Una propuesta didáctica para la enseñanza del MAS

investigación educativa
Una propuesta didáctica para la
enseñanza del M.A.S.
por María Cristina Menikheim y Ema Elena Aveleyra
Resumen
En este trabajo se analiza cinemática, dinámica y
energéticamente el movimiento de un sistema masa resorte en el plano vertical. A partir de dicho análisis se
hallan: a) las ecuaciones generales del movimiento y las
ecuaciones paramétricas de la trayectoria, b) el significado de parámetros y variables y, c) las ecuaciones
particulares de la trayectoria para algunos ejemplos.
Se espera que esto logre un aporte interesante como
estrategia de enseñanza, con el objeto de obtener un
aprendizaje significativo en el aula.
Abstract
On this work, a mass-spring in the vertical plane
system it´s been analyzed in a kinematic, dynamic and
energetic way. Starting from such analysis we find: a)
movement´s general equations and parametric
equations of trajectory, b) the meaning of parameters
and variables and c) the particular equations of
trajectory for some samples.
We hope that our proposal will be an interesting
contribution as teaching strategy, looking forward to
obtain a significative apprenticeship at class.
Introducción
El análisis del movimiento armónico simple (M.A.S.) se aborda, en algunos de los textos que comúnmente se
utilizan en las diferentes facultades de ingeniería, con el ejemplo de un sistema masa - resorte que se desplaza en un
plano horizontal sin rozamiento. Este ejemplo resulta muy didáctico para la deducción de las ecuaciones matemáticas a las cuales responde el sistema cinemática y dinámicamente. Por otro lado, desde el punto de vista energético,
es muy sencillo porque no se producen cambios en la energía potencial gravitatoria y la longitud natural del resorte
coincide con la posición de equilibrio. Sin embargo, la experiencia en el aula indica que los alumnos:
•
•
•
se interesan más en el tema cuando se parte del ejemplo concreto y se lleva la experiencia al aula. Así, el
sistema masa - resorte oscilando verticalmente se puede llevar al aula para ejemplificar de modo aproximado
un MAS. Mientras que, en el caso de un sistema masa – resorte en el plano horizontal, es muy difícil reducir
el rozamiento de la superficie y el movimiento que se logra se amortigua rápidamente.
comprenden mejor la elección del modelo físico utilizado cuando se lo compara con el sistema real.
interpretan y aplican mejor el concepto de sistema, si han utilizado diferentes sistemas al resolver situaciones problemáticas.
Modelo utilizado
En la enseñanza de la Física es importante explicitar el modelo teórico, poniendo de manifiesto sus limitaciones
y las herramientas matemáticas que permitirán resolver un determinado problema.
En este caso se trabaja con la cinemática y la dinámica clásica aplicada al punto material. En el modelo de punto material
Las autoras son integrantes del Gabinete de Metodología de Enseñanza del
Departamento de Física, Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires.
Dirección de contacto: [email protected], [email protected]
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el cuerpo tiene masa pero carece de volumen y de forma. Sólo se pone de manifiesto el
movimiento de traslación y no pueden distinguirse dos puntos del cuerpo.
El resorte considerado es de masa despreciable2 y constante elástica k conocida.
Además se mueve dentro de los límites para los cuales se cumple la ley de Hooke.
Planteo dinámico
Se cuelga un resorte de un pivote horizontal y del mismo una masa m. Se acompaña el movimiento con la mano para hacerlo lentamente. El sistema queda en
equilibrio con el resorte estirado una longitud que se denomina X estático.
En función del modelo elegido, se aplica a la masa m la segunda ley de Newton,
se hace un DCL (diagrama de cuerpo libre) y se elige un sistema de referencia
adecuado como muestra la figura 1.
Figura 1
Si a partir de su posición de equilibrio el sistema masa-resorte se estira o se comprime una longitud (x) y se suelta, éste comienza a oscilar. El movimiento se denomina
armónico simple. Su trayectoria es un segmento de recta y el cuerpo oscila alrededor de
la posición de equilibrio (2b) desde la posición A hasta -A 3. En esas condiciones:
•
•
•
el sistema oscila alrededor de su posición de equilibrio.
su velocidad cuando alcanza los extremos de la trayectoria es cero.
se acelera hasta pasar por la posición de equilibrio. Al pasar por esta posición su velocidad es máxima para luego desacelerarse hasta que su velocidad, en el otro extremo de la trayectoria, vuelve a ser nula.
