representaciones de conjuntos ordenados y aplicaciones - IME-USP

REPRESENTACIONES DE CONJUNTOS
ORDENADOS Y APLICACIONES
Héctor Merklen, Universidade de São Paulo, Brasil
Estas notas fueron escritas con base en el material de una serie de
conferencias dictadas en la Universidad Nacional del Sur,
Bahia Blanca, Argentina, durante
agosto y setiembre de 1997.
1. INTRODUCCIÓN
(1.1) Extensiones de un punto.
En todo este trabajo, k denota un cuerpo conmutativo.
Sea Λ0 una k-álgebra de dimensión finita que, para simplificar, supondremos básica y conexa, y sea M un Λ0 -modulo a la
izquierda (considerado como Λ0 − k− bimódulo).
Definición 1. Llámase extensión por un punto de Λ0 en M al
álgebra Λ definida por
0
Λ M
Λ=
=: Λ0 [M ].
0 k
Los idempotentes de Λ dados por las unidades matriciales
e11 y e22 corresponden a la unidad 1Λ0 de Λ0 y a un nuevo idemponente que, si llamamos e1 , ..., en a los idempotentes primitivos
de Λ0 , debe ser denotado por en+1 .
Es bien conocido que 1Λ0 y en+l definen (por multiplicación)
sendas inmersiones de Λ0 y k en Λ.
0 M
De hecho,
es un ideal bilateral, M , de Λ y Λ/M ∼
=
0 0
Λ0 × k, de forma que Λ0 -mod y k-mod resultan inmersas naturalmente en Λ-mod.
Los proyectivos indescomponibles de Λ (dados por las columnas de sus ideales indescomponibles) son los proyectivos indescomponibles de Λ0 yun nuevo
proyectivo (el de en+1 ) dado
M
por la última columna
k
2
Sea X̂ um Λ-módulo. Entonces, X̂ = 1Λ0 X̂ + en+1
X̂ =:
X
X + V indica que podemos pensar X̂ como una columna
V
0
formada por un Λ -módulo, X, y un k-espacio vectorial, V ,
donde la acción por escalares de Λ se obtiene de la identidad
siguiente.
0
0
Λ M
X
Λ X + M.V
=
0 k
V
kV
O sea: la acción de Λ está deteminada por la acción de Λ0 en
X, la de k en V y por la forma en que operan los elementos
de M en V : (m, v) → mv ∈ X, la cual es definida por una
aplicación lineal V → HomΛ0 (M, X) que a cada v ∈ V asocia un
Λ0 -homomorfismo φv : M → X que verifica φv (m) = m.v.
Analizando esa situación, es fácil ver que la categorı́a de
módulos sobre la extension de un punto Λ = Λ0 [M ] es equivalente a la categorı́a coma cuyos objetos son las ternas (V, X, α)
– formadas por un espacio vectorial V , un Λ0 -módulo, X y una
aplicación k-lineal α de V en HomΛ0 (M, X) – y cuyos morfismos
de (V, X, α) en (V 0 , X 0 , α0 ) son pares (f, φ) formados por una
aplicación k-lineal f : V → V 0 y un Λ0 -morfismo φ : X → X 0
tales que el diagrama siguiente es conmutativo.
V
α
→
f ↓
V0
HomΛ0 (M, X)
↓ HomΛ0 (M, φ)
→
α0
HomΛ0 (M, X 0 )
La imersión de Λ0 -mod en esa categoria coma asimila el
módulo X con la terna (0, X, 0), y la imersión de k-mod, asocia
un espacio vectorial V con la terna (V, 0, 0).
3
(1.2) Categorı́as vectorespaciales.
Para facilitar el análisis de contextos como el de extensiones
de un punto y otros, Roiter y colaboradores de la escuela de Kiev
introdujeron el concepto siguiente.
Definición 2. Dada una k-categorı́a de Krull-Schmidt, A y un
funtor k-lineal (generalmente supuesto fiel), | | de A en k-mod,
el par (A, | |) define una categorı́a cuyos objetos son los espacios
vectoriales | X | (X ∈ A) y cuyos morfismos son las imágenes
| φ | de los morfismos de A.
A cada categorı́a vectorespacial (A,| |) están asociadas otras
dos la categorı́a de subespacios, S(A,| |), formada por las ternas (V, X, α) de un espacio vectorial, V , un objeto de A, X,
y una aplicación lineal inyectiva α : V →| X | (junto con la
categorı́a más amplia Š(A,| |) formada por las mismas ternas
pero sin imponer la condición de que α sea inyectiva) y la categorı́a de cocientes F(A,| |) formada por las ternas (X, V, α)
donde ahora α es una aplicación k-lineal sobreyectiva de | X |
en V (también junto con la categorı́a más amplia F̌(A,| |) formada por las mismas ternas pero sin imponer la condición de
que α sea sobreyectiva). Los morfismos de estas categorı́as son
definidos dualmente. Las categorı́as de espacios y las categorı́as
de cocientes son equivalentes entre sı́ y la equivalencia es realizada naturalmente por el pasaje a los cokernels y a los kernels,
respectivamente.
Obervación 1. Si, en lugar de una k-categoria de Krull-Schmidt A se da una categorı́a P de objetos indescomponibles (no
isomorfos dos a dos), es decir donde los endomorfismos de cada
objeto forman una k-álgebra local de dimensión finita, y donde,
4
además, los conjuntos de morfismos son k-espacios vectoriales
de dimensión finita y las composiciones, aplicaciones k-bilineales,
entonces ella genera naturalmente una k-categorı́a como A en
la cual P es el esqueleto de los objetos indescomponibles. Es
natural entonces hablar de una categorı́a vectorespacial (P, | |),
queriendo decir (A, | |).
Cuando se adopta el punto de vista indicado en la observación precedente, es común llamar los objetos de P de puntos,
y decir que el punto x =| X | está ligado al punto y =| Y |
cuando Hom(x, y) =: | A(X, Y ) |6= 0.
Los puntos x tales que dim x =: dimk | X |= 1 se llaman
delgados, y los otros gordos.
Ejemplo 1. Sea A una k-álgebra básica de dimensión finita, y
sea (ei )i una familia completa de idempotentes primitivos. Podemos pensar A como una k-categorı́a cuyos objetos son los proyectivos indescomponibles Pi = Aei con los morfismos correspondientes: HomA (Pi , Pj ) = ei Aej (con la composición definida por
la multiplicación de A).
Podemos pensar también A como una categorı́a vectorespacial cuyos indescomponibles son los ei , con los morfismos P(ei , ej ) =
ei Aej y donde | | asocia cada ei con el espacio vectorial Aei y es
igual a la identidad para los morfismos.
Como es sabido, es posible realizar un proceso inverso del
anterior definiendo una k-álgebra de dimensión finita a partir
de una k-categoria finita cualquiera.
Ejemplo 2. Categorı́as de módulos indescomponibles.
5
Sea Λ0 una k-álgebra de dimensión finita con quiver de
Auslander-Reiten ΓΛ0 y sea P un conjunto (finito) de vértices
de ese quiver. Entonces tenemos naturalmente una categorı́a
vectorespacial de la manera siguiente. Sea | | el vector de olvido
de estructura, que asocia a cada X ∈ P el k-espacio vectorial
subyacente, | X | y que es la identidad en los morfismos. Entonces, como vimos en la observación precedente, (P,| |) define
una categorı́a vectorespacial.
Otros ejemplos totalmente similares al anterior, y tanto
o más importantes que él en las aplicaciones, se tienen, en
las extensiones de un punto, al tomar como funtor | | el funtor HomΛ0 (M, ) (o, respectivamente, el funtor M ⊗Λ0 donde
M es un Λ0 -módulo (resp., un Λ0 -módulo a la derecha) fijado
cualquiera.
Ejemplo 3. Sea A = k∆ el álgebra hereditaria de la aljaba
∆ y supongamos que el grafo subyacente a ∆, ∆ no tiene circuitos. Entonces A es un poset pues, con las notaciones anteriores, ∀x, y ∈ {1, 2, ..., n} existe um único camino en ∆, σ, de x
a y.
Reciprocamente, si (I, ≤) es un poset, él define una categorı́a vectorespacial cuyos indescomponibles forman el conjunto
I y cuyos espacios de morfismos son los siguientes.
I(i, j) = k ⇐⇒ i ≤ j
I(i, j) = 0 ⇐⇒ i 6≤ j
A I le asociamos una aljaba QI cuyos vértices son los puntos de I y donde hay una flecha i → j si y sólo si j es sucesor
6
inmediato de i, o i predecesor inmediato de j (o sea: si, por un
lado, i ≤ j y, al mismo tiempo, 6 ∃l 6∈ {i, j} verificando i ≤ l ≤ j
(ver (2.1))
Entonces, el álgebra de esta categorı́a I, llamada álgebra de
incidencia de I, kI es isomorfa al álgebra
kQI / < relaciones de conmutatividad >
definida por la aljaba de I módulo el ideal generado por las relaciones de igualdad de caminos paralelos, o, siguiendo a Gabriel,
atada por las relaciones de conmutatividad.
Definición 3. Categorı́as Schurian
Una categorı́a vectorespacial C es schurian si vale la siguiente condición.
∀x ∈ ind C dim C(x, x) = 1
Ejemplo 4. Consideremos una categorı́a vectorespacial schurian A que tiene un punto gordo, 2, de dimensión 2 como espacio
vectorial sobre k. Sea {x0 , x”} una base de 2. Consideremos
ahora la categorı́a de subespacios
Š(A0 , | |)
donde A0 es la subcategoria cuyo único objeto indescomponible
es el punto 2.
Afirmación: Š(A0 , | |) es equivalente a la categorı́a
de módulos
→
sobre el álgebra de Kronecker Λ = k ·
· .
→
Para obtener esa equivalencia de categorı́as asociamos al
7
Λ-módulo
U
→ m
kn
k
→
V
el objeto (k n , 2m , φ) donde la aplicación lineal φ del espacio vecn
torial k
en el espacio vectorial | 2 |m ) es determinada por la
U
matriz
con relación a la base (x0 , x0 , ..., x0 , x”, x”, ..., x”).
V
En otras palabras, si representamos el espaciovectorial
| 2|m en
1
0
la forma k m ⊗k 2 , φ es la aplicación lineal U ⊗
+V ⊗
.
0
1
Esa definición del funtor para objetos se completa asociando
U
U0
→ m
0 →
0
a un morfismo (α, β) de k n
k en k n
k m el morfismo
→
→
V
V0
(α, 1, β ⊗ id(k 2 ).
Es importante observar aquı́ el efecto que tiene la hipótesis
de que A es schurian, es decir, el hecho de que EndA (2) es un
espacio vectorial unidimensional (que tiene como base la iden0
tidad). Vemos que el espacio HomA (2m , 2m ) puede ser iden0
tificado al espacio Homk (k m , k m ) ⊗ id(k 2 ). Es este hecho que
implica queel par
