Document

Universidad Autónoma de San Luis Potosí.
Facultad de Ciencias
Equivalencia de Medias sin Equivalencia de Ensambles:
Aplicación a Problemas de Puntos en el Plano
TESIS
Que para obtener el Grado de
Maestro en Ciencias Aplicadas
PRESENTA:
Rutilo Moreno Monsiváis
ASESOR:
Dr. Edgardo Ugalde Saldaría
A
L IS POTOSÍ ,
.L.P.
PTI · MBR ·
200 5
•
EQUIVALENCIA DE MEDIAS SIN EQUIVALENCIA DE
ENSEMBLES: APLICACIÓN A PROBLEMAS DE PUNTOS EN EL
PLANO
RUTILO MORENO MONS IVA IS
SEPTIEMB RE DEL 2005
C ONTEN I DO
l.
2
1.1.
Caminos Al ternantes
2
1.2.
Matchings Lineales
3
2.
•
Motivación
Planteamiento del Trabajo
6
7
2.1.
Marco formal
2.2.
Estructura de la Tesis
10
Equivalencia de Medias
12
3.1.
Prueba del Teorema 1
13
3.2 .
Crecimiento lineal asintótico
15
3.
4.
Equivalencia de Ensemb les
20
5.
Comentarios Finales
6.
Anexo: Resul tados Técnicos
26
29
Ref rencias
32
•
2
M
SNAI
. PTI :' IBRE DEL _00
"
j mplo duna onfigura i ' n
1.
R
n
, y un
amin
alt rnant
n la mi m
l. M
l.l.
amín
I t rnant
pun
n
n d lo
T I VA
a
I
i = 1, 2, ...
n}
un
d
njunt
, m i ntras qu I . r stant
ua]
nll1gun
r
n
xtr m
• I
•
d I
gm nt
J'
son J
punto v i) v i) ~ I
d
•
r pit n ,
h
i i= j.
• n
La 1 n i t u
e
di
m
d
ru
un
imal
al
.]
ntr
d
amin
1
a1trn nt
e s I I1ltm r
d punt
qu
t
n
J
111
lu
u
e
p r
. Le
aJ111n
n
la I ngitud d
un
d
aJ11in
rnanl
maximal
I ng-iLud
a1t maJ1
njunt
ir,
d ) un
maximal
n . port
n
nj Lur ' qll
1 )S
qu mlntmlZ n ( ) s n aqll 1I0s u
d linJi Lan
Ulla
.
'
3
EQ ¡VA LENCIA DE E SEMI3L ES
EQ ¡VALE C IA DE MEDIA
regi ón convexa d I plano. Se puede definir la cota inferior
e(n)
:=
min{ e(e) : e
s un onjun to de n puntos rojos y n
puntos az ules que d limi tan una región onvexa del pl a no}.
P aul Erdos propuso como problema encontrar e(n) y conj etur ' que e(n) ::; 3n/2 + 2.
Se demue t ra fácilmente que €(n) 2': n. Basta ob ervar que hay una linea rccta qu
separa el conjunto e en 2 subconjun tos de igual cardinalidad , y un de ell os ont ien
n o más puntos azules, lo que implica que el compl emento contiene n o más pun tos
rojos. Un camino altern ante se contruye entonces alternando entre punto. el esos 2
subconjunto . Es de uponerse que la desigualdad e(n) 2': n
el mejor resultado mejora e ta ota
'0 10
stri ta, sin embargo
en ordenes inferiore al lineal (vease más
adelante).
En 2003 Abellanas y coautores[l ] probaron que para cada E > O existe n = n( ) tal s
que para cada n 2': n( E) hay un conjunto
en de n punto
rojo y n pun to azu l s que
delimitan una región convexa del pl ano que satisfac
e(en )
::;
4n
3(1 + E).
más tarde, n 2005 Kin ~ l y coautore [6] d muestran que exist n constante
1,
C 2 2':
O tal que
De esta form a se mejoran las cot as inferior y superior p ara n. Aunqu la mejora de
la cota inferior es tan solo de orden -}n/ log(n) , se ree qu la ota supri or 4n/3 s
asintóticamente justa.
l.2 . Matchings Lineales. Un matching lineal maxima l en e
un c njullt o max-
imal de segmento de recta disjuntos dos a dos, cada uno de los ua les ti ne como
extremos un punto rojo y uno punto azul tomados de e , y tal s que hay un a linea
recta qu e interse ta a todos los segm nto (de ahí l adj t ivo de lin a l, vea.sc fi gura
2) :
•
D
~im os
tQs . ~s
I
que 1 número de puntos que r cubre un matching compue 'to por m segmell-
2m ..Abellanas y coautores [1] d
muestra n que encontrar otas para mat.chings
M
IV 1
8PTl MBRE DEL 2005
.. ;;
•
•
; I , R
m
lin al
2.
ing lin
j mpfo duna
I
p rt
n
nfigur
ión n p
un
n l a mism a
me ¡mal
ntrar
tas par
mIl s al t rn an
m
im al
n
Propo i ión l.
upongamo qu
xist un arr glo d n punto mjo y m ::::: n punto
onv xa n l pLano, y qu admi t un mat hing lin aL maximal qu
r
ubr
onv
n punto . Enton
o on ni = r
n punto rojo
y
, para algún naturaL r
l' X
alt mant maximaL d longitud m nor a
m punto azul
algún otr arr 9Lo
nv
x n
nton'
qu
tambi 'n
adrmt un mal hing lin al maximal d longitud al m no
ntr
d
un
punt
1'n(n)
-
min{m(
)
n punt
az ul
:
y
Q
T X
m punt
un
m t hin
lin al maximal
azul s, s d fin
e
qu
ta pr
ul i rt s p r un ma hin
r jos
azul
x ni.
maxim al
d
LI
ist, para algun natural r
am tn
lin
i t un arr glo
aporta un amino alt mant
o on ni = r· x n puntos mjo
H
otro arr glo
aporta un amino
x ni. R ipro am nt ,
onv xo d n punto rojo y m ::::: n punto azul
maximaL d longitud m nor a
qu
xi t
rr glo
qu d limi an un e r gi' n
nv xa el I plano} .
n
•
EQU IVAL ENCI A DE MEDJ AS SI
EQU IVALENCI A DE E SEMB L ES
5
Suponiendo que los límites
0: := lim €(n) y (3 := lim m(n)
n
exist en , la prop osición 1 implica qu e o:
n-.oo
4/3.
