modulo_1_mecanica_maestria - Ludifisica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
ENSEÑANZA DE LA FÍSICA: MECÁNICA
MÓDULO #1: MAGNITUDES y UNIDADES
Docente: Diego L. Aristizábal R.
Profesor asociado con tenencia de cargo, adscrito a la Escuela de Física de la
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
2014
Temas




El ISQ y el SI
Sobre el ángulo plano
Análisis dimensional
Cifras significativas
El ISQ y el SI
La teoría de la medida se fundamenta en la física. Lo que se puede medir se denomina magnitud.
Según el VIM (Vocabulario Internacional de Metrología) en su definición 1.1, “Magnitud es una propiedad de
un fenómeno, de un cuerpo o de una sustancia a la cual se puede asignar un número con relación a una
referencia”.
Resumiendo: Magnitud es todo lo que se puede medir. El amor no es una magnitud.
Aunque el VIM no diferencia expresamente entre magnitud y cantidad, es necesario decir que la primera
se refiere a la abstracción del concepto y la segunda a una medida concreto. Ejemplo:


Longitud, es una magnitud,
el largo de la mesa es 4 m, es una cantidad.
EL ISQ (Sistema Internacional de Cantidades -VIM 1.6-), por convención considera 7 las magnitudes
fundamentales o magnitudes base (-V.I.M. 1.4-, magnitudes con las cuales se pueden construir todas las
otras magnitudes, y entre ellas ninguna se puede expresar en función de las otras) y que son: Longitud (L),
Masa (M), Tiempo (T), Corriente Eléctrica (I), Temperatura Termodinámica ( ), Cantidad de Sustancia (N)
e Intensidad Luminosa (J). Cualquier magnitud Q se puede expresar como un producto de potencias de
éstas 7 magnitudes,
dim Q = Lα Mβ Tγ Iδ θρ Nξ J
[1]
Estas son denominadas magnitudes derivadas. A la expresión anterior se le denomina ecuación dimensional
de la magnitud Q o dimensión de la magnitud Q (VIM 1.7).
El ISQ considera que la Mecánica solo necesita tres magnitudes fundamentales: Longitud (L), Masa (M) y
Tiempo (T). Hay otros sistemas de magnitudes (V.I.M 1.3), que utilizan otras magnitudes como
fundamentales; un ejemplo es el sistema técnico (ST), muy empleado en ingeniería en el que las magnitudes
1
fundamentales son: la fuerza (F), la longitud (L) y el tiempo (T). En este caso, cualquier magnitud Q de la
mecánica se puede expresar como un producto de potencias de estas 3 magnitudes,
dim Q = Fα Lβ Tγ
[2]
Hay magnitudes “sin dimensión” (VIM 1.8), las cuales se denominan adimensionales o de dimensión 1, en las
que todos los exponentes de la ecuación dimensional son ceros. Ejemplos: ángulo plano, ángulo sólido, índice
de refracción, número de entidades (número de vueltas, número de oscilaciones, número de moléculas,
número de espiras de una bobina,…), argumentos de funciones trascendentales (funciones trigonométricas,
exponenciales, logaritmos,…)
Las unidades de medida de las magnitudes fundamentales se denominan unidades fundamentales o unidades
base (VIM 1.10). En la Tabla 1 siguiente se ilustran las unidades definidas por el SI (Sistema Internacional
de Unidades, VIM 1.16), como fundamentales.
Tabla 1
Magnitud base
Longitud
Masa
Tiempo
Corriente eléctrica
Temperatura termodinámica
Cantidad de sustancia
Intensidad luminosa
Dimensión
L
M
T
I

