GUÍA NÚMEROS REALES GRADO NOVENO

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL
TRUJILLO
CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA
“El éxito en la vida consiste en siempre seguir adelante”.
NÚMEROS REALES
DESEMPEÑOS
Establecer las propiedades de la potenciación, radicación y usarlos en la solución de
problemas que involucren números reales en cualquier expresión algebraica.
Identificar y aplicar el concepto de simplificación de fracciones en la racionalización de los
números reales en cualquier expresión algebraica.
INDICADORES DE DESEMPEÑOS
Soluciona expresiones algebraicas aplicando las operaciones y propiedades de la
potenciación y la radicación.
Realiza simplificación de radicales.
Realiza simplificación de expresiones algebraicas.
Aplica la racionalización en la simplificación de expresiones algebraicas.
CONTENIDOS
Potenciación de números Reales
Propiedades de la potenciación de números Reales.
Radicación de números Reales
Propiedades de la radicación de números Reales.
Radicales semejantes.
Operaciones con radicales.
Simplificación de fracciones
Racionalización
POTENCIACION DE NUMEROS REALES
Para el cálculo de algunas operaciones con potencia o para simplificar expresiones es
conveniente utilizar algunas propiedades de la potenciación. A continuación se enumeran
las propiedades de la potenciación; al frente de cada propiedad escribe un ejemplo
BASE
EXPONENTE
#PAR
POTENCIA
+
#IMPAR
#PAR
+
+
#IMPAR
-
+
-
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION
1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
𝑎𝑚∙𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛
2. COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUA BASE
𝑎𝑚∙𝑎𝑛=𝑎𝑚-𝑛
3. POTENCI A DE UNA POTENCIA
(𝑎𝑚 )𝑛=𝑎𝑚∙𝑛
4. POTENCIA DE UN PRODUCTO
(𝑎∙𝑏 )𝑚=𝑎𝑚∙𝑏𝑚
5. POTENCIA DE UN COCIENTE
(𝑎/𝑏) 𝑚=𝑎𝑚/𝑏𝑚 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ≠0
6. POTENCIA CON EXPONENTE CERO
𝑎0=1 𝑐𝑜𝑛 𝑎≠0
7. POTENCIA CON EXPONENTE UNO
𝑎1=𝑎
8. POTENCIA DE UN EXPONENTE NEGATIVO
(𝑎/𝑏) −𝑛= (𝑏/𝑎) 𝑛
Actividad de Apropiación 1
Simplifica las siguientes expresiones y expresa la respuesta con exponentes positivos.
a)
(
)
(
)
c) (2a3)(2a3b5)3
b)
d)
Ejercicios
1. Calcular las siguientes potencias. Expresar las respuestas con exponentes positivos.
a) (9𝑥) −4
b) (−4𝑎3𝑏3𝑐2 )3
c) (−1,1𝑥2𝑦4 )2
d) (
e) (
)
)
2. Simplifica las siguientes expresiones.
a) (−7) 3 (−7) −1( −7) 3
c) (−2𝑥3𝑦)2(−3𝑥2𝑦2) 3
b) [(9𝑥2 )(92𝑥2 )]4
d) (3𝑚) −2 (
e)
3. Escribe el resultado como una potencia de exponentes positivos.
a) 14(2-3)(-6) · 2-3
b) (4x-2y)2(3xy-1)
c) ( 𝑎−3𝑏−6 )(
𝑎−1𝑏4 )
4. Simplifica cada una de las siguientes expresiones.
a)
b) (
c)
)
(
)
(
)
)2
RADICACION DE NUMEROS REALES
√𝑎
𝑏, 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖, 𝑏𝑛 = 𝑎
Recordar que:
√
Cuando en una raíz no aparece indicado el índice se debe entender que dicho índice es 2.
√𝑎 =
√𝑎
Raíz cuadrada de a
En la radicación de números reales R se pueden presentar los siguientes casos.
n
a
b
R+
R+
RR+
NO EXISTE
R+
R-
R-
# Par
# Impar
PROPEDADES DE LA RADICACION
Para facilitar el cálculo de algunas raíces se utilizan las propiedades de la radicación que
se enumeran a continuación..
1. Raíz de un producto.
√𝑎 𝑏
√𝑎 √𝑏
2. Raíz de un cociente.
𝑎
√
𝑏
√𝑎
√𝑏
3. Raíz de una raíz.
√ √𝑎
√𝑎
4. Raíz de una potencia.
√𝑎𝑚
=
5. Raíz n-ésima de un numero positivo elevado a la n.
√𝑎𝑛
Ejercicios
1. Calcular las siguientes raíces aplicando las propiedades de la radicación.
a) √−
b)
7𝑛 𝑚
𝑚 𝑥𝑛
𝑎
√
c) √
d)
𝑦
𝑚− 0 𝑚
√
𝑎
−
𝑏
2. Expresar en forma radical y resolver
𝑎
𝑥 𝑦
𝑐
(
𝑏
)
−
𝑛 𝑚
𝑑
𝑎 𝑏
3. Calcular las siguientes raíces aplicando las propiedades de los radicales
a. √
b. √
c. √−
−
√
𝑎 𝑏
√
𝑏
d.
𝑥 0𝑦 𝑧
√
𝑥 𝑦
𝑧0
f. √
√ 𝑚
7𝑥− 𝑦
0
4. Simplificar cada uno de los siguientes resultados.
𝑎
b)
√
√
√𝑎
𝑐 √ √𝑥 𝑦 𝑧
− 7
𝑥− 𝑦−
𝑥
√
SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES CON RADICALES
Para que una expresión con radicales se encuentre simplificada se deben cumplir las
siguientes condiciones:
1. √𝑎𝑚 𝑏 está simplificada, si y solo si m < n y t < n.
2. √𝑎𝑚 𝑏
está simplificada si el M.C.D (n, m, t) = 1
Verifica si las siguientes expresiones se encuentran simplificadas; en caso contrario,
reducirlas a su mínima expresión.
√
a)
𝑎 𝑏
𝑏
√ √ 𝑎
𝑏
RADICALES SEMEJANTES
Dos o más radicales son semejantes si tienen exactamente igual índice y la misma
cantidad subradical dichos radicales solo pueden diferir en el coeficiente.
Por ejemplo
𝑎√ 𝑏
y
𝑎
√ 𝑏 son radicales semejantes.
Para determinar si dos o más radicales son semejantes, se debe reducir a su mínima
expresión.
Ejercicios.
1. Determinar cuáles de los siguientes radicales son semejantes.
a) √7 𝑎 𝑏 𝑐
; √
𝑎𝑏 𝑐
;√
𝑎𝑏 𝑐
b) √𝑚 𝑛
2. Une las expresiones que son semejantes
1.
√
𝑧
a.
𝑥 𝑦 √𝑥
2.
√
𝑥 𝑧
b.
𝑥 𝑦𝑧
;√
𝑚
;√
𝑎𝑛
3.
𝑥 𝑦
c.
𝑥 𝑦
√𝑥 𝑛 𝑦𝑛
d.
𝑦
( √𝑦𝑧𝑥 )
e.
√
6.
√𝑥
7.
√
𝑦
√
𝑥 √𝑧
f.
g
. √ 𝑧 √
3. Encierra la expresión que no es semejante a las otras.
.
.
OPERACIONES CON RADICALES
ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES
Para sumar o restar radicales, primero se simplifican y, se reducen los radicales a
semejantes. Si los radicales no son semejantes se deja indicada la operación.
Solamente pueden sumarse (o restarse) radicales que sean semejantes.
Ejemplos
Resolver las operaciones indicadas