,1
"
.,
n-.
= (3,
n
y todo indica que a mbo tornan 1 valor
•
R
IL
2.
L
pr bl m
IV I
M
L
T·
d pun
al
M IE T
azul
Eprl l
DEL
R B J
nli tar i n n un a
qu
l at n
nd
BRE D . L 005
njun t
ulta nat ural pr
mbl ?
ual
. la
untar
•
la m di a d
us val
d
d n punt
njunt
roj s
n
nI di tribu i ' n unir rm
(v . [7J
ar á d
mi ro anóni o
alifi ará d
int rpr tar
n rgí )
d 2n punt
una r gi 'n
p r
It rn
m
nv xad I pI
1 ,
on un
[2J
indi
n qu
ari
t ina
di tribu i ' n
amln
ss n
n pr m di
di ribu
s gún
r mu
d
t r abaj o. D I
lin
nt m( ))
1
an ri rm n .
i n n n I mi
t.udia n
a
quiv 1 nt
mi ro anóni o. L
qu
I
1 I
parr fo la palabr
egund a par
quival
11
d
st
ntr I
•
EQ IVALE
l A DE MEDIAS SI
EQ IVA LE
lA DE E SEMB LES
7
imilitudes y diferencias que hay entr el tipo de equivalen ia qu dem anda la qUlValencia del crecimiento lineal de las medias , y la más clási a equivalencia completa
de ensembles (no otros adaptamos 1 sentido que a este t rmino s le da en [3]).
2:1. Marco formal. Para
d@ R y A
d~
11,
E N fijo , sea D ~ic el conjun to de t das las secuencias
tamaño 2n , qu cont ienen exactamente n vece R y n ve e A , o lo qu
e ID mismo".,
La notación indica que w es un a fun ción con dominio {1 , 2, ... , 2n} e im agen {R , A} ,
bajo la: cual hay n índices en {1 , 2, ... , 2n} que toman el va lor R , mient ras qu los n
índices restante toman 1 valor A. Esto último se abrevi a #w - 1 (R)
= #w - 1(A) = n .
En el conjunto D~ic se considerara la distribu ción de probabi lidad uniforme
•
Un cálculo elem ntal p rmi te concluir qu :
ll';:;' (w)
~ ( 2: )
- 1
Vw En;:;'
Para . cada n E N , la parejOa (Dmic
defin e 1 ensemble micmcanóni o en l volun , jp'mic)
n
m en n .
A cada secuencia w E D ~ ic se pueden asoClar un onj unt
d
puntos roJos (R) y
azules (A)' que delimi tan una región convexa en el pl ano. Para fij ar id . " pa ra acl a
n .E N y' para k = 1, 2, ... 2n , sea
•
Vk
:= exp(27fi x (k - 1)j2n) en el pla no co mplejo.
La secuencia w E D ~ic determina una colora ión:
en caso con t~·ario. De
Vk
será azul si w(k)
= A, y rojo
ta manera se aso ia a ada ecuen ia w E D~lic un conjunto
coloreado Cw que delimi ta una región convexa de
e
(vease Figura 3).
Cualquiera que fu era la ma nera de asociar secuencias w on conjuntos ele pun tos
az ules y rojos delimi taJ,1to una región conv xa d I p,la no, la longint ud el un camino
alterqate maxim al en el conjunto de puntos res ul tante d p nd rá solament d · la
ecu ncia que
~o
defin . Lo mismo
tal conjunto de punto .
pu de decir de un mat hing li neal ma,'{im a l n
•
R T IL
MOR
M
EPTI EMBR ' D ' L 00
w =ARARARAARAARARRARRAARRRA
.
•
•
i
¡
.
~
•
- ~.-
....• ---------_ ... _--_ .. "' ...................... -
•
•
•
•
orr
R·
• •
¡
•
•
•
V _
k 2
la w
p nd n ia ntr un a
u
nfigur
i'n
W·
ul ar
m
Ir,
fl
y
pu d n d finir fun
ha d
J1
cli
n ( W ) :=
W
1
# {R A)2N ==
njun
t d
{R )2n
L
xp rim nt
anónico n volum n n
- H
W
v
•
W
e rm
d
p r l
w E {R , A} 2n.
'a ada
I [un
(w)
num ' ri
lE~i ( ) :=
¿
d
m(w) qu
W
111
indi an qu
(w) p;~i (w)
pu d n xt nd r
1E,,(e)
y
d finir.
in ' i am nt
d
¿
:=
w {R ,
r
l mi m
imi nL
lin al
11
(w) P,,(w),
)2n
n. L mi
to impliqu qu
fi g . 4
he
-
~
5).
O. 20 ,
111 0
a l mi m
man r a mas pr
~
•
lo pr m di
wE ~ ic
in li a qu
(w) := (w)
d
fl
ti n n
f-+
rit .
n mbl
l
llD
qu
O. 15 'al qu :
i a, la
Ir
para
iel n ia num ' ri a
•
EQ ¡VALE CJA DE !\BOlAS S I
EQU I ALE GIA DE E SEMB LES
0.9 187 - Promedio
Promedio
0.98
onnalizado Microcanonico
onna lizado Microcanonico
0.96
0.94
0.92
.-.,.::
0.9
0.88
0.86
!
0.84
0.82
0.8
100
400
300
200
500
n
Frc
a minos al-
omparación de prom e lios normalizados d
4.
RE
ternante maximales en ensembles canóni o y microcan ' ni o
0.95
0.82 19
Promedio Microcanonico NonnaJi zado
Promedio anonico Nonnalizado - -
•
0.9
0.85
0.8 -(
0.75
0.7
L-_-'--_--'-_--'-_---'-_---"' - - _ - ' - - - _ - ' - _ - L _ - - - ' _ - - - l
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
n
FIC
RE
5. Comparación de promedio ' normalizados d
matchings
maximale' en ensembles canónico y microcanónico
lim
n
IE nll1 ic (m)
2n
= ¡im
n
lE (rn ) = {3- .