N
J
Unidad básica
metro
kilogramo
segundo
ampere
kelvin
mol
candela
Símbolo unidad
m
kg
s
A
K
mol
cd
Unidades derivadas son las unidades de medida correspondientes a las magnitudes derivadas. A
continuación se dan algunos ejemplos correspondientes a SI:
Área: m2
Volumen: m3
Velocidad: m/s=m.s-1
Fuerza: N = kg.m.s-2
Energía: J=N.m= kg.m2.s-2
Potencia: W=J.s-1=kg.m2.s-3
Ejemplo de unidades de magnitudes adimensionales:
El radián: es la unidad de ángulo plano.
rad x m=m
rad/s=s-1
En la Tabla 2 se presentan información sobre las unidades en el SI y las ecuaciones dimensionales en el
ISQ de algunas magnitudes físicas.
2
Tabla 2
NOMBRE DE
LA UNIDAD
MAGNITUD
Área (A)
Volumen (V)
Densidad ()
Velocidad (V)
Aceleración (a)
Fuerza (F)
Peso específico ()
Trabajo (W), Calor (Q), Energía (E)
Torque ()
Potencia (P)
Tensión superficial ()
Presión (P)
Viscosidad ()
Cantidad de movimiento lineal (P)
Cantidad de movimiento angular (L)
Periodo (P)
Frecuencia (f)
Posición angular ()
Velocidad angular ()
Aceleración angular ()
Carga eléctrica (q)
Resistencia eléctrica (R)
Potencial eléctrico, Voltaje (V)
Inducción Magnética (B)
Flujo magnético (B)
Flujo luminoso (L)
Iluminancia (i)
Newton (N)
Joule (J)
Watt (W)
Pascal (Pa)
Hertz (Hz)
Coulomb (C)
Ohmio (Ω)
Voltio (V)
Tesla (T))
Weber (Wb)
Lumen (lm)
Lux (lx)
UNIDAD EN EL SI
m2
m3
Kg.m-3
m.s-1
m.s-2
N=kg.m.s-2
J=N.m=kg.m2.s-2
N.m
W=J.s-1=kg.m2.s-3
N.m-1=kg.s-2
Pa=N.m-2=kg.m-1.s-2
Kg.m.s-1
Kg.m2.s-1
s
Hz=s-1
Rad
Rad.s-1=s-1
Rad.s-2=s-2
C=A.s
Ω=kg.m2.s-3.A-2
V=kg.m2.s-3.A-1
T=kg.s-2.A-1
Kg.m2.s-2.A-1
lm=cd.sr-1=cd
lx=lm.m-2
ECUACIÓN DIMESNIONAL EN
EL ISQ
dim A = L2
dim V = L3
dim  = ML-3
dim V = LT-1
dim a = LT-2
dim F = MLT-2
dim  = ML-2T-2
dim W = dim Q = dim E = ML2T-2
dim  = ML2T-2
dim P = ML2T-3
dim  = MT-2
dim P = ML-1T-2
dim  = L-1MT-1
dim P = MLT-1
dim L = ML2T-1
dim P = T
dim f = T-1
dim  = 1
dim  = T-1
dim  = T-2
dim q = IT
dim R = ML2T-3I-2
dim V = ML2T-3I-1
dim B = M.T-2.I-1
dim B = ML2T-2I-1
dim L = J
dim i=JL-2
Sobre el ángulo plano
¿Qués es 1 radián?
Es un ángulo central cuyo arco correspondiente equivale a 1 radio de la circunferencia. En una
circunferencia caben 6,28… radios es decir el ángulo central correspondiente a una circunferencia equivale
a 6,28… radianes (2) y la longitud lc de la misma es igual a,
lc = 2πR
[3]
3
4
Figura 2
Longitud de arco
La longitud de un arco de circunferencia se calcula así,
l =θR
[4]
En donde el ángulo  es el ángulo central correspondiente al arco y debe medirse en radianes.
Ejemplo 1:
Una rueda se traslada rodando sin deslizar y sin salirse de un plano. Si su radio es igual a 50 cm y da 10
vueltas calcular la distancia recorrida por ésta.
Solución:
En una vuelta recorre la longitud de su circunferencia que se calcula con la ecuación [3],
lc = 6,28 radianes × 0,50 m = 3,14 m
En 10 vueltas recorre una distancia Δs ,
Δs = 10×3,14 m = 31,4 m
