Modulo 1ro. Matematica

PLAN DE DESARROLLO CURRICULAR DE AULA
I. DATOS INFORMATIVOS
Unidad Educativa
Director
Campo
Área
Docente
Tiempo
Semestre
Año de Escolaridad
:
:
:
:
:
:
:
:
Caranavi Bolivia
Prof. Juan Edwin Uño Ariviri
Ciencia, Tecnología y Producción
Matemática
Prof. Felisa Dionisia Mayta Choclo
8 periodos
Primero
Primer año de Educación Secundaria Comunitaria Productiva
II. TEMÁTICA ORIENTADORA: Descolonización y consolidación sociocultural, económica y tecnológica.
III. PROYECTO SOCIOPRODUCTIVO: “Comunicación y educación sobre el uso y disposición final de residuos
sólidos”
IV. OBJETIVO HOLISTICO: (SER) Valoramos el trabajo comunitario en favor de la preservación de la naturaleza
(SABER) analizando la definición, regla de signos y propiedades de la potenciación y radicación de números
enteros (HACER) mediante la resolución de problemas y procedimientos algorítmicos orientados a la reflexión
sobre el cuidado del medio ambiente (DECIDIR) para promover hábitos de vida saludable en la comunidad.
V. CONTENIDOS:
UNIDAD
SISTEMAS DE
NUMERACION Y
CONJUNTOS
NUMÉRICOS
CONTENIDOS
Potenciación de números
enteros y su aplicación en
las ciencias
Operaciones de
números enteros y su
aplicación en el área
productiva
Radicación de números
enteros y su aplicación en
las ciencias
TEMAS
Definición de potenciación
Regla de signos de la potenciación de
números enteros
Propiedades de la potenciación de
números enteros.
Definición de radicación
Regla de signos de la radicación de
números enteros
Propiedades de la radicación de
números enteros.
VI. MOMENTOS METODOLÓGICOS Y DESCRIPCIÓN
(desarrollo de los contenidos y temas)
POTENCIACIÓN DE NUMEROS ENTEROS
TEMA Nº 1: DEFINICIÓN DE POTENCIACIÓN
PRACTICA
Actividad: En clase observamos con los estudiantes el siguiente gráfico
ilustrado en un cuadro visible para todos.
Luego se propone a los estudiantes el siguiente problema: En los
desechos sólidos se encuentran muchas bacterias y se analizó el
tiempo de reproducción de las mismas. Una de ellas se reproduce cada
minuto por bipartición, al cabo de un minuto se reproduce en dos, en
el segundo minuto en cuatro, en el tercer minuto en ocho, en el cuarto
en dieciséis y así sucesivamente ¿Cuántas bacterias se habrán
reproducido al cabo de diez minutos? R. ____________________
Interpretamos el gráfico de la siguiente forma:
Quinto minuto
Minuto cero de inicio
2 =1
Primer minuto
2 =2
Segundo minuto
2 =4
Tercer minuto
2 =8
Cuarto minuto
2 = 16
2 = 32 ;
2 = 64; ………y así sucesivamente
En la interpretación se observa que la bacteria se reproduce por bipartición cada minuto entonces consideramos
el dos como la base de la potencia y el tiempo en minutos el exponente. Entonces para saber cuántas bacterias
habrá en diez minutos sólo se debe calcular la siguiente potencia:
2
= 1024
La respuesta es: al cabo de diez minutos se habrán reproducido mil veinticuatro bacterias.
-
Reflexionamos sobre la importancia de la potenciación y su utilidad para realizar cálculos de manera más
rápida y sencilla.