2n
11
9
10
R
IL
M
Al
n
. PTI E II SR' DEL 2005
r r á qu
anóni o
mbl
micro anóni o
I
II
igui nt .
y dado
la fun ión
11m :
fn :
+ tal qu lim m
para toda m
p dl'í
~
{R
{R , A} 2n
IR tal qu IIm(W) =
fn(m) = O Y tal qu
110
IR d finas para todo m > O
( W I{l ,2,.. . ,2n} ) '
nlon
xi l
.
u I
p n ar
d
} 2(n m)
110 :
qu d
le m di
ta
rib
la r la i n (1)
uan I
m.
l' habl a d fun-
mI n ras n un
r
ta m di
2.
un
tru tura d
la T
nf rm
1 •
I límit lim m
•
aum nta la I ngitud d
n
xpl ram
m
mp
am
d
nun
r
ul
' uli ' n (1) .
n
d rival' d
al
m
bl
n
m
d
I
I mi 'm
al ítu l
am nt lin al
m
s apli
mili
un núm r
n
rar fam ili
aunqu no n
r
rm a lin
r I nad e " el
n I v Ium n (núm r
1.
Í e tag n rali za i ' n no .. pu el
•n
trar
a fem el
ele
pli ar a
•
EQ l VALE CIA DE MEDIAS S I
l~
famil.ias
~ y m.
T
EQU IVALE! C lA DE E SEMBLES
11
Te¡minamos la tesis con co nclusiones generales y p r pe ,tivas . E l
capítulo 6 contiene las pruebas de lemas técn icos que usamos en el próxim o capít ulo.
·l •
..
l .'
12
R T IL
M RE!
M
• PTJEMBR · DEL 2 05
r
Q I VAL E
~
I prim r r ul d d
trab j
',.¡'
•
l A I E MED I A S
ticnd a la m vita i ' n ri ginal
qu
1 sigu-
i n
,
'I< o
> O xist n = 17,( ) E N tal qu para
ma 1. Para todo
1
t do n ~ n( )
ti n
) Jn l g(n) ~ IEn(n) - lE~i (v) ::; +(2 + )Jn lo (n) ,
- (
dond v r pr
nta a ualqui ra d la fu n ion s
Nota 1. Tóm
y no fun ion
ar
r
¡J
ado
n la d igualdad varia
d ir on n.
cu n za ,
J
ntan f amilia d fun ion
La función partí ular qu ínt rvi n
on la longitud d
Par
omo m r pro
n unta qu tanto
fij
o m.
u ar n 1
UI
nt
do l m as t '
pru b
apítu l
L ma 1. Para ada
17,
•
E N Y ó > O,
a
nton
2(1 1+
l onjunto B~ r pr
Nota 2.
ti n n un ntÍm ro d punto azul
nta
l onjunto d s cu n ia d 277 punto
ntr 17,(1 - ó) y 17,( 1
la n la ión qu hay ntr la probabilidad anóni a d
n f1m ión d ó. Nót
tal ntÍm ro d azul
ualqui r al r fijo
17,
E
> O p ro má important
-n
1 ::; k ::; n - 1 s
tabl
n ontrar una
ta probabilidad ti nd a 1, para
uando n -+
Para ad
ó). El nun iado
qu
I fin
con id rar l a o n qu
O
•
•
EQ IVALE CIA DE MEDIAS SIN EQ IVALE C1A DE EN E J13LES
l3
y dotamos tal conjunto con la d i 'tribución uniform
- 1
1
k
.
271,
IPn (w) := # fl~ =
+k
(
71,
fl~ , igual que 1P~,ic
==
~.
Lema 2. Para todo 71, E N Y -71, + 1
~
k
"
Nóte e que fl~ic
==
-21 kl + lE~iC (v)
~
~
vW
)
E fl~.
n - 1,
2:= v(w)IP~(w) ~ 21kl + lE;~, i (v) ,
wEn~
donde v es cualquiera de las fun ciones
Nota 3. E ste lema
e o m.
tab lece en panicular qu
los promedio
m icrocanónico
no
varian mucho si en lugar de fijar el número de coordenadas con valor A a 71" se fija a
cualquier otro valor cercano. D e esta f orma se obtien e un control n la variabilidad
•
del promedio ante errores en la restriccion del número de coordenada con valor A .
3.1. Prueba del Teorema 1. Para 71, E N Y 8 > O dado t n m s que
El Lemm a 1 permite precisar est as cotas como igue,
•
Ahora haciendo 8 = 8(71,) := J log(n) / n se tiene
(2) ' \
tomando en uenta que log(n)/n < 1/ 2 para 71, E N. Por otro lado,
L
w E B~
v(w)IPn(w) =
L
- n<Í S I<: S n<Í
4-
n
(
71,:1 k )
L v(w)IP~(w),
wEn~
..
R TILO
1 qu
man
IR '
M
I V l ' 'EPTI EMBRE
I)
L 2005
n unta 1 L mmc 2 d
IPn(Bn)E~li (v) - -
L
11Ó
n
k=- nó
( n 2n )
k
L
<
11.:1
v(w )IPn (w)
wE8~
2
- 11
~iC( I))
< IPn(8,J
fiÓ
(
k=-n
Pu
qu
Ikl:::; [
2n
k
)
Ikl.
n] :::; Jn I (n) ,
(~i (v) - 2 Jn I
IPn (8 n )
n
(n)) <
L
v(w)IP n (w)
wE 8~
(E;;liC (v)
< IPn(8 n )
quí
h
U
rav z la r I
ad
d IL m 1
u
i ' n cl =
(n): =
JI g(n)/n.
n u nt qu IPn(8~):::; 1,
mand
Jnl g(n)).
nav z m '
m
~i (v):::;
n
d igual
pu
n
(2)
n implifi ar aún m '
i nd
bti n
< (E~i (v)
Tia 1
h
2Jn l (n)).