Además habrá “recorrido” angularmente,
Δθ = 10×6,28 radianes = 62,8 radianes
Ejemplo 2:
La pista de un CD es una espiral que comienza con un radio interior igual a 25 mm y termina con un radio
exterior igual a 58 mm, Figura 3. El espaciamiento entre vueltas sucesivas de la pista es una constante,
a = 1,6 μm . Estimar la longitud total de la pista.
5
Figura 3
Solución:
Cada a = 1,6 μm hay una espira cuya longitud es 2r. La longitud de la espiral contenida en dr es igual a,
ds =  2πr  n 
en donde n es el número de espiras contenida en dr, Figura 3,
n=
dr
a
Por lo tanto,
 dr 
ds =  2πr   
a 
s
 ds =
0
s=
r
12
2πrdr
a r1
π 2 2
 r2 - r1 
a
Reemplazando, a=1,6x10-6 m, r1= 25x10-3 m y r2=58x10-3 m se obtiene,
s = 5,4 km
El cálculo para un DVD da del orden de 12 km.
Análisis dimensional
Ejemplo 3:
Expresar la ecuaciones dimensionales en el ISQ de las siguientes magnitudes: área A, volumen V, rapidez v,
aceleración a, fuerza F, energía E, potencia P.
6
Solución:
En el ISQ las magnitudes se deben poder expresar en potencias de las 7 magnitudes base: Longitud (L),
Masa (M), Tiempo (T), Corriente Eléctrica (I), Temperatura Termodinámica ( ), Cantidad de Sustancia (N)
e Intensidad Luminosa (J),
dim Q = Lα Mβ Tγ Iδ θρ Nξ J
[1]
En este caso se tiene,
El área se mide en unidades de longitud al cuadrado, por ejemplo, m 2, entonces,
dim  A =L2
El volumen se mide en unidades de longitud al cubo, por ejemplo, m 3, entonces,
dim  V =L3
En su forma más simple la rapidez se calcula como distancia sobre tiempo, entonces,
dim  v  =
L
= LT -1
T
La aceleración es el cambio de velocidad sobre el intervalo de tiempo que gastó en hacerlo, a=
Δv
t
L
dim  Δv 
L
dim  a  =
= T = 2 = LT -2
dim  t 
T T
En su forma más simple F = ma , en donde F es la fuerza, m es masa y
dim  F  = dim  m  dim  a  = M.
a aceleración, entonces,
L
= MLT -2
2
T
La dimensión de energía es la misma dimensión de trabajo W . En su forma más simple el trabajo se calcula
como W = Fd , en donde F es fuerza y d distancia, entonces,
dim  E = dim  W = dim  F dim d  = MLT-2L = ML2T-2
En su forma más simple la potencia se calcula como P =
W
, en done W es el trabajo y t el intervalo de
t
tiempo que se empleó para realzarlo, entonces,
dim  W 
ML2T-2
dim  P  =
=
= ML2T-3
dim  t 
T
Ejemplo 4:
7
Expresar la ecuación dimensional de la masa en el ST
Solución:
En el ST las magnitudes se deben poder expresar en potencias de las 3 magnitudes base: fuerza (F),
longitud (L) y tiempo (T). En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un
producto de potencias de estas 3 magnitudes,
dim Q = Fα Lβ Tγ
[2]
por lo tanto en el caso de la masa m,
dim m = Fα Lβ Tγ
1
en el ISQ las ecuaciones dimensionales de las magnitudes involucradas en la ecuación (1) son,
dim m = M
dim F = MLT 2
dim L = L
dim T = T
Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene,
M =  MLT -2  Lβ T γ
α
M = Mα Lα + β T -2α + γ
Por lo tanto,
α = 1

