Algunos temas de Olimpiadas matemáticas - ORM

Algunos temas de Olimpiadas matemáticas
Arturo Portnoy
Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad de Puerto Rico en Mayagüez
22 de mayo de 2016
Filosofía
I
Entrenamiento dirigido a jóvenes talentosos de Olimpiadas
Matemáticas.
I
Teoría se presenta de forma muy resumida y conforme se va
necesitando. Siempre hay que decir la verdad, pero no se
puede decir toda la verdad de un golpe.
I
Idea: proponer problemas lo antes posible sin un desarrollo
amplio y formal de teoría prerequisito.
I
Sembrar una semilla que propicie el aprendizaje autodidacta.
I
Problemas diferentes, atractivos, retadores, pero no
imposibles. Motivar, no frustrar.
I
Secuencias apropiadas de problemas: el orden de los factores es
muy importante.
Desigualdad triangular
Desigualdad triangular
Encuentre el punto dentro de un cuadrilátero convexo tal que la
suma de las distancias del punto a los vértices es mínima.
Desigualdad triangular
Consideremos el cuadrilátero ABCD. El punto en cuestión tiene que
ser la intersección de las diagonales, O, porque para cualquier
desviación de este punto, llamémosle P, tenemos que
AP + PC > AO + OC = AC y BP + PB > BO + OD = BD por la
desigualdad triángular.
Desigualdad triangular
Demuestre que la suma de las diagonales de un cuadrilátero
convexo es menor que su perímetro, pero mayor que la mitad de su
perímetro.
Desigualdad triangular
Consideremos el cuadrilátero ABCD y sea O la intersección de las
diagonales. Entonces tenemos que DB < DA + AB y
DB < DC + CB, por la desigualdad triangular. Por tanto,
2DB < per«ımetro. Similarmente tenemos que 2AC < per«ımetro.
Por lo tanto AC + DB < per«ımetro. Además, tenemos que
DA < DO + OA, AB < AO + OB, BC < BO + OC y
CD < CO + OD, por la desigualdad triangular. Por lo tanto,
sumando las cuatro desigualdades tenemos que
per«ımetro < 2(AC + DB). Por lo tanto
per«ımetro/2 < AC + DB < per«ımetro.
Desigualdad triangular
La casa de un pescador está en el interior de una península cuya
forma es la de un ángulo agudo. El pescador debe salir de su casa,
ir a una de las costas de la península, luego ir a la otra, y volver a
su casa. ¿Cómo puede encontrar la ruta más corta?
Desigualdad triangular
Sea O la casa del pescador, sean A y B las reflexiones de O con
respecto a los rayos que forman el ángulo respectivamente.
Entonces cada ruta de O a una costa tiene su contraparte reflejada
de igual longitud y vemos que el circuito O-costa 1-costa 2-O tiene
su contraparte A-costa 1-costa 2-B de igual longitud. Entonces la
ruta mas corta entre A y B, que es una linea recta (por la
desigualdad triangular), tiene su contraparte en un circuito cerrado
desde la casa y corresponde al circuito de mínima longitud.
Desigualdad triangular
Demuestre que las suma de las distancias de un punto O a los
vértices de un triángulo es menor que su perímetro si el punto está
dentro del triángulo. ¿Qúe ocurre si el punto O está fuera del
triángulo?
Desigualdad triangular
Sea O un punto interior del triángulo ABC y sea D la intersección
de la recta AO con el lado CB. Luego AB + BD > AD y
OD + DC > OC por la desigualdad triangular. Sumando ambas y
restando OD a ambos lados obtenemos que
AB+BC = AB+BD+OD+DC −OD > AD+OC −OD = AO+OC .
Aplicando esto a a cada pareja de lados y sumando las
desigualdades, obtenemos el resultado.
Desigualdad Fundamental
(a + b)2 ≥ 0
(a − b)2 ≥ 0
Desigualdad MA-MG (n = 2)
a2 + b2 − 2ab = (a − b)2 ≥ 0
a2 + b2 ≥ 2ab
a2 + b 2
≥ ab
2
con igualdad si y solo si a = b.
√
x +y
≥ xy
2
con igualdad si y solo si x = y .
