( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) n

Matemáticas Discretas
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Estructuras Algebraicas
5.2 Estructuras Algebraicas
Introducción
* Los números naturales: N
Al contar objetos se les asigna números: 1, 2, 3, …, pasando de un número a
su sucesor. La representación en el sistema decimal de números está hecha de tal
forma que siempre se puede obtener el sucesor. Algunos autores fijan el 1 como
primer número natural. Para nuestros fines, definimos a los números naturales
desde el cero: N = {0, 1, 2, 3,…}. En informática como en matemáticas,
utilizamos las letras m , n y l como números naturales cualesquiera. Entonces el
sucesor del número n se designa como s (n) y se define como s ( n) = n + 1 para
cualquier número natural n dado: ∀n ∈ N .
Los números naturales son muy fáciles de ser generados a partir del cero
mediante la aplicación recursiva de la función sucesor. Gráficamente:
Numéricamente: 1 = s (0) , 2 = s (s (0) ) , 3 = s (s(s (0) )) ,…
Los números naturales forman un conjunto ordenado mediante la relación
≤ , definida como: dados dos números naturales m , n , entonces m es menor o
igual que n y se escribe m ≤ n esto significa que n se obtiene a partir de m
mediante la función recursiva n = .....s(s(s(0) )) m veces.
Dados dos números naturales, su suma siempre es otro número natural.
Esto significa que el conjunto de números naturales es cerrado con respecto a la
operación suma. En general, cuando una operación entre dos elementos de un
conjunto genera un elemento de ese conjunto, se dice que el conjunto es cerrado
con respecto a la operación.
* Los números enteros: Z
Para resolver la ecuación m − n = x cuando m ≤ n con m y n naturales
( m ∧ n ∈ N ) el resultado de la resta es un número negativo que no pertenece al
conjunto de los números naturales. Entonces, el resultado se encuentra en el
conjunto de los números enteros: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} (se dice que el
conjunto de números enteros, tiene estructura de grupo).
Los números enteros se generan por medio de dos funciones: sucesor y
predecesor. La función sucesor es la definida para los números naturales. La
función predecesor se denota como p (n) y se define como p ( n) = n − 1 para
cualquier número entero n dado: ∀n ∈ Z .
La relación entre las dos funciones generadoras de números enteros, sucesor
y predecesor, se establece con las ecuaciones: s ( p (n )) = n , p(s(n )) = n .
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Ejemplos:
p (2) = p (s(s(0 ))) = p (0) = 1
s (− 3) = s ( p ( p (0 ))) = p ( p (0 )) = −2
p ( p(3)) = p ( p(s (s(s (0 ))))) = p (s(s (0 ))) = s(0 ) = 1
La estructura de los números enteros en más compleja que la de los
naturales, aunque se sigue cumpliendo la propiedad de que todo número entero se
puede obtener a partir del cero aplicando recursivamente alguna de las funciones
generadoras (sucesor y predecesor). Gráficamente:
El producto de dos enteros, n y m se escribe n m o n* m , es un entero. Se
dice que el conjunto de los números enteros es un anillo por cumplir esta
propiedad con respecto a las operaciones de suma y resta de dos enteros producen
un entero.
* Los números racionales: Q
La solución de la ecuación m = nx, n ≠ 0 , en los casos en que m no es
múltiplo de n , no es un entero, sino un cociente de enteros que se llama número
⎧m
⎫
racional: Q = ⎨
m, n ∈ R ∧ n ≠ 0⎬ .
⎩n
⎭
1
Un número racional puede ser expresado en forma decimal: = 0.33333... .
3
1
Los dígitos de la parte decimal puede ser un número finito como = 0.5 , o que se
2
repita
periódicamente
los
valores
de
los
dígitos
como:
1
= 0.142857142857142857... la razón de la repetición periódica es que el residuo se
7
6 9
repite. Un número entero puede ser representado por una fracción 3 = = = ....
2 3
por lo que los números enteros pertenecen al conjunto de los números racionales.
Todo número racional tiene una representación con denominador positivo
m −m
ya que
.