un morfismo
indicado arriba
es 0efectivamente
U
U
0
0
de (k n , 2m ,
) en (k n , 2m ,
).
V
V0
Obervación 2. El ejemplo anterior se generaliza sin dificultad
al caso de um punto 2 de dimensión t cualquiera y se tiene una
categorı́a Š(A0 , | |) equivalente a la categorı́a de k-representaciones
de la aljaba con dos vértices ligados por t flechas, todas con el
mismo sentido.
8
Como corolario tenemos, por ejemplo, el siguiente teorema.
Teorema 1. Sea B una k-álgebra de dimensión finita que admite um módulo indescomponible, X, satisfaciendo las propiedades siguientes.
B(X, X) ∼
=k
∃M ∈ B − mod : B(M, X) ∼
= kt
Entonces, si t ≥ 3, la extensión de un punto A = B[M ] es
salvaje y, si t ≥ 2 A es necesariamente de tipo infinito.
Ver (2.4), Def. 10.
9
2. POSETS
(2.1) Generalidades.
En este curso (I, ) o simplemente I denota un conjunto
finito parcialmente ordenado (= poset) y n es el número de elementos de I. El lema siguiente permite identificar I con el conjunto {1, 2, ..., n} y suponer que la relación implica la relación
≤. Esto será hecho sin previo aviso siempre que no lleve a confusiones.
ι
Lema 1. Existe una biyección I → {1, 2, ..., n} tal que
i j ⇒ ι(i) ≤ ι(j)
(∗)
Dem. Se hace inducción en n a partir de n = 0. Si s es maximal
en I, basta aplicar la hipótesis de inducción a I \{s} y completar
esa biyección asociando s con n. Diremos que el elemento x ∈ I es un antecesor (resp. un
sucesor) inmediato de y, si x y (resp. y x) y si no existe
z ∈ I, z 6∈ {x, y} tal que x z y (resp. y z x).
El diagrama de Hasse (resp. quiver) de I se obtiene poniendo los elementos minimales de I en un nivel inicial horizontal
(resp. los elementos de I como vértices). En cada momento en
que y es un sucessor inmediato de x se pone y en un nivel más
alto que x y se les conecta por una lı́nea (resp. se traza una
flecha de x a y).
Si I1 , ..., Is son posets disjuntos dos a dos, (I1 , ..., Is ) denotará el poset cuyo conjunto es la unión de los Ii y cuya relación de
orden (como conjunto de pares ordenados) es también la unión
de las relaciones de orden de cada Ii .
10
Diremos que I es discreto si sus elementos son incomparables
dos a dos, esto es, si x 6= y ⇒ x 6 y.
Definición 4. Sea I un poset. Se llama ancho de I, denotado
w(I) al mayor número natural, w, tal que I tiene un subposet
discreto con w elementos.
Es claro que si I 0 es un subposet de I entonces w(I 0 ) ≤ w(I).
Los lemas siguientes caracterizan los posets de anchos 1 y
2.
Lema 2. Sea I = {1, 2, ..., n} verificando x y ⇒ x ≤ y.
Entonces, si w(I) = 1, (I, ) = (I, ≤).
Dem. Podemos hacer inducción a partir de n = 1. Las condiciones implican que n = maxI. Por la hipótesis de inducción,
(I \ {n}, ) = (I \ {n}, ≤). A partir de esas observaciones, la
prueba es inmediata. Obervación 3. Si w(I) = 1 cada elemento x ∈ I tiene, como
máximo, un antecessor inmediato y, como máximo, un sucessor
inmediato. Cuando existan, serán denotados, respectivamente,
por pr(x) y por sg(x).
Lema 3. Sea I de ancho 2. Entonces I es unión de dos subposets
disjuntos no vacı́os, I1 , I2 , ambos de ancho 1. Reciprocamente,
ese hecho implica que w(I) ≤ 2.
Dem. El recı́proco es inmediato de modo que trataremos solamente del enunciado directo y, para ello, haremos inducción en
el número n de elementos de I, a partir de n = 2.
Observemos, inicialmente, que la demostración es inmediata en el caso de que I tenga un mı́nimo, s. En ese caso, si
11
I \ {s} es unión de los subposets I10 , I20 , disjuntos, no vacı́os y de
ancho 1, basta tomar I1 = I10 ∪ {s}, I2 = I20 .
Supongamos entonces que I tiene dos elementos minimales
distintos, s1 , s2 , los cuales, consecuentemente, forman un subposet discreto. Observamos en seguida que podemos suponer
que I \ {s1 } también tiene dos elementos minimales distintos.
Pues si s2 es mı́nimo de I \ {s1 }, y si, por la hipótesis de
inducción, I \ {s2 } es unión de subposets I10 , I20 de ancho 1,
suponiendo, por ejemplo, que s1 ∈ I10 , bastará tomar I1 = I10
y I2 = I20 ∪ {s2 } para completar la demostración.
Finalmente, si I \ {s1 } tiene dos elementos minimales distintos y si es unión de I10 , I20 , disjuntos y de ancho 1, entonces sus
elementos minimales son, respectivamente, los mı́nimos de esos
subposets. Digamos, por ejemplo, que s2 es el mı́nimo de I20 y
que s01 es el mı́nimo de I10 . Entonces, como {s1 , s01 , s2 } no puede
ser discreto, concluimos que, por ejemplo, s1 s01 y terminamos
la prueba tomando I1 = I10 ∪ {s1 } y I2 = I20 . Usaremos las notaciones siguientes que se refieren a un elemento dado, c, de un poset cualquiera, I.
c4 = {x ∈ I/c x}
c5 = {x ∈ I/x c}
(2.2) Problemas Matriciais.
En lo que sigue Es denota la matriz identidad de rango s.
En este curso consideraremos solamente problemas matriciales
de la forma descrita a continuación (e, implı́citamente, sus formas duales).
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Definición 5. Un problema matricial horizontal de tamaño
n y sistema de operaciones elementales G tiene, como objetos,
matrices formadas por una fila de n bloques
A = (A1 | A2 |, · · ·, | An )
en tanto que sus transformaciones son definidas por un conjunto G de operaciones elementales de lineas o de columnas.
Las transformaciones del sistema son, por definición las que
puedan obtenerse mediante aplicación de un número finito de
operaciones de G o sus inversas.
En la práctica, cada problema matricial es una categorı́a
tal que los conjuntos no vacı́os de morfismos son isomorfismos
generados por las operaciones elementales de G.
Definición 6. Se llama vector de dimensión o vector de coordenadas de la matriz A a la n + 1-upla
dimA = s = (s1 , ..., sn , sn+1 )
donde para cada x = 1, 2, ..., n, sx es el número de columnas de
Ax y donde sn+1 es el número de filas de A.
Se llama dimensión total de A a la suma de todas las componentes sx .
Obervación 4. Para interpretar correctamente casos extremos, es preciso utilizar una definición más formal del objeto A.
Para cada número natural s > 0, denotemos pon Js el intervalo
{1, 2, . .., s}, siendo, por definición, J0 = ∅. Entonces A =
(A1 , ..., An ), donde, para cada x ∈ Jn , Ax : Jsn+1 × Jsx → k. En
particular, si uno de los conjuntos Jx es vacı́o, la matriz-bloque
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también es vacı́a, pero, por ejemplo, un bloque vacı́o con una
columna en el lugar x es diferente de un bloque vacı́o con una
columna en otro lugar x0 .
Existen dos tipos de matrices con dimensión total igual a
1. Las que tienen el número de filas y todos los números de
columnas, excepto uno, iguales a 0, y el que no es 0 igual a 1,
y las que tienen todos los números de columnas iguales a 0 y el
número de filas igual a 1. Estas matrices se llamarán simples.
Dado un tal problema matricial, G define una relación de
equivalencia entre sus matrices, o sea la relación de isomorfismo
de esa categorı́a. Ası́, denotaremos A ∼G A0 para afirmar que
A0 se obtiene de A por transformaciones del problema.
Definición 7. Dadas las matrices B, C de un problema matricial se define la matriz B ⊕ C estableciendo que, para cada x,
su bloque de lugar x es
Bx 0
0 Cx
.
Una matriz no nula A se dice indescomponible si no existen
matrices no nulas B y C tales que A = B ⊕ C.
Es fácil ver que dim(B ⊕ C) = dim(B) + dim(C).
Es claro que las matrices de dimensión total igual a 1 son
siempre indescomponibles. Y, también, que existe un sólo tipo
de matrices indescomponibles de dimensión total igual a 2: las
que tienen sólo una fila y tienen todos los números de columnas
de los bloques iguales a 0, exepto uno que es igual a 1.
14
Muchas veces es conveniente representar matrices como A
mediante el diagrama siguiente, que tiene en la columna de la
izquierda los espacios vectoriales k sx , ligados por una aplicacón
ax al espacio k sn+1 , situado a la derecha, donde ax es la aplicación
definida por la matriz Ax con relación a las bases canónicas.
k s1
k s2
·
·
·
k sn
k sn+1
Observamos que si, para algún x, sx = 0, entonces k sx es el
espacio 0, el bloque Ax es una matriz vacı́a y ax es la aplicación
0. En cambio, si sn+1 = 0, entonces A es vacı́a, todos los bloques
son vacı́os y todas las ax son 0.
A una suma directa B ⊕ C corresponde la suma directa
(realizada de modo obvio) de los diagramas, de forma que las
nuevas aplicaciones resultan ser de la forma siguiente.
ax 0
0 bx
Ası́, vemos que es posible reconocer cuando una matriz no
nula A tiene como sumando directo una de las matrices simples
mencionadas más arriba. Por ejemplo, la matriz de dimensión
15
total 1 con sx = 1 se representa por
0
.
.
.
x k
.
.
.
0
0
y, por consiguiente, ella es sumando directo de A cuando el
bloque Ax tiene una columna formada por ceros (columna nula).
Análogamente, la matriz simple que tiene sn+1 = 1 es componente de A si y sólo si A tienen una fila formada por ceros
(fila nula).
Observemos finalmente que las representaciones simples de
dimensión total igual a 2 se representan de la manera siguiente.
0
.
.
.
x k
.
.
.
0
k
Por lo tanto,si ella aparece m veces como sumando directo
16
de A, entonces se puede escrbir A