Elaboramos un cuadro de potencias a partir de la ampliación del problema propuesto de la siguiente manera:
Que tal si la bacteria se reproduce por tripartición, tetra partición, pentapartición, etc
Reproducción de bacterias
(base de la potencia)
Actividad de aprendizaje (100 puntos): Debes completar el siguiente cuadro de reproducción de bacterias
aplicando el cálculo de potencias
CUADRO DE REPRODUCCIÓN DE BACTERIAS (Cuadro de potencias)
MINUTOS (Exponentes)
0
1
2
3
4
5
6
X X X X
X
X
X
X7
X8
X9
X10
1
1
1
2
1
2
8
16
128
1024
3
1
3
27
243
19683
4
16
5
5
625
15625
390625
7
1
8
9
9 81
4782969
10
1 000 000 000
TEORIA
A partir de la práctica realizada estudiamos la definición básica de potenciación:
¿Qué es la potenciación?
La potenciación es la operación abreviada de la multiplicación de un número por sí mismo una o varias veces.
EXPONENTE
Indica cuantas veces se multiplica la
base por si misma, se ubica en la
parte superior derecha de la base
BASE
Es el número que se
multiplica por sí mismo
tantas veces como indica
el exponente.
=
POTENCIA
Es el resultado de la
operación de potenciación
Bn = P
×
×
×
×
×
… … … . .×
Donde B y n son números enteros, y Bn indica que B se multiplica n veces
Ejemplo:
4) (−2) =………………………………………..........=………..
5)
7 =…………………………………………..……=………..
6) 10 =………………………………………………..=………..
1) 4 = 4 × 4 × 4 = 64
2) 3 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
3) (−3) = (−3) × (−3) × (−3) = −27
TEMA Nº 2: REGLA DE SIGNOS DE LA POTENCIACIÓN
En el conjunto de números enteros, sabemos que hay cantidades positivas y negativas, y por eso hay formas para
determinar las potencias de forma directa. La primera es aplicar la regla de signos para saber si la potencia será positiva
o negativa y luego se aplica la multiplicación sucesiva por el mismo número tantas veces como indica el exponente
Regla de signos
 Si la base es positiva la potencia siempre será positiva, sin importar el valor del exponente, porque el producto
(multiplicación) de signos positivos siempre es positivo.
(+)
=+
(+)
=+
Ejemplo:
1) (+4) = (+4) × (+4) = +16
2) (+16) = (+16) × (+16) × (+16) = +4096
3) (+2) = +64
Hallar la potencia:
1)
2)
3)
4)
5)
(+7) = __________
(+4) = __________
(+9) = __________
(+20) = __________
(+13) = __________
6)
7)
8)
9)
10)
(+6) = __________
(+15) = __________
(+3) = __________
(+5) = __________
(+1) = __________
 Si la base es negativa y el exponente es par la potencia será positiva, porque el producto de cada par de signos
negativos es positivo.
(−)
=+
Ejemplo:
4) (−7) = (−7) × (−7) = +49
5) (−8) = (−8) × (−8) × (−8) × (−8) = +4096
6) (−2) = +512
Hallar la potencia:
11) (−3) = __________
16) (−300) = __________
12) (−9) = __________
17) (−4) = __________
13) (−2) = __________
18) (−11) = __________
(
)
14) −40 = __________
19) (−10) = __________
15) (−7) = __________
20) (−5) = __________
 Si la base es negativa y el exponente es impar la potencia será negativa, porque hay un factor negativo que
queda sin su par.
(−)
=−
Ejemplo:
7) (−8) = (−8) × (−8) × (−8) = −512
8) (−13) = (−13) × (−13) × (−13) × (−13) × (−13) = −371293
9) (−2) = −512
Hallar la potencia:
21)
22)
23)
24)
25)
(−7) = __________
(−2) = __________
(−6) = __________
(−155) = __________
(−10) = __________
26)
27)
28)
29)
30)
(−60) =
(−5) =
(−300) =
(−1)
=
(−4) =
__________
__________
__________
__________
__________
SINTESIS DE LA REGLA DE SIGNOS
BASE
EXPONENTE
Número Par o
Número Impar
POTENCIA
Negativa
Número Par
Positiva
Negativa
Número Impar
Negativa
Positiva
Positiva
Actividad de aprendizaje
Aplicando la regla de signos y la definición de potenciación hallamos de forma directa las siguientes potencias:
1) (−3) =_______
6) (+12) =_______
2) (−4)
=_______
7) (−6)
=_______
3) (+8)
=_______
8) (−6)
=_______
4
=_______
9) (+5)
=_______
5) (−12) =_______
10) (−9)
=_______
4)
TEMA Nº 3:
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
1) Producto de potencias de la misma base: Es igual a otra potencia de la misma base y el exponente es la suma
de los exponentes de cada factor.