=
−n
n
El conjunto racional Q es denso. Esto significa que para cualquier par de
números racionales q1 , q 2
q1 < q 2 siempre existe otro número racional q que se
encuentra entre q1 y q 2 : q1 < q < q 2 .
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Los números racionales tienen estructura de cuerpo con respecto a la suma
y el producto.
* Los números reales: R
No todos los números son enteros o racionales. Existen números que no se
m
pueden representar mediante un cociente
, n ≠ 0 o como un entero. A estos
n
números se les llama irracionales. Un ejemplo es 2 , ya que no existe una
representación racional exacta pero existen algoritmos que permiten aproximar su
valor mediante cálculos recursivos de decimales sucesivos. Los números π y e son
números irracionales.
Cuando al conjunto de los números racionales (enteros y fraccionales) se le
unen los números irracionales, se tiene el conjunto de los números reales:
R = {x x ∈ reales}.
Los números reales también tienen estructura de cuerpo con respecto a las
operaciones suma y producto.
* Los números complejos: C
No todas las ecuaciones cuadráticas tienen solución en el conjunto de los
reales. Así, x 2 + 1 = 0 no tiene solución real porque no existe algún número real que
elevado al cuadrado sea − 1 . Para encontrar una solución de esta ecuación, se
define un número imaginario i i = − 1 . Entonces la solución de la ecuación
cuadrática estará compuesta de un número imaginario y un número real, de la
forma: a + bi donde a y b son número reales.
A los números compuesto de una parte real y una parte imaginaria se les
llama números complejos. Estos números se representan en un plano llamado
plano complejo.
Los números complejos tienen estructura de cuerpo con respecto a
las operaciones suma y producto. [Hortalá, 13 a 19]
Álgebra Moderna: Teoría de grupos
El álgebra moderna es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras
algebraicas como la de grupo, anillo y cuerpo (también llamada campo). El
término “álgebra moderna” es utilizado para distinguir este estudio del “álgebra
elemental” (el álgebra elemental define las reglas para manipular fórmulas y
expresiones algebraicas de los números reales y complejos).
Las estructuras algebraicas han surgido en diferentes áreas distintas al
álgebra en donde para representar modelos ha sido necesario definir conjuntos de
elementos que contengan operaciones y reglas propias de esos elementos.
Entonces, cuando tenemos elementos con operaciones establecidas
solo para ellos y que cumplan ciertos comportamientos, se tiene una
estructura algebraica enmarcada en un conjunto. Estos conjuntos
pueden ser del tipo grupo, anillo o cuerpo.
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Para una mejor comprensión de una estructura algebraica me permito hacer
la siguiente comparación:
Kevlar, un material avanzado 10
Actualmente los polímeros tienen aplicaciones muy avanzadas; un ejemplo,
el nylon. El nylon originalmente se utilizó como fibra, actualmente se utiliza en la
fabricación de cojinetes, aislantes, sedal para pescar y cuerdas para neumáticos.
Estas aplicaciones extendidas del nylon y otros polímeros han aumentado la
demanda por nuevas fibras con la resistencia al calor del asbesto, la rigidez del
vidrio y resistencia mayor que la del acero.
Una nueva sustancia que posee muchas de estas propiedades se llama Kevlar
y tiene la estructura química:
0F
La masa molecular media de cada cadena polimérica es de 10 5 unidades de
masa. El Kevler debe sus propiedades tan especiales a la forma en que interactúan
las moléculas del polímero:
Las cadenas individuales están unidas por puentes de hidrógeno a las
cadenas adyacentes. Esta red de puentes de hidrógeno hace que las moléculas se
alineen y formen una estructura de lámina.
El Kevlar tiene muchas propiedades excepcionales debido a los
fuertes enlaces en las cadenas de polímero individuales, la fuerte red de puentes de
hidrógeno en las láminas y la disposición regular de las láminas en las fibras.
