accionamientos: teoría general (ii)

Lazo de Corriente
Accionamientos Eléctricos
Motor C.C. Control en Intensidad
Kb
Lazo Abierto
TL
V(s)
1
ra + L a s
Kt
Lazo de Intensidad
Ωr(s)
1/Jts
Kb
TL
Ri(s)
Ci(s)
1
ra + L a s
Kt
1/Jts
Ωr(s)
Motor C.C. Control en Intensidad
Lazo de Intensidad. Circuito Equivalente
Kb
TL
Ri(s)
1
ra + L as
Ci(s)
Kt
1/Jts
Ωr(s)
Ci(s)
Lazo de Corriente
F.D.T. del Lazo de Corriente
G i (s ) =
1
ra + L as + Ci (s )
Gi ( s ) K tCi ( s ) 1
F.D.T. del conjunto:
Ωr ( s)
K t Ci ( s )
Jts
=
=
[ra + La s + Ci ( s)]J t s + Kt Kb
Ri ( s ) 1 + K bGi ( s ) K t 1
Jts
Motor C.C. Control en Intensidad
Utilizando un compensador P
K t K ip
K t K ip
Ω r ( s)
=
=
2
Ri ( s ) J t La s + (ra + K ip )J t s + K t K b
Cuando las raíces son complejas
ωn =
J t La
r + K ip
KK
s2 + a
s+ t b
La
J t La
ra + K ip
ξ =
2ω n L a
KbKt
La J t
T(s) =JtsΩr (s)
La F.D.T. Del lazo de intensidad resulta de
K t K ip
T ( s)
=
Ri ( s )
s +
2
J t La
ra + K ip
La
K t K ip
Jt s
Kt Kb
s+
J t La
=
s +
2
La
ra + K ip
La
s
Kt Kb
s+
J t La
Motor C.C. Control en Intensidad
n
Si la referencia es una consigna de par
K ip
RT(s)=Kt.Ri(s)
s
T( s )
=
K t Ri ( s )
La
ra + K ip
Kt Kb
La
J t La
K ip


n El error es:
s


L
a
 RT ( s )
E( s ) = RT ( s ) − T ( s ) = 1 −
ra + K ip
Kt Kb 

2
s+
 s + L
J t La 
a


ra
Kt Kb 
2
 s + L s+ J L

a
t a
 RT ( s )
lim ε (t ) = 1
E( s ) = 
t →∞
Kt Kb 
 2 ra + K ip
s+
s + L

J
L
a
t a 

s2 +
s+
Motor C.C. Control en Intensidad
2
Si Kip es grande las raíces son reales. Si además
las raíces son:
Kt Kb
Kt Kb
s1 = −
≅−
J t (ra + K ip )
J t K ip
ra + K ip
K ip
s2 = −
≅−
La
La
 ra + K ip 
KK

 >> t b
J t La
 2 La 
s2 >> s1
y la F.D.T. puede aproximarse
K t K ip
K t K ip
Ω r (s)
J t La
J t La
≅
=
Ri ( s)  ra + K ip 
 