∙
a) (−2)
b) 7 ∙ 7
c) (−3)
∙ (−2) = (−2) = −32
∙7 = 7
∙ (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) = (−3)
=
= (−3)
= (−3) = −3
2) Cociente de potencias de la misma base: Es igual a otra potencia de la misma base y el exponente es la
diferencia o resta del dividendo y el divisor.
÷
a) 3 ÷ 3 = 3
=
=3 =9
b) (−5) ÷ (−5) = (−5)
=
ó
c)
(
)
(
)
= (−2)
= (−5) = −125
=9
d)
(
= (−2) = 64
)
=9
3) Potencia de un producto:
Se eleva al mismo exponente cada factor, se
halla la potencia y luego se halla el producto
de las potencias, es decir se multiplican.
( ∙ ) =
∙
Cuando dos o más factores están elevados a
un mismo exponente, es posible hallar
primero el producto de los factores y luego
la potencia.
∙
Ej. (4 ∙ 8) = 4 ∙ 8
=( ∙ )
Ej. 4 ∙ 8 = (4 ∙ 8)
= 64 ∙ 512
= (32) = 32 ∙ 32 ∙ 32
= 32 768
= 32 768
4) Potencia de un cociente:
Se eleva al mismo exponente tanto el
dividendo como el divisor, se halla la
potencia y luego se halla el cociente de las
potencias, es decir se dividen.
( ÷ ) =
÷
Ej. (72 ÷ 3) = 72 ÷ 3
= 26 873 856 ÷ 81
= 331 776
Si el dividendo y divisor están elevados a un
mismo exponente, es posible hallar primero
el cociente y luego la potencia.
÷
=( ÷ )
Ej.72 ÷ 3 = (72 ÷ 3)
= (24)
= 331 776
= 9 = 81
5) Potencia de otra potencia: Es igual a otra potencia de igual base y cuyo exponente se obtiene multiplicando los
exponentes de las potencias indicadas
(
a) (2 ) = 2
×
×
) =
= 2 = 256
b) [(−4) ] = (−4)
×
= (−4) = 4096
c) [[[(−5) ] ] ] = (−5)
× × ×
= (−5) = 1
6) Potencia con exponente negativo: Es igual a otra potencia cuya base es el inverso multiplicativo de la base de la
potencia indicada y el exponente es el mismo pero de signo contrario.
=
a) 3
=
=
=
=
b) (−6)
= −
=
c) (−9)
= −
=−
=
=−
7) Potencia con exponente cero: Toda potencia con exponente cero siempre es igual a la unidad.
=
a) 5 = 1
b) (−107895) = 1
c)
√25 − 28
d)
−
=1
=1
8) Potencia con exponente uno: Todo número elevado a la unidad siempre es igual al mismo número.
=
a) 2 = 2
b) (−345) = −345
c) √3 = √3
d) (−978546) = −978546
9) Potencia de base uno: La unidad positiva elevada a cualquier exponente siempre es igual a la unidad positiva.
=
a) 1 = 1
b) 1
=1
c) 1
d) 1
=1
=1
10) Potencia con exponente fraccionario: Es igual a una raíz cuyo índice es el denominador del exponente y el radicando
es igual a la base y su exponente es el numerador del exponente de la potencia.