10
Brown, Theodore L; Química, La ciencia centra; PEARSON, 3ª ed; México, 1998. pp. 434
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Entonces, el conjunto de moléculas, los puentes de hidrógeno y las
propiedades de las moléculas forman una estructura química. Si definimos a las
moléculas:
como un conjunto de elementos, los puentes de hidrógeno como las operaciones y
las propiedades de resistencia como las propiedades del conjunto, estamos
definiendo una estructura algebraica: {M ,⊗,⊕} en donde M es el conjunto de
elementos (las moléculas) ⊗ , es la operación (los puentes de hidrógeno) y ⊕ son
las propiedades del conjunto (propiedades de resistencia de las moléculas) 11.
1F
Otro ejemplo 12:
Las instrucciones básicas de la máquina de un computador digital son muy
primitivas comparadas con las operaciones complejas que deben efectuarse en
diversas disciplinas como la ingeniería y las matemáticas. Aunque un
procedimiento complejo se puede programar en lenguaje de máquina (por ejemplo
lenguaje ensamblador), es deseable usar un lenguaje de alto nivel que contenga
instrucciones similares a las referidas en una aplicación especial como el lenguaje
JAVA que fue creado para desarrollo de aplicaciones en “WEB”.
Los lenguajes de programación de alto nivel evitan programas extensos en
líneas de código de la programación en el lenguaje de máquina, pero presentan el
problema de que se debe convertir a un lenguaje objeto, esto es, se debe de tener un
programa (compilador) que convierta el lenguaje de alto nivel a un lenguaje de
máquina. También, los lenguajes de programación deben de definirse con
presición. Algunas veces es la existencia de un compilador en particular lo que por
último proporciona la definición precisa de un lenguaje. La especificación de un
lenguaje de programación incluye en su definición:
• El conjunto de símbolos (o alfabeto) que se puede usar para construir
programas con sintaxis computacional correcta.
• El conjunto de todas las instrucciones correctas
• El significado de todas las instrucciones correctas.
Un lenguaje de alto nivel, un lenguaje de máquina se puede considerar una
estructura del tipo algebraica en donde los símbolos comprenden el conjunto, las
instrucciones son las operaciones permitidas sobre los símbolos y el significado de
las instrucciones son las propiedades de los símbolos.
2F
11
Ejemplo cortesía de María González Cerezo
Tremblay, Jean-Paul, Ram Manohar; Matemáticas Discretas con aplicación a las ciencias de la
computación; CECSA, 1ª ED; México, 1996; pp. 291.
12
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En relación al álgebra moderna:
Algunos ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación son:
Semigrupos, monoides y grupos. Otros ejemplos más complejos: Anillos y cuerpos,
módulos y espacios vectoriales, álgebras asociativas y álgebras de Lie y látices y
álgebra de Boole.
Las operaciones que se pueden efectuar en las estructuras algebraicas son
del tipo operación binaria. Una operación binaria es aquella en donde intervienen
dos elementos de un conjunto. Se representa por cualquier símbolo: a ⊗ b , en
donde ⊗ es la operación definida para los elementos a y b .
Estructuras algebraicas
Una serie de objetos con la definición de las operaciones que se realizan con
éstos y las propiedades que las acompañan, forma una estructura matemática o
un sistema matemático. Ejemplos:
• La colección de conjuntos con las operaciones de unión, intersección y
complemento, y las propiedades relacionadas, es una estructura matemática
discreta: E = {elementos,∪,∩, }.
• La colección de las matrices 3x3 con las operaciones de adición,
multiplicación
y
transpuesta
es
una
estructura
matemática:
E = M 3 x 3 ,+,*, M T
{
}
Una propiedad importante de estas estructuras es la cerradura. Una
estructura es cerrada con respecto a una operación si esa operación produce
siempre un elemento que pertenece a la colección de objetos definida en la
estructura. [Kolman, 39].
Las propiedades del elemento neutro para la suma y la multiplicación son:
a+0= a
a *1 = a
El uno y el cero son elementos distinguidos porque cumplen estas propiedades. Los
conjuntos de los números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), reales (R) y
complejos (C), junto con las operaciones de suma (+) y producto (*) y los elementos
distinguidos (1 y 0) son estructuras algebraicas definidas:
N = {N ,+,*,0,1} , Z = {Z ,+,*,0,1} , Q = {Q,+,*,0,1}, R = {R,+,*,0,1} y C = {C ,+,*,0,1} .
