matematica 9

INSTITUCIÓN EDUCATIVA
EMILIANO GARCÍA
Girardota –Antioquia
e-mail [email protected]
1. Área MATEMÀTICAS
Grado: Noveno
Educador: Mauricio Salazar Periodo: 4
Eje temático: Función Lineal y cuadrática
Tiempo estimado: 9 semanas
2.
ESTANDAR
Identificar
relaciones entre
propiedades de las
gráficas y
propiedades de las
ecuaciones
algebraicas.
Analizar en
representaciones
gráficas
cartesianas los
comportamientos
de
cambio de
funciones
polinómicas,
racionales
y
exponenciales.
NÚCLEO
Funciones Lineales
y Cuadráticas
LOGRO
Halla la ecuación
de una función
lineal a partir de
dos puntos.
INDICADOR
Calcula la
pendiente y los
interceptos de una
función lineal.
Funciones
Grafica funciones
lineales y
cuadráticas a partir
de su expresión
algebraica.
Obtiene los
interceptos y el
vértice de una
función cuadrática.
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3.PRESENTACIÓN
Ahora vamos a iniciar el estudio (repaso) de las funciones lineales y
cuadráticas.
Actividad 1.- Camino del cole.
Fernando, Herminia, Maruja y Yolanda, viven en una urbanización cercana a Bello.
Cuando van al Colegio, suelen hacerlo en bicicleta.
La primera clase empieza a las ocho y cuarto, lo cual significa que deben salir de casa
alrededor de las siete y media. Porque llegar tarde ...
La distancia de la urbanización al colegio es de (casi) 10 km.
Las cuatro gráficas que vienen a continuación muestran cómo las cosas son distintas para
cada uno de ellos cuando van al colegio.
A.-
YOLANDA
Yo siempre salgo con calma. Porque, yo me digo, a esas horas de la mañana no te
puedes precipitar... Ya en el camino empiezo a pedalear más de prisa, porque no me
gusta llegar tarde.
FERNANDO
Esta mañana con la motocicleta al cole "vaya". Bien rápido. Pero por el camino: Ploff,
ploff. ¡Sin gasolina! Yo, ¡hasta la coronilla! Motocicleta de la mano y andando el resto.
Llegué por los pelos...
HERMINIA
Acababa de salir de casa, cuando me di cuenta que hoy tenemos gimnasia. Y me había
olvidado el uniforme y los tenis. Qué tonta ¿verdad? Otra vez a casa para buscarlos.
Después tuve que pedalear muy de prisa para llegar a tiempo.
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MARUJA
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1. ¿A quién corresponde cada gráfica?
2. Imagínate lo que puede haber dicho Maruja.
4. CONOCIMIENTOS PREVIOS
Para llevar a cabo el estudio de las temáticas deberás saber resolver:
- Operaciones con Números Fraccionarios.
- Ecuaciones lineales con una incógnita.
- Simplificación de términos semejantes
ACTIVIDADES INICIALES DE ACTIVACIÓN DE CONOCIMIENTOS
Y MOTIVACIÓN….
Actividad .- Alquilando coches
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Necesitamos alquilar un carro durante todo un día. Pedimos presupuesto a dos agencias
distintas y nos ofertan las siguientes tarifas de precios:
Agencia MUNDA: 360000 pesos. fijas más 40000 pesos. por cada kilómetro que
recorramos.
Agencia POLEY: 150000 ptas. fijas más 30000 pesos. por cada kilómetro que recorramos.
•
•
•
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¿Cuánto costaría realizar un viaje de 350 km. con cada una de las agencias?, ¿a
cuánto nos sale al final cada kilómetro recorrido, durante el viaje anterior, en cada
una de las agencias?
Construye una tabla considerando que recorremos 0, 50, 100, 150, 200, 250, 300
km, en la que se refleje el coste total del alquiler y el coste total por kilómetro
recorrido en ambas agencias. Estudia las variaciones medias y comenta.
Representa los valores de la tabla en cuatro gráficos diferentes.
Construye las fórmulas de dos funciones que nos den el coste total del alquiler, en
cada agencia, en función de los kilómetros que realicemos. Represéntalas en unos
mismos ejes y compara ambas ofertas.
Construye las fórmulas de dos funciones que nos den el coste total de cada
kilómetro recorrido, para cada agencia, en función de los kilómetros que
realicemos. Represéntalas en unos mismos ejes de coordenadas y compara
ambas gráficas.
