MATERIAL PARA EL ALUMNO

CÁLCULO DIFERENCIAL
1.1 LA RECTA NUMÉRICA
1.1 La recta numérica.
1.2 Los números reales.
1.3 Propiedades de los números reales.
1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.
1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una
incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita.
1.6 Valor absoluto y sus propiedades.
1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.
A. DEFINICIÓN:
Es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos
especialmente marcados que están separados uniformemente.
Es una línea en la que se muestran los números enteros como puntos marcados y separados uniformemente,
está dividida en 2 partes por el origen que es cero, a la derecha están los números positivos y a la izquierda
los números negativos.
B. REPRESENTACIÓN:
C. APLICACIÓN:
Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica.
1.
2.
3.
De esta manera, podemos determinar si un numeral es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en
la recta numérica.
Para señalar el número de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos números negativos para las plantas que
están por debajo de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas.
Para medir altitudes. Se considera 0 el nivel del mar, los niveles por encima del mar se pueden expresar por números
enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar por números enteros negativos.
Para medir temperaturas. El termómetro mide la temperatura en grados. Cuando el termómetro marca 0 grados el agua
se congela
1.2 LOS NÚMEROS REALES
A. DEFINICIÓN:
Es la unión de los números racionales e irracionales.
B. CLASIFICACIÓN:
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
1
CÁLCULO DIFERENCIAL

Números naturales (N): Es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... Que se
pueden usar para contar elementos o cosas.
N= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..}

Números enteros (Z): Cuando se necesita restar, se obtienen a partir de los
naturales añadiendo los opuestos para la operación de suma.
Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..}

Números racionales (Q) (fraccionarios, o quebrados): Cuando un numero se
puede escribir en forma fracción. Los racionales se obtienen a partir de los
enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
Q= {... 1/2, 5/3, 8/10,
238476/98745, 4.1515......}

Números irracionales (I): No pueden representarse en forma fraccionaria. Se
caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón
repetitivo.
C. REPRESENTACIÓN:
De esta manera hemos completado la recta numérica, asociando a cada
punto de ella un número real.
D. APLICACIÓN:
Los números reales pueden representar cualquier medida tal como:

El precio de un producto, La altitud (positiva o negativa) de un lugar geográfico, La demasiada de un átomo o la
distancia de la más lejana de las galaxias.
Por ejemplo:

En economía, En informática, En matemáticas, En física, En ingeniería.
1.3 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES (PROPIEDADES DE ORDEN)
A. DEFINICIÓN:
1.3.1.

TRICOTOMÍA
Es una división en tres partes. Es una propiedad de vital importancia para la matemática. Para dos números reales
cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
1
CÁLCULO DIFERENCIAL
1.3.2.

TRANSITIVIDAD
Relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando siempre un elemento se relaciona con otro y esteúltimo
con un tercero.
Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.
Si
y
entonces
Si
y
entonces
Si
y
entonces
1.3.3 DENSIDAD