α + β = 0
-2α + γ = 0

α = 1 ; β = -1 ; γ = 2
dim m = F L1 T2
Ejemplo 5:
Expresar la ecuación dimensional de la energía en el ST
Solución:
En el ST las magnitudes se deben poder expresar en potencias de las 3 magnitudes base: fuerza (F),
longitud (L) y tiempo (T). En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un
producto de potencias de estas 3 magnitudes,
dim Q = Fα Lβ Tγ
[2]
por lo tanto en el caso de la energía E,
1
dim E = Fα Lβ Tγ
en el ISQ las ecuaciones dimensionales de las magnitudes involucradas en la ecuación (1) son,
dim E = ML2T2
dim F = MLT 2
dim L = L
dim T = T
Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene,
ML2T 2 =  MLT-2  Lβ T γ
α
ML2T 2 = M α Lα + β T -2α + γ
Por lo tanto,
α = 1

α + β = 2
-2α + γ = -2

α = 1 ; β = 1; γ = 0
dim E= F L
8
Ejemplo 6:
Suponer que las magnitudes fundamentales de la mecánica son Fuerza (F), masa (M) y longitud (L). Con base
en esto, expresar la ecuación dimensional de la potencia P.
Solución:
En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un producto de potencias de
estas 3 magnitudes,
dim Q = Fα Lβ Mγ
por lo tanto en el caso de la potencia P,
1
dim P = Fα Lβ Mγ
en el ISQ las ecuaciones dimensionales de las magnitudes involucradas en la ecuación (1) son,
dim P = ML2T3
dim F = MLT 2
dim L = L
dim M = M
Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene,
ML2T 3 =  MLT -2  Lβ M γ
α
ML2T 3 = Mα + γ Lα + β T -2α
Por lo tanto,
α + γ = 1

α + β = 2
-2α = -3

3
1
1
α = ; β = ;γ = 2
2
2
3
1
dim P= F 2 L2 M

1
2
Homogeneidad dimensional
Los términos de una ecuación deben cumplir la homogeneidad dimensional. Es decir, dada la ecuación,
9
A + B =C + D + EF
se debe cumplir,
dim(A)=dim(B)=dim(C)=dim(D)=dim(EF)
Ejemplo 7:
Determinar las dimensiones en el ISQ para I y para k en la siguiente ecuación,
2
1  dθ 
1
2
0 Fdx = 2 I  dt  + 2 kV
x
en donde F (Fuerza), velocidad (V) ,

(ángulo plano), x (posición).
Solución:
Como,
dim  F = MLT-2
dim  dx  = L
Entonces,
x

dim   Fdx  = dim  F dim  dx  = MLT -2 .L = ML2T -2
0

Por lo tanto, con base en el teorema de homogeneidad dimensional se concluye que,
 1  dθ 2 
dim  I    = ML2T -2
 2  dt  


(1)
Y
1

dim  kV2  = ML2T-2
2

De (1),
  dθ  2 
dim  I    = ML2 T -2
  dt  


(2)
10
2
 dθ 
dim  I  dim   = ML2T-2
 dt 
dim  I 
1
= ML2T-2
T2
dim  I  = ML2
11
De (2),
dim  kV 2  = ML2T -2
dim  k  dim  V 2  = ML2 T -2
 L2 
dim  k   2  = ML2T -2
T 
dim  k  = M
Ejemplo 8:
Determinar las dimensiones en el ISQ de w y