= √
a) 4 = √4
b) (−3) =
(−3)
VALORACIÓN
a) Realizamos un debate sobre los efectos de la contaminación por el desperdicio de residuos sólidos y la
propagación de bacterias que producen infecciones u otras afecciones. Consideramos las cantidades del cuadro
de potencias.
b) En grupos comunitarios reflexionamos sobre la importancia de la potenciación y su aplicación en las ciencias.
PRODUCCIÓN
a) Elaboración y exposición de cuadros de potenciación sobre la reproducción de bacterias y áreas contaminadas
en la comunidad promoviendo hábitos de vida saludable.
b) Elaboración de gráficos sobre la aplicación de la potenciación en actividades comerciales, cálculo geométrico de
áreas, volúmenes, y datos estadísticos.
Actividades para potenciar nuestras habilidades:
SABER:
1. Contesta en tu cuaderno a las siguientes preguntas, el trabajo tiene valor de 100 puntos
a) ¿Qué entiendes por potenciación?
b) Si una potencia tiene base negativa y su exponente es un número par. La potencia es ¿positiva o negativa?
c) Escribe las fórmulas de las propiedades de la potenciación y un ejemplo de las mismas.
d) Cuando se tiene una potencia con exponente negativo ¿Cuál es el procedimiento para hallar la potencia?
e) ¿Qué aspectos importantes aprendiste en este taller?¿qué más te gustaría aprender?
HACER:
2. Prueba tus habilidades operativas resolviendo los siguientes ejercicios y problemas en esta práctica. La práctica
tiene un valor de 100 puntos.
PRACTICA
(15 puntos) Hallar la potencia aplicando la regla de signos y la definición de potenciación:
1)
5
2) (−7)
3) (−3)
4) −7
5) −.4
=
=
=
=
=
6)
7)
8)
9)
10)
(−12)
400
(−2)
34
(−10)
=
=
=
=
=
(40 puntos) Aplica las propiedades de la potenciación para hallar el valor de los siguientes ejercicios con potencias
indicadas.
11) (−7) ∙ (−7) =
20)
=
12) 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 =
( )
21) ( ) =
13) (−2) ∙ (−2)
∙ (−2) ∙ (−2) =
14) 6 ∙ 6 ∙ 6 =
22)
÷
=
15)
∙
∙
∙
=
23)
=
16) 4
∙4
∙4=
24) (2 ∙ 8) =
17) =
25) 2 ∙ 8 =
(
)
(
)
26) (−4) ∙ (−3) ∙ 2 ∙ 5 =
18) −5 ÷ −5 =
(
)
27) 20 ∙ 20
÷ 20 =
19) (
=
)
28) (−7) ∙ (−7) ÷ (−7) =
29) (5 )
30) [[[[(4 ) ] ] ] ] =
=
(25 puntos) Simplifica las siguientes expresiones aplicando las propiedades de la potenciación:
31)
32)
33)
∙
∙
=
∙
∙
∙
∙
∙
34)
(
(
(
(
35)
( )
( )
( )
( )
=
=
)
)
)
)
=
=
(20 puntos) Resuelve los siguientes problemas:
36) En un camión hay 12 cajas con mangos, a su vez cada caja de mangos contiene 12 cajas pequeñas con 12 mangos
cada una. El vendedor desea vender los mangos por unidad a un costo de Bs. 3 cada mango. En una hora de
venta recaudó Bs. 2184 ¿Cuántos mangos le falta por vender? ¿Cuánto recaudará en total si vende todos los
mangos?
37) El mosquito del dengue duplica su población cada cinco minutos. Un especialista coloca un ejemplar dentro de
un frasco a las 8:00 a.m. ¿Cuántos mosquitos se habrán reproducido hasta la 9:30 a.m.?
