La Circunferencia y sus Ángulos

LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS
Introducción
La circunferencia es la más sencilla y familiar de las curvas y constituye, desde tiempos
remotos, un elemento de suma importancia para el arte, el diseño y la arquitectura.
Hace aproximadamente dos mil quinientos años, en Grecia ya habían matemáticos
preocupados por estudiar los elementos y relaciones que se dan en una circunferencia.
Conocimientos previos
TRIÁNGULO: es una figura geométrica cerrada de tres lados. Según la medida de sus
lados, se clasifican en:
Equilátero: sus tres lados son congruentes.
Isósceles: posee dos lados congruentes.
Escaleno: no posee lados congruentes.
PARALELÓGRAMOS: son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos. Entre
ellos están: el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide.
Cuadrado: es aquél que tiene sus cuatro ángulos interiores rectos y sus cuatro
lados congruentes.
Propiedad: sus diagonales son congruentes y perpendiculares.
Rectángulo: es aquél cuyos ángulos interiores son rectos, sus lados adyacentes
son distintos y sus lados opuestos son congruentes.
Propiedad: sus diagonales son congruentes.
Rombo: es aquél cuyos lados son congruentes y sus ángulos interiores no son
rectos.
Propiedad: sus diagonales son bisectrices de los ángulos interiores y son
perpendiculares.
Romboide: es aquél cuyos ángulos interiores no son rectos, sus lados adyacentes
son distintos y sus lados opuestos son congruentes.
Propiedad: sus diagonales son congruentes.
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Relación entre los ángulos generados entre dos rectas paralelas y una transversal
En la siguiente figura se cumplen las siguientes propiedades:
1 4
2 3
L1
L1 // L2
5 8
6 7
L2
1. Los ángulos correspondientes son congruentes.
2. Los ángulos alternos internos son congruentes.
3. Los ángulos alternos externos son congruentes.
4. Los ángulos internos entre las paralelas al mismo lado de la transversal son
suplementarios.
5. Los ángulos externos a las paralelas al mismo lado de la transversal son
suplementarios.
CIRCUNFERENCIA
Definición
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un
único punto llamado centro.
La distancia del centro de la circunferencia a cada punto de ella se llama radio (r).
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Notación
La circunferencia de centro O y radio r se denota por C(O,r).
r
O
r
r
Obs: el círculo corresponde a la región interior de una circunferencia, incluyendo ésta.
Elementos de una circunferencia
A partir de la siguiente figura, definiremos todos los elementos relativos a una
circunferencia.
L2
D
T
A
O
r
B
F
E
L1
a) Radio (r): es la distancia desde el centro de la circunferencia a un punto cualquiera
de ella. Por ejemplo:
OD , OA y OB son radios. OD = OA = OB = r
b) Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia. Por
ejemplo
EF .
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c) Diámetro (d): es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Equivale a
dos veces el radio, es decir, d=2r. Por ejemplo
AB .
d) Arco: es una porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. Por
ejemplo el arco BD, cuya notación es: BD. Los arcos se leen en sentido antihorario.
e) Secante: es la recta que intersecta la circunferencia en dos puntos. Por ejemplo L1 .
f) Tangente: es la recta que intersecta la circunferencia en un solo punto. Por ejemplo
L2 . El punto de intersección se llama punto de tangencia o de contacto. Por ejemplo,
T es el punto de tangencia.
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1) Ángulo del centro
Es aquél cuyo vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados son radios.
Ejemplo, el ángulo AOB de la figura.
B
A
O
2) Ángulo inscrito
Es aquél cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son cuerdas (o secantes).
Ejemplo, el ángulo ACB de la figura.
B
O
C
A
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3) Ángulo interior
Es aquél que está formado por la intersección de dos cuerdas cualesquiera. Ejemplo,
el ángulo CPD de la figura.
A
C
O
P
D
B
4) Ángulo exterior
Es aquél que está formado por dos secantes (o tangentes, o una secante y una
tangente) que parten de un mismo punto exterior a una circunferencia. Ejemplo, el
ángulo APB de la figura.
D
A
O
P
C
B
5) Ángulo semi-inscrito
Es aquél cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son una tangente y una
cuerda, respectivamente. Ejemplo, el ángulo ABP de la figura.
B
O
P
A
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PROPIEDADES ANGULARES
1) Medida angular del arco
Es la medida, expresada en grados sexagesimales, del ángulo del centro que
subtiende dicho arco.
2) Medida del ángulo del centro
El ángulo del centro de una circunferencia tiene igual medida, en grados
sexagesimales, que el arco correspondiente y viceversa. Por ejemplo, el ángulo del
centro correspondiente al arco de un cuadrante de circunferencia mide 90°.
B
A
O
Medida angular arco AB = medida ∠ AOB = 90 °
3) Medida del ángulo inscrito
Teorema: El ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad de la
medida del ángulo del centro correspondiente.
Por ejemplo, en la circunferencia de centro O, el ángulo ACB está inscrito en el arco
AB y el ángulo AOB es el ángulo del centro correspondiente. Entonces, tenemos:
B
C
O
A
∠ACB =
∠AOB
2
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COROLARIOS (Consecuencias)
En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, se cumple:
a) A ángulos del centro congruentes corresponden arcos congruentes y viceversa.
b) A ángulos inscritos congruentes corresponden arcos congruentes y viceversa.
c) Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes.
d) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Esto es:
D
E
A
C
B
O
∠ACB = ∠ADB = ∠AEB = 90°
e) Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son
suplementarios. Esto es:
D
δ
γ
C
O
A
α
β
B
α + γ = β + δ = 180°
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4) Medida del ángulo interior
Teorema: La medida del ángulo interior de una circunferencia equivale a la
semisuma de las medidas de los arcos que intersecta en la circunferencia dicho
ángulo. Esto es:
A
D
O
P
x
C
B
∠x =
arco AB + arco CD
2
5) Medida del ángulo exterior
Teorema: La medida del ángulo exterior de una circunferencia equivale a la
semidiferencia de las medidas de los arcos que dicho ángulo intersecta en la
circunferencia. Esto es:
D
A
O
x
C
B
∠x =
arco AB − arco CD
2
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P
6) Medida del ángulo semi-inscrito
Teorema: El ángulo semi-inscrito en una circunferencia es congruente con el ángulo
inscrito que subtiende el mismo arco. Esto es:
C
B
x
O
P
A
∠x = ∠ACB
7) En los siguientes casos se cumple que:
∠x = α + β
C
x
O
α
A
O
β
B
α
x
β
C
B
A
PROPIEDADES QUE RELACIONAN ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
1) Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide el arco y la cuerda en dos partes
iguales.
2) La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto.
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3) Dos rectas paralelas en una circunferencia intersectan arcos congruentes.
4) Las tangentes trazadas a una circunferencia desde un mismo punto exterior son
congruentes.
5) Dos arcos congruentes determinan cuerdas congruentes y viceversa.
6) Dos cuerdas son congruentes si y solo si equidistan del centro.
7) La simetral de toda cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
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