Plasticidad d

2011 – 2do Cuatrimestre
Introducción a la teoría de la
plasticidad - IV
Presión de conformado
•
En conformado plástico de metales, la tensión de conformado o presión
que se ejerce (p) se describe como:
p = σ 0 g ( f ) h (c )
•
con
•
•
σ0
: tensión de flujo plástico, resistencia al flujo del material
para el estado tensional correspondiente (es función de
la deformación, la temperatura, la tasa de deformación, etc.
g(f) una expresión apropiada para la fricción en la interfase
pieza-herramienta,
h(c) función de la geometría (de la pieza y de la herramienta)
no se tratará aquí pues depende de cada proceso en
particular.
Rozamiento en
fluencia plana
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
p = σ 0 g ( f ) h (c )
El otro punto a considerar es la incidencia de la fricción en las interfases,
descripta por la función g(f).
En realidad, siempre existe rozamiento, en algunos casos es indeseable y
en otros se busca específicamente que exista rozamiento.
Para disminuir los efectos del rozamiento se usan lubricantes, funciones:
*reducir la carga de deformación,
*aumentar el límite de deformación antes de la fractura,
*controlar el acabado de las superficies,
*minimizar el deterioro y el desgaste de la herramienta,
*aislar térmicamente la herramienta de la pieza,
*refrigerar la pieza y/o la herramienta.
En particular, en el ensayo de compresión entre placas, la carga suele
aplicarse a incrementos de forma de controlar la lubricación durante el
desarrollo. Típicamente se utilizan como lubricantes hojas de teflon para
deformación en frío y vidrio para deformación en caliente.
Efecto del rozamiento: pieza prismática de
sección rectangular y de espesor constante
(fluencia plana)
• El flujo perpendicular a la
dirección de compresión produce
tensiones de corte (friccionales)
en las superficies de contacto.
• Estas tensiones de corte
superficiales están dirigidas hacia
el centro de la pieza, oponiéndose al flujo del material, la presencia de
fricción causa un desbalance de fuerzas sobre el elemento sombreado en
la dirección x, el cual debe ser compensado por un cambio en la tensión
lateral σx .
Pieza
prismática
•
•
•
En el equilibrio:
2τ xy
dσ x
=−
σ x h − (σ x + dσ x )h − 2τ xy dx = 0 ⇒
dx
h
y(2)
z(3)
Por criterio de Von Mises
sσ1 - σ2 = 2/(3)1/2 σflu = σ0
• Notando que p y σx son tensiones principales y se verifica p = σz
•
s σ 1 - σ 2 = σ 0 = sσ x - p
σ0 (la constante en el criterio de fluencia) es independiente de x,
derivando, resulta
dp dσ x
=
dx
dx

dp − 2τ xy
=
dx
h
x(1)
Pieza prismática
•
•
•
•
Para poder resolverla es necesario
explicitar la ley de rozamiento.
Si se asume fricción deslizante
(τxy = µ.p) entonces
•
Integrando a ambos lados de la ultima igualdad se obtiene:
dp
2µ
dx
=−
p
h
ln p = −
•
2 µ .x
+ ln C
h
Condiciones de contorno en la superficie libre x = a, donde la tensión
lateral es σx = 0 y p = σ0

 2
 2µ
 2µ
σ y exp (a − x) 
p = σ 0 exp
(a − x)  =
3


 h
 h
Pieza prismática
•
Si se adopta el modelo de fricción seca (τ xy= κ = σflu / 3 1/2) donde no
hay movimiento relativo entre la pieza o probeta y la herramienta o
placa de compresión, la ecuación diferencial queda:
dp = −
•
2σ y/ 3
h
dx
=>
 (a − x) 
 (a − x)  2
σ
=
p = σ 0 1 +