x
 A01 | · · · | 0

 −− | · · · | −−
0 | · · · | Em
en la forma siguiente.

| · · · | A0n 

| · · · | −− 
| ··· | 0
Por definición, resolver el problema matricial G significa
determinar un representante de cada una de las clases de equivalencia de matrices. Esos representantes son las llamadas formas
canónicas de las matrices del problema.
Ejemplo 5. Cuando el número natural n es igual a 1, suponiendo que G es el conjunto de todas las operaciones elementales (con lineas y con columnas), entonces existen tres formas
canônicas, que son exactamente las matrices simples. En efecto,
como es sabido, las operaciones indicadas corresponden a transformaciones de la forma A 7→ V −1 AU , donde U, V son matrices
inversibles de tamaño apropiado, de forma que toda matriz es
equivalente a una de la forma siguiente.
Em 0
0 0
lo que se traduce en que cualquier matriz se descompone en suma
directa de m matrices simples con s1 = s2 = 1, que forman la
identidad Em , un cierto número de matrices simples con s2 = 0,
formando la matriz de columnas nulas, y un cierto número de
matrices simples con s1 = 0, formando la matriz con filas nulas.
Ejemplo 6. Consideremos ahora el caso en que n = 1 y G es
el conjunto de todas conjugaciones con matrices cuadradas. Es
decir, cada operación elemental de filas es seguida por la misma
17
operación entre columnas. En este caso tenemos transformaciones de la forma A 7→ U −1 AU , U inversible y con el mismo
número de filas y columnas que A, de modo que, si k es algebraicamente cerrado, las formas canónicas son la matriz 1 × 1
con coeficiente 1 y las diversas formas de Jordan


λ 0 ··· 0
 1 λ ··· 0 


 · · ··· · 


 · · · · · · .


 · · ··· · 
0 0 ··· λ
Obervación 5. Como mencionamos en el comienzo de esta sección, pueden ser consideradas también las formas duales de los
problemas matriciales horizontales. Son los problemas matriciales verticales, donde las matrices A son dadas en la forma
de una columna de bloques Ax . Como veremos, los problemas
verticales describen naturalmente las representaciones de posets,
o las categorı́as de subespacios de la forma
(modk, B, HomB (M, ))
(donde B es mod B y M un B-módulo a izquierda. Los problemas matriciales horizontales también describen representaciones
de posets, o las categorı́as de cocientes de la forma
(B, modk, M ⊗B )
.
(2.3) Representaciones matriciales y vectoriales de posets.
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Sea I un poset con n elementos y consideremos el funtor
| |: I → k-mod que asocia a cada x ∈ I un espacio vectorial
unidimensional | x | con una base fijada, vx : | x |= kvx , y que a
cada morfismo x → y (i. e. a cada relación x y) la aplicación
lineal de | x | en | y | que lleva vx en vy .
Entonces, la categorı́a vectorespacial Š(addI, | |) tiene como objetos las ternas (V, ⊕m
i=1 | xi |, α), donde cada xi está en I
y donde α es una aplicación lineal del primer espacio vectorial
en el segundo. Y tiene como morfismos los pares (f, g)
α
V −→ ⊕m
i=1 | xi |
f↓
↓g
α0
tq α0 f = gα
0
V 0 −→ ⊕m
i0 =1 | xi0 |
donde f es simplemente una aplicación lineal y g es la familia de
aplicaciones lineales g = (gi0 i ) en que gi0 i :| xi |→| xi0 | representa
el morfismo de I que lleva vxi en vxi0 , que existe si y sólo si
xi xi0 .
Generalmente se agrupan los sumandos en add I asociando
entre sı́ los que corresponden a un mismo elemento del poset.
Entonces se tienen sumas directas de la forma
M
| x |sx
x∈I
y resulta que, g aparece como una matriz de bloques gyx donde
cada uno es una aplicación lineal del espacio vectorial
(Vx =:| x |sx
(isomorfo a k sx en el espacio vectorial Vy0 =:| y |sy (isomorfo a k sy )
y es diferente de 0 solamente quando x y. También al hacer
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esto tenemos las aplicaciones α, α0 dadas como matrices-columna cuyas componentes son aplicaciones lineales αx : V → Vx , o
αy0 : V 0 → Vy0 .
Definición 8. Una k-representación vectorial de I es una terna
(V, (Vx )x , α) en que α es una aplicación lineal del espacio vectorial V en la suma directa de los espacios vectoriales Vx . Los
morfismos entre dos representaciones de I son pares de aplicaciones lineales (f, g) que satisfacen α0 f = gα, verificandose que
la componente de g que va de Vx en Vy0 es nula toda vez que
y 6 x.
La categorı́a de las k-representaciones de I se denotará por
Notese la alteración de orden en los morfismos: eso
es debido a la conveniencia de usar las representaciones dadas
por I-espacios (ver el capı́tulo 3).
matad
I (k).
Definición 9. Uma representación matricial del poset I sobre
k es una matriz dada por una columna de bloques en la forma
siguiente.


