22-29 ACT-Markowitz.qxd - BME: Bolsas y Mercados Españoles

T E M A S
D E
A C T U A L I D A D
La selección de carteras
al alcance de todos
Es innegable el espectacular desarrollo que en nuestro país ha tenido la cultura financiera en los últimos años. Este hecho ha coincido en el tiempo, quizá de forma no casual, con el desarrollo de
internet, y como consecuencia con la enorme accesibilidad que
tiene actualmente la operativa bursátil (banca por internet, brokers
on-line, etc..). En este marco es lógico que se haya generado una
creciente inquietud entre los distintos colectivos de inversores por
seguir algún método de selección y gestión de carteras.
Si bien existe en el mercado una gran variedad de software creado
al efecto, generalmente desborda el objetivo y el presupuesto del
inversor particular. Por ello, el siguiente artículo expone una forma
sencilla de seleccionar carteras, siguiendo el modelo de Markowitz, dónde solo es necesario disponer de una hoja de cálculo.
■ EL MODELO DE SELECCION
DE CARTERA DE MARKOWITZ.
na de las grandes aportaciones a la economía financiera
es el modelo debido a Harry
M. Markowitz, publicado inicialmente
en 1952. Posteriormente ha habido
importantes desarrollos de la economía
financiera basados en el mismo, que
han sido incorporados a los textos de
las Facultades de Ciencias Económicas
y Empresariales de todo el mundo.
Sin embargo, su utilización en los ámbitos profesionales ha sido más bien
escasa, quizá por contar con algunas
limitaciones que se explican al final. A
pesar de ello, es evidente su utilidad y
por eso han aparecido un conjunto de
paquetes informáticos que resuelven el
modelo de forma muy eficiente. Por
U
mencionar solo algunos de los más conocidos, se puede citar a EFE 2000(1)
de Sci-Econ, o los desarrollados por
Serfiex(2) y Brain-Power(3). Parte de los
cálculos y gráficos realizados con los
mencionados paquetes se pueden hacer con una hoja de cálculo tipo EXCEL o Quatro Pro. En todo caso, no
hay que olvidar que la limitación en el
número de activos que se pueden tratar con Excel, hace que estos paquetes
informáticos cubran una gama de servicios que, hoy por hoy, no es posible
abordarlas en una hoja de cálculo.
Nuestro objetivo en este artículo es
poner al alcance de todos esta metodología de selección de carteras, utilizando una hoja de cálculo habitual. Al final del artículo se comentan algunos
resultados adicionales que se obtienen
a partir de la solución del modelo de
selección de cartera de Markowitz que,
generalmente, no son citados en los
textos habituales, e igualmente se comentan algunos de los problemas que
tiene la utilización de estos modelos en
la práctica profesional.
El modelo de selección de cartera de
Markowitz, en su versión más sencilla,
consiste en minimizar una función de
riesgo - generalmente la varianza de la
cartera - sujeta a restricciones de rentabilidad mínima.
Formalmente, si llamamos xi al tanto
por uno de la cartera invertida en cada
activo financiero, ri a la rentabilidad
esperada del activo i y σij a la covarianza entre el activo i y el activo j, el planteamiento del modelo de Markowitz
consiste en:
n
n
[1] Minimizar (Var) = ∑ ∑ xi σij xj
i=1 j=1
sujeto a:
n
[2] ∑ ri xi _> ρ
i=1
n
[3] ∑ xi = 1
i=1
[4] xi _> 0...∀i = 1,...,n
Es decir, se pretende minimizar la varianza total de una cartera con una inversión en n activos financieros como
máximo, obteniendo una rentabilidad
mínima esperada de ρ que el inversor
decidirá en función del riesgo que desee asumir. Evidentemente, a mayor
rentabilidad requerida mayor será el
riesgo de la cartera. Inversiones más
seguras irán asociadas a una combinación de activos que genera una menor
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TABLA 1: DATOS INICIALES
Fecha
Rendimiento
IBEX-35
Rendimiento
FTSE-100
Rendimiento
Bono 10-A.
Rendimiento
Bono 3-A.