para que la siguiente ecuación sea dimensionalmente
homogénea.
x = Asen  wt+δ
en donde A (amplitud, su dimensión es longitud) y t (tiempo).
Solución:
Como,
dim  x  = L
Se concluye del teorema de homogeneidad dimensional que,
dim  Asen  wt+δ = L
dim  A = L
Y como
 wt + δ es el argumento de una función trigonométrica es adimensional,
dim  wt+δ = 1
por lo tanto,
dim  wt  = 1
(1)
Y
dim  δ = 1
(2)
12
De (1),
dim  w  dim  t  = 1
dim  w  T  = 1
dim  w  = T1
Como se deducirá con los dos ejemplos siguientes, el principio de homogeneidad dimensional se puede
emplear para “predecir” fórmulas.
Ejemplo 9:
Un experimentador está seguro que el periodo (P) de oscilación de un péndulo simple depende sólo de la
longitud ( l ) y de la aceleración de la gravedad ( g ). Mediante un análisis dimensional mostrar que P cumple,
P=C
l
g
Solución:
Como el periodo depende sólo depende de la longitud
l y de la aceleración de la gravedad g se concluye de
la homogeneidad dimensional que éste es proporcional a l
α
y
gβ , es decir:
P = C l α gβ
en donde C es una constante de proporcionalidad adimensional. Como,
dim  P  = T
dim l  = L
entonces,
dim  g  = L T2
por lo tanto,
dim  P  = dim  l α  dim  g β 
T = Lα .  LT-2 
β
T = Lα+β .T -2β
Concluyéndose,
α + β = 0

-2β = 1
α=
1
1
, β=2
2
obteniéndose,
1
P = C l2 g
P=C

1
2
l
g
Ejemplo 10:
Un sólido moviéndose en el seno de un líquido experimenta una fuerza de resistencia F como consecuencia
del rozamiento, que es proporcional a su rapidez V , siempre que ésta sea pequeña. Esa fuerza podrá
depender además de los parámetros que caracterizan el sistema, que son: la densidad ρ , su viscosidad η y
el radio r del sólido supuesto esférico. Todo lo anterior se expresa diciendo que la fuerza de resistencia
deberá ser de la forma:
F = Cρα ηβ r γ V
siendo C una constante numérica adimensional. Mostrar mediante análisis dimensional que la “fuerza
viscosa F ” no depende de la densidad y que tiene la forma:
F=CηrV
Solución:
Debido a la homogeneidad dimensional,
dim  F  = dim  ρα ηβ r γ V 
Ahora,
13
dim  F  = MLT2
dim ρ = ML-3
dim  r  = L
dim  V = LT1
14
Para deducir la dimensión de viscosidad, se puede consultar sus unidades (en un texto de física o en la
Internet): Pa.s=N.s.m-2. Con base en esta información se deduce que,
dim  η  =  MLT -2   T   L-2  = ML1T -1
Por lo tanto,
dim  F  = dim  ρα ηβ r γ V 
MLT -2 =  ML-3   ML1T -1   L   LT -1 
α
β
γ
MLT -2 = Mα+β L-3α - β + γ + 1T - β - 1
α + β = 1