A1
 A2 


 · 

A=
 · ,


 · 
An
de tamaño d × sx+1 , donde d = s1 + s2 + ... + sn y donde los
bloques están asociados a los elementos xi (i = 1, ..., n) de I por
una biyección xi ∈ I 7→ Ai ∈ Msi ×sn+1 .
Esta noción equipara la categorı́a matad
I (k) al problema matricial (matI , G) cuyas matrices son las representaciones matri20
ciales de I y cuyo conjunto de transformaciones, G es definido
por las siguientes operaciones elementales.
• operaciones elementales de las columnas de A
• operaciones elementales de las filas de un bloque Ai , i arbitrario
• suma de una fila de Ai a una fila de Aj , siempre que xj xi
En efecto, estas operaciones traducen exactamente las operaciones gαf −1 cuando (f, g) es un isomorfismo.
Obervación 6. Es inmediato que, en lugar de representaciones
matriciales verticales, como en la última definición, podemos
usar matrices horizontales. Se trata de dos manera equivalentes
de tratar el mismo asunto. La equivalencia de categorı́as se obtiene, en los objetos, pasando de una matriz a su transpuesta y,
en los transformaciones, cambiando operaciones de filas por las
mismas operaciones hechas con columnas, y viceversa.
Para este problema matricial usaremos, si es necesario ser
completamente preciso, la notación (mat0I , G). A este problema
está asociada, evidentemente, la categorı́a de k-representaciones cuyos objetos son las ternas (V, (Vx )x , α) en que α es una
aplicación lineal de la suma directa de los espacios vectoriales
Vx en V , y donde los morfismos son pares (g, f ) que satisfacen
α0 g = f α, etc. En caso de necesidad, denotaremos esta categorı́a
por mat0ad
I (k).
Obviamente, todas estas categorı́as son equivalentes dos a
dos.
De lo que hemos visto resulta inmediatamente la siguiente
proposición, donde I op denota el poset opuesto a I definido en
I por el orden opuesto.
21
Proposición 1.
a) Las categorı́as Š(addI, | |) y matad
I son equivalentes.
b) El funtor
q:
A 7→
k sn+1
k s1
·
·
·
k sn
donde la aplicación ai es la que tiene la matriz Ai con respecto
a las bases naturales, es denso y refleja isomorfismos.
Notación. Denotaremos con indI un conjunto de representantes
de las representaciones indescomponibles de I. Por la proposición
que antecede, indI puede ser también el conjunto de las formas
canónicas del problema matI .
Obervación 7. Representaciones elementales.
Dado un poset I, existen ciertas representaciones indescomponibles que conviene tener siempre presentes.
Si I 0 es discreto con m elementos, la representación (de dimensión total m + 1) formada por bloques 1 × 1 iguales a 1 es
obviamente indescomponible. Como, por otra parte, siempre que
un poset I 0 es subposet de un otro I, las representaciones de I 0
están naturalmente inmersas en la clase de las representaciones
de I, esto hace que esa representación es una de las representaciones indescomponibles de I. En el caso particular m = 1 esta
representación es la representación de dimensión total 2 definida
por el elemento en cuestión que ya consideramos en (2.2).
Las representaciones simples (o sea, las de dimensión total
igual a 1) y las que son definidas por subposets discretos en la
22
forma que acabamos de aclarar serán llamadas de representaciones indescomponibles elementales de I.
(2.4) Tipos de Representación.
Queremos describir detallada y claramente las definiciones
de tipos de representación tame y wild. Para eso comenzamos
con las consideraciones siguientes.
Sea Λ una k-álgebra cualquiera, Λ, y sea M un Λ − k[X]bimódulo, libre de rango m sobre k[X]. Eso significa que M
es de la forma k[X]m , espacio vectorial de dimensión infinita en
que cada elemento de Λ opera por un endomorfismo dado por
una matriz m × m cuyos coeficientes son polinomios de k[X].
Entonces, si Λ es definida por una aljaba atada: Λ = kQ/I,
puede darse a M la forma usual de una representación de (Q, I).
En este caso, queda asociado en cada vértice, i, un k[X]-módulo
libre ei .M , y a cada flecha una matriz rectangular finita con
coeficientes en k[X].
Sea dado ahora un módulo simple sobre k[X] y supongamos que k es algebraicamente cerrado. Consiguientemente, ese
módulo simple es de la forma Sλ =: k[X]/(X − λ), donde λ es
un determinado elemento de k. ¿Cómo podemos interpretar, en
este caso, el producto tensorial M ⊗k[X] Sλ ? Resulta claro que
este se obtiene substituyendo los k[X]-módulos libres asociados
a cada vértice de Q por un k-espacio vectorial con dimensión
igual a su rango, y substituyendo X por λ en cada una de las
aplicaciones lineales asociadas a las flechas. En otras palabras,
los funtores − ⊗ Sλ asocian a cada escalar λ un Λ-módulo de
23
dimensión finita y definen ası́ una famı́lia a un parámetro con
domı́nio de variación k.
Por ejemplo,las representaciones
regulares del álgebra de
→
Kronecker Λ = k ·
· ., tienen la forma siguiente.
→
Em
→
km ·
· km,
→
Jm (λ)
donde Jm (λ) es el bloque de Jordan de rango m y valor propio
λ. Ellas forman una familia a un parámetro que se obtiene en
la forma M ⊗k[X] Sλ , donde M es la representación
Em
→
k[X]m ·
· k[X]m .
→
Jm (X)
Análogamente, sea k < X, Y > el álgebra asociativa libre
con dos generadores X e Y , y sea M un Λ − k < X, Y >bimódulo, libre de rango m sobre k < X, Y >. Si L es un
k < X, Y >-módulo indescomponible de dimensión finita sobre
k, entonces M ⊗k<X,Y > L resultará ser un Λ-módulo finitamente
generado. Generalmente, la acción de X e Y en L es definida por
matrices dependientes de dos variables independientes (que se
pueden seguir denotando por X e Y ) que varian en k. Entonces,
realizando el producto tensorial, M pasa a ser um Λ módulo
finitamente generado dado por una k-representación de (Q, I)
en la cual las matrices asociadas a las flechas dependen de esos
dos parámetros independientes entre sı́.
24
Anotamos una de las definiciones usuales de tipos de representación.
Definición 10. Sea C una k-categorı́a de Krull-Schmidt con objetos de dimensión finita. Entonces, por definición,
• C es de tipo de representación finito si, salvo isomorfismo,
tiene apenas un número finito de objetos indescomponibles.
• C tiene tipo de representación tame (o, decimos, C es tame)
si, para cada dimensión, d, existe un número finito de Λ −
k[X]-bimódulos Mj (libres y de rango finito sobre k[X])
tales que, salvo un número finito, cada Λ módulo indescomponible de dimensión d es de la forma Mi ⊗k[X] Sλ .
• C tiene tipo de representación salvaje (o, decimos, C es
salvaje) si existe un Λ − k < X, Y >-módulo M (libre y de
rango finito sobre k < X, Y >) tal que el funtor M ⊗k<X,Y >
− lleva módulos indescomponibles de dimensión finita en
módulos indescomponibles y lleva módulos no isomorfos en
módulos no isomorfos.
Obervación 8. Un célebre teorema de Drozd afirma que para
toda álgebra Λ, de dimensión finita sobre k algebraicamente cerrado, vale una y sólo una de las tres posibilidades.
La definición precedente se aplica, en particular, a categorı́as de subespacios, o de cocientes, de categorı́as vectorespaciales, bien como a las categorı́as de representaciones de posets
finitos.
Proposición 2. Sea I un poset de ancho menor que 3, es decir
w(I) ≤ 2. Entonces I es de tipo de representación finito y
25
sus representaciones indescomponibles son las representaciones
elementales.
Dem. Inducción en n. Consideremos primero el caso en que I
tiene ancho 1. Sea A una representación indescomponible con
bloques A1 , ..., An de tamaños si × sn+1 . Si los si , (i = 1, ..., n)
son todos nulos, o si sn+1 = 0, resulta obviamente que A es una
representación simple. Si s1 = 0, A viene de una representación
de I \ {1} y A es elemental por la hipótesis de recurrencia.
En el caso contrario, mediante transformaciones elementales en
el primer bloque podemos suponer que la primera linea tiene
la forma 0 0 ... 0 1 y, en seguida, usando operaciones de filas,
anular todos los elementos siguientes en la última columna de
A. Resulta que la representacion elemental determinada por el
subposet discreto I 0 = 1 es sumando directo de A, es decir, es
igual a A.
Supongamos ahora que w(I) = 2 y presentemos I como
unión disjunta de dos subposets disjuntos I1 , I2 de ancho 1 (ver
Lema 3). Podemos suponer tambien que la descomposición fue
hecha de forma que el mı́nimo de I2 no es comparable con el
mı́nimo de I1 . Por otra parte, es fácil ver que el problema se
reduce al caso en que s1 y sn+1 son no nulos.
Operando como antes, podemos suponer que la primera fila
de A es de la forma 0 0 ... 0 1. Aplicando transformaciones de
filas, podemos anular entonces todos los coeficientes que siguen
en la última columna a lo largo de todos los bloques asociados a
I1 . Con relación a los bloques asociados a I2 , es posible que todos, o algunos de ellos, tengan nula esa columna. En la primera