Rendimiento
D.JONES-C
31-mar-97
5,23%
14,89%
-2,88%
-1,41%
12,09%
30-jun-97
26,92%
10,88%
6,66%
3,06%
16,03%
30-sep-97
5,59%
14,60%
3,71%
0,77%
11,24%
31-dic-97
-0,20%
1,22%
2,13%
0,78%
1,85%
31-mar-98
40,71%
19,06%
3,56%
0,62%
13,63%
30-jun-98
-0,61%
-4,00%
0,60%
0,23%
-1,29%
30-sep-98
-24,34%
-16,04%
5,00%
2,03%
-17,09%
31-dic-98
28,14%
13,49%
2,00%
1,44%
12,36%
31-mar-99
-0,98%
11,77%
-1,76%
-0,34%
11,78%
30-jun-99
4,91%
3,61%
-3,12%
-1,14%
14,79%
30-sep-99
-6,78%
-4,05%
-3,55%
-1,26%
-8,74%
31-dic-99
22,21%
18,64%
-1,48%
-1,15%
10,80%
8,40%
7,01%
0,90%
0,30%
6,45%
Varianza
0,032212
0,011813
0,001189
0,000204
0,011052
Var. muestral
0,029528
0,010829
0,001090
0,000187
0,010131
17,1837
10,4061
3,3015
1,3658
10,0652
Media Estimada
Desv. Típica (%)
Nota: Las rentabilidades de los Bonos a 10 y 3 años, se han calculado a partir de la serie de TIR, teniendo en cuenta la
duración y el efecto del pago del cupón anual sobre el trimestre. El resultado es una serie de rentabilidades
suficientemente aproximada para el desarrollo de este ejercicio. Las rentabilidades de los índices FTSE-100 y
D.JONES-C están calculadas en pesetas, es decir, incluyendo el riesgo de tipo de cambio.
rentabilidad esperada. Por tanto, la
mayor o menor aversión al riesgo del
inversor - sus preferencias individuales
-, es lo que le conducirá a establecer
una mayor o menor rentabilidad requerida en el modelo. La restricción
[3] obliga a invertir el 100% de los activos financieros (uno de estos activos
puede ser simplemente tesorería) y la
[4], a que no se invierta en corto. Más
adelante se expone como esta limitación se puede relajar muy fácilmente.
Naturalmente, las rentabilidades (ri),
las varianzas (σii) y covarianzas (σij) esperadas deben ser proporcionadas por
el inversor o experto. El resultado del
programa nos da el tanto por uno a invertir en cada activo financiero que
minimiza la varianza de la cartera, es
decir, la combinación de valores que
(1)
(2)
(3)
(4)
generando esa rentabilidad esperada,
tienen el mínimo riesgo. En los próximos apartados desarrollamos un ejemplo de como resolver el modelo de
Markowitz mediante Excel(4)
■ PLANTEAMIENTO Y
RESOLUCION DEL MODELO
DE SELECCION DE CARTERA
DE MARKOWITZ MEDIANTE
HOJA DE CALCULO.
Preparación de datos:
En principio supondremos que las
rentabilidades esperadas, varianzas y
covarianzas, son iguales a las que se
han dado en un determinado período
histórico y que contamos con 5 activos financieros: Tres índices de renta
variable correspondientes a las Bolsas
española, de Londres y Nueva York
-IBEX-35, FTSE-100 y D.JONES-C-,
y dos de renta fija - Bonos a 10 y 3
años. Para este ejemplo, hemos tomado rentabilidades trimestrales de estos
5 activos durante tres años, entre enero de 1997 y diciembre de 1999,
según se muestra en la Tabla1. Naturalmente el lector puede tomar los activos y los periodos que considere
conveniente.
A partir de los datos correspondientes
a rendimientos de esos 12 trimestres,
se ha calculado el rendimiento medio
de cada activo financiero mediante las
funciones de Excel que se señalan en
el "Cuadro 1: Fórmulas para el cálculo de parámetros". Para calcular la
media estimada, se ha utilizado la
función "PROMEDIO ()" (véase celdas B20 a F20). También se ha calculado la matriz de varianzas-covarianzas (véanse celdas B28 a F32) mediante la función "COVAR()". Puesto
que la matriz de varianzas-covarianzas es simétrica, tan solo hace falta
calcular la diagonal principal (varianzas) más el triángulo superior. El
triángulo inferior (celdas B29 a E32)
se copia directamente de este. Solo a
efectos de comprobación o recordatorio, se han calculado las varianzas de
cada uno de los activos financieros
(celdas B21 a F21), las varianzas
muestrales (celdas B22 a F22) y la
desviación típica en tanto por ciento
(celdas B23 a F23). Puede comprobarse como las varianzas muestrales
coinciden exactamente con la diagonal principal de la matriz de varianzas-covarianzas que se muestra en la
"Tabla 2: Matriz de varianzas-cova rianzas".
