PROBLEMA 9

PROBLEMA 9
En la época en que se construyo el dique de la figura
no había limo tras él. Mas tarde se acumulo limo hasta
una altura d = 2.25 m.
Sabiendo que la altura total es h = 6 m y que el limo 6 m
es equivalente a un líquido de densidad ρ = 1.850
3
Agua
2,25 m
Limo
g/cm , hallar:
a) La presión en el fondo del embalse.
b) El módulo de la fuerza resultante sobre el dique.
c) El punto de aplicación de dicha fuerza
SOLUCIÓN
a)
b
0
ha =3.75 m ρ a
1
hp=2.25 m ρ p
2
P1 =P0 + ρ a gha
P2 = P1 + ρ pghp
3
P2= P0 + ρ a gha + ρ pghp = P0+10 9.81 3.75 + 1850 9.21 2.25 = P0 + 77622 Kg/m2 =
1.013.105 + 0.77622 105 = 1.784 105 Pascales
Presión absoluta = 1.784.105 Pascales=1.766 Atmósferas
Presión manométrica = P2 - P0= 0.776.105 Atmósferas
b,c) Estos apartados se pueden realizar de dos formas; una suponiendo que tenemos
agua en las 3.75 primeros metros y después el limo con una densidad diferente, tal como
ocurre en realidad, y otra suponiendo que tenemos agua en todo el embalse, y que una
contribución suplementaria de densidad ρ = (ρlimo-ρ agua) en los últimos 2.25 m
Método1
Primero calculemos como varía la presión con la profundidad en los dos tramos
diferentes: (Solo calculamos el incremento de la presión respecto a la atmosférica)
h1 = 3.75 m
z1 F1
z2 F2
A
x
h2 = 2.25 m
P = ρ g h1=103 9.81 h1
PA = ρ g (3.75) =36.79 103 Pascales
P = PA + ρ g h2 = 36.79 103 + 1.25 103 9.81 h2
dx
dF
Una vez determinada la presión, la fuerza será la integral de
P darea = P l dx
P
1m
Estamos suponiendo que la longitud de la presa es de 1 m, por lo que estamos
calculando la fuerza por unidad de longitud.
F1 = ∫03.75P l dx = ∫0 3.75ρ g x l dx = ρ g l [x2/2]03.75 = 103 9.81 1 (3.752/2) = 68977 N
En el tramo con limo
F2 = ∫02.25P l dx = ∫0 2,25(PA + ρgx) l dx = PAl [x]02.25 + ρg l [x2/2]02.25 =
36.79 103 + 2.25 + 1.25 10 3 9.81 1 (2.252/2) = 128716 N
Resultante = F1+F2 =197.64 KN
En segundo lugar calculamos los puntos de aplicación de F 1 y F2 por separado
En el caso de F1, vimos en teoría que el punto de aplicación se encuentra a 1/3 de altura
de la base, por lo que respecto a la base del dique, se encuentra a
Z1 = 2.25 + (1/3) 3.75 = 3.50 m
En el caso de F2 debemos de aplicar la ecuación de que la suma de los momentos sea
igual al momento de F2
Z2.F2= ∫0 2.25[36.79 103 +1.815 104.(2.25-y)] y dy = ∫0 2.25(77627 y-18150 y2) dy =
= 196493 - 68913 = 127580 Nm
Z2= 127580 / 128716 = 0.991 m
Hemos reducido todo el sistema a dos fuerzas y dos puntos de aplicación.
Finalmente el punto de aplicación de la resultante estará en un punto Z tal que
Z.R = Z1.F1 + Z2.F2
Z =3.50 68476 + 0.991 128716 / 197687 = 1.867 m
Método 2
Suponer que está llena completamente de agua y que tenemos una contribución
adicional en la parte inferior
densidad = 103
agua
__
limo
=
+
(agua)
densidad = 0.85 103
(limo-agua)
En el caso del agua, si llamamos F1 a la resultante, la ecuación es la misma del apartado
anterior:
F1 = ∫0 6 ρ.l.dx = ρ.g.l.[x2/2]06 = 103 9.81 l [x2/2]06 = 176580 N
Para el limo-agua:
F2 = ρ g l [x2/2]02.25 = 0.85 9.81 l [x2/2]02.25 = 21107 N
La Resultante será:
R = F1 + F2 = 197687 N
Ademas sabemos que le punto de aplicación de:
F1 está a 1/3 h1 = 1/3 l = 2 m
F2 está a 1/3 h2 = 1/3 2.25 = 0.75 m
Finalmente, el punto de aplicación de la resultante estará en un pto z tal que
Z R = Z1 F1 + Z2 F2
Z = 2 176580 + 0.75 21107 / 197627 = 1.867 m