Solución

S OCIEDAD
E CUATORIANA DE
M ATEMÁTICA
ETAPA CLASIFICATORIA
“VII EDICIÓN DE LAS O LIMPIADAS DE LA S OCIEDAD
E CUATORIANA DE M ATEMÁTICA”
Soluciones - Segundo Nivel Juvenil
01 de abril de 2010
1. Si ( x + y)2 − ( x − y)2 = 20, xy es igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 5
e) 10
Solución. La respuesta correcta es la opción d). En efecto:
20 = ( x + y)2 − ( x − y)2
= x2 + 2xy + y2 − x2 + 2xy − y2
= 4xy,
de donde se deduce que xy = 5.
2. Si dos de los lados de un triángulo miden 5 y 7 centímetros, respectivamente, el tercer lado del
triángulo no puede medir:
a) 13 cm
b) 11 cm
c) 9 cm
d) 7 cm
e) 3 cm
Solución. La respuesta correcta es la opción a). En efecto, se sabe que en un triángulo cualquiera, la
suma de las longitudes de dos de sus lados debe ser superior al tercero. Así, a lo sumo el tercer lado
puede medir 7 + 5 = 12cm.
3. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa un número impar para cualquier número natural
n?
a) n2 − n + 2
b) n2 + n + 2
c) n2 + n + 3
d) n2 + 3
e) n3 + 3
Solución. La respuesta correcta es la opción c). En efecto, n2 + n = n(n + 1), pero de entre dos enteros
consecutivos, al menos uno de ellos es un número par. Así, n2 + n es siempre un número par, de modo
que n2 + n + 3 es siempre un número impar.
Nótese que n2 − n y n2 + n son siempre pares, por lo que n2 − n + 2 y n2 + n + n son siempre pares. Así
mismo, dado que n3 es par o impar, dependiendo de si n lo es, se sigue que n3 + 3 puede ser impar o
par. Un argumento similar muestra que n2 + 3 puede ser tanto par como impar.
1
4. En una ciudad, el 52 % de la población está constituido por mujeres. El 40 % de éstas trabajan
fuera de la casa. ¿Cuál es el porcentaje de mujeres con respecto a toda la población que trabajan
fuera de casa?
a) 18, 1 %
b) 20, 8 %
c) 26, 4 %
d) 40 %
e) 52 %
Solución. La respuesta correcta es la opción b). En efecto:
40
52
20, 8
×
× 100 =
.
100 100
100
5. Un número entero positivo se llama simple si está formado únicamente por los dígitos 1, 2, o
por ambos. ¿Cuántos números simples existen que sean menores que cien mil?
a) 10
b) 16
c) 32
d) 62
e) 64
Solución. La respuesta correcta no es ninguna de las opciones presentadas. En efecto, si el número es
inferior a 100 000, entonces está compuesto por a lo sumo 5 dígitos. Hay dos números simples de 1 dígito,
a saber 1 y 2. Los números simples de dos dígitos son 11, 12, 21 y 22, en total 4 que es igual a 22 . Se puede
ver sin mayor dificultad que hay 8 = 23 números simples de 3 dígitos, 16 = 24 números simples de 4
dígitos, y finalmente 32 = 25 números simples de 5 dígitos. En total hay entonces 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 61
números simples de cinco dígitos o menos.
Nota: en la calificación de esta prueba, se eliminó esta pregunta.
6. A, B, C, D, E, F, G y H son los ejes de apoyo que usa una araña para construir su tela, así como
se muestra en la figura. Si la araña continúa tejiendo, ¿sobre qué eje de apoyo estará el número
118?
B
b
C
18
12
5
b) C
15
b
H
14
13
b
b
b
a) A
7
6
4
20
E
8
0
3
19 11
16
1
2
b
b
9
10
D
A
17
b
F
c) E
G
d) G
e) H
Solución. La respuesta correcta es la opción d). En efecto, vemos que la araña vuelve a un eje determinado cada 8 números. Al efectuar la división entera de 118 y 8, obtenemos 118 = 8 × 14 + 6. Eso quiere
decir que al número 118 la araña habrá completado 14 ciclos, y habrá dado 6 pasos más. Esto la sitúa en
el eje G.