Para una descripción de este paquete, puede consultarse el número 88 de la revista Bolsa de Madrid, pp. 18-26, o la dirección internet: www.Sciecon.es.
Para más información, se puede consultar www.serfiex.es.
Este y otros servicios de la compañía, se presentan en www.brainpower.com.
Hemos escogido Excel por ser la hoja de cálculo más extendida. Sin embargo, se podría hacer de manera muy similar con otras hojas de cálculo, siempre que tengan
una macro que resuelva programas de optimización, equivalentes a la macro Solver de Excel.
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➧
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➧ CUADRO 1: FORMULAS PARA EL CALCULO DE PARAMETROS
A
B
C
D
E
F
Rendimiento
Rendimiento
Rendimiento
Rendimiento
Rendimiento
17
18
19
Fecha
IBEX-35
FTSE-100
Bono 10-A.
Bono 3-A.
D.JONES-C
20
Media Estimada
=PROMEDIO(C8:C19)
=PROMEDIO(D8:D19)
=PROMEDIO(E8:E19)
=PROMEDIO(F8:F19)
=PROMEDIO(G8:G19)
21
Varianza
=VAR(C8:C19)
=VAR(D8:D19)
=VAR(E8:E19)
=VAR(F8:F19)
=VAR(G8:G19)
22
Var. muestral
=C21*11/12
=D21*11/12
=E21*11/12
=F21*11/12
=G21*11/12
23
Desv. Típica (%)
=RAIZ(C22)*100
=RAIZ(D22)*100
=RAIZ(E22)*100
=RAIZ(F22)*100
=RAIZ(G22)*100
IBEX-35
FTSE-100
Bono 10-A.
Bono 3-A.
D.JONES-C
IBEX-35
=COVAR(C8:C19;C8:C19)
=COVAR(C8:C19;D8:D19)
=COVAR(C8:C19;E8:E19)
=COVAR(C8:C19;F8:F19)
=COVAR(C8:C19;G8:G19)
29
FTSE-100
=D28
=COVAR(D8:D19;D8:D19)
=COVAR(D8:D19;E8:E19)
=COVAR(D8:D19;F8:F19)
=COVAR(D8:D19;G8:G19)
30
Bono 10-A.
=E28
=E29
=COVAR(E8:E19;E8:E19)
=COVAR(E8:E19;F8:F19)
=COVAR(E8:E19;G8:G19)
24
25
26
27
28
31
Bono 3-A.
=F28
=F29
=F30
=COVAR(F8:F19;F8:F19)
=COVAR(F8:F19;G8:G19)
32
D.JONES-C
=G28
=G29
=G30
=G31
=COVAR(G8:G19;G8:G19)
Preparación de la plantilla
de la hoja de cálculo:
El planteamiento del programa de optimización cuadrática, se muestra en el
"Cuadro 2: Planteamiento del Modelo
(fórmulas)".
Aunque la función objetivo esté en
primer lugar (C38), su explicación la
pospondremos para el final.
En primer lugar se definen las celdas
que corresponden a las variables. En
nuestro caso, son las celdas B41 a F41
y que, por ahora, solo las etiquetamos
para identificarlas. Así hemos puesto
sobre cada columna IBEX-35, FTSE100, etc. y en la fila la etiqueta "Variables" (celda A41), aunque podía haberse omitido.
La fila 46 corresponde a la restricción
[2] anterior (celdas B46 a F46) y, por
lo tanto, toma como valor esperado de
rendimiento el que había sido calculado previamente. La celda G46 corresponde al valor que toma el lado izquierdo de la ecuación [2] anterior. Y
la celda H46 corresponde al valor de r,
es decir, nuestra rentabilidad deseada
u objetivo de rentabilidad requerido
por el inversor.
TABLA 2: MATRIZ DE VARIANZAS-COVARIANZAS ENTRE LAS
RENTABILIDADES DE LOS ACTIVOS
B
C
D
E
F
G
IBEX-35
FTSE-100
Bono 10-A.
Bono 3-A.
D.JONES-C
28
IBEX-35
0,029528
0,014517
0,001251
0,000356
0,013220
29
FTSE-100
0,014517
0,010829
-0,000188
-0,000230
0,009272
30
Bono 10-A.
0,001251
-0,000188
0,001090
0,000428
-0,000144
31
Bono 3-A.