AUTOEVALUACION: Escribe la nota que creas que corresponde a tu desempeño en las diferentes dimensiones en el
desarrollo del taller:
SER
SABER
HACER
DECIDIR
RADICACIÓN DE NUMEROS ENTEROS
TEMA Nº 4: DEFINICIÓN DE RADICACIÓN
PRACTICA
Repasamos el cuadro de potencias elaborado en el primer tema y se propone a los estudiantes calcular lo siguiente
considerando el cuadro de potencias como apoyo y guía para calcular raíces:
-
Si la potencia de 6 = 1296 entonces ¿cuál será la raíz cuarta de 1296? R. √1296 = 6
Si (−8) = −32768 entonces ¿Cuál será la raíz quinta de -32768 ? R. √−32768 = −8
Si 4 = 64 entonces ¿Cuál será la raíz cúbica de 64 ? R. _____________________
Si (−10) = −10 000 000 entonces ¿Cuál será la raíz séptima de -10 000 000 ? R. ________________
Si (−7) = −40 353 607 entonces ¿Cuál será la raíz novena de – 40 353 607 ? R. ________________
Reflexionamos acerca de que la potenciación es importante también para el cálculo de raíces en el conjunto de números
enteros. Luego elaboramos y completamos el siguiente cuadro para potenciar las habilidades de cálculo:
Principales raíces cuadradas, cúbicas y cuartas
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
144
196
256
324
400
√
1
2
3
9
16
√
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1728
2744
4096
5832
8000
5
12
18
√
1
16
81
256
625
1296
2401
4096
6561
10000
20736
38416
65536
104976
160000
2
5
7
20
TEORÍA
En base a la práctica realizada estudiamos la definición de potenciación.
¿Qué es la radicación?
La radicación es la operación inversa de la potenciación.
Si
= → √ =
Los elementos de la operación tienen nombres diferentes de los de la potenciación:
Índice de la raíz
Es el número que direcciona a
buscar la potencia de otra
cantidad que de cómo
resultado el radicando.
Raíz
Es el resultado de la
operación de radicación
√ =
Radicando o Cantidad
Subradical
Es la cantidad de la cual se
debe buscar su raíz.
Para hallar la raíz de cualquier cantidad se debe buscar un número cuyo exponente sea igual al índice de la raíz y de
cómo resultado o potencia el mismo radicando o cantidad subradical.
Siendo la radicación la operación inversa de la potenciación se puede justificar el resultado de las raíces:
Ejemplo
1. √169 = 13 − 13, porque tanto 13 como (−13) es igual a 169 (radicando) entonces se tiene como
resultado dos raíces una positiva y otra negativa.
2. √−216 = −6 porque (−6) = −216
3. √32 = 2
porque 2 = 32
4. √81 = 3
porque 3 = 81
5. √−36 =
6 − 6 porque 6 = 36 (−6) = 36, en ningún caso la potencia con exponente par dará
una cantidad negativa, por tanto no existe raíz real de un número negativo con índice par.
Ahora probemos nuestras habilidades de cálculo: hallar la raíz de las siguientes cantidades y justificar la respuesta
1. √1024 = _____ ______
porque _______________________
2. √−243 = ____________
porque _______________________
3. √5764801 = ______________
porque _______________________
4. √65536 = ____________
porque _______________________
5. √−729 = ____________
6. √−2401 = ____________
porque _______________________
7. √59049 = ____________
8. √−64 = ____________
porque _______________________
porque _______________________
porque _______________________
9. √−279936 = ____________
porque _______________________
10. √−134217728 = ____________ porque _______________________
TEMA Nº 5: REGLA DE SIGNOS DE LA RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para calcular las raíces en el conjunto de números enteros, se debe considerar el signo de la raíz el valor del índice y
el signo de la cantidad subradical.
1. CUANDO EL RADICANDO ES POSITIVA Y EL INDICE ES PAR
Si la cantidad subradical es positiva y el índice es par existen dos raíces iguales en valor absoluto, pero de distinto
signo.
1. − √25 = 5 − 5, porque tanto 5 como (−5) es igual a 25 (radicando) entonces se tiene como resultado dos
raíces una positiva y otra negativa.
2. − √16 = 2 porque (2) = 16
3. − √49 = 7
4. − √81 =
porque ………………………………………………………………………………
porque ………………………………………………………………………………..