•
bti n
t
d iguald ad
par
•
<
ar
e
pru ba b
t
lim -..c....;==~:-'l
o
EQUIVALENCIA DE MEDJAS SI
15
EQU I VALEN l A DE ENSEMBLE
3.2. Crecimiento lineal asintótico. E l teorema anterior p -rmite afirm ar
q~
la
diferencia entre las medias lEn(v) y lE~i (v) es a lo mucho d ord n/n lo (n) . A
Í,
suponiendo que lo limi te
lim lEn( v)
n----lo
y
lim lE;iC( V)
1l --->'
existen, lo que de niT}guna manera esta impli cito en el teorema anterior , el
~
'orema
1 implica que ambos toman mismo valor.
eó
Para demostraJ' que los limi tes anteriores ex isten, bastaría probar que púa v =
m , la secuen ia lE~ic (v) es subaditivas, mientras que lEn(v)
u adi ti va, es d Ir ,
para cada m , n E N. Algunos experimentos numéricos (ver Figuras 4 y 5) hacen
suponer que e te comportamiento (superaditivo para medi as mi ro canónicas y subaditivo para medias canóni cas) tiene lugar, al menos para valor s de m y n sufi íentemen te grandes.
A continuación pr sentamos dos ejemplos de famili as de fun
•
my
ne relacionadas on
e, cuyas medias defin en sequencias superaditivas.
Se define un matching lineal restringido n la onfiguración {VI, V2,
un matching lineal n I cual, si i es el m nor indice tal que
Vi
. .. , V2n }
es cubi erto por el
matching, de modo que hay un segm nto de re ta que une a lo puntos
algun j > i, entonces ninguno de los punto en
{ V I , V2, '"
como
Vi
para
Uj
, Vi - I ,Vj+ l , Vj+2 , '"
, V2n }
es cubierto por ma tching (ver Figuras 6 y 7 ).
Un matching lineal restringido es maxim al si e maxim al res pecto al númer
segmentos de. recta qu incluy . Con esto d finimo la fun ción m r
•
:
{R , A} 2n
el
N
tal que mr(w) es la longitud de un matching lineal restringido maxima l en el co njunto
de puntos Cw definido por la configuración w .
De form a análoga d finim os un camll10 alt rn a nte restringid
como un camino alternante en el cual, si los puntos
de dicho camino, entonces no xi te ningun punto en
que pertenez a al camino (ver Figuras
y 9).
Vi
y
Vj
n
{ V I V2 ,"" V2n }
con i < j son los xtr mas
{ V [ , V2 , '"
, Vi - l ,Vj
I , Vj +2,' "
, u,, }
R
IL
EPTl bMB I . D ' L 2005
w = ARARARAARAA R A RR A RRA A RRRA
i ,
j mpl
R
figura i ' n d
d
un m
punto
hing li n al no r
az ul
n
t ingi
I pl an
n po
n un
J
ión
11 -
xa
•
w=A R A RARAARAARAR R ARRAARRRA
,;
i
¡
•
2
......... z:: .-R
VI
•
RE 7 .
nfi
n amin
s gm nt
j mplo d
UI1
i ' n I punt
al
rn nt
ta qu
r
tringid
in lu
m at hing li n al r stin id
azul
n I 1 lan
maxim al i
n sto d finim
n aximal n un
n
maximal
l a fun i ' n
lIúm ro dr
N tal
EQU IVALENCIA DE MEDIAS SIN EQU IVA LE CIA DE E SEMB LES
17
w= ARARARAARAARARR A RR AA RRR A
i ¡
FI G RE
8 . Ejemplo de un camino alternante no restingido n un con-
junto de puntos rojos y azules en el plano en posición convexa.
w=ARARARAARAARARRARRAARRRA
•
i I
,~.
: . V6 V 5
o
-...
Cw •
:
V4
[
\.v}
:
J
V2
:
VI
~ - - - -- -- --- ---- - ----- - -- - --~----- - - --------.----- ------_.--
:
V
•
•
V
R
211
20- 1
20- 2
•
•
V
.¡
FI GU RE
9. Ej empl(') de un cammo alternante maximal restingi I en
un 'conjun to de puntos rojos y az ules en el plano en posición convexa.
que fT(W) es la longit ud de un camino altern ante restringido maximal en I conj unto
Ce.J asociado a la configuración w .
R Tl.L
Nota
lvJORE
M
EPTIEMBRE DEL 200
. Ha mo notar qu lo mim o qu m y
mr y
on Jamili
r
d jun ion
una Jun ión para ada volum n" n E N.
ara di h
1',
famili
I si
r
ore ma 2. Para IIr = m r o
r l
Ul
nt .
lo limil
,.
lími
lE~li
lE H (lIr )/n Y lim n
limn_
pru ba mitim
a qu
(IIr )/n
ura la I r
mpl am nL
nál
a a la
d 1 L ma I. .7
up r~ di iv) .
L ma 3 (L m
an
~ an
m
am
-
O
a o E lRfijo y {a,Jn=l una
para todo n , m E N
an/n = uPnEN an/n . E t límit
lim n
Pro ba d l 'n or, ma 2.
na i ' n
d
p1L
. w E {R
F (l1
m)
ir d d
om
w.w
tal qu
AFn
w E {R
Fm
d fini -
e n
om
~ i ~ 2(n + m) .
w
e
n
w,
P Im
Sl gU
d e
.w
e
•
~ i ~ 2n
P ra 2n + 1
trín id c · e n
un amín
it y
19U:
para 1
tri ngid
an/n
r infinito.
nfi ura ion s w E {R ,
ad
_.
{
w( i)
. )(1,) =
w(i _ 2n)
p
lim n
nton
n IR tal qu
n
m diru t un
•
e,
umm
e
al pr im r d c.
En amb s
r
n
e
em n
t ndrá I ngi ud a
1.
qUl
n luim
P rl a um a d las longitud . d
qu
l
r(w . w)
~
r(w)
r(w) - 1.