Si además cumple la relación de orden ≤ (como ocurre en todos los conjuntos
excepto en el de complejos), entonces se le llama estructura algebraica ordenada:
N ≤ = {N ,+,*,0,1}, Z ≤ = {Z ,+,*,0,1} , Q≤ = {Q,+,*,0,1} , R≤ = {R,+,*,0,1}
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Cuerpos (campos)
Un cuerpo es una estructura algebraica K = {K ,+,*,0,1} sobre cuyo dominio
( K ) están definidas dos operaciones binarias ( +,* ) y dos elementos (0 y 1) de tal
modo que cumplen las siguientes propiedades:
a+b =b+a
a. Conmutativa: ∀(a ∧ b ) ∈ K
a *b = b*a
b. Asociativa: ∀(a ∧ b ∧ c ) ∈ K
a + (b + c ) = (a + b ) + c
a * (b * c ) = (a * b ) * c
c. Elementos neutros con respecto a a para +,* :
∃0
∀a ∈ K, a + 0 = a
∃1
∀ a ∈ K , a *1 = a
d. Elementos recíprocos (inverso aditivo e inverso multiplicativo) de x con
respecto a a para +,* :
∃ − a ∀ a ∈ K , a + (−a) = 0
∃ a −1
∀ a ∈ K , a * a −1 =1
e. Distributiva del producto respecto a la suma:
∀(a ∧ b ∧ c ) ∈ K
a * (b + c ) = (a * b ) + (a * c )
f. No trivialidad: 0 ≠ 1
Ejemplos:
Q = {Q,+,*,0,1}, R = {R,+,*,0,1} y C = {C ,+,*,0,1} son cuerpos
Z = {Z ,+,*,0,1} no es cuerpo porque todos los elementos de los enteros, excepto el 1,
no tienen inverso.
N = {N ,+,*,0,1} tampoco es cuerpo porque además de no tener inverso tampoco
tiene opuesto (a excepción del cero), (opuesto= inverso aditivo).
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Anillos
La estructura A = {A,+,*,0} es un anillo si cumple las propiedades:
a+b =b+a
a. Conmutativa: ∀(a ∧ b ) ∈ K
a *b = b*a
a + (b + c ) = (a + b ) + c
a * (b * c ) = (a * b ) * c
∃ 0 ∀a ∈ K, a + 0 = a
c. Elementos neutros con respecto a a para +,* :
∃ 1 ∀ a ∈ K , a *1 = a
b. Asociativa: ∀(a ∧ b ∧ c ) ∈ K
d. Elementos recíprocos de x con respecto a a para +,* :
∃ − a ∀ a ∈ K , a + (−a) = 0
∃ a −1
∀ a ∈ K , a * a −1 = a1
e. Distributiva del producto respecto a la suma:
∀(a ∧ b ∧ c ) ∈ K
a * (b + c ) = (a * b ) + (a * c )
Ejemplo:
Z = {Z ,+,*,0} es un anillo
Q = {Q,+,*,0} es un anillo.
Grupos
La estructura de grupo es más general que la de cuerpo y la de anillo. Los
cuerpos y los anillos contienen dos operaciones sobre los conjuntos, los grupos solo
contienen una operación: G = {G,⊗, e}, donde ⊗ representa la operación binaria y
e es el elemento neutro del conjunto que hace que a ⊗ e = a .
La estructura G = {G,⊗, e} es un grupo si cumple:
a. Asociativa: a ⊗ (b ⊗ c ) = (a ⊗ b ) ⊗ c
b. Neutro: a ⊗ e = a
c. Recíproco: a ⊗ a −1 = e
Subgrupos
Dado un grupo G = {G,⊗, e} y un subconjunto S ⊆ G se dice que S = {S ,⊗, e} .
Semigrupos
Una estructura S = {S ,⊗} es un semigrupo porque tiene definida solo una operación
que cumple la propiedad asociativa.
Monoide
Una estructura M = {M ,⊗, e} es un monoide porque tiene definida solo una
operación que cumple la propiedad asociativa con el elemento neutro.