y 1 +
h
h
3 



Este modelo de fricción predice una respuesta lineal para la variación
de la presión con la distancia al eje de simetría de la sección
considerada.
Caso de estudio I
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
En la compresión entre placas de una probeta
cilíndrica chata la fricción trata de evitarse
mediante adecuada lubricación. Modelar la
colina de roce para ese caso.
Planteo: en coordenadas cilíndricas.
No hay flujo plano ni de tensiones planas,
no se desarrollará completo.
Hipótesis adicionales:
no se produce abarrilamiento
el espesor del cilindro es suficientemente pequeño como para que la tensión
axial compresiva σz se mantenga constante a través del espesor
• El flujo del metal desde el eje del cilindro “hacia afuera” a medida que es
comprimido conduce a tensiones de corte entre las superficies de contacto
• Las tensiones de corte en la pieza se dirigen hacia el centro del disco
oponiéndose al flujo radial. Estas tensiones de corte originadas en la fricción
conducen a una tensión radial en el material que es cero en los bordes y se
alcanza el máximo en el centro del disco.
Caso de estudio I
•
Considerando una sección circular y en ella una tajada como la que se
muestra en la figura, se plantea (con la notación de la figura) el equilibrio de
fuerzas.
dθ
σ r h.r.dθ − (σ r + dσ r )h(r + dr )dθ − 2σ θ .h.dr. sin
− 2τ .r.dθ .dr = 0
2
• asumiendo que el ángulo θ es pequeño, puede linealizarse la ecuación y con
hipótesis adicionales llegar a la siguiente ecuación diferencial (similar a la
− 2τ
planteada en el caso anterior): dσ r
dr
•
•
•
=
h
La condición de fluencia permite escribir la ecuación anterior en términos
de la presión aplicada. Eligiendo la ley de rozamiento deslizante e
integrando, con adecuadas condiciones de contorno
se llega a la siguiente expresión para la presión de
contacto:
 2µ

p = σ y . exp
(a − r ) 
 h

Caso de estudio II
•
•
•
•
•
Aplicar el concepto de colina de roce al proceso de forjado de una placa de
espesor constante bajo condiciones de fluencia plana. En particular, calcular
la distribución de presiones y la presión máxima en la dirección
correspondiente a 4 in, necesarios para llevar un bloque de plomo (σy =
1000 psi , µ = 0.25) de 1 in x 1 in x 6 in presionado entre placas a un
bloque de 0.25 in x 4 in x 6 in.
Planteo
El forjado es el proceso trabajado de metales por el cual se lleva una pieza
de una geometría dada a la geometría deseada por martillado o compresión.
El efecto de la fricción conteniendo al metal es útil para producir las formas
deseadas con moldes simples, como el caso del ejemplo.
La expresión para la presión de conformado -con el modelo de fricción
deslizante- puede escribirse en función de la relación x/a:
p=
•
2
2 µ .a  x 
 2
 2µ
σ y exp (a − x)  =
σ y exp
1 − 
h  a
3
3

 h
poniendo así de manifiesto que, a medida que esta relación crece, la
resistencia a la deformación compresiva decrece rápidamente.
Caso de estudio II
•
Para la situación del enunciado, considerando fricción deslizante, la presión
máxima resulta:
 2µ
 2.1000
 2.(0.25)

p = ο 0 exp
(2 − 0)  ≅ 63000 psi
exp
(a − x)  =
3
 h

 0.25

•
La distribución de presión en la línea central puede verse en la siguiente
tabla:
•
Si se cambia el modelo de fricción de deslizante a seca (en cuyo caso no se
usa el valor de µ) la presión máxima resulta mucho más baja
2
 (a − x)  2
 (2 − 0) 
σ y 1 +
p=
10001 +
=
 ≅ 10400 psi
h 
0.25 
3
3 

Caso de estudio III
• Aplicación de los conceptos vistos a laminación de chapas.
• Caso particular:
• Se debe laminar en frío una chapa (σy=325MPa) de ancho w=762mm y
espesor inicial h0=38.1mm hasta reducir el espesor en un 30%.
• El sistema de laminación de que se dispone consta de un juego de cilindros de
diámetro D=961.4mm y separación ajustable y soporta un torque máximo T =
22 kN m. Como parte del estudio de factibilidad se hace un ensayo de Watts y
Ford sobre una muestra de la chapa hasta la reducción requerida,
obteniéndose un valor de tensión de flujo plano (tensión equivalente) σ0 =
573MPa.
• Analizar si es factible realizar el proceso
en un sólo paso, asumiendo, además, las
siguientes hipótesis: *la diferencia entre el
espesor inicial y final es pequeña, *no hay
endurecimiento por deformación en la chapa
y *que no hay flexión ni deformación en los
cilindros.
Caso de estudio III
•
•
Planteo:
El proceso de deformar plásticamente
una pieza de metal haciéndola pasar
entre rodillos se llama laminación.
• Caso planteado: un juego de
cilindros para laminación en frío
 En laminado de chapas, se asume que
no hay modificación en el ancho b de
la chapa; esto es, que la compresión
vertical (para reducir el espesor de h0
a hf) se traduce en una elongación en la
dirección de laminación x. Por tanto se trata de un caso de fluencia plana.
Por un punto dado pasan volúmenes iguales de metal en la unidad de tiempo,
si v = dx/dt y -en esa posición- el espesor es h, entonces
b.h0.v0 = b.h.v = b.hf.vf , esto significa que la velocidad vf en la salida debe ser
mayor que la velocidad v0 a la entrada del tren de laminación.
Caso de estudio III
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Como la velocidad crece desde el inicio
hasta el final del contacto entre chapa y
cilindros, debe haber un único punto en
la sección en el que la velocidad del
rodillo es igual a la velocidad de la chapa;
está indicado en la figura con la letra N
y se lo denomina punto neutro.
En cada punto de contacto entre el cilindro y la chapa hay dos fuerzas
actuantes: Pr= Pr(α) la fuerza radial de compresión
y F=F(α) la fuerza tangencial de fricción.
El sentido de la fuerza friccional es opuesta a ambos lados del punto
neutro.
La componente vertical P de Pr se llama carga de laminación y es la
fuerza que los rodillos ejercen sobre el metal.
Caso de estudio III
•
•
•
•
•
Se define presión específica de laminado
p como el cociente entre la carga de
laminación y la proyección horizontal
del área de contacto (expresión que se
simplifica cuando ho<>hf ):
2