0,000356
-0,000230
0,000428
0,000187
-0,000102
32
D.JONES-C
0,013220
0,009272
-0,000144
-0,000102
0,010131
26
27
La fila 48 corresponde a la restricción
[3] del programa. La celda G48 es la
fórmula que especifica el valor de la
suma de todas las variables. Es decir,
el lado izquierdo de [3]. Naturalmente, se podía haber puesto esta fórmula
sin necesidad de utilizar los números 1
en las celdas B48 a F48. Sin embargo,
hemos optado por ponerlo de esta manera para que se viera una mayor analogía con respecto a la formulación
matemática.
El lado derecho de la restricción [4] se
representa mediante los ceros en las
celdas B50 a F50, que también se
podría haber obviado, simplemente
definiendo todas las variables mayores
e iguales que cero, más adelante, cuando se introduzcan las restricciones en
el cuadro de diálogo de Solver.
Finalmente, la función objetivo (celda
C38) se puede calcular en la forma
que indica la ecuación [1] pero resulta
bastante tediosa, y es muy fácil incurrir en errores, por lo que hemos utilizado un procedimiento algo más eficiente basado en la multiplicación de
matrices. Efectivamente, la expresión
[1] también se puede escribir como:
xTσx, dónde xT es un vector fila de los
n valores correspondientes a los tanto
por uno a invertir en cada activo financiero y σ representa la matriz de
varianzas-covarianzas de orden nxn
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CUADRO 2: PLANTEAMIENTO DEL MODELO (FORMULAS)
A
B
C
D
E
F
G
37
38
Función objetivo.............
=MMULT(MMULT(B41:F41;C28:G32);H39:H43)
Variables
39
=B41
40
41
H
Transpuesta
IBEX-35
FTSE-100
Bono 10-A.
Bono 3-A.
D.JONES-C
=C41
Variables
=D41
42
=E41
43
=F41
44
45
46
Rendto. req.
IBEX-35
FTSE-100
Bono 10-A.
Bono 3-A.
D.JONES-C
Valor Ecua.
RHS
=C20
=D20
=E20
=F20
=G20
=B$41*B46+C$41*C46+D$41
0,06
*D46+E$41*E46+F$41*F46
47
48
Suma inv=1
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
=B$41*B48+C$41*C48+D$41
1,00
*D48+E$41*E48+F$41*F48
49
50
Variab>0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
51
calculada anteriormente(5). Para facilitar los cálculos, hemos puesto el vector columna x en las celdas H39 a
H43. Ahora la función objetivo puede
ser obtenida fácilmente mediante la
función "MMULT()" tal y como se
señala en la celda C38(6).
Utilización de Solver(7)
Ahora se trata de calcular los porcentajes óptimos a invertir en cada activo financiero utilizando la macro Solver de
Excel. El cuadro de diálogo que aparece en Solver se señala en el "Cuadro 3:
Cuadro de diálogo principal de Solver". Primero, se debe cumplimentar la
celda de la función objetivo (celda
C38), y a continuación seleccionar
"Mínimo" - puesto que se trata de minimizar el valor de la varianza -. Lo que
se llama en el Excel (en un muy desafortunado nombre) "Cambiando las
celdas", en realidad se refiere a las cel-
das donde están las variables cuyos valores óptimos van a ser calculados - en
realidad sería "Variables a Optimizar".
En nuestro caso, las celdas B41 a F41.
En la ventana inferior, se añaden las
restricciones seleccionando "Agregar",
para que aparezca el cuadro de diálogo
que se muestra en "Cuadro 4: Cuadro
de diálogo de restricciones de Solver".
En "Referencia Celda" se introducirá el
valor del lado izquierdo de la ecuación,
en el centro se indicará si se trata de
restricciones menor o igual (<= ), igual
(=) o mayor o igual (>=), y en "Restricción" se debe indicar la celda que corresponde al lado derecho de cada restricción. Al finalizar de introducir la última restricción, se seleccionará "Aceptar" para volver al cuadro de diálogo
principal de Solver. Ahora ya solo nos
resta comprobar la forma de optimización, que será, dentro de "Opciones",
la elección "Estimación cuadrática".
Volvemos ahora al cuadro de diálogo
principal de Solver y solo queda "pinchar" en "Resolver", con lo que se obtienen los valores óptimos a invertir en
cada activo financiero que minimizan
la varianza para la rentabilidad requerida o deseada que se ha establecido en
la celda H46. Los valores obtenidos como óptimos quedan situados automáticamente en las celdas que fueron reservadas como variables. También nos
proporciona el valor de la función objetivo y el del lado derecho de cada una
de las restricciones. Todo ello puede
verse en la "Tabla 3: Resultados para
una rentabilidad requerida del 6%".
