Conjuntos

Capítulo 1
Conjuntos
1.1 Introducción a los conjuntos y su notación.
La noción de conjunto es una idea básica en la Matemática. Hacer la teoría de conjuntos rigurosamente
es una tarea más compleja de lo que se intenta en este curso. Aceptaremos que todos tenemos una idea
más o menos clara de lo que es un conjunto de «objetos» o de «elementos». Hablaremos por ejemplo
de:
el conjunto de los números enteros,
el conjunto de los números pares,
el conjunto de los puntos de una recta,
el conjunto de las rectas de un plano
el conjunto de . . . (provea usted otros ejemplos).
Desde la escuela básica y la escuela secundaria se ha desarrollado este lenguaje y lo utilizaremos
sin más definiciones.
Los conjuntos usualmente se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas.
Para decir que x es un elemento del conjunto X , escribiremos x X . Para decir que x no está en X ,
escribiremos x X .
2
62
Definición: Si Y y X son dos conjuntos, diremos que X está incluído en
Y si todo elemento de X es también elemento de Y . Esto es, en símbolos:
si x
X entonces x Y . Esta relación se escribe X Y y se lee
X está contenido o incluido en Y , o X es parte de Y , o bien, X es un
subconjunto de Y .
2
2
Definición: Diremos que dos conjuntos Y y X son iguales si X
Y X . En este caso escribiremos X = Y .
Y
y
Aceptaremos que existe un conjunto llamado vacío, que no tiene elemento alguno y lo vamos a denotar
con el símbolo y en ocasiones también se le denota por .
;
Ejemplos
1. El conjunto de las rectas
del plano que pasan por
un punto fijo O, esta contenido en el conjunto de
fg
todas las rectas del plano.
2. El conjunto de todos los
números enteros múltiplos de 4, es un subconjunto del conjunto de los
números pares.
3. La colección de todos los
capítulos de este libro, es
un ejemplo de un conjunto.
8
Conjuntos
1.1.1 Algebra de los Conjuntos
Si A y B son dos conjuntos, se pueden crear nuevos conjuntos a partir de ellos mediante operaciones
elementales.
1. Intersección: La intersección de A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A
y a B , se denota A B , (figura 1.1 ).
En símbolos: A B = x x A y x B }
Si la intersección de dos conjuntos es vacía, A B = , se dice que los conjuntos son disjuntos.
\
\
f j 2
2
\
;
Intersección de dos conjuntos
Figura 1.1
2. La Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que
están en A o en B . Se denota A B , (figura 1.2 ). En símbolos A B = x x A o x B }.
[
[
f j 2
2
Unión de dos conjuntos
Figura 1.2
3. La Diferencia: la diferencia del conjunto A menos el conjunto B es el conjunto formado por
todos los elementos de A que no están en B . Se denota A B . En símbolos A B = x x A
y x B , (figura 1.3 ).
f j 2
62 g
Resta de conjuntos
Figura 1.3
4. Conjunto universal o universo de discurso: Como conjunto universal queremos denotar algún
conjunto E que contenga todos los elementos que deseen considerarse en un problema, discurso
o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. Este conjunto universal se
supone conocido en cada problema y del cual se pueden seleccionar elementos para construir
subconjuntos.
5. Complemento: Digamos que tenemos un conjunto universal E . Cualquier conjunto A que se
E ). La diferencia E A se llamará el complemento
considere será un subconjunto de E (A
de A y se denotará con el símbolo Ac , (E A = Ac ).
1.2 Ejercicios
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1.1.2 Propiedades de las Operaciones con Conjuntos
Estas operaciones con conjuntos gozan de algunas propiedades de fácil comprobación que vamos a
enunciar:
La unión y la intersección son conmutativas
También son asociativas
La unión es distributiva con respecto a la intersección
La intersección es distributiva con respecto a la unión
A[B =B[A y A\B =B\A
(A [ B ) [ C = A [ (B [ C ) y (A \ B ) \ C = A \ (B \ C )
A [ (B \ C ) = (A [ B ) \ (A [ C )
A \ (B [ C ) = (A \ B ) [ (A \ C )
Observación: Como un buen ejercicio de abstracción observamos que las operaciones
[ (unión) y \ (intersección) en los conjuntos, tienen propiedades análogas a las de la suma
(pensada como la unión) y el producto de números naturales (pensado como la intersección). Veamos que, si tenemos números naturales a; b; c; 2 N(=conjunto de los números
naturales), entonces tenemos igualdades como siguen
a +a:bb == bb:a+ a Conmutatividad
a + (a:b (+b:cc)) == ((aa:b+):cb) + c Asociatividad
)
Distributividad del
producto respecto a
la suma
Pero en los conjuntos, la propiedad de la distributividad de la unión con respecto a
la intersección no se traduce bien para los naturales pues, la distributividad de la suma
respecto al producto es, en general falsa, es decir:
a:(b + c) = a:b + a:c
en general
a + b:c 6= (a + b)(a + c)
Ilustre usted con un ejemplo sencillo la posibilidad de la desigualdad anterior para números naturales y diga en cuáles condiciones se podría tener una igualdad.
1.2 Ejercicios
1. En la figura 1.4 se presenta un universo E (rectángulo), subconjuntos A y B y algunos números
que representan la cantidad de elementos en cada porción del diagrama. ¿Cuántos elementos
están en los siguientes conjuntos?
(a)
(b)
(c)
(d)
E
B
Ac
Bc
2. Sean A =
Hallar:
(e)
(f)
(g)
(h)
A[B
A\B
Ac \ B
A \ Bc
fa; b; c; dg; B = fa; b; e; f; gg; C = fb; c; e; hg
(i)
(j)
(k)
(l)
(A \ B )c
(A [ B )c
Ac \ B c
Ac [ B:
y el universo E
= fa; b; c; d; e; f; g; hg.
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Conjuntos
Número de elementos en diversas regiones o
conjuntos
Figura 1.4
(a)
(b)
(c)
(d)
A\C
A[C
A B
Ac
(e)
(f)
(g)
(h)
Ac [ B c
Bc \ C
(A \ B ) B
(B \ C c )c
(i)
B c Ac
(j)
(C B ) A
(k)
C (B A):
3. Suponga que existe un conjunto universal E . ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
A[;=A
A\E =E
A [ Ac = E
A [ Ac = A
A[A=A
4. Si A; B;
(a) Si A
(b) Si A
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
A\A= ;
A[E = E
A\; = ;
(Ac)c = E
(A B )c = B A
(k)
(A [ B ) B = A B
(l)
A \ (A B ) = A [ B
(m)
(A B )c = Ac B c :
C D son conjuntos, demostrar que:
C y B D, entonces A [ B C [ D.
C y B D, entonces A \ B C \ D.
5. Sean A y B conjuntos tales que:
(a)
A [ B = fa; b; c; dg
(b)
A \ B = fa; cg
(c)
A B = fbg
Hallar A y B .
6. Escriba las demostraciones de las propiedades asociativas y distributivas de las operaciones
.
[
7. Sea X un conjunto, A y B subconjuntos de X entonces pruebe que:
(a)
(b)
(c)
(d)
X
X
A
X
(A \ B ) = (X A) [ (X B )
(A [ B ) = (X A) \ (X B )
B = A (A \ B )
(X A) = A
\y