EQU IVALE CIA DE MED IAS SIN EQU IVA LE
u~ ~ azon amie nto
m r por
lA DE E
EMBLES
19
análogo nos permite dedu cir la misma d sigu aldad rempl azando
fr'
En ambos casos la superaditividad , que es válida configuración por configura ión,
extiende a las media , de modo que
lE n+m(lIr ) ~ lE m(lIr ) + lEn(IIr ) - 1 Y lE~~Crn(lIr) ~ lE:iC(lIr ) + lE~iC ( I/r) - 1
•
er o m,..
Enseguida aplicamos 1 L ma sup r di-
tivo y de esta forma e prueba el teorema.
O
para todo n , m E N, y donde IIr =
.\
•
•
"
• I
I
I
20
R T IL
M RE
1 A IS
4. " Q I
L -
- .1 T I -MBRE
-L 2 O
EN - M BL ::,
l A DE
i ' n 2 ¡U
pí ul
1 mi m a famili
nun i '
n 1
d
un núm r
d
..
n 1 nú m r
nr
p r d m
m nz
xo
trar 1
. Para todo n E N m ~ n y pam toda fun ión q; : {R
ma
pmi
m(q;)
I{l ,2... · ,2n} =
Pn m(q;)
Pn
m
({w E
q; })
{R , A} 2(n+m): WI{l ,2, ... ,2n} =
E ' t unafun ióna:{(n, m): n E N, m ~ n }
[O
pn d fin
q; }).
) tal qu
•
xp(a(n m)) .
i m := m(m) ~ n 2 1 g(m)
d má
Nota 5.
a(n m) =
lim n_
nt~
tabl
ti n 'un pr fijo d longitud n duna
En partí ular
ión m := m(n) ~ n
ualqui r l
C1L
tabl e qu di ha o i nt ti
2
]
probabilidad mi r anóni a
C1L
ncia n {R, A } 2(n+n).
a uno a intoti am nt
17,
g(n). D
ta fo rma lo pr fijo duna
n ia tomada al azar ti n n a intóticam nt la misma probabilidad ya
onfigura ion
a l gida
q; E {R
Proo/.
anóni o o l mi ro anóni o.
}2'\ p
mi m(A.)
pn
'1'
=
qu
JP>mi
n m
({w E
nmi
.
m '
wl {1 ,... ,2n}
A. })
='1'
=
Pu
on n para
qu
pml (w) = (# {
n
m
mi
n+m
}) - I =
(2(nn ++rnm)) - I'
a qu las
•
,
EQU IVALE CI A DE MEDIAS SIN EQU IVA LE CI A DE E SEMB L ES
21
entonces
TfDmic (,./,)
lí n+m'f'
=#
{
W
E
n mic
H
n+m : W{ I ,. .. ,2n}
= 'f',./, }
X
(2 (n+m)
) -1
n+m
Para todo y cada w E D~~cm cuyo prefij o de tamaño 2n es cjJ, s d
wl{l,. .. ,2n} = ,cjJ,
se tenemo que
"
1
# (w - ({ R} )n {2n+ 1, ·· · , 2(n+m)} ) = n+m -#cjJ- ' (R ). ,
'.r,:,
•
Ir, qu satisface
De' aquí se sigue que
# {w E
D~~cm : w{l ,.. ,2n} = cjJ } = ( n + m ~~cjJ-l (R)).
Esto es, cjJ toma 1 valor R en # cjJ- I (R) coord nad as de modo que si w t i ne prefij o cjJ,
su sufijo debe tomar valor R en exactamente n+m - #cjJ- l(R) de 1 2m coordencdas
restantes. U ando e t hecho se sigue que
IP mic ( ) _
n+m cjJ -
•
(
2m
) ( 2(n+m)) - 1
n + m - #cjJ- l(R )
n +m
Si consideramos el ensemble canónico lIegamo' de forma análoga a que IP n
m
(cjJ ) =
4- n. Dado que O ~ #cjJ- l( R ) ~ n , entone
4n
(
2m ) (2(n+m) ) - 1 ~ IP~~m(cjJ)
m+n
n+m
IPn m(cjJ)
~
4n ( 2m) ( 2(n+m)) - I,
n+m
m
o lo que es lo mismo
4" x (2m) ! x (n + m) ! < IP:~~n ( cjJ ) < _-:---:''----~.,..,.....:.-'-,__.,....:....c~
4n x (2m) ! x ((n + m) !)2
(2(n + m))! x (m - n)! - IPn+m( cjJ ) (2(n + m))! x (m!)2
_ _-'---'---_=-----_--'---
Aplicando la formul a de Stirling
exp
•
1
y simpl ifi cando , s obti ene
(~m'O (~/m) - ~ log (1 - ~)) ~ IP~li m(cjJ) ~ exp (~IOg (1 + ~)
2
m
IPn+m (cjJ)
2
m
donde, 'O(E) = (1 + E) 10g( 1 + E) + (1 - E) 10g( 1 - E) para todo E E (0, 1). D aquí se
sigue que
IPmic (cjJ)
-xp ( -a(n , m)) ~ IP n+m ( ) ~ exp(a(n , m)) ,
,,+m cjJ
con
a(n , m) = max ( m'O (n/m) + -1 log (l· - n/rn) , -1 log( l + n/m) + ( 1
2
2
6n
7n
))
,
22
M
qu I g( l
) :::; ±
par
l VA 1S ' PT l MBRE DEL 200
1)( ) :::; 2
t do
2
n
a(n m) :::; max ( -2n - - n -+
m
p .
)
(m+n)
2m 2m
2
<2n- m
:::; I.
O:::;
Fin 1m n
qu
1
ahí
2,
lim n
m(n) ;::: n 2 10g(n)
a(n m(n)) = O n t
o.
n m :=
L
nun iada n
ti n
/ 1g(n)
a(n , m(n)) :::;
I m d
n luimo la prll b .
apítulo 2
n r ali lad un or l ari
O
d It
•
r ma
an t ri r .
orolario 1 (
pít ulo 2) . Fij
n E N Y dado 110 : {R pn -+ lR
d fin
para todo m > O la f un ión 11m : {R , A }2(n+m)
IR tal qu IIm(W) =
. t f n: N
IR+ tal qu lim m
110 ( / (l ,2 ,... ,2n»). Enton
f n(m) = y taL qu
m ;::: O.
para toda
•
r' of.