alternativa deducimos, como arriba, que A es la representación
elemental de dimensión total 2 dada por 1 ∈ I. En el segundo
caso, sea l una fila que tiene coeficiente diferente de cero, a,
26
en la última columna. Entonces, o l es de la forma 0 0 ... 0 a, o
tiene algún otro coeficiente no nulo, b, siendo por lo tanto de la
forma 0 ... 0 b 0 ... 0 a. En este último caso, mediante operaciones
de columna, podemos anular a, pudiendo aparecer también un
coeficiente diferente de 0 en la última columna a la altura de
bloques de I1 . Procediendo ası́ con todas las filas que tengan
coeficiente no nulo en la última columna, volvemos, en seguida,
valiéndonos nuevamente de operaciones fila, a anular todos los
elementos de esa última columna, excepto, como máximo, de
uno en A1 y uno de um primer bloque de I2 . Observamos que
en esas filas en que sobrevive un coeficiente no nulo en la última
columna todos los coeficientes restantes son 0. El resultado es
que A tiene como sumando directo la representación elemental definida por el subposet discreto {1, c}, es decir, como A es
indescomponible, es igual a esta representación elemental. Corolario 1. Si I tiene ancho 1, entonces I tiene exactamente
2n+1 representaciones indescomponibles no isomorfas dos a dos
(n + 1 simples y n de dimensión total 2). Si el ancho es 2, ese
número es 2n + m + 1, pues debe agregarse el número, m, de
pares de elementos incomparables.
27
3. I-ESPACIOS E I-REPRESENTACIONES
COMO MÓDULOS
Existen otros tipos de representaciones de un poset I. Son
las categorı́as de los llamados I-espacios y las categorı́as de
módulos sobre el álgebra de incidencia de I.
(3.1) I-espacios.
Definición 11. Un I-espacio es un par M = (M, (Mx )x∈I )
donde M es un k-espacio vectorial y Mx una familia de subespacios de M verificando
x y ⇒ Mx ⊂ My .
La suma (directa) de dos I-espacios: M ⊕ M0 se define naturalmente componente a componente. Los morfismos de M en M0
son, por definición, las aplicaciones lineales f : M → M 0 que
preservan los subespacios.
Con esa definición, como es fácil ver, los I-espacios constituyen una categorı́a de Krull-Schmidt que denotaremos I − sp.
Vemos también con facilidad que I − sp tiene kernels: dado el
morfismo f introducido en la definición, es claro que kerf es el
I-espacio (kerf, (kerf ∩ Mx )x ).
Por otro lado, la categorı́a de I-espacios no siempre tiene
cokernels. Para que eso ocurra es necesario y suficiente que,
para cada x ∈ I, f (Mx ) = Mx0 ∩ f (M ).
28
(3.2) El funtor de reducción.
Veamos que la categorı́a de I-espacios, que parece tanto
más simple que la categorı́a de las representaciones, matad
I (k),
es en verdad suficientemente amplia como para describir todas
éstas.
Eso se realiza mediante el siguiente funtor, H, llamado funtor de reducción.
Definición 12. Definimos
H : matad
I (k) → I − sp
de la manera siguiente. Si V = (V, (Vx )x , α) es una k-representación, H(V) es el I-espacio M, donde
M
(αy )y
M = (M, Mx ), M = V, Mx = ker(V → V
Vy ).
xy
Y, si g = (f, g) es un morfismo de V en V0 , entonces H(g) = f .
Veamos en primer lugar que la famı́lia H(V) es un I-espacio.
En efecto, si x y es claro que Mx ⊂ My , pues el último es resultado de intersectar menos subespacios que el primero.
Veamos ahora que, en efecto, f es un morfismo de I-espacios.
Para tanto, tomemos v en Mx y comprobemos que f (v) ∈ Mx0 .
Decir que f (v) ∈ Mx0 es decir que αz0 (f (v)) = 0, para todo
z sucesor dePx. Eso resulta de la definición de morfismo, pues
αz0 (f (v)) = zt gzt αt (v), que es igual a 0 porque, si t es sucesor
de z, también es sucesor de x.
Obervación 9. En lo que sigue llamaremos de representaciones
simples propias a las representaciones simples de I que tienen
V = 0.
29
Teorema 2.
• 1) H es pleno y denso.
• 2) Para toda representación indescomponible V de I,
H(V) = 0 ⇐⇒ V es una representación simple propia.
• 3) Sea matad
I (k)o , la subcategorı́a aditiva generada por las
indescomponibles que no son simples propias. Entonces, H
induce una r-equivalencia entre
matad
y I − sp,
I (k)o
es decir es denso, pleno y refleja isomorfismos.
• 4) Sea < simples propias > el ideal de matad
I (k) generado
por las representaciones simples propias. Entonces, H induce una equivalencia de categorı́as entre
matad
I (k)/ < simples propias > y I − sp.
Dem. Para demostrar que H es denso definimos la aplicación
sección de H, H− , de I − sp en matad
I (k) de la manera indicada
a continuación. Con las notaciones anteriores, dado el I-espacio
M, H− (M) es la representación V dada por V = M , Vx =
M/Mx , siendo αx la aplicación canónica de V en su cociente Vx .
Observamos que H− no es un funtor.
La densidad del funtor de reducción decorre trivialmente
del fato H(H− (M)) ∼
= M, que pasamos a demostrar.
Es claro que el espacio mayor, M , no se modifica después
de las dos transformaciones. Ahora, un subespacio Mx es llevado primero en el cociente Vx = M/Mx y, después, en el kernel
de la aplicación V → ⊕Vy , donde la suma se extiende a los
y que siguen a x en el orden . Un vector v es anulado por
30
todas esas αy si y sólo si v pertenece a todos los subespacios
My , lo cual ocurre si y sólo si v está en Mx . Esto muestra
exactamente que tampoco los subespacios Mx son alterados por
las dos transformaciones sucesivas.
Veamos ahora que H es pleno. Usando nuestras notaciones,
sea f : V → V 0 un morfismo de I-espacios entre las imágenes por
H de dos I-representaciones. Precisamos definir una aplicación
lineal g de forma que (f, g) sea un morfismo entre dichas Irepresentaciones. Para tanto, precisamos definir, para cada x y, una aplicación
lineal gxy : Vy → Vx de modo que se verifique
P
αy f (v) = yz gyz αz (v).
En el caso de x ser un elemento maximal de I, tenemos
que Mx es simplemente el kernel de αx y tenemos el diagrama
conmutativo siguiente.
0 → Mx ,→ V → Vx
↓
↓f
↓ f¯
0 → Mx0 ,→ V 0 → Vx0
que nos permite definir gxx = f¯.
Luego, suponiendo que las componentes maticiales gxz : Vz →
Vx0 ya fueron definidas para todos los z ∈ y 4 diferentes de y,
definimos gxy utilizando el siguiente diagrama conmutativo.
0 →
Mx
↓
,→ V
↓f
(αz )z
→
L
xz
↓ f¯
(αx0 )
Vz
.
0 → kerαx0 ,→ V 0 →
Vx0
Resulta claramente que, con esa definición de g, tenemos un
morfismo de representaciones de la forma (f, g) como deseábamos.
31
La prueba de 2) es inmediata porque, por su definición, H
anula solemente representaciones V que tienen V = 0.
Veamos que H refleja isomorfismos provenientes de morfismos de matad
I (k)o , o sea que, si f es un isomorfismo, entonces
(f, g) lo es también. Con las notaciones anteriores, debemos
mostrar que si f : Mx → Mx0 es un isomorfismo para todo x,
entonces gxx : Vx → Vx0 también lo es. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la representación V es una indescomponible de matad
I (k)o . Esto implica que cada una de las αx
es sobreyectora. En el caso que x sea un elemento maximal de
I, tenemos entonces que gxx es un isomorfismo (ver el diagrama
arriba que caracteriza gxx en este caso). En seguida, obtenemos
esa misma conclusión para el caso general usando el diagrama
siguiente.
0 → Mx ,→ V
↓
↓f
0 → Mx0 ,→ V 0
(αz )z
→
L
xz
Vz
↓ f¯
(αz0 )z
→
L
xz
.
Vz0
Resulta facilmente que αx0 f = gxx αx y, como es fácil probar que
f lleva kerαx sobre kerαx0 , y viceversa, resulta de ahı́ que gxx es
biyectora. Corolario 2. El funtor Hq de la categorı́a de las representaciones matriciales de I en la categorı́a de los I-espacios (donde
q es el funtor de b) de la proposición 1) induce una correspondencia biunı́voca entre las clases de representaciones indescomponibles (exceptuando las simples propias), y las isoclases de
I-espacios indescomponibles.
Corolario 3. Si I tiene tipo de representación finito, el número
de representaciones indescomponibles de I es igual al número de
32
I-espacios indecomponibles más el número | I | de elementos de
I.
(3.3) I-espacios como módulos de álgebras de incidencia.
En esta sección, I continua denotando un poset con n elementos cuyo conjunto subyacente puede ser identificado a {1, 2, ..., n}.
Introducimos además otros dos posets adjuntando a I un elemento mı́nimo y un elemento máximo, respectivamente.
Sea Io = {0} ∪ I, con el orden que extiende el orden de I y
hace de 0 un elemento mı́nimo. Tomaremos {0, 1, 2, ..., n} como
conjunto subyacente a Io .
Sea I ∗ = I ∪ {∗}, con el orden que extiende el orden de I y
hace de ∗ un elemento máximo. Tomaremos {1, 2, ..., n, n + 1}
como conjunto subyacente a I ∗ , de modo que podemos decir que
∗ = n + 1.
Las álgebras de incidencia de I ∗ e Io , de acuerdo con lo
que vimos en nuestro Ejemplo 3 de la sección (1.2), se obtienen
ampliando el álgebra de incidencia de I como se indica a continuación.