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Látices o retículas:
Una látice o red es un conjunto parcialmente ordenado por una relación de orden,
en el cual cada subconjunto {a, b} de este, (el subconjunto consta de dos
elementos), tiene una mínima cota superior ( mcs({a, b}) ) y una máxima cota
inferior ( MCI ({a, b}) ).
Ejemplo:
Sea D20 = {x x ∈ N ∧ x es un divisor de 20}. Entonces D20 = {1, 2, 4, 5,10, 20} y se
cumple que para cualquier {a, b}∈ D20 :
• a + b = mcs({a, b}) es el mínimo común múltiplo. Si {1, 2}∈ D20 → a + b = 2
• a * b = MCI ({a, b}) es el máximo común divisor. Si {1, 2}∈ D20 → a * b = 1
Propiedades de las látices
Leyes de las látices
1.
a ≤ a+b
b ≤ a+b
2. (a ≤ c ) ∧ (b ≤ c ) ↔ a + b ≤ c
3. ab ≤ a ∧ ab ≤ b
4. (c ≤ a ) ∧ (c ≤ b ) ↔ c ≤ ab
5.
1. Idempotencia:
2. Conmutativa:
a+a=a
a*a = a
a+b =b+a
a *b = b*a
3. Asociativa:
a + (b + c ) = (a + b ) + c
a * (b * c ) = (a * b ) * c
a + a *b = a
4. Absorción:
a * (a + b ) = a
a+b =b ↔ a ≤b
ab = a
↔ a≤b
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Actividades de Estructuras algebraicas
Creación, diseño y puesta en función
Diseña una estructura algebraica (conjunto de símbolos o elementos,
propiedades de los símbolos o elementos y operaciones permitidas con
los elementos) para modelar:
¾ La conversión de un número decimal a un número binario
¾ La definición de un lenguaje que convierta las operaciones de
resta y división en suma y multiplicación respectivamente.
¾ Un programa que ejecute la operación de multiplicación como
sumas.
¾ El movimiento del brazo de un robot diseñado para mover un
objeto de un lugar a otro.
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Estructuras Algebraicas
Actividades de Estructuras Algebraicas
Creación, diseño y puesta en función
Solución
Diseña una estructura algebraica (conjunto de símbolos o elementos, propiedades
de los símbolos o elementos y operaciones permitidas con los elementos) para
modelar:
¾ La conversión de un número decimal a un número binario
Diseño:
9 Para convertir un número decimal en binario se requiere:
o Dividir el número entre dos
o Acomodar el residuo en una posición
9 Los números que se van a convertir son enteros positivos: N el conjunto de
los números naturales.
9 No se requiere alguna propiedad.
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Estructuras Algebraicas
¾ La definición de un lenguaje que convierta las operaciones de
resta y división en suma y multiplicación respectivamente.
Diseño:
9 Para convertir de resta a suma y de división a multiplicación se requiere:
o Preguntar si es resta o división
o Si es resta hacer la operación: a + (−b)
1
o Si es división hacer la operación: a *
b
9 Las operaciones se efectúan a cualquier par de números reales
9 Las propiedad que deben de cumplir son inverso aditivo e inverso
multiplicativo.
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Estructuras Algebraicas
¾ Un programa que ejecute la operación de multiplicación como
sumas.
Diseño:
9 Para
convertir
una
multiplicación c = ab
en
una
suma c = a + a + a + a + a..... b veces se define que a y b son números
enteros positivos
9 La operación que se efectúa es una suma y un contador de veces
9 No se requiere alguna propiedad.
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Estructuras Algebraicas
¾ El movimiento del brazo de un robot diseñado para mover un
objeto de un lugar a otro.
Diseño:
9 Un brazo debe de moverse con un grado de inclinación θ donde:
θ
9
9
9 Un brazo efectúa las operaciones de: movimiento, tomar un objeto, soltar un
objeto.
9 Las características de las operaciones son:
o Movimiento: el ángulo de rotación está en [0 0 , 360 0 ]
o Un objeto se sujeta con los 5 dedos
o Un objeto no se suelta hasta que el brazo calcule que el objeto está a
una distancia aceptable de la superficie para no dejarlo caer
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