Desigualdad MA-MG (n = 2m )
Por ejemplo, n = 4:
x +y +w +z
=
4
x+y
2
+
2
w +z
2
√
≥
xy +
2
√
wz
≥
√
4
xywz.
Desigualdad MA-MG (caso general)
Por ejemplo, n = 3:
x +y +z +
4
Por tanto,
√
3
xyz
q
√
√
≥ 4 xyz 3 xyz = 3 xyz.
√
x +y +z
≥ 3 xyz.
3
Desigualdad MA-MG
Considerando todas las soluciones positivas de 2a + b = 60,
determine el valor máximo del producto ab.
Desigualdad MA-MG
2a + b √
≥ 2ab
2
√
30
y ab = 450 si 2a = b.
con igualdad si 2a = b. Por tanto ab ≤ √
2
30 =
Desigualdad MA-MG
Si x > 0, determine el valor mínimo de y = x 2 + x1 .
Desigualdad MA-MG
y = x2 +
1
2x
+
1
2x
q
≥ 3 3 x2
1
2x
1
2x
q
=33
1
4
si x 2 =
1
2x .
Desigualdad MA-MG
Encuentre el valor mínimo de a + b si a, b > 0 y ab2 = 1.
Desigualdad MA-MG
p
p
a + b/2 + b/2 ≥ 3 3 ab2 /4 = 3 3 1/4 si a = b/2.
Desigualdad MA-MG
De todos los cuadriláteros de perímetro fijo dado, demuestre que el
cuadrado encierra el área máxima.
Desigualdad MA-MG
Sin pérdida de generalidad, limitemos la discusión a cuadrilaeros
convexos. Consideremos el cuadrilátero ABCD. Entonces, el área
del mismo es
1
AB · DA + BC · CD
1
.
A = AB · DA sin(A) + BC · CD sin(C ) ≤
2
2
2
Similarmente,
A≤
AB · BC + CD · DA
.
2
Por tanto,
4A ≤ AB ·DA+BC ·CD +AB ·BC +CD ·DA = (AB +CD)(BC +DA)
(AB + BC + CD + DA)2
P2
=
.
4
4
2
Por tanto, A ≤ P4 , con igualdad en el caso del cuadrado.
≤
Desigualdad MA-MG
Si a + b = 1, entonces a4 + b4 ≥ 18 .
Desigualdad MA-MG
√
Observemos que 1 = a + b ≥ 2 ab, lo que implica que ab ≤ 41 .
Luego tenemos que 1 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab, que implica
a2 + b2 = 1 − 2ab ≥ 12 . Finalmente,
(a2 + b2 )2 = a4 + b4 + 2a2 b2 ≥ 41 , que implica a4 + b4 ≥ 18 .
Juegos
Juegos
Tenemos tres montones de piedras: uno con 10 piedras, otro con 15
y un último con 20. En cada turno, un jugador puede elegir uno de
los montones y dividirlo en dos montones con menos piedras cada
uno. El perdedor es aquel jugador que no puede dividir ningún
montón. ¿Existe alguna estrategia ganadora para algún jugador, si
juegan dos jugadores?
Juegos
No existe estrategia ganadora alguna. No importa que decisiones
tomen los jugadores, cada jugada aumenta un montón al juego, que
terminará cuando haya 45 montones de una piedra, es decir, en 42
jugadas. Así, el segundo jugador siempre ganará.
Juegos
Dos jugadores colocan dominos (1 × 2) en un tablero 10 × 10 de
manera que ninguna pieza colocada se encima en otra ni sale del
tablero. El jugador que no pueda colocar una pieza pierde. ¿Existe
alguna estrategia ganadora para algún jugador?
Juegos
El segundo jugador tiene una estrategia ganadora: jugar con
simetría con respecto al centro del tablero en respuesta a la jugada
del primer jugador. Siempre puede contestar la jugada así el
segundo jugador, y el juego terminará cuando el primer jugador no
pueda jugar.
Juegos
Una caja contiene 300 palillos. Dos jugadores toman turnos sacando
no mas que la mitad de los palillos. El jugador que no pueda jugar,
pierde. ¿Existe alguna estrategia ganadora para algún jugador?