2. CUANDO EL RADICANDO ES NEGATIVA Y EL INDICE ES PAR
Si la cantidad subradical es negativa y el índice es par, no existe raíz real porque no hay ningún numero positivo o
negativo tal que elevado a un exponente par su potencia sea negativa.
1. − √−25 =?
5,
− 5,
2. − √−16 =? no es +2, ni -2
porque (5) = 25 y (−5) = 25
porque (2) = 16 (−2)2= 16
3. − √−36 =
porque ………………………………………………………….
4. − √−81 =
porque …………………………………………………………..
3. CUANDO EL RADICANDO ES POSITIVA Y EL INDICE ES IMPAR
Si la cantidad subradical es positiva y el índice es impar la raíz es positiva y única.
2. − √8 = +2
porque (2) = +8
3. − √32 =
porque ………………………………………………………….
4. − √100000 =
porque …………………………………………………………..
4. CUANDO EL RADICANDO ES NEGATIVA Y EL INDICE ES IMPAR
Si la cantidad subradical es negativa y el índice es impar, la raíz es negativa y única.
2. − √−1 = −1
porque (−1) = −1
3. − √−32 =
porque ………………………………………………………….
4. − √−243 =
porque ………………………………………………………….
TEMA Nº 6: PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN DE NUMEROS ENTEROS
La radicación al igual que la potenciación presenta 5 propiedades:
Primera .- la raíz unitaria de cualquier numero siempre es igual al mismo número.
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5.
7 = 7 ∴ √7 = 7
(−3) = −3 ∴ √−3 = −3
64 = 64 ∴ √64 = 64
10 =
∴ √10 = 10
(25) = (−25) ∴ √25 =
Segunda .- la raíz de cualquier índice de la unidad positiva siempre es igual a la unidad positiva.
Ejemplos :
1. √1 = 1
2. √−1 = +1
porque 1 = 1
3. √1 = 1
4. √1 = 1
porque 1 = 1
5. √1 =
porque 1 = 1
porque −1 = +1
porque 1 =
Tercera.- la raíz de un producto indicado es igual al producto de las raíces de los factores.
Ejemplos:
1.
27 ∗ (−8) = √27 * √−8 = 3 ∗ (−2) = (−6)
2.√4 ∗ 9 = √4 * √9 = 2 ∗ 6 = 6
3.
8 ∗ (8) = √8 * √8 = 2 ∗ (2) = (4)
4. √9 ∗ 25 = √9 * √25 = 3 ∗ 5 = 15
verificación
27 ∗ (−8) = √−216 = (−6)
verificación √4 ∗ 9 = √36 = 6
verificación
8 ∗ (8) = √64 = 4
verificación √9 ∗ 25 = √225 = 15
Cuarta .- La raíz de un cociente indicado es igual al cociente de las raíces de sus términos respectivamente.
Ejemplos:
1.
64 ÷ (8) = √64 ÷ √8 = 4 ÷ (2) = (2)
2.√36 ÷ 9 = √36 ÷ √9 = 6 ÷ 3 = 2
verificación √64 ÷ 8 = √8 = (2)
verificación √36 ÷ 9 = √4 = 2
3.
1000 ÷ (8) = √1000 ÷ √8 = 10 ÷ (2) =
4. √100 ÷ 4 = √100 ÷ √4 = 10 ÷ 2 =
verificación
1000 ÷ (8) = √125 =
verificación √100 ÷ 4 = √25 = 5
Quinta .- La raíz de otra raíz indicada es igual a otra raíz cuyo índice se obtiene multiplicando los índices de las raíces
indicadas.
∗
1.
√64 = √64 = √64 = 2
2.
√625 =
3.
√729 = √729 = √729 = 3
∗
√625 = √625 = 5
∗
Síntesis de la propiedades de la radicación
=
1. √
2.
√1 = +1
3.
√ ∗
= √ ∗√
4.
√ ÷
= √
5.
√
=
√
÷ √