(
h0 − h f ) 
P
, con : L p =  R (h0 − h f ) −
p=

b.L p
4


1/ 2
• La siguiente figura muestra un esquema de
• la colina de roce a lo largo del área de
• contacto. El máximo corresponde al punto
• neutro y puede observarse que la
• distribución de presión de laminado ya no
• presenta simetría.
[
]
≡ R (h0 − h f )
1/ 2
= [R.∆h]
1/ 2
Caso de estudio III
•
•
Para que el proceso pueda efectuarse debe superarse una fricción crítica
entre los cilindros y la chapa, de modo que sea posible el ingreso (y el
tránsito) de esta.
El coeficiente de fricción crítico µc surge de comparar las componentes
horizontales de Pr y de F para el máximo valor del ángulo de contacto α.
Para que la chapa pueda ingresar a la garganta del tren, la componente
horizontal de la fuerza de fricción debe ser mayor o igual que la que la
componente horizontal de la fuerza normal. La condición límite se expresa
como:
F senα
F . cos α = Pr ..senα ⇒
=
= tgα
cos α
• si se adopta el modelo de fricción deslizante: F = µ .P ⇒ µ = tgα
r
•
Pr
En este caso la fricción es necesaria. Como esta depende fuertemente del
ángulo de contacto, cuando la geometría no provee la condición suficiente,
se utilizan rodillos acanalados para aumentar el valor efectivo de µ.
Caso de estudio III
•
En un análisis simplificado la presión se escribirá, asumiendo fluencia
plana y despreciando el rozamiento, de esta forma (MAL FORMULA):
P
P
2
σy
=
= σ0 =
p=
b.L p b.L p R.∆h
3
•
Para incluir el rozamiento, conviene introducir la presión media de
deformación pm , definida como
•
µ .L p
eQ − 1 2
eQ − 1
=
,.con : ..Q =
σ0
pm = p
Q
Q
(h0 + h) / 2
3
donde µ es un valor conveniente (constante) para el coeficiente de
fricción. En realidad, la fricción varía punto a punto en la superficie de
contacto, de modo que la expresión anterior es una simplificación
importante
Caso de estudio III
• Para el caso de estudio propuesto hay que calcular:
• a) el torque necesario sin considerar fricción.
• b) el torque necesario considerando un coeficiente de
•
fricción constante µ = 0.3
• c) coeficiente de fricción crítico asumiendo el modelo
•
de fricción deslizante.
• Los cálculos requeridos son los siguientes:
• a) el torque necesario, si se desprecia el efecto del rozamiento será:
•
T = P.R = (p.w.Lp).R = 1.155.σequiv .w.(R 0.3 h0).R = 17.128kN.m
• b) La carga corregida por fricción es Pcorregida = P . e Q − 1
•
Q
• Reemplazando los valores del enunciado en la expresión de Q, resulta
• Q = 0.68, luego e Q − 1 = 1.432 , de donde Tcorregida = T 1.432 = 24.53 kN m
.
Q
Caso de estudio III
•
De
F.cos αmax ≥ P sen αmax resulta
µ critico = tgα max
•
Lp
0.3.h0
=
=
= 0.156
R. − (h − h0 ) / 2 R. − 0.3h0 / 2
Se observa que el torque necesario, considerando fricción es
aproximadamente un 40% mayor que el calculado despreciando el
rozamiento y que el coeficiente de fricción usado en la parte b) (que
seguramente resulta de consideraciones empíricas) es aceptable ya que
supera al coeficiente de fricción crítico calculado en c).