5. PALABRAS CLAVES
Ecuación lineal, función lineal, pendiente, intercepto, vértice
6. DESARROLLO DEL NUCLEO TEMATICO
Ecuación cuadrática.
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Definición: Las funciones lineales son polinomios de primer grado.
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente
1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.
Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7
b(x) = -4x+3
f(x) = 2x + 5 + 7x - 3
De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás.
Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas
sencilla, f(x) = 9x + 2
Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma
explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto
posible en cada caso.
Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)=
2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales,
R, y el codominio también, todos los números reales, R.
Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"
Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal
por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla de valores.
f: R ——> R / f(x) = 2x-6
Le vamos dando valores a "x". ¿Que valores le podemos dar? Cualquiera que este
dentro del dominio.
Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6
f(5) = 4
Entonces al 5 le corresponde el 4. Nuestro punto es el (5,4).
Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos
del dominio es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que
a no sea cero.
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Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.
Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) =
4
f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11
si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13
si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en
2 unidades.
Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos.
g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7
si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4
si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3
unidades.
h: h(x) = 4
si x= 0 , entonces h(0) = 4
si x= 98 , entonces h(98) = 4
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta.
Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.
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¿Que diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j?
Parecería, a primera vista, que son muy parecidas. Las "fórmulas" de ambas son iguales.
h(x)=3 y j(x)=3
Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio todos los
números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos
números naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni
puntos entre ellos.
Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos
número reales. He ahí la diferencia.
La representación gráfica de h es una linea recta, pero la de j son puntos aislados,
aunque son infinitos.
Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para cualquier función.
El dominio es muy importante.
Cuando no se especifíca el dominio y codominio, se supone que son los mayores
posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R.
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Veamos otro ejemplo:
Esta función, llamada q, ¿ será lineal ? Supongamos, además, que es una función de R
en R.
Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y
codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón.
Dominio Codominio
x
4
y
1
7
2
13
4
16
9
Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3
Codominio: de 1 a 2 aumenta en 1
Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6
parece que si
Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2.
Por ahora,
Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3
la relación
Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5
Se rompió
Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no esta
de acuerdo con esto. ¿Que número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea una
función lineal ?
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RESUMEN: Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya
expresion analítica es f: R —> R / f(x) = a.x+b con a y b números reales.
La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes
perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente a y la ordenada
en el origen es b.
¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta si conocemos 2 puntos de la misma?
Joseline Figueroa ha formulado esta pregunta: ¿Cómo se obtiene la ecuación de una
recta si conocemos 2 puntos de la misma?
Vamos a verlo con un ejemplo.
Supongamos que tenemos que hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
P(2,1) y Q(3,4)
Los puntos los hemos representado en este par de ejes
coordenados.
Para hallar la ecuación de la recta tenemos que encontrar los valores de "a" y de "b" en
f(x)=ax+b. Esto lo hacemos sustituyendo por los puntos que tenemos en esta ecuación.
Es lo mismo escribir y=ax+b
Para el punto (2,1), cuando la x es 2, la y vale 1. Entonces 1=a.2+b
Para el punto (3,4), cuando la x es 3, la y vale 4. Entonces 4=a.3+b
Nos ha quedado un sistema de ecuaciones que vamos a resolverlo. Primero lo escribimos
un poco mas ordenado:
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y ahora que conocemos el
valor de "a", podemos averiguar "b":
Entonces y=ax+b sustituyendo por los valores de a y b nos queda y=3x-5
Vamos ahora a graficar esta función y si está bien, debería pasar por los puntos originales
P y Q.
7. EVALUACIÓN
Actividad
Trabajo en
Metodología
- Realización de talleres
Valoración
20%
Fecha
Continuamente
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grupo
Trabajo
individual
Trabajo
individual
-
Participación en juegos
Sustentación de ejercicios.
Revisión de cuaderno
Participación en juegos
Participación en clase
Responsabilidad
Material para la clase
Trato a los compañeros
Atención y compromiso en clase
Participación en semilleros, grupos de
estudio.
Autoevaluación formativa
Creatividad
Continuamente
40%
continuamente
40%
8. BIBLIOGRAFIA
Guías de Aprendizaje diseñadas por el docente
•
BALDOR,A. ALGEBRA. ED Publicaciones Cultural.
OBSERVACIÓN GENERAL---Se diseño una pagina web de matemáticas para los grados 8D, Noveno, Media Tecnica,
allí se colgaran talleres, ejercicios de preparación y demás actividades que se diseñen:
www.matematicacentral.blogspot.com