Ejercicio
MULTIPLICACION DE RADICALES
CASO 1. Radicales con índice común. En este caso, se multiplican los coeficientes
entre si y los radicales se multiplican aplicando la propiedad de la raíz de un producto.
𝑎√
𝑏√
𝑎𝑏 √
CASO 2. Radicales con diferente índice. En este caso se reducen a radicales con índice
común. Luego, se procede como en el primer caso. El proceso para hallar el común índice
de los radicales es el siguiente:

Se halla el mínimo común múltiplo entre los índices de los radicales. Este resultado
será el índice común.

Se divide el índice común entre el índice de la raíz y se eleva la cantidad subradical
a ese resultado
Ejemplo 1. Convertir al mismo índice
Ejemplo 2 multiplicar
Ejemplo 3
Más ejemplos.
DIVISION DE RADICALES
Para hallar el cociente entre dos radicales, se dividen los coeficientes entre sí, y las
cantidades del radicando se escriben dentro del mismo radical común, simplificando lo que
sea posible. Si los radicales tienen diferente índice, se convierten a radicales con índice
común. Ejemplo 1: Resolver las divisiones indicadas
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Más ejemplos
Resolver las divisiones indicadas
Ejercicios.
1.Realiza las siguientes adiciones y sustracciones
2. Determine el perímetro del terreno
3. Multiplicar los siguientes radicales. Luego, simplificar si es posible.
4. Simplificar las siguientes expresiones.
5. Dividir los siguientes radicales.
RACIONALIZACION
Cuando una fracción tiene radicales en el denominador, siempre es posible expresarla
como otra fracción equivalente sin radicales en él. Este proceso recibe el nombre de
racionalización.
Racionalización de fracciones con denominadores monomios.
Ejemplo: Racionaliza las siguientes fracciones.
Racionalización de fracciones con denominadores binomios.

Si el denominador es un binomio que contiene radicales de índice dos; se debe
complificar por su conjugado.
Por ejemplo, el conjugado de √

Si
−
√
Si el denominador es un binomio que contiene radicales de índice tres; se debe
complificar por el trinomio que hace que la multiplicación en el denominador sea
una suma o diferencia de cubos.
el
denominador
(√ ) − (√ )(√ )
es
√
( √ ) Este
√
producto
𝑒𝑛 𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
da
( √ ) permitiendo eliminar las raíces cubicas.
Ejercicios: Racionalizar las siguientes fracciones
Diego Alonso Castaño A
Docente
como
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠
resultado
(√ )
𝑝𝑜