~
2n
IE nmicm ( 11m ) =
ti> E{R,Apn
ti> {R ,Apn
r I t n
L
I ~i m(if;) - lE n+ m(if;)I:::;
11P~~m(if;) -lPn m(if;)I·
/1I0( if;)/
tl>E {R,Apn
qu
L
/1/0(if;)/
X
IPn+m(if;)
max
(1 - - a(n,m) a(n,m) - 1)
tl>E {R ,Apn
=
( a(n,m) -
1)
X
L
<l>E {R ,
<
( a(n,m) _
1) X
/1I0(if;)/1P m(if;)
1l
p"
m ax
/1I0(if;)/.
<l>E {R ,A)2n
H
t a uí h m
pr bad qll
"
•
23
EQU IVALE CI A DE MEDlAS SI N EQ IVAL E CI A DE El SEMBLES
con fn(m) := exp(a(n, m)) - 1 ::; exp(2n 2/ m) - 1. Para on luir la pru eba 1 asa
hacer notar qu e para n fij o, lim m ->
D
a (n , m ) = O.
Nota 6. Not e e que la familia de fun ciones {l/m : m ~ O} 11. r- alidad d fin n una
sola función l/o que extendemos a espacios de configura cion s cada vez rna grand ,
es decir-, para volumenes cr-ecientes. Dir-emo que en te caso que l/m ti 11. opon
2n, y que las configuracion es sobr'e las que actua 011. d vo lumen 2(m + n). Por- OtTO
lado, pu sto que IP'(n+m) (<p) = 4 - n para toda config't¿ración <p E {R , A
lEn+m(l/m) = lEn(l/o) para todo m
~
F""
nLonces
O. Entonce, de acuer-do al cOTOlaT'io anterior-,
el valor- esperado de lEn+m(l/m) conver-ge a apTOxima a la m dia que toma la mi ma
función según l ensemble canónico, IEn(l/o)·
U!1 r-esultado similar- se obtien e si se con ideran familia s de fun ciones l/m que d p n den de todo el volumen, per-o tal que e ta d pendencia es cada ve m nos s
11.
ible a
las coor-denadas cuyo indice tiende a infinito.
Como un a apli ación del corolario anter ior se ti ene el sig,l.liente .
•
Ejemplo 1. Fijese n E N, Y para cada m ~ O Y w E {R , AF(n+m) defina
1/
(wl {l , .. ,2n} ) ,
donde 1/ es cualquiera de las dos funcion
I/o(w) =
f!. y m que estudiamos n
el capítulo ant rior-. Del COTOlar-io 1 e sigue que
'c ( )
IlE,n,
n+m 1/,. -
lE
() I
n+m 1/,. -< 2n x
I: ak(nk!, m) _< 2n x a (m , n )e
a('l'"'.
,,)
k= l
Así, para n fijo ,
li m 11E~~Cm(I/,.) - IEn+m (I/,.) I = 2n lim a(n , m) a(n,m) = O.
m-
m-
•
El cOTOlaTÍo ant erior- también establece q't¿ se puede apTOximar1E~~cm (1/,.) m ediante
l valor-
IE n+m(1/,.), cometiendo un error que tiend a c ro a
sp rado
m cuando
el volumen de la configuraciones tiende a infinito .
Nota 7. Puesto que el corolario anterior se aplica s olo a fun cion es que d p nd n d
un númeTO fijo de coordenadas, el problema de la quivalen cia d m edias 1E::,ic(1/) Y
lEn (1/) no puede ser tratado m ediante el uso de est e corolario ya que dicha fun cwne8
dependen de us 2n coordenadas para cada ver ión finita {R , A} 2n qu s c07lsúl re.
2¿1
R T IL
pr
MOR
I VA I
EPT I ' MBR' O . L 2005
nta un
fUI
1 al Ij abl a famili as d
r e on l v l um n d la fun ión.
,
\
Coro lario 2 . Dada una fa milia d fun ion {v n : {R A} 2n
lR },¡=l para ada
ada n y m E
d fin
la función Vn,m : {R }2(n m)
lR tal qu vn ,m( .) =
V
xi t f : N x N -+ 1R+ tal qu para Lodo n m E N
n ( 1{l,2,. .,2n} ) ' 'nton
/ ;:,i m(Vn,m) - lEn m(Vn,m) 1::; max Ivnl x J (n, m) .
i para ada n E N m: = m(n) 2 max Ivnl x n 2 ] g(n) , nLon
d m'
Nota
qu
.
orolario
on opon
qu
on
r;
tabl c la quival n ia d m dia para Jamili
i nt . La quival ncia
opon . Por j mplo para fa milia
opon
la r la ión ntr
logra i
y m uya norma r
omo
qu vn,m
rapido
lin alm nt
l d p nd d l
(o port).
pnm r
•
2n
<PE {R , pn
r ]
. má
Op01't y volum n
olum n 2 ( opor t )3 ]
Proof.
l volum n r
d fun ion
</>E {R ,A} 2"
nt
IlE;:'i m(</» -
n m(4)) 1::;
¿
1
I/n(4)) 1
11P~~i m(4)) - lPn+m(4))I·
</>E {R ,Apn
D la mism f rm qu
ob
n le pru
hi im
r lari 1 ap li and
or m
n m
/lE;:,i m(</» - lEn m(</»/ < ( a(m,n) - 1)
¿
IVn(</»1
lP n m(</»
•
</>E {R ,AP"
<
( a(n,m) _
1)
x max II/nl.
xp(a(n m)) - 1 qu da pr be: la la prim r
qu a(m n) ::; n2/m para m := m(n) 2 II/nl
n I qu
r lari qu da d m tra lo.
nun ia o.
n21
(n) t n m
o
EQ UlVALEN lA DE MEDI AS SI
Nota 9. D e acuerdo a
,
J
una fun ción
cPn
EQU IVALE
lA DE ENS EMBL ES
25
te coro lario pod mos aproximar la m dia mirocan,ónica de
de soporte 2n , defi nida sobre con figura ciones d volu,m en 2(m
n) , por la m edia canóni a de la m isma f unción, iempre y cuan do l volúmen
+
a
maYJor 'que IV n I x n log( n ), Existe ntonces una quivalen cia entr' m edias canónica
2
'!i'rrtiÍcrocanónica para fun ciones cuyo soporte es p queño respecto al volumen ,
S e pued~ demostrar fa cilm ente qu de este corolario n o se deriva la quivalencia de
medias que e establece en la relación 1 del Cápitulo 1 .
