Espacios uniformemente no cuadrados. Coeficiente de James en espacios de Banach. Estructura normal Introducción En un anterior artículo se comentaron los llamados problemas del milenio de las matemáticas [8], de los que se ha hablado en diversos artículos. Recordemos que son siete problemas matemáticos cuya resolución está premiada por el Clay Mathematics Institute, con la suma de un millón de dólares cada uno. Sólo uno de ellos se ha podido resolver hasta la fecha: La conjetura de Poincaré [9]. Son todavía problemas abiertos: 1. La hipótesis de Riemann, formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann. Por su relación con la distribución de los números primos en el conjunto de los naturales, es uno de los problemas abiertos más importantes en la matemática contemporánea. [10] 2. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer trata sobre un cierto tipo de ecuación que define curvas elípticas sobre los racionales. La conjetura dice que existe una forma sencilla de saber si esas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales. [11] 3. La conjetura de Hodge dice que para variedad algebraicas proyectivas, los ciclos de Hodge son una combinación lineal racional de ciclos algebraicos. [12] 4. La teoría cuántica de Yang-Mills describe partículas con masa positiva que poseen ondas clásicas que viajan a la velocidad de la luz. Este es el salto de masa. El problema es establecer la existencia de la teoría de Yang-Mills y un salto de masa. 5. Decidir si la inclusión entre las clases de complejidad P y NP es estricta. 6. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los líquidos y gases. Si bien éstas fueron formuladas en el siglo XIX, todavía no se conocen todas sus implicaciones, principalmente debido a la no linealidad de las ecuaciones y los múltiples términos acoplados. Hablemos del problema (o la teoría) de Yang-Mills. Las leyes de física cuántica son al mundo de las partículas elementales lo que las leyes de la mecánica clásica de Newton son al mundo macroscópico. Hace casi medio siglo, Yang y Mills descubrieron que la física cuántica revela una relación entre las partículas elementales y las estructuras geométricas de ciertos objetos. Estas descripciones geométricas (teóricas) han sido comprobadas experimentalmente en laboratorio y también obtenidas mediante simulación computacional, pero no existe edificada una teoría matemática que establezca un fundamento para las mismas. En particular, la hipótesis de "abertura de masa", la cual es tomada como cierta por los la mayoría de los físicos y usada en la explicación de la invisibilidad de los "quarks", nunca ha recibido una justificación matemática satisfactoria. Para obtener progreso en este problema se requiere la introducción de nuevas ideas fundamentales que revolucionarían la física y la matemática. El Modelo Estándar de la física de partículas se apoya en la teoría del campo cuántico, sin embargo, aún debe demostrarse que esta teoría satisface al mismo tiempo la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad especial, es decir, que obedezca las leyes de la física que conocemos... Yang-Mills es el nombre que se le da a esta teoría y lo del intervalo (gap) de masa se debe a que se debe demostrar que los gluones tienen masa distinta de cero (ya que se consideraba que tenían carga de color pero no masa) Situemos el contexto matemático de este artículo ya que es muy específico. En matemáticas, un teorema del punto fijo es un resultado sobre si una función f tendrá al menos un punto fijo (un punto x para el que f(x) = x), bajo algunas condiciones generales sobre la función. De todos estos teoremas estudiaremos: Teorema del Punto Fijo de Banach Si en un espacio métrico X completo tenemos una función de X en X contractiva, es decir, tal que existe K<1 tal que para cualesquiera satisface f(x0) = x0. , entonces existe un único punto fijo , es decir, que Aunque el primer teorema métrico del punto fijo fue dado por Stefan Banach en 1922, podemos decir que la Teoría (métrica) del Punto Fijo se inicia en 1965 cuando Browder, Göhde y Kirk prueban la existencia de puntos fijos para aplicaciones no expansivas en espacios de Banach que verifican ciertas propiedades geométricas. A partir de este momento muchos investigadores se preocupan por explotar esta conexión, esencialmente considerando otras propiedades geométricas de los espacios de Banach como la estructura normal, convexidad, suavidad…, que puedan ser aplicadas para probar la existencia de puntos fijos para distintos tipos de operadores lineales y “rebajar” otras propiedades más fuertes. Para medir la estructura normal dábamos coeficientes introducidos por Bynum N(X), BS(X) y WCS(X) [6] o Elisabetta Maluta D(X) [7]. De igual forma, Robert C. James definirá el coeficiente que lleva su nombre. Cuando el coeficiente de James sea menor que 2, los espacios serán uniformemente no cuadrados, estudiados en [4]. Este será objetivo de nuestro artículo. Sepamos que estos espacios son reflexivos y además E. M. Mazcuñan probó en 2003 que tienen la propiedad del punto fijo. [13] 1. Definiciones y resultados previos. Para hacer entendible al lector esta parte tan específica de las matemáticas daremos unas definiciones previas que nos llevará a definir el coeficiente de convexidad, introducido por Goebel, un buen parámetro para la teoría de punto fijo. Así como los espacios con estructura normal tienen propiedades geométricas deseables para los teoremas de punto fijo la convexidad también será un buen catalizador en esta misión. Definición 1.1 (Espacio de Banach) Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado ( , ||·||) sobre un cuerpo, tal que toda sucesión de Cauchy en tiene un límite en