k k · · · k
k
0




· 
 ·



∗



kIo = 
kI
=
kI
·
 ·



kI




·
 ·

0 0 0 0 0 k
0
Analicemos rápidamente, por ejemplo, la categorı́a de módulos a la derecha sobre kI ∗ , denotando los proyectivos indescomponibles, como es usual, por P1 , ..., Pn , P ∗ . En tal caso, el
33
top de Pi será denotado por Si y el de P ∗ =: Pn+1 por S ∗ =:
Sn+1 , y sus respectivas envolventes inyectivas por Qi , Q∗ =:
Qn+1 , respectivamente. En caso de que queramos trabajar con
kIo -módulos, deberemos usar esas mismas notaciones para los
proyectivos, simples, inyectivos (excepto que, en vez de usar el
ı́ndice n + 1 usaremos, en este caso, el ı́ndice 0). Es de esperar
que esta práctica no lleve a ninguna confusión.
El quiver de kI ∗ es formado por el quiver de I al cual se le
agrega un pozo ∗, como indicamos a continuación.
1
2
·
·
·
n
∗
y los kI ∗ -módulos a la derecha son dados por las representaciones de este quiver. Por lo tanto, son dados por sistemas
(Xi ,j φi ) donde Xi es el espacio vectorial situado en el vértice i
y donde, para cada par i j, j φi es una aplicación lineal de Xi
en Xj de tal modo que se verifican las relaciones de transitividad:
t φj j φi =t φi siempre que i j t.
Por ejemplo, Pi tiene el espacio k en cada vértice j tal que
i j, 0 en los otros vértices y la aplicación identidad en cada
flecha que liga dos copias de k.
Observamos que P ∗ es el único proyectivo simple, y que él
es exactamente el socle de cada uno de los otros proyectivos.
Usando la dualidad usual y el poset (I ∗ )op , vemos que el
inyectivo indescomponible Qi tiene el espacio vectorial k en cada
34
vértice j tal que j i, 0 en los otros vértices y la aplicación
identidad en cada flecha que liga dos copias de k.
Definición 13. Por definición, modsp kI ∗ es la subcategorı́a
plena definida por los kI ∗ -módulos a la derecha que tienen socle
proyectivo.
Debe se observar que modsp kI ∗ contiene todos los proyectivos, de modo que es una categorı́a que posee coberturas proyectivas.
Lema 4.
• a) Para todo Pi , socPi = P ∗ .
• b) kI ∗ es l-hereditaria, es decir, todo homomorfismo no
nulo entre proyectivos indescomponibles es un monomorfismo.
• c) Q∗ es el I-espacio siguiente.
k
·
·
·
k
k.
• d) Existe una equivalencia de categorı́as, ρ entre I − sp e
modsp kI ∗ .
• e) Si M es un I-espacio que no tiene sumandos directos proyectivos simples, entonces soc(M)∼
= (P ∗ )sn+1 . (Obs.
Valen las propiedades análogas para el caso del álgebra de
incidencia kIo .)
35
Dem.
a) Sea i 6= ∗ y analicemos la parte de la representación de Pi que
corresponde a la flecha que liga i con ∗. Es inmediato comprobar
que el simple Si no puede ser un submódulo de Pi .
b) Sea f : Pi → Pj un morfismo no nulo. Como su imagen
tendrá P ∗ en el socle, f |P ∗ 6= 0 y, por consiguiente, f es un
monomorfismo.
c) Inmediato.
ρ se define asociando M = (M, (Mi )i ) con la representación
óbvia, que tiene Mi en i, M en ∗ y donde cada j φi es la inclusión de Mi en Mj cada vez que i j. Nuevamente vemos
que P ∗ es el único simple contenido en ρ(M), lo que prueba
que esa representación está en modsp I ∗ . La definición de ρ para
morfismos es la natural: al morfismo f corresponde la familia
((fi )i , f ∗ ), donde f ∗ = f y donde las fi son sus restricciones a
cada Mi . Es claro que ρ es fiel y pleno, pero también es denso.
En efecto, si el kI ∗ -módulo (Yi ,j φi ) tiene socle proyectivo, tenemos que todas las j φi asociadas a un par i j con i 6= j deben
ser inyectivas. Pues, si hubiera un elemento no nulo, vi ∈ Yi ,
en el kernel de j φi , obtendrı́amos que el módulo contiene por
lo menos una copia del simple Si , lo que constituye una contradicción. Por lo tanto, nuestro módulo es isomorfo a ρ(N),
donde N = (Y ∗ ,j φi (Yi )i ).
Obervación 10. En lo que sigue, con base en este teorema,
podremos identificar I − sp con modsp kI ∗ . La categorı́a dual
de I − sp es la categorı́a de los I-cocientes, I − f sp, formada
por los objetos M = (M, (Mi )i ) en que todas las j φi : Mi →
Mj son sobreyectoras. Resulta que esta categorı́a es equivalente
36
exactamente a la subcategorı́a de los kIo módulos cuyo top es
inyectivo.
Definición 14. Llámanse funtores de reflexión a los funtores
5−
5+
I − sp → I − f sp
I − f sp → I − sp.
El primero asocia el I-espacio M = (M, (Mi )i ) con el I-cociente (M, (M/Mi )i ) y el segundo asocia un I-cociente de la forma
(N, (N/Ni )i ) con el I-espacio (N, (Ni )i ).
El lema siguiente es de demostración inmediata.
Lema 5. 5− y 5+ son equivalencia inversas entre sı́.
37
4.
POSETS DE TIPO
SENTACIÓN FINITO
DE
REPRE-
(4.1) El algoritmo de derivación de Nazarova y Roiter.
Lema 6. Sea I un poset. Si w(I) ≥ 4, I tiene tipo de representación infinito.
Dem. Daremos la demostración simple que vale cuando k tiene
infinitos elementos. La demostración general puede verse en el
artı́culo de Dlab y Ringel ([?]).
Dado λ ∈ k consideremos la representación siguiente de un
poset discreto de 4 elementos.
λ | 1 | 1 | 0
1 | 1 | 0 | 1
Un cálculo fácil muestra que todo endomorfismo de esa representación es formado por matrices escalares. A partir de este hecho, vemos que los únicos posets cuyo
tipo de representación (finito o infinito) es aún indeterminado
son los posets de ancho 3. Veremos que de hecho hay posets de
ancho 3 de tipo de representación finito y también los hay de
tipo de representación infinito.
Por ejemplo, si I es un poset discreto de 3 elementos, I
tiene tipo de representación finito. En efecto, su categorı́a de
representaciones es equivalente a la de una aljaba de tipo D4 .
En [?] Nazarova y Roiter diseñaron un algoritmo, llamado
algoritmo de derivación en un elemento maximal, que permite
decidir si un poset dado de ancho 3 es de tipo de representación
finito o no. El algoritmo se describe a continuación.
38
Sea I un poset tal que tiene un elemento maximal c para
el cual se verifica w(I \ c5 ) ≤ 2, condición que es obviamente
satisfecha si w(I) = 3.
Definición 15. Se define el poset derivado de I en c, ∂c I obedeciendo a las determinaciones siguientes. El conjunto ∂c I es
I \ {c} ∪ Sc , donde Sc es un conjunto disjunto de I que admite
una biyección con el conjunto de los subposets discretos de I de
la forma {r, s, c}.
Para facilitar la exposición, denotemos r ∨ s el elemento de
Sc asociado por esa biyección a la terna {r, s, c}. Entonces, el
orden de ∂c I se define extendiendo el orden de I \ {c} por medio
de las condiciones siguientes.
Si t ∈ I \ {c} y {r, s, c} es discreto, escribimos t r ∨ s si
y sólo si t r o t s.
Escribimos r ∨ s t si vale simultáneamente que r t y
s t.
Finalmente, si {r0 , s0 , c} es discreto, escribimos r∨s r0 ∨s0
si cada elemento de {r, s} es que alguno de los elementos r0
o s0 .
Ejemplo 7. Sea I un poset discreto de tres elementos {a, b, c}.
Tenemos, sucesivamente:
I1 = ∂c I = {a, b, a ∨ b}, I2 = ∂a∨b I1 = {a, b}, I3 = ∂b I2 = {a},
I4 = ∂a I3 = ∅
.
39
Ejemplo 8. Sea I el poset
1
3
↑
2
6
↑
5
↑
4
1 es un punto maximal y las ternas discretas que lo contienen son las siguientes.
136 135 134 126 125 124.
Entonces, derivando con respecto a 1 tenemos el siguiente poset.
6 → 2∨6
↑
↑
5 → 2∨5
↑
↑
4 → 2∨4
↑
2
→ 3∨6
↑
→ 3∨5
↑ .
→ 3∨4
↑
→ 3
El teorema principal con relación a este algoritmo (que probaremos siguiendo a Gabriel en [?]), afirma, entre otras cosas,