•
•
2
R T IL
M RE O M
EPTI . MBRE DEL 2005
FI
ME T AR I
L
LE
un r ultad muy imp rtant
n m á ni a
dí i
e
t dísti
n i t m
n nu
pun
tr
mas fá il
ha r ál ul
d
anónica
micro anóni a para I
m
xplorar im ili ud
quival n ia d m di
L
mpl
ia
d
d
rd
ti n I a
L
num ' ri a (v r
I d
d
I
ta
tant
d ord n mu h m n r, d m d qu
~i (v) - lEn (I/)1 jn d
om n - -Y,
s
,~ l.
n un r ¡mi nt I garítmi
n I
ul
10 Y 11 ) indi a qu
I f mi lia rn, di ha
la
mp ibl
i
•
ro.
a dada p r I
d
d I
u am
(fam ili
m di t
pu d m jor
un
r tr
n
t trabaj n d m tr mo qu I
lim IE n (v)jn
n
xi tan . La
a infi ni
~i
(
lim lE~i (v)jn
n
vid n ia num ' ri a indi
1b
)jn ambi ' n
límit
n n,
t n lel' a un lími t
ma 1 implica que
nv rg
al mi m lími .
m s t
la
al s ar
Jl
Ier
71
EQUIVALEN C I A DE MED IAS S IN EQ UI VAL EN l A DE E SEMBL ES
-0.6 . - - - - - - - , . - - - - - - - r - -- - -- . - - - - - - - , ------,
-0.8
a = -0.485359
-1
b = -0.46389
e = 1.45535
- 1.2
- 1.4
- 1.6
",
- 1.8
-2
-2 .2
-2.4
-2.6 L--_ _ _ _- ' -_ _ _ _ __
L -_ _ _ _ _---'-_ _ _ _ _ _- ' -_
2
1.5
----'
2.5
log( n)
F IGURE
•
10 . Resultados
umericos para Camino Alternant
-0.5 . - - - - - . , - - - - - - - , - - - - --
Maxi malcs
- - , - - - - - -,------,
10g(Promedio M icrocanonico Nonnali zado- Promedi o Canonico Nonnali zado) - -
y = a + b(xAc)
a = 0.064992 1
-1
b
=- Í.11 27
c=0.980 19
- 1.5
-2
-2.5
•
-3
L--______
~L-
__________L __ _ _ _ _ __ __ _
1.5
~
_ _ _ _ _ __ _ _ _~_ _~
2.5
2
log( n)
FIG U R E
11 . Resultados
J um
ricos par a
at hings Lin ales Max im ales.
Acerca de L.l;l. secuen ia lEn(m )/n , la evidencia numérica indi a que
lEn(m)
n
>
lEn' (m)
ni
I
para 50 < n < n _
27
2
R T IL
d
M RE
[' d
lEn(m)/n par
Ir
la inf ri
. PTJEMBRE D8L 2 O
I VA I
n=
p r
tar
un límit
impli aría qu
idir.
tud i '
ro anónico
mbar
anóni o.
r
fun
u da
ul
d
mbl
mz-
qui vaJ
qu ivaJ n ia d I
do no garantiz
) ' in
m di
n'
n rm Jizad
p r
I
m.
futur d m
m
xi t n I
trar qu
límit s
. IEn(v)
lI m - n
2n )
13J ui r d
d nd v
d m
ma 1 d
tr
I pr
nt trabaj
n.
lfab
m n
nd
ambi'n
nd
qu
uni~ rm
runa g n raliza i ' n I
da n
(n
í omo a dif r nt
I binari
) n
r aliz d
•
mbl.
..
.
(
EQ IVALE CI A DE MEDI AS SI r EQ IV LE CIA DE E SEMBLES
6.
TÉc
A NEXO: R ESULTADOS
29
I COS
,. '1
Prueba del Le ma 1. Ten mo por defini ción ,
n( I- 6) - 1
JP>n({R , A} 2n \
B~) = 4~' L (2~) .
J
j =O
P~e$~o qu e p ara 1 ~ j ~
2n )
(j - 1
( 2n)
=
j
n( l - 5) e cumple
j
2n - j + 1
~
( 2n)
j
~
2n - j
j
( 2n )
j
n( l - 5)
2n - n( 1 - 5)
( 2n ) 1 - 5
=
.J
1 + 5'
iter a ndo se obtiene q ue
2n) < ( 2n ) ( ~ ) n(1 - 6) - j
( j
n( 1 - 5)
1+ 5
p ara O ~ j ~ n( l - 5). Este hecho permite establ cer cotas para JP>,,( {R , A p"
\ B~)
de la siguiente man era
•
2n )
2( 1 - 5) (
4n (1 + 5) n( l - 5)
~
JP>
,,({R, A}
2n
\
B6 )
n
~
2 (
2n )
4" n(l - 5)
~ (1 - 5) J
f::a
16 '
o lo que e lo mism o,
(2n) !
2(1 - 5)
(1 + 5)4 n (n( l - 5)) !(n( 1 + 5))!
~ JP>n
({
R,
A}2n\ 8)
Bn
2 (1 - 5 )
----u-
~ 4n
(2n)!