Diagrama del cuerpo libre para la masa m en una posición x cualquiera:
Figura 2
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Por la 2º ley de Newton Ó F = m a
Para este caso:
P – k (xest+ x) = m.a
o
P – k.xest – k.x = m.a.
Según la expresión
P – k.xest = 0
(1)
Reemplazando
- k.x = m.a
(2)
Entonces
a = - k/m. x
(3)
Para un sistema masa - resorte, k y m son constantes. Resulta ser:
a = - cte. x
Las expresiones (2) y (3) indican que la aceleración es opuesta y directamente
proporcional en todo instante a la elongación.
De donde
a + k/m. x = 0
o
x ² + k / m. x = 0
(4)
La expresión (4) es la ecuación general del movimiento. Es la expresión que
caracteriza al MAS4.
Resolución de la ecuación diferencial
a) Una primera solución
Se pretende obtener la solución de esta ecuación buscando una función matemática periódica cuya segunda derivada coincida con la función original cambiada
de signo y multiplicada por una constante. Las funciones que cumplen con este
requerimiento son las funciones trigonométricas (sena, cosa) o funciones
exponenciales complejas (ei α ).
(5)
Como el movimiento es periódico, se puede encontrar una expresión del ángulo
a en radianes, que relaciona el período P de la función solución y el período T del
movimiento armónico simple:
T —————— 2π
t —————— α
α = 2π t / T y como se define w = 2π / T
Con ω la pulsación del movimiento, queda a en función del tiempo:
α= wt
Para generalizar las posibles soluciones se propone
α = w t + α0
La expresión sen (wt + α0 ) es adimensional, varía entre 1 y -1. Por eso, para
que la solución se corresponda con la experiencia, se multiplica por una longitud
que coincida con el máximo apartamiento.
Así, x = A. sen (wt + αo) x = A. cos (wt + αo)
ó x = A. ei(wt + αα) (6)
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En todos estos casos si se deriva dos veces la expresión propuesta se cumple
la igualdad (4) siempre y cuando
w2 = k / m
(7)
b) Solución matemática
Volviendo a la ecuación diferencial (4) x’’ + k/m. x = 0
Para hallar una solución se realiza un cambio de variables.
z = dx / dt = x´
(8)
Sabiendo que x = f(t) entonces dz / dt = (dz / dx). (dx / dt)
(9)
Reemplazando (8) en (9) resulta: x´´ = dz / dt = (dz / dx) . z
(10)
Sustituyendo (10) en (4) (dz / dx). z + k / m. x = 0
Separando variables z. dz = - k / m . x. dx
Integrando - k / m. ∫ x. dx = ∫ z. dz
z2 / 2 = (- k / 2m) x2 + C1
El resultado de esta integración es:
(11)
Para poder encontrar el valor de C1 se impone a la ecuación las condiciones del
movimiento. Se sabe que cuando el cuerpo se encuentra en su máximo apartamiento de la posición de equilibrio x = A. En ese instante z = dx/dt = v = 0
De (11)
0 = (- k / 2m) A2 + C1 ⇒ C1 = k A2 / 2m
Reemplazando (12) en (8) y simplificando
o
z=
(12)
z2 = k / m (A2 - x2)
k / m (A2 - x2 )
(13)
Reemplazando (13) en (8) dx / dt = k / m (A2 - x2)
Separando variables dx / (A2 - x2) =
k / m .dt
Integrando la expresión (14) arc sen (x / A) =
k/m
Luego x = A . sen ( k / m t + C2 )
(14)
t + C2
(15)
A la expresión k/m se la denomina w pulsación o frecuencia angular del
movimiento,
Mientras que a C2 se le llama αo fase inicial del MAS.
La solución del MAS que se obtiene es entonces:
x = A sen (w t + αo)
(16)
Esta expresión, tanto en la solución seno como en la coseno, satisface la ecua-
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ción general del MAS.
Análisis de las soluciones encontradas del MAS
En las expresiones matemáticas (6) y (16), encontradas como soluciones del
MAS, el tiempo t es la variable independiente y x es la variable dependiente. Es
importante notar que en todas las soluciones aparece la posición del punto material referida al equilibrio y no a la longitud natural del resorte. Por esta razón es que
conviene utilizar como origen del sistema de referencia la posición de equilibrio
estático del sistema masa - resorte.
Por otro lado A, w y αo son parámetros5. Pero w es el único parámetro propio
del sistema ya que sólo depende de las características del mismo (la masa y la
constante elástica del resorte). En cambio la amplitud A y la fase inicial α o dependen de acciones externas al sistema (la manera de ponerlo en movimiento y el
instante en el que se comienza a medir el tiempo).
