T-005 - Universidad Nacional del Nordeste

Resumen: T-005
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E
Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2005
Simetría en el modelado no lineal geométrico de
materiales hipoelastoplásticos.
1
1
1
Mroginski, Javier L. - Manzolillo, Juan E. - Di Rado, H. Ariel
1
2
Beneyto, Pablo A. - Awruch, Armando M.
1) Departamento de Mecánica Aplicada, Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional del Nordeste
Av. Las Heras 727, 3500 Resistencia - ARGENTINA.
e-mail: [email protected]
2) Departamento de Mecánica Aplicada, Facultad de Ingeniería
Universidad Federal do Rio Grande do Sul, Av. Osvaldo Aranha 99, Porto Alegre, BRASIL
Antecedentes.
El comportamiento de cuerpo bajo la acción de cargas suele ser clasificado como Lineal y No Lineal. Cuando la
deformación de un cuerpo sometido a cargas externas es infinitesimalmente pequeña, y la relación entre las tensiones y
las deformaciones es linealmente elástica, las cargas y los desplazamientos del cuerpo mantienen en todo momento una
relación lineal. Cuando alguno de los supuestos anteriores no se cumple, las cargas y los desplazamientos seguirán una
relación no lineal.
Dentro de los problemas no lineales de la mecánica de los sólidos se puede distinguir dos grandes grupos: la No
Linealidad Física, y la No Linealidad Geométrica. La No Linealidad Física, también llamada No Linealidad del
Material, se presenta cuando la relación constitutiva entre tensiones y deformaciones va cambiando para distintos
niveles de carga, es decir, no es constante a lo largo del proceso de deformación (existen algunos polímetros y
materiales compuestos con estas características). La No Linealidad Geométrica, en cambio, aparece cuando el cuerpo
experimenta grandes desplazamientos o deformaciones, que producen cambios significativos en su configuración
geométrica al avanzar el proceso de carga. En el presente trabajo se abordo este tipo de no linealidad.
Materiales y Métodos.
El objetivo de este trabajo es plantear una formulación, y la implementación de las ecuaciones incrementales de
elementos finitos, para el análisis no lineal geométrico de materiales que no poseen un potencial elástico de energía
almacenada, también llamados hipoelásticos. Estas formulaciones resultan en matrices de rigidez de los elementos
finitos no simétricas, pero, como se verá, su influencia puede ser despreciable en ciertos casos.
1) Mecánica del Medio Continuo. Ecuaciones de equilibrio.
Sea B la configuración geométrica inicial de un cuerpo continuo, ϕ(X, t ) la función deformación, y t S = t ϕ(B ) la
configuración geométrica deformada y en equilibrio en el tiempo t. Con X ∈ B se definen las coordenadas materiales o
~
Lagrangianas, y con x = ϕ(X, t ) las coordenadas espaciales o Eulerianas. Asumiendo que las cargas de masa B y las de
superficie t 0 son independientes, la descripción Lagrangiana de la ecuación de equilibrio, para una tasa de cambio en
~&
las cargas dada por B y t& , viene dada por:
0
~&
DIV t P& + ρ 0 B = 0 en B
(1)
donde P es el primer tensor de Piola-Kirchhoff y ρ 0 es la densidad de masa en la configuración inicial. La forma débil
de la expresión (1), en el tiempo fijo t y en magnitudes espaciales, resulta:
dϕ(B )
&t
t
t
t
t
t
(2)
∫ L v τ + L. τ : ∇η J = t ∫ b& . η.ρ.dϕ(B ) + t ∫ t. η.d∂ϕ(B )
t
ϕ (B )
ϕ (B )
∂ ϕ (B )
[
]
donde b& y t& son las tasas de cambio de las cargas de masa y de superficie, respectivamente, en la configuración t ϕ ;
τ es la tensión de Kirchhoff; L ≡ ∇v = ∂v ∂x es el gradiente espacial de la velocidad, el cual puede ser descompuesto
aditivamente: L = D + W , en una parte simétrica D , llamada tensor velocidad de deformación, y una parte
antisimétrica W , llamada tensor vorticidad o de giro. Por otra parte, L v τ es la falsa derivada (lie derivative) de la
tensión de Kirchhoff, simétrica y definida como:
τ