(n( l - 5))!(n(1
5))"
Utilizand o la for mul a de Stirling 2 e obtiene
6,,(I~62) )
2( 1 -5) xp(-V (5)) <JP> ({R A} 2n\ B8 ) < 1 _5 exP ( - V (5)
1 + 5 J1fn( l _ 52) - n ,
n 5
J1fn( l - 52)
,
52 ~
donde V (5) = (1 + 5) 10g( 1 + 5) + (1 - 5) 10g(1 + 5). F inalm ente, d ado qu
V (5) ~ 25 2, ntonces
2( 1 -5)
xp(-25 2)
--'--------'----;::::~=~
1+ 5
< JP> ({ R A}
J1fn( l _ 52) - n
,
2
n \
1 _ 5exp (-52+6n(I~82) )
6
B ) < n
-
-~==:=:::=-~
5J1fn(1 - 52)
o
con lo qu e q ueda d m o trado el lema.
P ara cada n E N Y - n + 1 ~ k ~ n - 1 se defin e
o~: =
{w E {R , A} 2n: #w - I(A) = n
,
+ k} ,
30
MO
al
mi
qu
n
=
PTIEMBRE, DEL 200
l Al
njun o I
li tribu ión unif rm
~(w)
#n~
1
:=
=
( 2n
n+k
)-1v
~.
wE
O
n
Pru b a d 1 L m a 2. B
ta probarl para O ~ k ~ n - 1, I
-n
l ~ k $.O .
, ,
E no
?,(w)
d fin
I
n
e rma
O
n
n
n val r R
rd n das d w
njunt
- E
njunt d le
r
n la d i 'tribu i ' n unir rm
d fini nd
una pr y
k
n
qu
ignar l
r
d Ir
ión al a ri e (map
) 7rk :
d t l qu
( () _) { u~ (
JP> 7rk
qu
nfigur
ir d
O
wE
~ pu I
i'n
nfi
w E
n?.
•
i W E n~(w)
W)
= w =
¡no .
, p r pr
toria, a
De h h ,
# {wE n~: WE7rk(W) } = ( n+k)
k
qu
p sibl
t n
rd nad
d k
' n al at ria.
L
1I( - )~( - ) =
wEn~
~ n k
( k -)-Ix
~
wEng
=
L
(
n + k)
k
- 1
x
t n
al r
p rmit
. ribir
~ ~(w)lI(w)
~
~En~(w)
( 2n )
n+k
- 1
wEng
h r
d
lI(w).
wEn~(w)
pu
(
n
+ k)
k
( 2n)
(n + k )!
n + k = n iki (n
(2n) !
+ k )!(n -
k )! =
( 2n) ( n )
n
k '
n
qu
•
EQU IVALE ICl A DE tvlEDIAS SIN EQ IVALE CIA DE ENSEMBLES
31
entonces,
L
L (~~) - l X(~) - l L
v(w)IP>~(w)
wEn~
wEn~
v(w)
~En~~)
L lP'~(w) ( L 1t~(W)V(W))
wEn?,
wEn~(w)
Por otro lado , al hacer una proyección aleatori a w ~ W, la longit ud de el am ll10
aIt rn ante maxim al, o el núm ro de puntos cubiertos por un matching max imal, no
puede variar en mas de 2k. Esto es evidente tratandose de matchings (se pierde ll
se ¡?;anan a lo mas k aristas), y en el caso de caminos alternantes basta notar qu
cada vez que se cambia el color de un punto , o b ien el punto no perten ec al camino
y el camino se puede alterar para inclu ir además a ese punto , o si no entone s es un
punto est aba en el camino y entonces se pierde una altern ancia. En este caso hay qu
alt rar el camino, perdiendo 2 aristas, para recupe rar la alternancia. Como no hab ía
autocruses en el camino ori gin al, y los puntos estan en po ición onvexa, ent.oncrs
esta modificación no genera cortes. De st.o r sul ta que si 1Tk(W)
v(w) - 2kv(w) ::; ¡;(w)
para v =
+ 2 /'; .
eo m.
Tomando estas desigualdades se obtiene
L
1P'?(w)(v(w)-2k) (
wEn?,
es decir ,
= W, ento llces
-2k
1t~)
:
;
L
v(w)IP>~(w)
~En?,(w)
wEn~
L
+ lE;::,iC(v) ::;
L
::;
lP'~,(w)(¡
;
(w)+2k)
(L
.
u:,) ,
wEn~
L
w - 1?,(w)
v(w)IP>~(w) ::; 2k + lE;::,iC(v) ,
wEn~
y asi se termina la prueba.
o
R T IL
32
MORE O MONS I VA IS S I ~ PT IE MI3 I U~ l
R EPEllE
I~ L
2005
l AS
[1] M. Abella nas, A. Carda, F . HurLado y J . T jcJ. Cam illos AILcl' lI a ll L s,
11
ll etas rl
los
Encuentms de Geometría Computa cional, ev ill a (2003 ) 7 l2.
[2] Mario Ceti na, Tesis de Ma s t rÍa e n
[3] Stefan Adams.
i('neias Apli cad as (2005)
om pl t E lu ivale nce 01' Lh
(' 11
prl'para iÓII .
ibbs E lIsembl s ror O ne Dilll cllsioll a l Mark v
yst ms, Journal of S tati ticaL Physics 10 5 (5/6) (200 l ) 79 908.
[4] Will iam Feller , An 'i ntmdttction to pmbabiltly th 01y and its appb.mtum,~ VoL. 1, ,'{' ¡;;!lH"um,
J o hn W iley &
ns, 1950.
[5] K erson Huang, Statistical mechanics 2" Edictón . .J olll1 Wil y &
' O Il S,
1963
[6] J a n Kyn cl , J á n s Pach, C éza Tóth . Lo ng A lL rn aLi llg PaL hs in Bi('o lor('d Poi ll t S(,ts. Cm/Jh
Dmwing 2004 , Lectm'e Not es in Comput
T
cience 3383 (20 ti ) :31(0 3t1 8.
[7] Kerson H ua ng, Statistical m echan'ics 2" Edición. J ohn W il y
[ ] P a ul C . Shields, "E rgodic T heory
r d iscr Le sall1 pl e pa.L hs",
13 . American Mathematical Sociely, ] 996 .
SO Il S,
I D6:3.
mrl1Lrtlc St'ltdies in Ma th 7rwtu's