que el número de indescomponibles de I − sp es igual al número
de indescomponibles de ∂c I más el número de elementos de
∂c I \c5 más 1. Por lo tanto, resulta que para que I tenga tipo de
representación finito es necesario y suficiente que la aplicación
reiterada del algoritmo termine en el conjunto vacı́o.
Vale la pena observar también que el poset derivado depende mucho del elemento maximal elegido. Por ejemplo, en
40
el caso de I del ejemplo anterior, si derivamos con relación al
punto maximal 6, tenemos el poset siguiente.
1∨3
↑ 3
1∨2 ↑
1
2
5
↑
|
4
Derivando ahora con relación a 1 ∨ 3 tenemos el poset siguiente
1∨2
3
↑
2
1
5
↑
4
y, despues, los siguientes posets previa derivación con respecto,
sucesivamente, a 1 ∨ 2, 3 ∨ 5, 3 ∨ 4, 5 ∨ 1, 5, 3 ∨ 1, 2 ∨ 1, 3 ∨ 4, 3, 4 ∨ 1
llegando a un poset discreto de 3 elementos que es de tipo finito.
3∨5
↑
3∨4
3
↑
2
1
5
↑
4
3∨4
1
3
↑
2
5
↑
4
41
5∨1
3
↑
2
5
↑
4
3
↑
2
1
5
↑
4
1
3∨1
↑
3
2∨1
↑
2
1
4
2∨1
3
↑
2
1
4
3∨4
↑
4
↑
2
3
↑
2
4
1
1
4∨1
2
4
1
2 4 1.
42
Obervación 11. El teorema de Kleiner (ver [?]) afirma que un
poset I es de tipo de representación finito si y sólo si no contiene
ningún subposet pleno crı́tico, siendo que los posets crı́ticos de
Kleiner son los siguientes.
• K1
(1,1,1,1)
• K2
(2,2,2)
• K3
(1,3,3)
• K4
(1,2,5)
• K5
(N,4)
donde, con un número, n, indicamos el poset de ancho 1 con n
·
·
elementos, y con N, el poset ↑ ↑ .
·
·
Es interesante observar que al agregar un vértice a los primeros
cuatro, obtenemos respectivamente, aljabas cuyos grafos son los
diagramas de Dynkin D̃4 , Ẽ6 , Ẽ7 y Ẽ8 .
El algoritmo de Nazarova-Roiter permite probar fácilmente que los cinco posets crı́ticos de Kleiner tienen tipo de representación infinito. Por ejemplo, derivando K2 tres veces es
posible obtener como resultado el K1 , que ya sabemos que es de
tipo de representación infinito. Ver (4.4).
Obervación 12. El algoritmo de derivación de Nazarova y Roiter, con respecto a un elemento maximal, se extiende naturalmente al caso de un elemento mimimal, c, tal que w(I \ c4 ) ≤ 2.
El conjunto derivado se denota por c ∂I y es formado por los elementos de I \ {c}) y por elementos nuevos denotados r ∧ s,
43
uno para cada par r, s tal que r, s, c sea discreto. El funtor de
derivación correspondiente es denotado por c ∂. Es claro que
también vale para este caso el análogo del teorema de Gabriel.
(4.2) I-espacios sp-inyectivos
En esta sección, siguiendo a Gabriel, analizamos algunos
otros aspectos de la categorı́a de I-espacios.
Definición 16.
• a) Un morfismo de I-espacios f : M → M0 se dice propio
si, para cada x ∈ I, f (Mx ) = Mx0 ∩ f (M ).
• b) Un monomorfismo propio de I-espacios, f : M → M0 se
llama esencial si, para todo morfismo g, g es un monomorfismo propio si y sólo si gf es un monomorfismo propio.
• c) Un I-espacio, Q es sp-inyectivo si, para todo monomorfismo propio f : M → M0 y para todo morfismo g : M →
Q, existe un morfismo g 0 : M0 → Q tal que g = g 0 f .
• d) Un morfismo de I-espacios u : M → Q es una spenvolvente inyectiva si u es un monomorfismo propio esencial y si Q es sp-inyectivo.
Proposición 3. Dado el poset I, los I-espacios sp-inyectivos
indescomponibles son
• Q∗ , la envolvente inyectiva de P∗ .
• para cada x ∈ I el I-espacio Qx que tiene 0 en los lugares
de x5 y k en los vértices restantes.
44
Además, el I-espacio Q es sp-inyectivo si y sólo si 5− (Q)
es un kIo -módulo inyectivo. Y, finalmente, se tiene que todo
I-espacio M tiene una sp-envolvente inyectiva.
Dem. Es inmediato comprobar que un monomorfismo f de Iespacios es propio si y sólo si 5− f es un monomorfismo. De aquı́
resultan de inmediato las dos últimas afirmaciones. Entonces,
las dos primeras se obtienen simplemente calculando la imagen
por 5+ de los kIo -módulos inyectivos indescomponibles. Proposición 4. Sea I un poset de ancho menor o igual que
2. Entonces, las representaciones indescomponibles de I que
no son simples propias se corresponden biyectivamente con los
I-espacios proyectivos indescomponibles, Px , x ∈ I, más la envolvente inyectiva de P∗ , Q∗ , o, equivalentemente, con los Iespacios sp-inyectivos indescomponibles, Qx , x ∈ I ∪ {∗} y las
sumas Qr + Qs , obtenidas considerando Qr , Qs contenidos en
Q∗ , que corresponden a cada subposet discreto {r, s}.
Dem. Recordemos que las representaciones indescomponibles
que no son simples propias son: las simples, las de dimensión
2 y las de dimensión 3 definidas por cada subposet discreto de
ancho 2. Las afirmaciones resultan fácilmente si calculamos las
imágenes de esas representaciones por el funtor de reducción H.
45
(4.3) El teorema de derivación de Gabriel
En esta sección demostraremos un teorema de Gabriel que
esencialmente consiste en la legitimación del algoritmo de Nazarova y Roiter.
Usaremos las notaciones siguientes.
I es un poset con n elementos
Ic = I \ c5
c es un elemento maximal de I tal que w(Ic ≤ 2)
Ic0 = ∂c I
Jc = Ic0 \ c5
(I − sp)c es la subcategorı́a plena de los I-espacios que no
tienen ningún sumando directo indescomponible M con Mc = 0.
Definición 17. ∂c : I − sp → Ic0 − sp es el funtor que, a cada
I-espacio M, asocia el Ic0 -espacio (Mc , (Mc ∩ Mx )x , (Mc ∩ (Mr +
Ms )r∨s ), y a cada morfismo de I-espacios, f , la restricción de f
al subespacio asociado al elemento c.
Para facilitar la exposición de la demostración del teorema
de Gabriel, definimos también, de manera completamente análoga
el funtor siguiente.
Definición 18. ∂ˆc : I − sp → Ic0 − sp es el funtor que, a cada
I-espacio M, asocia el Ic0 -espacio M, (Mx )x , (Mr + Ms )r∨s ), y es
la identidad en los morfismos.
.
Teorema 3. (Gabriel)
Con las hipótesis y notaciones que preceden, tenemos.
46
• a) ∂c es denso y pleno
• b) La restricción de ∂c a (I − sp)c refleja isomorfismos.
• c) | (ind(I − sp)) |=| (ind(Ic0 − sp)) | + | Ic0 \ c5 | +1.
Dem. Observamos inicialmente que si se restringe el funtor ∂ˆc a
Ic −sp resulta un funtor de esa categorı́a en Jc −sp. Denotaremos
ˆ
esa restricción por ∂ˆc .
ˆ
Afirmación 1. El funtor ∂ˆc define una equivalencia entre Ic −sp
y la categorı́a de los Jc -espacios sp-inyectivos.
Es claro que el funtor es fiel y pleno. Para completar la demostración nos apoyamos en que, por la hipótesis, w(Ic ) ≤ 2, de
modo que los Ic -espacios indescomponibles son los sp-inyectivos
y las sumas de los pares correspondientes a subposets discretos
de ancho 2. Por otro lado, los Jc -espacios sp-inyectivos indescomponibles están enumerados por los elementos de Jc junto
con el inyectivo de dimensión máxima. En otras palabras, ambas
categorı́as tienen el mismo número de objetos indescomponibles
y, por lo tanto, es suficiente comprobar que la imagen por el
funtor de cada indescomponible de Ic − sp es un sp-inyectivo de
Jc − sp.
Consideremos inicialmente un indescomponible proyectivo
Px , x ∈ Ic . El módulo Px tiene el espacio k en todo vértice Y
tal que x y, y el espacio 0 en los demás vértices. Su imagen
por el funtor depende de como es el poset Ic \ x4 . Si este poset
tiene un máximo, s, entonces, como resulta directamente de las
ˆ
definiciones, ∂ˆc (Px ) = Qs . En cambio, si Ic \ x4 tiene dos
elementos maximales r y s, entonces resulta que la imagen es