A continuación se plantean algunas variantes para la presentación y discusión
del MAS en el aula.
Primer Ejemplo
Situación problemática:
En un sistema formado por un resorte de constante k y una masa m se
desprende sorpresivamente una masa m1. Encontrar la ecuación del movimiento para este caso.
El sistema está en equilibrio en la posición xest (ver figura 3b). En el instante en
que se desprende la masa m1 el sistema, que se encuentra inicialmente en reposo, acelera con sentido hacia arriba y comienza entonces un MAS. El nuevo
sistema resorte-masa (m - m1) tiene una posición de equilibrio x1 (ver figura 3).
Oscilará entonces alrededor de la posición de equilibrio x1.
Su amplitud es
A = xest - x1
(17)
Figura 3
Si se aplica la segunda ley de Newton al cuerpo para el instante que pasa por la
posición de equilibrio x1 como muestra la figura (3d):
∑F=0
P - P1 - Fel = 0 ⇒ (m -m1) g - k x1 = 0
k. x1 = (m - m1).g
x1 = (m - m1).g / k
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Análogamente en 3b)
xest = m .g / k
Como
A = xest - x1
A = m.g/ k - (m – m1)g/ k
Luego
A = m1 g/ k
Se elige, en este caso, como solución la función coseno porque para t = 0, x = A.
Por (7) para el sistema resorte - masa
(m - m1) w = [k/ (m – m1) ]1/2
Entonces la ecuación para este movimiento es: x = (m1g / k).cos [k /(m -m1)]1/2 .t
Segundo Ejemplo
Situación problemática:
De un resorte de constante k cuelga un cuerpo de masa m1. El sistema se
encuentra en reposo. Se agrega bruscamente otro cuerpo de masa m2 y el
sistema comienza a oscilar. Encontrar la ecuación paramétrica de la trayectoria.
En la figura 4a) se muestra el resorte sin estirar. El resorte con la masa m1 en
equilibrio estático xest en 4b) y el momento en que se agrega la masa m2 en 4c). En
ese instante el sistema resorte - masa (m1 + m2) comienza su movimiento
oscilatorio armónico partiendo desde xest con v0 = 0 para t0 = 0 y con una fuerza
neta hacia abajo. La posición de equilibrio del sistema es x2. En este caso la
amplitud del movimiento es:
Figura 4
En la figura se ha representado el DCL del sistema resorte–masa (m1 + m2)
cuando el sistema pasa por la posición de equilibrio con máxima velocidad 4c).
Planteando la segunda ley de Newton para el equilibrio de fuerzas:
∑F=0
Y según el eje x indicado será
k.x2 = (m1 + m2) .g
P1 + P2 - Fel = 0
⇒ x2 = (m1 + m2 ) g / k
Como A = x2 - xest (ver figura 4) ⇒ A = (m1 + m2) g/ k - m1 g/ k
A = m2 g / k
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Si para t0 = 0 es x0 = - A y se toma como solución x = A. sen (wt + α0 )
-A = A sen α0 ⇒ α0 = - π/2 y
por otro lado w = (k / mT )1/2 o sea w =[ k / ( m1+ m 2 )]1/2
Luego la solución en este caso es
x = (m2 / k). g sen ⎨[ k / ( m1+ m 2 )]1/2 t - π/2 ⎬
Otro modo de expresar el resultado
x = (m2 / k.) g cos ⎨[ k / (m1+ m 2)]1/2 t ⎬
Planteo energético
El sistema masa - resorte es conservativo ya que las únicas interacciones que
se ponen de manifiesto se corresponden con las fuerzas peso y la fuerza elástica del
resorte, por lo tanto la energía mecánica del sistema se conserva para todo instante.
Figura 5
La trayectoria de la masa m está indicada con trazo grueso en la figura entre los
puntos indicados como A y -A.
Cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio tiene velocidad máxima y
cuando pasa por los extremos de la trayectoria posee velocidad nula.7
Para hacer el balance energético se considera como instante inicial cuando la masa
pasa por la posición de equilibrio y como instante final cuando pasa por una
posición cualquiera, por debajo de la misma.
E1 = E2
Epg1 + Epel1 + Ec1 = Epg2 + Epel2 + Ec2
- m g xest + ½ k (xest)2 + ½ m (vmáx)2 = – m g (x+ xest)+ ½ k (xest +x)2 + ½ m v2
Si se desarrolla y simplifica
½ m (vmáx)2 = ½ k x2 + k xest . x - mgx +½ m v2
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