Extensiones derivadas del
modelo de Markowitz.
En la formulación y ejemplo anterior
hemos obtenido los porcentajes a invertir de cada activo financiero que
minimizan una medida específica de
(5) Como puede comprobarse, el resultado del producto de estas tres matrices es un número. El producto de las dos primeras - (1xn) (nxn) -, genera una matriz de orden
1xn y, al multiplicarla por la tercera - de orden (nx1) -, tiene como resultado una cifra.
(6) La función MMULT, devuelve el producto de dos matrices y, de forma genérica, la matriz resultante tiene el número de filas de la primera y el número de columnas de la
segunda.
(7) En la instalación estándar de Excel no se incorpora la macro Solver. Es necesario incorporarla expresamente en el momento de la instalación o posteriormente. Cuando
está incorporada aparece dentro de “Herramientas”
Nº 97, MARZO 2001
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➧
T E M A S
➧ riesgo como es la varianza. A partir de
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CUADRO 3: CUADRO DE DIALOGO PRINCIPAL DE SOLVER
ese punto, cabe calcular otros muchos
resultados de enorme interés para el
inversor o analista financiero y que representan un trabajo marginal relativamente pequeño. A continuación, se citan tres de estas extensiones.
Frontera eficiente.
La frontera eficiente es el conjunto de
soluciones tal que para cada valor de
la varianza se obtiene la máxima rentabilidad. En los paquetes comerciales al
uso, esta frontera eficiente se obtiene
de forma más o menos automática. En
nuestro caso, es necesario optimizar
con diferentes valores del parámetro recuérdese que está en la celda H46 -.
Uniendo los distintos puntos, obtendremos la frontera eficiente buscada.
Naturalmente, cualquier combinación
distinta de porcentajes a invertir en los
diferentes activos financieros nos dará
una varianza (riesgo) mayor que la obtenida de forma óptima para la misma
rentabilidad. La "Tabla 4: Combinación Optima de activos para rentabilidades entre 0,5% y 8,5%", ha sido obtenida resolviendo 17 problemas de
optimización. La única diferencia en
cada uno de estos problemas es el
cambio en la rentabilidad requerida o
deseada y, por lo tanto, en la rentabilidad esperada, que varía de medio en
medio punto, entre el 0,5% y el 8,5%.
Para cada solución obtenida de Solver,
se ha copiado en la misma fila los valores de las variables y el riesgo de la cartera óptima - calculada como la raíz
cuadrada del resultado obtenido en la
función objetivo (varianza) X 100 -.
En la "Figura 1: Frontera Eficiente", se
muestra la frontera eficiente con los 17
puntos (rentabilidad esperada, varianza) de la tabla anterior. En relación a
ella, hay que apuntar lo siguiente:
● Si se pide una rentabilidad inferior
al 0,30%, la solución óptima seguiría siendo la misma que con
CUADRO 4: CUADRO DE DIALOGO DE RESTRICCIONES DE SOLVER
●
●
0,30%, puesto que con los activos
que hemos considerado es imposible tener una varianza inferior a la
del Bono a 3 años. Esto es, la solución óptima seguirá siendo invertir
el 100% en ese activo financiero.
Si pedimos una rentabilidad superior al 8,40% el problema nos dará
infactible. Y ello porque esta es la
del activo con mayor rentabilidad,
en nuestro caso el IBEX-35. Por lo
tanto, no es posible obtener mayores rentabilidades que las de ese activo financiero, cualquiera que sea el
riesgo que estuviéramos dispuestos
a aceptar.
Podemos ensayar fácilmente otras
soluciones, poniendo los porcentajes deseados en las celdas correspondientes a las variables. La hoja
de cálculo computa inmediatamente
el valor de todas las celdas - en este
caso, naturalmente, sin necesidad de
Solver -. La solución obtenida quedará siempre por debajo de la frontera eficiente salvo que, por casualidad, hayamos obtenido una cartera
óptima, en cuyo caso estaría en la
misma frontera eficiente.
Incorporación de otras
restricciones relevantes.
En ocasiones, por razones legales o de
otro tipo, es conveniente o necesario
incorporar otras restricciones al problema original planteado anteriormente. Esto se puede hacer sin más que especificarlas en la hoja de cálculo e incorporarlas en el apartado de restricciones de Solver. En algunos casos, tan
solo se deben modificar algunos de los
valores que están escritos en las resNº 97, MARZO 2001
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TABLA 3: TABLA 3: RESULTADOS PARA UNA RENTABILIDAD REQUERIDA DEL 6%
A
35
B
C
D
E
F
G
H
PLANTEAMIENTO Y RESOLUCION
36
37
38
Transpuesta
0,007425547
Función objetivo.............