Asimismo la recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre es posible encontrar otro
comprendido entre los números dados. Esta propiedad es característica de los números racionales y se denomina
Densidad.
Los números racionales e irracionales son densos en la recta real, ya que todo número tiene vecinos racionales e
irracionales cercanos a él. Ejemplo: √2=1,1.4,1.41,1.412…….
1.3.4 AXIOMA DEL SUPREMO
Todo conjunto no vacío y acotado superiormenteposee un supremo.
1.4 INTERVALOS Y SU REPRESENTACION MEDIANTE DESIGUALDADES.
A. DEFINICIÓN:
DESIGUALDADES: Resolver una desigualdad es
encontrar el conjunto de todos los números reales que hace
que sea verdadera.
Intervalo Abierto
Nombre
Símbolo
(a,b)
Intervalo cerrados
[a,b]
Definición
Representación grafica
(a,b]
Intervalos Semiabiertos
[a,b)
(a,∞)
IntervalosInfinitos
[a,∞)
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
1
CÁLCULO DIFERENCIAL
1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCOGNITA Y DESIGUALDADES CUADRATICAS CON UNA INCOGNITA.
A.
DEFINICIÓN DESIGUALDAD DE PRIMER GRADO.
Es todo enunciado abierto que tiene el signo > ó<, con una sola variable y con exponente 1.
ax+b>c ó ax+ b < c
B.
DEFINICIÓN DESIGUALDAD DE PRIMER GRADO.
Una inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier desigualdad que, directamente o mediante
transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las formas siguientes:
ax2+bx+c<0
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c ≥0
ax2+bx+c ≤ 0
PROBLEMAS PARA RESOLVER:
1.
3𝑥 < 15
2.
3𝑥 − 9 < 6
3.
5𝑥 − 9 ≤ 2𝑥 + 18
4.
3𝑥 + 6 > 2𝑥 + 12
5.
5(𝑥 − 5) + 2 < 7
6.
4𝑥 − 8 > 3𝑥 − 14
7.
10𝑥 + 24 < 16𝑥 + 12
8.
8.
5 ( + 2) + 4 ( + 3) > 20 + 𝑥
𝑥
𝑥
5
4
UNIDAD 1
2𝑥 − 1 𝑥 − 3 1
−
>
9
4
4
9.
NÚMEROS REALES
1
CÁLCULO DIFERENCIAL
3𝑥 1 2𝑥 1
+ <
−
4 2
3 4
9.
10. 5 − [2𝑥 + (𝑥 + 2)] < 4
6 + 3(𝑥 + 1) > 7 + 4(𝑥 − 1)
1
1
1
2
3
4
11. 2 (𝑥 + ) + 3(𝑥 + ) > 4(𝑥 + )
1. 4 < 3𝑥 − 2 ≤ 10
1
3. −3 ≤ 3𝑥 + 1 ≤ 1/2
UNIDAD 1
12.
2𝑥 + 1 5𝑥 − 5
>
2𝑥 − 1 5𝑥 + 6
2. −5 ≤ 2𝑥 + 6 < 4
4. −5 ≤ 2𝑥 + 1/3 ≤ 1/5
NÚMEROS REALES
1
CÁLCULO DIFERENCIAL
5. 2 + 3𝑥 < 5𝑥 + 1 < 16
6. 2𝑥 − 4 ≤ 6 − 7𝑥 ≤ 3𝑥 + 6
7. −3 < 1 − 6𝑥 ≤ 4
8. −3 < 4𝑥 − 9 < 11
1. 𝑥 2 − 𝑥 < 6
2. 3𝑥 2 − 𝑥 − 2 > 0
3. 𝑥 2 − 7𝑥 + 10 > 0
4. 3𝑥 2 + 26𝑥 − 9 ≥ 0
5. 2𝑥 2 + 5𝑥 ≥ 3
6. 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 > 0
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
1
2
7. 𝑥 − 𝑥 − 2 > 0
CÁLCULO DIFERENCIAL
8. 2𝑥 2 + 2𝑥 − (𝑥 2 + 𝑥 + 6) > 0
1.6. VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES
Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero
entre barras. El valor absoluto está relacionado con las nociones de:



Magnitud
Distancia
Matematicos y físicos
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:
Nota: Estos casos solamente los
podrás utilizar si el valor de “b”
es un número natural positivo.
1.7. RESOLUCION DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO.
1. |3𝑥 + 2| ≥ 5
UNIDAD 1
2. |𝑥 − 5| < 4
NÚMEROS REALES
1
CÁLCULO DIFERENCIAL
3. |2𝑥 − 7| > 3
4. | 2+𝑥 | ≤ 1
5. |𝑥 + 4| ≤ |2𝑥 − 6|
6. |𝑥 + 3| < 8
7. |𝑥 − 6| < 4
8. |2𝑥 − 5| ≥ 3
3−2𝑥
9. |
|<4
2+𝑥
UNIDAD 1
3−2𝑥
10. |𝑥 − 2| ≤ 1/5
NÚMEROS REALES
1