) Para multiplicar
el tratamiento de cada número complejo
como un binomio y aplicar el método FOIL para encontrar el producto.
multiplicar los primeros términos
multiplicar los términos Exteriores
multiplicar los términos interiores
multiplicar los últimos términos y simplificar el
Combina los términos
semejantes y simplificar
2) Para multiplicar
el tratamiento de cada número complejo
como un binomio y aplicar el método FOIL para encontrar el producto.
multiplicar los primeros términos
multiplicar los términos Exteriores
multiplicar los términos interiores
multiplicar los últimos términos y simplificar el
Combina los términos
semejantes y simplificar
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3) Para Divide
primero determinar el conjugado del denominador
es el
conjugado de los mismos dos términos con el signo opuesto entre ellos, en este
caso
Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado
FOIL
Simplificar
Simplificar
4) Para dividir
primero identificar el conjugado del denominador:
Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado
FOIL
Simplificar
Simplificar
Ejercicios
1.
2.
Multiplicar números complejos
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Dividir números complejos
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