8,61716128
Variables
39
0,00%
40
41
Variables
IBEX-35
FTSE-100
Bono 10-A.
Bono 3-A.
D.JONES-C
63,99%
0,00%
63,99%
14,55%
0,00%
21,45%
14,55%
42
0,00%
43
21,45%
44
45
46
IBEX-35
FTSE-100
Bono 10-A.
Bono 3-A.
D.JONES-C
Valor Ecua.
RHS
Rendto. req.
8,40%
7,01%
0,90%
0,30%
6,45%
6,00%
6,00%
Suma inv=1
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
Variab>0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
47
48
49
50
tricciones incorporadas. Por ejemplo,
es frecuente que se deba invertir como
mínimo una cierta cantidad en cada
activo financiero. Si, por ejemplo, queremos invertir, como mínimo un 5%
en Bonos a 10 años, pondríamos 0,05
en la celda D50 y volveríamos a ejecutar la macro Solver.
Algunas restricciones que suelen utilizarse, junto con el modelo básico ya
descrito, son las siguientes:
a) Limitar el porcentaje máximo a invertir en cada activo financiero.
xi _< −
xi
donde −
xi es el tanto por uno máximo a
invertir en el activo i.
b) Limitar el valor máximo de la beta
de la cartera resultante.
La restricción a incluir sería:
n
−
∑ βi xi _< β
i=1
donde βi corresponde a la beta del ac− al valor máximo
tivo financiero i, y β
permitido para la misma.
Esta restricción representa una limitación en el nivel de riesgo final deseado
y, como consecuencia, supone una
cierta restricción en el valor máximo
de la función objetivo.
c) Permitir operar en corto.
Para ello es suficiente con eliminar la
restricción en la que se obliga a las variables a tener un valor superior a cero.
Como consecuencia, podrían tomar
cualquier valor. En el caso que tomaran un valor negativo, significaría una
venta en corto de este activo. Sin embargo, esta no sería una representación
totalmente realista puesto que cualquier venta en corto tiene un coste generalmente por el alquiler de los títulos a vender -, que habría que considerar. Eso sí, el modelo consideraría los
ingresos derivados de la inversión del
dinero recibido por la venta en corto,
bien en tesorería o en la rentabilidad de
otros activos financieros.
Por último, además de tener en cuenta
otras restricciones que no se contemplaban en el modelo original, es fácil y
conveniente explotar los propios resultados obtenidos por el modelo.
Probabilidad de no alcanzar o superar una
determinada rentabilidad:
Uno de estos resultados adicionales que
no suele ser explicado habitualmente, es
la probabilidad de obtener una rentabi-
lidad mayor o menor que una dada o, la
probabilidad de estar en un intervalo de
rentabilidad previamente fijado. Antes
de poner un ejemplo de cada uno de los
tres casos, hay que recordar que la cartera obtenida en la solución óptima se
comportará de acuerdo con una distribución Normal(8), con esperanza igual a
la que obtenemos como resultado en el
lado izquierdo de la ecuación [2] y varianza igual al valor de la función objetivo. A partir de esa observación, es fácil
responder a las preguntas anteriores.
A continuación vemos los tres ejemplos
a partir de la solución obtenida con una
rentabilidad deseada del 3%. Nótese
que, en nuestro caso, estamos ante una
distribución Normal con esperanza
igual al 3% y varianza igual a la que figura como valor de la función objetivo,
esto es, igual a 0,0016031).
En la misma hoja de cálculo en la que
hemos calculado la cartera óptima podemos calcular ahora las probabilidades deseadas mediante la utilización de
la función de Excel "DISTR.NORM
(valor deseado; esperanza de la distribución; desviación típica; 1)". Tan solo
debemos elegir el valor deseado, la es- ➧
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27
T E M A S
➧ peranza y la varianza están ya calculadas -en las celdas G46 y C38 respectivamente-. Como se necesita la desviación típica en vez de la varianza, es necesario calcular la raíz cuadrada de la
varianza en su lugar -mediante la función "RAIZ()" de Excel-.
Entre otros, se pueden obtener los siguientes resultados:
● La probabilidad de que la rentabilidad de la cartera escogida sea del
0% o menor en el período considerado es del 22,68%.