Qr∨s .
47
Supongamos ahora que el indescomponible es de la forma
Pr + Ps , donde {r, s} es un subposet discreto de Ic . Este espacio
tiene un k en todo lugar que siga a r o a s. Su imagen por el
funtor depende del poset Ic \ (r4 ∪ s4 ). Si este poset tiene un
ˆ
máximo, s0 , se tiene que ∂ˆc (Pr + Ps ) = Qs0 . Si, en cambio, el
poset tiene dos elementos maximales r0 y s0 , entonces la imagen
resulta ser Qr∨s0 .
Finalmente, es claro que la imagen de P∗ es precisamente
Q∗ . Denotemos por |c la restricción de la la categorı́a de Ic0 espacios a la categorı́a de Jc -espacios, es decir, si V es un Ic0 espacio, V|c es la familia de los mismos espacios vectoriales pero
definida solamente para los elementos de Jc .
Lema 7. Sea V un I-espacio de (I − sp)c . Entonces,
∂c V |c ,→ ∂ˆc V |c
es la sp-envolvente inyectiva de ∂c V |c .
Dem. Es claro, por la hipótesis, que ∂c V |c es un Jc -espacio, en
tanto que ∂ˆc V |c es un Jc -espacio sp-inyectivo y, de las definiciones de los funtores, resulta que la inclusión indicada es un
monomorfismo propio. Tenemos entonces que ∂ˆc V |c = W ⊕ W0 ,
donde W es la sp-envolvente inyectiva. Como consecuencia,
V = W ⊕ W 0 y Vc ⊂ W 0 .
Introducimos los I-espacios U y U0 mediante las definiciones siguientes.
48
Ux = Vx ∀x ∈ c5
Uz = Wz ∀z ∈ Ic
U =W
.
0
U =W
0
Ux0 = 0
Uy0 = Wy0
5
∀x ∈ c
∀z ∈ Ic
Tenemos entonces que V = U ⊕ U0 pero, como V estaba en
(I − sp)c , resulta U0 = 0 y W0 = 0. Para probar que el funtor de derivación es denso, definimos
una sección suya, que denotamos por ∂c− . Dado un Ic0 -espacio,
W, sea U una sp-envolvente inyectiva de W |c . Entonces, usando nuestras notaciones usuales, definimos W− por las condiciones siguientes.
W− = U
Wx− = Wx ∀x ∈ c5 .
Wz− = Uz ∀z ∈ Ic
ˆ
Por su definición, U es de la forma ∂ˆc U0 y entonces resulta
fácilmente que ∂c W− ∼
= W. Recordar que, por definición de
sp-envolvente inyectiva, la inclusión de W en U es un monomorfismo propio.
Mostremos ahora que el funtor de derivación, ∂c es pleno.
Como él se anula en los indescomponibles que tienen asociado a c
el espacio 0, podemos suponer que tenemos dado un morfismo f
de ∂c V en ∂c V0 , con V y V0 en (I −sp)c . Usando la propiedad de
las sp-envolventes inyectivas, tenemos el diagrama conmutativo
siguiente.
49
∂c Vc ,→ ∂ˆc V |c
↓ f
↓ g
∂c V0 |c ,→ ∂ˆc V0 |c
que nos lleva al siguiente diagrama conmutativo.
Vc ,→ V
↓ f
↓ g
0
Vc ,→ V 0
de donde deducimos facilmente que ∂c g = f . Ahora, es claro
que, si f era un isomorfismo, entonces necesariamente su restricción a Jc -espacios es un isomorfismo y, por lo tanto, g resulta
ser un isomorfismo. Esto prueba el item b) del teorema.
Finalmente, es claro que el funtor de derivación anula exactamente los indescomponibles V que tienen Vc = 0, que son
exactamente los Ic -espacios indescomponibles. Como sabemos,
el número de estos es exactamente el número de elementos de
Ic0 \ c5 más 1.
Esto termina la demostración del Teorema 3.
(4.4) Aplicación: los posets crı́ticos de Kleiner tienen
tipo de representación infinito.
Recordemos que los posets crı́ticos de Kleiner son los de las
formas (1, 1, 1, 1), (2, 2, 2), (1, 3, 3), (N, 4) y (1, 2, 5).
Ya vimos que (1, 1, 1, 1) tiene tipo de representación infinito
y es interesante comprobar que el algoritmo de Nazarova y Roiter llevarı́a, en este caso, a que (1, 1, 1, 1) tiene tipo de rep50
resentación finito. El hecho es que el algoritmo no puede ser
aplicado porque no se verifica la hipótesis de que w(I \ c5 ) ≤ 2.
El algoritmo de Nazarova y Roiter puede ser aplicado a los
otros cuatro conjuntos crı́ticos de Kleiner, porque todos ellos
tienen ancho 3.
Derivando (2, 2, 2) con relación a un elemento maximal, se
obtiene un poset que contiene un subposet pleno de la forma
(1, 1, 1, 1).
Derivando (1, 3, 3) con relación al elemento maximo de una
de las cadenas de longitud 3 se tiene un poset con un subposet
pleno de tip[o (2, 2, 2).
Derivando (N, 4) con relación al máximo de la cadena de
longitud 4 se tiene un poset que contiene un subposet pleno de
tipo (1, 1, 1, 1).
Derivando (1, 2, 5) con relación al maximo de la cadena de
longitud 5 se obtiene un poset que contiene un subposet pleno
de la forma (N, 4). (4.5) La derivación de Zavadski con relación a un par
conveniente.
Obervación 13. En lo que sigue nos basamos en la exposición
de Simson ([?]). Sin embargo, para simplificar, realizamos varias
alteraciones en las definiciones y en los argumentos pues estamos interesados solamente en la demostración del teorema de
Kleiner. El algoritmo de derivación que presentamos a continuación fue introducido en el artı́culo [?]. Vease también [?]
51
Notación. En lo que sigue denotaremos por Iba el poset siguiente.
Iba = I \ a4 \ b5 .
Definición 19. Diremos que, dados a, b ∈ I, (a, b) es un par
conveniente en I si las condiciones siguientes son verificadas.
1. a 6 b
2. | Iba |≤ 1
3. Si c ∈ Iba , entonces {a, c} y {b, c} son discretos.
Definición 20. Sea (a, b) un par conveniente en I. Se define
0
el poset derivado de I en (a, b), ∂(a,b) I =: I(a,b)
de la manera
siguiente.
El conjunto es
∂(a,b) I = {b5 ∪ a4 ∪ C}
donde o C = ∅, si Iba = ∅, o C = {c− , c+ }, si Iba = {c}.
Y el orden es definido por las condiciones siguientes donde
usamos subı́ndices I, I 0 para individualizar, cuando nos parezca
conveniente, el de I o el de I 0 . Además, se estipula que si,
entre elementos diferentes x, y, existen las dos relaciones x y
y y x, entonces ellos deben ser idenficados en el conjunto
derivado.
Si Iba = ∅,
x I 0 y ⇔ x I y, o x = a, y = b.
Si Iba = {c},
52
ab
a c+
c− b
.
+
4
c t (t ∈ a , c I t)
s c− (s ∈ b5 , s I c)
0
En particular, si b I a, debemos tener a = b en I(a,b)
.
Esta nueva operación de derivación es acompañada también
0
con un algoritmo para asociar I(a,b)
-espacios a I-espacios dados.
Una diferencia importante con relación al caso ya considerado
de derivación con relación a un elemento maximal es que nuestra
nueva aplicación no es un funtor: sólo está definida en los objetos
de la categorı́a.
Definición 21. Sea (a, b) un par conveniente en I. Definimos
0
∂(a,b) : I − sp → I(a,b)
− sp
de la manera siguiente. Dado el I-espacio V, elegimos inicialmente un espacio suplementar, U , de Vb en Va + Vb : Va + Vb =
U ⊕Vb y definimos ∂(a,b) (V) = W por las condiciones siguientes.
W = V /U
Wc− = ((Vb ∩ Vc ) + U )/U
.
Wc+ = (Va + Vc )/U
Wt = (Vt + U )/U
(t ∈ a4 ∪ b5 )
0
Observemos que W es realmente un I(a,b)
-espacio y que, en
el caso de que sea b I a, se tendrá Wa = Wb , como debe ser de
acuerdo con la identificación a = b.
53
Notación. En lo que sigue, si no hay posibilidad de confusiones, simplificaremos la notación escribiendo ∂ en vez de ∂(a,b) .
Teorema Fundamental Supongamos que (a, b) es un par conveniente en I. Entonces valen las proposiciones siguientes.
1. ∂(V ⊕ V0 ) = ∂V ⊕ ∂V0
2. Si V es un I-espacio indescomponible, entonces

V∼
= Pa

o
en (kI ∗ − mod)sp
∂V = 0 ⇔

V∼
= Pa + Pc
3. Si V es un I-espacio indescomponible con ∂V 6= 0, en0
tonces ∂V es un I(a,b)
-espacio indescomponible y ∂ define
una biyección entre estas dos familias de espacios indescomponibles.
0
4. | ind(I − sp) |=| ind(I(a,b)
− sp) | + | Iba | +1
Es fácil ver que
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