7. En un grupo de 40 estudiantes, 20 juegan fútbol, 19, volley y 15, únicamente uno de esos dos
deportes. ¿Cuántos estudiantes no juegan ni fútbol ni volley?
a) 5
b) 7
c) 9
2
d) 10
e) 13
Solución. La respuesta correcta es la opción e). En efecto, denotemos mediante f el número de estu-
diantes que juegan sólo fútbol, mediante y el número de estudiantes que no juegan ninguno de los dos
deportes, mediante z el número de estudiantes que juegan fútbol y volley, y mediante v al número de
estudiantes que juegan únicamente volley. De los datos obtenemos que
x+z = 2
z + v = 19
x + v = 15
Al restar entre sí las dos primeras ecuaciones, se obtiene que
x − v = 1.
Finalmente, al sumar esta ecuación a la tercera del grupo de tres, se obtiene 2x = 16, de donde x es igual
a 16.
8. Dada la siguiente figura, determine los valores de las longitudes v, w, x, y y z.
b
w
8
9
b
b
z
b
b
v
y
x
20
b
Solución. Nombremos los vértices de los triángulos involucrados:
A
b
w
8
b
B
b
9
C
D
z
b
b
v
y
x
E
20
b
F
De la semejanza entre los triángulos △ FEC y △ DEF, obtenemos que
y
9+z
20
=
= ,
x
20
z
de donde z debe satisfacer la ecuación cuadrática
z2 + 9z − 400 = 0
que tiene una sola raíz positiva, y es z = 16.
Por otro lado, DZ es la media geométrica de CD y DE; por lo tanto:
x2 = 9z = 9 × 16;
3
(1)
es decir, x = 12.
Conocidos los valores de x y de z, de las igualdades (1), obtenemos
y
20
= ,
12
16
de donde y = 15.
Finalmente, de la semejanza entre los triángulos △ ABC y △ FDC, obtenemos que
8
v
w
= = ,
x
9
y
de donde v = 6 y w = 10.
9. Escriba cada uno de los números desde el 1 hasta el 15 (cada uno una sola vez) en una sola línea
de modo que la suma entre dos números adyacentes cualquiera sea un cuadrado perfecto.
Solución. La clave de este ejercicio está en darse cuenta de que hay números que pueden estar en más
posiciones que otros. Por ejemplo, el 8 debe obligatoriamente encontrarse al inicio de la fila (o al final),
pues de entre los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 el único que sumado a 8 da
como resultado un cuadrado perfecto es 1. Así, el 8 puede únicamente encontrarse al lado del 1 (antes o
después). En cambio, el 1 puede encontrarse al lado del 3, del 8 y del 15. Una solución posible es:
8 − 1 − 15 − 10 − 6 − 3 − 13 − 12 − 4 − 5 − 11 − 14 − 2 − 7 − 9.
10. He vendido manzanas en cuatro casas. En cada una, vendí la mitad de las que llevaba más media manzana, y conste que jamás partí manzanas. Ya no me queda ninguna. ¿Cuántas manzanas
tenía en la cesta?
Solución. Originalmente el vendedor tiene 7 manzanas. Veamos por qué: dado que no utiliza el cuchillo,
y vende media manzana más de las que tiene en cada casa, dicho número debe forzosamente ser un
número impar.
Sea entonces 2n1 + 1 el número de manzanas que tiene el vendedor al llegar a la primera casa.
1
1
Vende (2n1 + 1) + = n1 + 1 manzanas, por lo que al salir de la primera casa le quedan n1
2
2
manzanas.
Por la discusión precedente, n1 = 2n2 + 1, y del mismo modo que en la primera visita, al salir de
la segunda casa le quedan n2 manzanas.
Del mismo modo, n2 = 2n3 + 1, y al salir de la tercera casa le quedan n3 manzanas.
Finalmente, n3 = 2n4 + 1, y al salir de la cuarta casa le quedan 0 mazanas, esto da n4 = 0.
Reemplazando los valores se obtiene que n3 = 1, n2 = 3, n1 = 2 × 3 + 1 = 7.
4