● La probabilidad de que la rentabilidad de la cartera sea superior, por
ejemplo al 10%, es del 4,02%.(Utilizando la simetría de la distribución,
se calcula como 1 menos la probabilidad de que la cartera tenga una
rentabilidad inferior al 10%).
● La probabilidad de que la rentabilidad de la cartera esté entre el 0% y
el 10% es del 73,30%. (En este caso
es 1 menos la probabilidad de que
la cartera tenga una rentabilidad inferior al 0%, menos la probabilidad
de que tenga una rentabilidad superior al 10%).
■ PROBLEMAS CON LA
UTILIZACION DEL MODELO DE
MARKOWITZ.
El modelo de selección de cartera de
Markowitz supone un marco teórico y
conceptual lógico y coherente con el
que abordar, de una manera rigurosa,
los problemas de selección de cartera.
Sin embargo, como se ha comentado,
no se utiliza con frecuencia por los
profesionales responsables de inversiones del sector financiero. Y no se utiliza, por lo menos en parte, porque conlleva una serie de problemas importantes que, de alguna forma, limitan aunque de ningún modo invalidan los resultados que se obtienen.
La literatura financiera sobre los pro-
D E
A C T U A L I D A D
TABLA 4: COMBINACION OPTIMA DE ACTIVOS PARA RENTABILIDADES
ENTRE EL 0,5% Y EL 8,5%
Rent. esperada
Cartera
IBEX-35
FTSE-100
Bono 10-A.
Bono 3-A.
D.JONES-C
Riesgo esperado
Cartera
8,50%
100,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
17,1837
8,00%
71,29%
28,71%
0,00%
0,00%
0,00%
14,7793
7,50%
35,40%
64,60%
0,00%
0,00%
0,00%
12,1896
7,00%
0,54%
96,84%
0,00%
0,00%
2,62%
10,3872
6,50%
0,00%
70,56%
6,20%
0,00%
23,24%
9,4673
6,00%
0,00%
63,99%
14,55%
0,00%
21,45%
8,6172
5,50%
0,00%
57,43%
22,91%
0,00%
19,66%
7,7792
5,00%
0,00%
50,86%
31,26%
0,00%
17,87%
6,9580
4,50%
0,00%
44,30%
39,62%
0,00%
16,08%
6,1602
4,00%
0,00%
37,73%
47,97%
0,00%
14,29%
5,3961
3,50%
0,00%
31,17%
56,33%
0,00%
12,50%
4,6823
3,00%
0,00%
27,67%
39,98%
22,56%
9,79%
4,0039
2,50%
0,00%
24,23%
23,11%
45,60%
7,06%
3,3279
2,00%
0,00%
20,80%
6,24%
68,64%
4,32%
2,6562
1,50%
0,00%
16,27%
0,00%
81,99%
1,75%
2,0086
1,00%
0,00%
10,41%
0,00%
89,59%
0,00%
1,4975
0,50%
0,00%
3,63%
0,00%
96,37%
0,00%
1,3093
blemas en la utilización del modelo de
Markowitz es casi tan extensa como las
soluciones propuestas para obviarlos.
A continuación, se revisan brevemente
los problemas más importantes y sus
soluciones, cuando existen.
a) Problemas de cálculo:
Desde los años 50 y hasta bien entrados
los años 80, este era un problema importante. Incorporar al modelo un número relativamente grande de activos financieros (variables) generaba unos
problemas de cálculo casi insuperables
para los ordenadores de la época. Tener
en cuenta por ejemplo 500 variables,
supone calcular más de 125.000 varianzas y covarianzas y resolver un problema de programación cuadrática de 500
variables y 250.000 términos en la función objetivo. La gran mayoría de los
ordenadores de esa época no eran capaces de resolver un problema de esas características, por lo menos con un tiempo y coste razonables.
Este problema no puede considerarse
vigente hoy en día por dos razones:
primero, la capacidad de los ordenadores ha aumentado extraordinariamente
a la vez que se ha reducido de forma
drástica el coste de cálculo, de modo
que hoy no resulta difícil resolver un
problema del tamaño indicado. Segundo, hay desarrollos que permiten simplificar el problema sin perder por ello
información relevante con respecto a la
misma. Fundamentalmente, consisten
en agrupar los activos financieros que
están muy correlacionados.
En todo caso, es conveniente advertir
que no es posible resolver problemas
de tamaño excesivamente grande con
la macro Solver. Ese tamaño está limitado por razones fundamentalmente
comerciales pero no por falta de capacidad. Para resolver problemas de cierta dimensión es necesario acudir a paquetes comerciales especializados como los mencionados.
b) Estimaciones de rentabilidad
y varianza esperada.