Juegos
La posición perdedora es de la forma 2n − 1 (enfrentarla implica
perder), así que el primer jugador puede sacar 45 palillos y dejar el
juego en 255 = 28 − 1, asegurando su victoria.
Juegos
El juego comienza con el número 1. Dos jugadores toman turnos
multiplicando el número del momento por cualquier entero entre el
2 y el 9 (inclusive los extremos). El primer jugador que genere un
número mayor que 1000 gana. ¿Existe alguna estrategia ganadora
para algún jugador?
Juegos
Las posiciones perdedoras son del 56 al 111 (porque al multiplicar
del 2 al 9 producen números menores que mil pero en la siguiente
jugada uno puede hacerlos pasar de mil) y del 4 al 6 (porque al
multiplicar del 2 al 9 no llegan a las otras posiciones perdedoras,
pero en la siguiente jugada se puede lograr una posición
perdedora). Así que el primer jugador puede poner el juego en
posición 4, 5 ó 6 y ganar.
Juegos
Dos niños se turnan en romper una barra de chocolate que es de
5 × 10 cuadraditos. Solo pueden romper la barra usando las
divisiones entre los cuadraditos. El jugador que primero rompa un
cuadrito individual gana. ¿Existe alguna estrategia ganadora para
algún jugador?
Juegos
El primer jugador tiene la oportunidad de partir la barra en dos
barras iguales 5 × 5, y de ahí en adelante hacer jugadas simétricas
al contrincante, hasta que una barra con base o altura 1 sea
desprendida y ahí romper el cuadrito ganador.
Juegos
Dos jugadores ponen, uno despues del otro, monedas en una mesa
circular. Las monedas no pueden estar amontonadas una encima de
la otra. Pierde el que ya no puede poner moneda. Existe alguna
estrategia ganadora para algun jugador?
Juegos
El primer jugador tiene una estrategia ganadora: pone la primera
moneda en el centro de la mesa. Después de eso responde a la
jugada del segundo jugador simétricamente (respecto al centro). El
juego termina cuando el segundo jugador ya no puede poner
moneda.
Juegos
Un tablero 6x6 se llena de fichas 1x2. Gana el jugador solitario que
lo logre llenar sin que exista una linea, horizontal o vertical, que
divida el tablero en dos si partir ninguna ficha.
Juegos
Es imposible. Primero, observemos que si una linea divisora parte
una ficha, tiene que partir un número par de ellas; de otra forma, al
remover las fichas partidas, quedaría una region impar cubierta por
fichas pares. Ahora, por contradicción, asumamos que todas las
lineas divisoras parten fichas. Hay 5 lineas divisoras verticales y 5
horizontales, que por la primera observación tendrían que partir al
menos 20 fichas. Pero el tablero se cubre con 18 fichas:
contradicción.
Juegos
Juego de las cartas de la película X+Y / Beautiful young minds. Se
colocan en fila horizontal n cartas. En cada movida se toma una
carta boca arriba y se voltea boca abajo; se invierte tambien la
carta que esta a su derecha. En este juego solitario, gana el jugador
que pueda jugar más veces. ¿Cuál es la estrategia para jugar
indefinidamente?
Juegos
Pensar en las cartas como representando un número binario, y
observar que cada jugada lo hace disminuir estrictamente.
Juegos
Juego de la pila de n piedras, sacando a lo más m piedras por
movida (por ejemplo, gana quien se lleva la última piedra).
Generalizar a dos pilas, tres pilas, etc.
Juegos
Posición perdedora: m+1, 2(m+1), 3(m+1), etc.
Juegos
Nim. Dos columnas. Tres columnas.
Juegos
Dos columnas iguales: posición perdedora. Tres columnas: 1,2,3
posición perdedora. Suma nim 0 es común a las posiciones
perdedoras. En una jugada no se puede ir de suma nim cero a suma
nim cero. De suma nim distinta de cero siempre se puede ir a suma
nim cero.
Juegos
Hex: unir seis vérticas con aristas de dos colores. El primero en
formar un triángulo pierde (o gana).
Juegos
Considerar 4 vértices, 5 vértices. Simetría?
Fin