L v τ = F.S& .F T = τ& − Lτ − τLT = C τ : D , ó L v τ ij = C ijkl
D kl
(3)
siendo C τ el tensor constitutivo asociado a L v τ ; S el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff; F = ∂x ∂X el
gradiente de deformación; y J = det(F) = dϕ(B ) dB el Jacobiano de la deformación. Por último, η es una variación
espacial admisible de la deformación, es decir desplazamientos sobre ϕ(B ) que no violan las condiciones de borde
prescriptas ϕ . Como v(ϕ( X, t ), t ) = u& ( X, t ) , la velocidad espacial de los desplazamientos u , para un tiempo fijo t, es
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t
una variación espacial admisible, se puede sustituir en (2)
t
η por
v y t ∇η por t L = t ∇v . Además, debido a la
τ
simetría menor C ijkl
= C τjikl , se puede escribir:
t
∫
ϕ (B )
( δD: C : D+ δL: L. τ ) dϕJ(B ) =
t
t
τ t
t
t
t
t
∫
t
δv.b& .ρ.dϕ(B ) +
t
ϕ (B )
∫
t
δv.t&.d∂ϕ(B )
(4)
∂ ϕ (B )
Expresión que permite evaluar la velocidad espacial actual t v , generada por una cierta tasa de carga, sobre una cierta
configuración t ϕ , que se halla en equilibrio bajo un cierto campo de tensiones t τ .
2)Descripción del Material.
Las relaciones constitutivas de las descripciones hipoelásticas deben ser elegirlas convenientemente para preservar el
principio de objetividad del material. Si la respuesta elástica está formulada en la configuración espacial o deformada,
por ejemplo con la relación (3), con un tensor constitutivo C τ constante, la objetividad del material requiere que C τ
sea insensible a rotaciones de cuerpo rígido, condición que se cumple sólo para materiales isotrópicos. Dando como
resultado una relación constitutiva no simétrica.
En este trabajo se intenta identificar los casos en los que podría despreciarse la asimetría de C τ . Para ello se separa al
ˆ =C
ˆ sim + C
ˆ asim
tensor constitutivo en sus partes simétrica y asimétrica: C
1
(δ ik τ jl + δ il τ jk + δ jk τil + δ jl τik )
2
sim
= Ĉ sim
ijlk = Ĉ klij , y
Ĉ sim
ijkl ≡ C′ijkl =
sim
con simetría menor y mayor: Ĉ sim
ijkl = Ĉ jikl
Ĉ asim
ijkl =
1
(δ ik τ jl − δ il τ jk + δ jk τil − δ jl τ ik )
2
(5)
(6)
asim
asim
asim
asim
con simetría y antisimetría menor: Ĉ ijkl
= Ĉ asim
jikl = − Ĉ ijlk , pero sin simetría mayor: Ĉ ijlk ≠ Ĉ klij .
De esta manera se puede establecer que cuando τij (con i ≠ j ) y
1
2 ( τ ii
− τ jj ) sean de reducido valor, se puede
mantener la simetría mayor de Ĉ τ despreciando el término Ĉ asim sin generar errores significativos:
τ
τ
Ĉ ijkl
= R im R jn R kp R lq C mnpq
− Ĉ sim
ijkl
(7)
donde R es el tensor rotación, ortogonal, obtenido de la descomposición polar: F = R.U , siendo U el tensor derecho
de elongaciones, simétrico.
Este tensor se utiliza en (4) en lugar C τ , conduciendo a una matriz de rigidez simétrica.
De otra manera, en los casos en que las tensiones tangenciales no sean despreciables, no podrá eliminarse el término
Ĉ asim , debiendo utilizarse necesariamente matrices de rigidez no simétricas.
3) Aplicación del MEF.
Para implementar el método de los elementos finitos, se discretiza la ecuación (4), obtiéndose:
K.uˆ& = F&
ext
Donde, teniendo en cuenta que τ = J.σ se puede escribir:
ˆ τ ].B dϕ(B ) +
K = ∫ (B ) T .[ t C
J
t
ϕ (B )
F& ext =
t
∫ (N )
ϕ (B )
T
t
.{b& }.ρ.dϕ(B ) +
t
∫ (β )
T
.[ t σ ].β.dϕ(B )
T
.{t&}.d∂ϕ(B )
(8)
(9)
ϕ (B )
∫ (N)
(10)
∂ ϕ (B )
K es la matriz de rigidez tangente del sistema de elementos finitos, formada por un primer término que representa la
respuesta del material, y un segundo término con el estado actual de tensiones. F& ext es la tasa de las cargas externas de
volumen b& y de contorno t& . En tanto que la tasa de los desplazamientos u& es interpolada con las funciones N :
{u& } = N.{uˆ& }
(11)
Siendo {u&ˆ } el vector velocidad de desplazamiento nodal.
En el caso de problemas bidimensionales, se obtienen los siguientes arreglos de la matriz constitutiva :
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τ
 t C1111