éste. Definición 1.2 (Diámetro de un conjunto) Sea X un espacio de Banach y K un subconjunto acotado de X. Definimos el diámetro de K por: Definición 1.3 (Estructura normal) Un subconjunto convexo, acotado K de un espacio de Banach X tiene estructura normal (n.s.) si cualquier subconjunto suyo convexo H con más de un punto, contiene un punto no diametral, es decir, H contiene un punto x 0 tal que Definición 1.4 El módulo de convexidad de Clarkson de un espacio de Banach X es una función: Teorema 2.3 Si el módulo de convexidad de un espacio de Banach en el valor 1 es positivo entonces X tiene estructura normal. Demostración en [4] Definición 2.4 Se define la característica de convexidad de un espacio de Banach X como el número real: Lema 2.5 En un espacio de Banach X se cumple: 2. Coeficiente de James y espacios uniformemente no cuadrados. Los espacios uniformemente no cuadrados fueron introducidos por James en 1964. Ya vimos en un artículo anterior que estos espacios se pueden caracterizar a través de la característica de convexidad. Queda pendiente relacionarlos con la reflexividad del espacio. En este apartado iremos un poco más allá definiendo el coeficiente de James y su relación con los espacios uniformemente no cuadrados. Definamos un coeficiente que nos permite clasificar los espacios de Banach con respecto a su convexidad. Las demostraciones se encuentran en [1] y [12] Definición 2.1 Un espacio de Banach X se dice uniformemente no cuadrado si para cualquier delta mayor que cero, y dos valores x e y del espacio se verifica: Los espacios uniformemente no cuadrados pueden caracterizarse por medio del coeficiente de convexidad. Son aquellos que cuyo coeficiente (de convexidad) es menor que 2. Este será el objetivo central de nuestro artículo. Proposición 2.2 Un espacio de Banach X es uniformemente no cuadrado si y sólo si su característica de convexidad es menor que 2. Recordemos el resultado que da sentido a estos espacios: Proposición 2.3 (Goebel) X espacio de Banach con característica de convexidad menor que 1 entonces X tiene estructura normal (uniforme) y la propiedad del punto fijo. Definición 2.4 El coeficiente de James de un espacio de Banach X está dado por Este coeficiente juega un papel fundamental en la demostración de que un espacio de Banach es uniformemente no cuadrado si y solo su dual lo es. Para realizar la prueba necesitamos la siguiente relación. Lema 2.5 Si X es un espacio de Banach, entonces D) Para dos puntos cualesquiera a y b se verifica: Si tomamos un epsilon mayor que cero tenemos que Por el teorema de Hahn-Banch existen dos valores del dual u y v que verifican Por tanto Así que Para probar la otra desigualdad partiremos de dos valores del dual u y v y Epsilon mayor que cero. Entonces existirán dos valores del espacio x e y tales que Así que De lo anterior se sigue Pasemos a demostrar el principal resultado de nuestro artículo. Proposición 2.6. Sea un espacio de Banach. Son equivalentes: 1. X es uniformemente no cuadrado. 2. El coeficiente de James es menor que 2. 3. El espacio dual de X es uniformemente no cuadrado. Demostración. Sea delta mayor que cero tal que para cualesquiera x e y se cumple que: Entonces Como entonces existe delta mayor que cero tal que el coeficiente de James del espacio es menor que 2 menos delta. Luego, para cualesquiera x e y se cumple que: Como el coeficiente de James del espacio es menor que 2 usando el lema anterior Ahora, como por (2) implica (1) tenemos que el espacio dual es uniformemente no cuadrado Como el dual de X es uniformemente no cuadrado, por (1) implica (2) tenemos que su coeficiente de James del espacio dual es menor que 2. Usando el lema anterior Por último comentar que todo espacio de Banach uniformemente no cuadrado es reflexivo, resultado cuya demostración en [13] sobrepasa el objetivo de este artículo. Bibliografía [1] Rivera, Juan Antonio “Estructura Normal en Espacios de Banach”. Catálogo Fama de la Universidad de Sevilla. [2] Rivera, Juan Antonio “Espacios de Banach y teorema del punto fijo de Banach dentro de las Matemáticas.” publicado el 17/03/2010 en la revista digital “Temas para la educación nº7”. [3] Rivera, Juan Antonio “¿Qué espacios de Banach tienen estructura normal?” publicado el 17/05/2010 en la revista digital “Temas para la educación nº8”. [4] Rivera, Juan Antonio “Módulos de convexidad y estructura normal.” publicado el 17/05/2010 en la revista digital Temas para la educación nº8. [6] Rivera, Juan Antonio “Primeros coeficientes de Estructura Normal en espacios de Banach” publicado el 17/09/2010 en la revista digital Temas para la educación nº10. [7] Rivera, Juan Antonio “Coeficiente D(X) de Estructura Normal en espacios de Banach” publicado el 17/11/2010 en la revista digital Temas para la educación nº11. [8] Rivera, Juan Antonio Relación entre los coeficientes de estructura normal de N(X) y WCS(X) y el módulo de convexidad publicado el 17/05/2013 en la revista digital “Temas para la educación nº24”. [9] Rivera, Juan Antonio Estructura normal uniforme publicado el 18/11/2013 en la revista digital “Temas para la educación nº25”. [10] Rivera, Juan Antonio Relación entre el coeficiente de estructura normal WCS(X) y el módulo de suavidad en espacios de Banach publicado el 18/11/2013 en la revista digital “Temas para la educación nº25”. [11] Rivera, Juan Antonio Teorema de Kirk y estructura normal publicado el //2014 en la revista digital “Temas para la educación nº28”. [12] Rivera, Juan Antonio Espacios de Banach uniformemente no cuadrados. Estructura normal publicado en la revista digital “Temas para la educación nº28”. [13] Robert C. James, “Uniformily non-square Banach spaces” Ann. of Math. 80 (1964), número 2, 542-550-