K ip 
K
K
K
K
t
b
t
b
 s +

 s +
 s +
 s +




La 
J t (ra + K ip )  
La 
J t K ip 

Motor C.C. Control en Intensidad
K t K ip
La expresión anterior adopta la forma
K ip
J t La
Kb
Ω r ( s)
=
≅
Ri ( s ) (s + ω e )(s + ω m ) (τ e s + 1)(τ m s + 1)
donde
Kt Kb
Kt Kb
ωm =
=
(
)
J t ra + K ip
J t K ip
τm =
J t (ra + K ip )
Kt Kb
≅
ωe =
J t K ip
τe =
Kt Kb
ra + K ip
La
≅
K ip
La
La
L
≅ a
ra + K ip K ip
Cuando la constante Kip tiende a infinito:
Kt Kip
K
Ω ( s) J L
lim r = t a = t
Kip →∞ R ( s)
Kip
Jt s
i
s
La
Comportamiento ideal
Motor C.C. Control en Intensidad PI
Utilizando un compensador PI la F.D.T. del lazo de intensidad resulta
K
( K ip + ii )J e s
Ω (s)
T( s )
Ci ( s )J e s
s
= r
Jes =
=
[ra + La s + Ci ( s )]J e s + K t K b r + L s + K + K ii  J s + K K
K t Ri ( s ) K t Ri ( s )
a
ip
e
t b
 a
s 
J e K ip s + K ii J e
T( s )
=
K t Ri ( s ) J e La s 2 + ( K ip + ra )J e s + K ii J e + K t K b
También es un sistema de 2º orden
ωn =
K ii J e + K b K t
≅
La J e
K ii
La
ξ =
( ra + K ip ) J e
2 J e L a ( K ii J e + K t K b )
Aproximaciones que son válidas para los valores habituales
≅
K ip
2 L a K ii
Motor C.C. Control en Intensidad PI
La expresión del error es:
J e La s 2 + J e ra s + K t K b
K t Ri ( s )
E( s ) =
2
J e La s + ( K ip + ra )J e s + K ii J e + K t K b
El error permanente resulta:
Kt Kb
1
lim e( t ) =
T=
T
t →∞
K
J
Kii J e + Kt Kb
ii e
+1
Kt K b
Para conseguir un error determinado ε0, Kii debe ser
Kii =
1 − ε0 Kt Kb
ε0
Je
Motor C.C. Control P en Intensidad. Ejemplo
Datos: La=20 mH, ra=2,28Ω, Kt=1,18Nm/A, Kb=1,43 V/(rad/s)
Je= 2000(p/2π)2= 0,0114
ra + K ip
→ K ip = 2ξω n L a − ra
ξ =
KbKt
2ω n L a
ωn =
=13,7 Hz
n
LaJe
ξ = 1 → K ip = 1,161 V / A
Si hacemos: Kip=10.ra=22,8 V/A
s1=-5,931 rad/s
s2=-1248 rad/s
Utilizando expresiones aproximadas
Kt Kb
s1 = −
= −6,5 rad / s
J t K ip
ra + K ip
s2 = −
= −1254 rad / s = −200 Hz
La
Motor C.C. Control PI en Intensidad. Ejemplo
Kii =
Exigimos un error del 5%
1 − ε0 Kt Kb 1 − 0,05 1,18.1,43
=
= 2812
Je
ε0
0,05 0,0114
La frecuencia natural resulta
ωn =
K ii J e + K b K t
=
La J e
2812 .0,0114 + 1,43 .1,18
= 385 rad / s = 61,2 Hz
0,020 .0,0114
( ra + K ip ) J e
ξ=
2 J e La ( K ii J e + K t K b )
ξ =1
K ip =
→
K ip
2 ξ J e La ( K ii J e + K t K b )
=
− ra
Je
→
2 0 ,0114 .0 ,020 ( 2812 .0 ,0114 + 1,18 .1,43 )
− 2 ,28 = 13 ,108 V / A
0 ,0114
Motor C.C. Control en Intensidad. Ejemplos
Kip=10.ra
Kii=0
Kip=100.ra
Kii=0
Motor C.C. Control en Intensidad. Ejemplos
ε=5% ξ=1 Kip=13,11 Kii=2813
ε=5% ξ=5 Kip=169,8 Kii=2813
ε=1% ξ=1 Kip=32,13 Kii=14655
ε=1% ξ=5 Kip=169,8 Kii=14655
Son necesarias ξ>>1 para evitar el sobreimpulso
Motor C.C. Control en Intensidad. Ejemplos
n
Para relaciones de amortiguamiento ξ=5 las raíces
de la ec. característica son respectivamente
r1 = −0 ,101ω 0
r2 = −9 ,899ω 0
valores muy separados entre sí. Para el ejemplo
anterior: r1=6,2 Hz
r2=606 Hz
Motor C.C. Control PI en Intensidad
n
Es evidente que la segunda raiz es de frecuencia
muy elevada y su efecto puede despreciarse. La
F.D.T. puede aproximarse
K ip
K ip
K ii
K
s+
s + ii
La
La
La
La
T( s )
≅
=
+
K
r
K
KK
K t Ri ( s )

K +r 
s 2 + ip a s + ii + t b  s + ip a  s + K ii J e + K t K b 

La
La J e La
(K ip + ra )J e 
La 

n o bien
 K ip

J e K ii
Je

s + 1
(
K ip s + K ii )

K ii J e + K t K b  K ii
K ii J e + K t K b
T( s )

≅
≅
K t Ri ( s )  La
 (K ip + ra )J e
 (K ip + ra )J e




s + 1
s + 1
s + 1
K +r
 K J +K K
 K ii J e + K t K b

t b

 ip a
 ii e
Motor C.C. Control PI en Intensidad
n
Teniendo en cuenta la expresión del error
 K ip

(1 − ε 0 ) s + 1
K ii
(
1 − ε 0 )(τ c s + 1)
T( s )


≅
=
(τ m s + 1)
K t Ri ( s )  (K ip + ra )J e


s + 1
 K ii J e + K t K b

n
Siendo
(K
τc =
+ ra )J e
K ip
K ii
K ip + ra
K ip + ra
K ii J e
τm =
=
= (1 − ε 0 )
K ii J e + K t K b K ii J e + K t K b K ii
K ii
n
ip
Para errores pequeños y amortiguamientos elevados
y se cancelan el polo con el cero
τm ≅ τc
Motor C.C. Control PI en Intensidad
n
En estas condiciones la F.D.T. podría considerarse constante
T( s )
≅ 1 − ε0
K t Ri ( s )
n
De la misma forma la respuesta de velocidad puede
expresarse
Ω r ( s ) 1 − ε 0 (τ c s + 1) 1 − ε 0
≅
≅
K t Ri ( s )
J e s (τ m s + 1)
Jes
n
En nuestro ejemplo:
– para ε0=5% y ξ=500%
– para ε0=1% y ξ=500%
τc=0,060 s
τc=0,01158 s
τm=0,0581 s
τm=0,01162 s
Motor C.C. Control en Intensidad. Resumen
n
Compensador P
– Sólo permite aproximar el comportamiento ideal si se
utilizan constantes muy elevadas
– No mantiene un par permanente
n
Compensador P-I
– No incrementa el orden de la F.D.T.
– Mantiene un par permanente
– El factor integral se ajusta para reducir el error
permanente
– El factor proporcional se ajusta para dar relaciones de
amortiguamiento elevadas y evitar sobreimpulsos.