τ
⇒ [ t C τ ] ≡  t C 2211
t
 Cτ
 1211
t
τ
C1122
t τ
C 2222
t
τ
C1222
τ

C1112

t τ
C 2212 
t τ
C1212 

t
donde se tuvo en cuenta la doble simetría menor del tensor C τ .
Por último, aplicando las definiciones (5) y (6), se obtiene:
2τ11

0
τ12


sim
ˆ
[C ] ≡  0
2τ 22
τ12
 , con τ12 = τ 21
1 (τ + τ )
 τ12
τ
12
22 
2 11

0 0

asim
ˆ
[C
] ≡ 0 0
0 0

(12)
(13)


− τ12
(14)
 , con τ12 = τ 21
1

(τ 22 − τ11 )
2
ˆ τ ] es simétrica, para lo cual debería ser eliminado el
El sistema (8) resultará simétrico si la matriz constitutiva [C
τ12
término Ĉ asim .
Ejemplo numérico.
Se realiza un análisis elastoplástico de una viga empotrada en ambos extremos (Figura 1) que soporta una carga puntual
en el centro de su luz. Las dimensiones de la viga son: sección rectangular de 0,092 m x 0,50 m, y 20 m de longitud.
Debido a la simetría del problema, se representa la mitad de la viga con una malla de 5 elementos finitos de 8 nodos
(Figura 2).
El criterio de plastificación utilizado es el de Von Mises, con un parámetro de endurecimiento H' = 4x106 para el
análisis de pequeñas deformaciones, y H' = 0 (plasticidad perfecta) para el de grandes deformaciones.
Datos del problema:
Módulo de elasticidad: E = 1,2 x 107 t/m2
Módulo de Poisson: ν = 0,3
Tensión de fluencia: g = σy = 3,0 x 104 t/m2
Carga: P = 500 t
Longitud: L = 20 m
Figura 1: Viga biempotrada. Esquema de cálculo.
Figura 2: Viga biempotrada. Malla de elementos finitos y condiciones de borde.
En la Figura 3 se representan las curvas de descensos del centro de la viga. En el análisis elastoplástico con grandes
deformaciones se observa claramente la transición entre un comportamiento a flexión pura y un comportamiento a
flexotracción generado por la deformación de la viga. En la misma Figura se graficaron los resultados obtenidos por
Kanchi – Zienkiewicz – Owen (1978, pag. 175), denominado con la sigla K-Z-O. Mediante la comparación gráfica se
puede apreciar la gran aproximación de los resultados obtenidos por el modelo elastoplástico de este trabajo.
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En este caso las tensiones tangenciales adquieren valores comparables a las tensiones normales, por lo que el término
Ĉ asim ya no es despreciable frente a Ĉ sim . Sin embargo se aprecia que, a pesar de haber elegido un material bastante
flexible (es decir tensiones no despreciables frente a propiedades de material), la respuesta simétrica y asimétrica sólo
presenta diferencias crecientes que no superan del 3 % al final del proceso.
Carga (tn)
400
350
300
250
200
150
100
50
0
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
Descenso (m)
K-Z-O
C simetrica
C no simetrica
Figura 3: Descensos del centro de la viga.
Conclusiones.
El modelado de materiales hipoelásticos anisótropos requiere el uso de leyes constitutivas basadas en magnitudes
corrotadas. Pero, como contrapartida se llega a sistemas no simétricos de ecuaciones de elementos finitos. Sin embargo,
en los casos en que las tensiones tangenciales sean lo suficientemente reducidas, o cuando las características del
material, contenidas en C τ , sean de un orden de magnitud mayor a las tensiones generadas, se podrá despreciar el
término Ĉ asim , tornando simétrico al tensor Ĉ τ y, por consiguiente, a la matriz de rigidez K del sistema de elementos
finitos, aminorando el esfuerzo computacional en la solución numérica.
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