(8) Es por lo menos discutible que la función de distribución de probabilidad de la rentabilidad de una cartera siga una función de distribución Normal. Sin embargo, a los
efectos del planteamiento que aquí se presenta, es una aproximación suficientemente buena.
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En nuestro pequeño ejemplo hemos
utilizado como rentabilidad esperada input en el modelo de Markowitz-, la
media histórica de un determinado
período. Naturalmente, podíamos haberla calculado por cualquier otro procedimiento. En todo caso, cualquier
predicción que se haga sobre la rentabilidad de los activos financieros -por
lo menos los de renta variable- a corto,
e incluso a medio plazo, está sujeto a
una variabilidad muy grande. Esto significa que la diferencia entre las rentabilidades previstas y las reales puede
ser de muchos puntos porcentuales.
En general, en un año podemos equivocarnos en bastante más de 5 o 10
puntos porcentuales, precisamente debido a la volatilidad inherente a los activos de renta variable.
La composición de la solución, esto
es, los porcentajes a invertir en cada
activo financiero en el óptimo, son
enormemente sensibles a las rentabilidades esperadas. Esto significa que
pequeñas variaciones en esas rentabilidades esperadas nos proporcionan
soluciones con una composición de
cartera muy diferente. Dicho de otra
forma, es normal que se produzcan
cambios en las expectativas de rentabilidad de los activos financieros.
Pues bien, al introducir en los datos
del modelo estos pequeños cambios
en las rentabilidades se produce una
composición de la nueva cartera óptima que, aparentemente, es muy diferente de la que teníamos antes de introducirlos. Este hecho incomoda
mucho a los gestores de inversión
que lógicamente no saben, a partir de
resultados tan aparentemente dispares, cuales son los porcentajes más
adecuados a invertir en cada activo financiero En otras palabras, las soluciones son muy poco robustas o estables.
El problema señalado es más grave
cuanto más corto es el período para el
D E
A C T U A L I D A D
FIGURA 1: FRONTERA EFICIENTE
que se planifica el modelo, puesto que
la varianza de la rentabilidad es mayor
con respecto al dato de rentabilidad.
En cambio, se puede considerar relativamente poco importante para períodos superiores a 10 años y utilizando
agregados de activos financieros. Como consecuencia, la utilización de este
tipo de modelos es mucho más recomendable para carteras a largo plazo por ejemplo, fondos de pensiones que para inversiones a corto. Para obviar problemas como los comentados,
se han propuesto varias soluciones,
ninguna de las cuales puede considerarse demasiado satisfactoria.
En el ejemplo anterior, además de utilizar la rentabilidad histórica como
rentabilidad esperada, hemos utilizado también la varianza y covarianza
histórica como las esperadas. En el caso de la varianza, el error esperado entre la previsión (utilizando datos
históricos) y la realidad es mucho más
pequeño que en el caso de la rentabilidad. Además, la propia solución es
menos sensible a diferencias en la varianza-covarianza que a la rentabilidad. De hecho, se han realizado estudios empíricos sobre estos errores, llegando a la conclusión de que los errores en el valor de la rentabilidad esperada tienen una repercusión entre 11
y 20 veces mayor en la solución que
los errores en la matriz de varianza-
covarianza. Por si fuera poco, los errores cometidos al estimar la rentabilidad esperada son más importantes
cuanto mayor sea la aversión al riesgo
del inversor.
Por último hay que comentar que a pesar de los problemas anteriores, bastantes autores sostienen que para hacer
una selección de cartera adecuada, incluso a corto plazo, sigue siendo mejor
utilizar un modelo tipo Markowitz que
los procedimientos más o menos subjetivos que en ocasiones se utilizan en
el mercado.
Efectivamente, la planificación y el diseño de carteras, con este u otras variantes del modelo, o incluso con otros
modelos, permite definir una estrategia
de gestión de carteras en función de
unos perfiles de riesgo. Esto ofrece una
buena base sobre la que el profesional
puede decidir en función de su información puntual y, evidentemente, estas metodologías ayudan en buena parte al gestor a justificar, de cara al inversor, los resultados de la cartera. ●
Daniel Villalba Vila
Catedrático de Economía de la Empresa
Universidad Autónoma de Madrid.
E-mail: [email protected]
Elena Brito Alonso
Bolsa de Madrid.
E-mail: [email protected]
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