-3α - β + γ + 1 = 1
 -β -1 = -2

α = 0 , β = 1, γ = 1
F=CηrV
Cifras significativas
Cuando se resuelven ejercicios en ciencias naturales frecuentemente se encuentra con que el resultado de
los cálculos tiene demasiados dígitos. Se tiende a pensar que mientras más dígitos posea la respuesta más
exacto es su resultado. Nada más lejos de la realidad. La exactitud de un resultado tiene que ver
principalmente con los instrumentos que se usan para realizar las mediciones. La razón es sencilla, hay
instrumentos que tienen mayor apreciación que otros. Hay balanzas que pueden medir la masa con un
margen de incertidumbre de ± 0,01 g mientras que otras pueden hacerlo con un margen de ± 0,0001 g. Así
que, el número de dígitos en el resultado no debe indicar más apreciación (es decir, menos incertidumbre)
que lo que realmente permitieron las mediciones que se realizaron.
15
Figura 4
¿Qué son cifras significativas?
Se les llama cifras significativas (también dígitos significativos) al número de todos los dígitos conocidos
reportados en una medida, más el último dígito que es incierto (estimado). Es decir, el número de cifras
significativas se debe interpretar como la seguridad en todas las cifras excepto en la última que se
considera dudosa.
Por ejemplo en la Figura 4 se puede afirmar que el volumen de líquido está entre 41 cm3 y 42 cm3. Se puede
estimar que es 41,3 cm3 o 41,4 cm3. Como se concluye, en una medida el último dígito es estimado y por lo
tanto incierto. La medida de este volumen tiene 3 cifras significativas.
Reglas para determinar el número de cifras significativas
Regla 1
Todos los dígitos distintos de cero son cifras significativas.
Ejemplo 11:
28 235,6 g tiene seis cifras significativas
Regla 2
Los ceros que están entre dos dígitos distintos de cero son cifras significativas.
Ejemplo 12:
2 078,300 6 s tiene ocho cifras significativas.
Regla 3
Los ceros situados a la derecha de la coma y después de un dígito distinto de cero son cifras significativas.
Ejemplo 13:
7,30 g tiene 3 cifras significativas.
Regla 4
Los ceros situados a la izquierda de la primera cifra distinta de cero, no son cifras significativas, solo
indican la posición del punto decimal.
Ejemplo 14:
0,034 5 g tiene tres cifras significativas
Regla 5
Para números enteros, sin decimales, los ceros situados a la derecha del último dígito distinto de cero
pueden o no ser cifras significativas. Si se utiliza las potencias de 10 (notación exponencial) se evita esta
ambigüedad.
Ejemplo 15:
2 300 tiene cuatro cifras significativas. Si por alguna razón se considera que sólo tiene dos cifras
significativas se deberá escribir 2,3x103.
Regla 6
Las potencias de 10 se usan para marcar las cifras significativas.
Ejemplo 16:
2,35x102 tiene tres cifras significativas; 2,4x102 tiene dos cifras significativas.
Regla 7
Números que resultan de contar o constantes definidas, tienen infinitas cifras significativas.
Ejemplo 17:
Se contaron carros. Esa medida tiene infinitas cifras porque es un número exacto
16
Reglas para aplicar en las operaciones
Regla 1
La cantidad de cifras significativas con que debe escribirse el resultado de un producto o un cociente es
igual a la cantidad más pequeña de cifras significativas que tenga cualquiera de los números que se
multiplican o dividen.
Regla 2
Para reportar con el número correcto de cifras significativas el resultado de una SUMA (o una RESTA),
donde los sumandos son resultados de mediciones previas, se redondea el resultado teniendo en cuenta el
sumando que posee la menor cantidad de cifras decimales . Es decir, el resultado debe tener el mismo
número de posiciones decimales que el sumando que tiene menos decimales .
Regla 3
El resultado de operar con las funciones trascendentes, como el seno, la arcotangente, la función
logarítmica, la función exponencial, etc., se escribe con el mismo número de cifras significativas que tenga
el argumento.
Regla 4
Al convertir unidades se debe mantener el número de cifras significativas.
¿Y para qué sirven todas estas reglas?
Ejemplo 18:
Suponer que se tiene que medir la densidad del líquido de la figura 1. Ya se midió el volumen que es 41,3
cm³ (tiene tres cifras significativas). Si al medir la masa del líquido se obtiene de 38,79 g (medida con 4
cifras significativas) la densidad se calcula así:
ρ=
m
38,79 g
g
=
= 0,939 225 181
3
V
41,3 cm
cm3
Se redondea al número menor de cifras significativas que es tres y por lo tanto la densidad es,
ρ = 0,939
g
cm3
Ejemplo 19:
La ley de Snell expresa que si un rayo de luz incide formando un ángulo φ desde un medio de índice de
refracción n hacia un medio de índice de refracción n  , el ángulo φ con el cual se refracta cumple,
17
senφ =
n senφ
n
Sí n=1,33, n’= 1,54,
φ = 30,5o calcular φ .
Solución:
senφ =
1,33  sen  30,5o 
18
1,54
senφ = 0,438 329
φ = 25,997o
Con tres cifras significativas,
φ = 26,0o
Lectura de instrumentos digitales
En la Figura 4 se ilustró la lectura de un instrumento análogo. En el caso de instrumentos digitales la
lectura de la medición se reportará con tantas cifras significativas como las que despliega la pantalla del
instrumento. Por ejemplo en la Figura 5 la lectura de voltaje en este multímetro digital es 189,6 V.
Figura 5
FIN