Guión de prácticas

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PRACTICAS DE TEORÍA DE MAQUINAS
SIMULACIÓN DE SISTEMAS
DINÁMICOS
SIMULACIÓN DE SISTEMAS
DINÁMICOS CON SIMULINK
TEORÍA DE MÁQUINAS
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- ÍNDICE.
1.- Introducción
2.- Introducción al Simulink
2.1.- Ventanas de Trabajo
2.2.- Bloques operacionales
2.2.1.- Bloques generadores
2.2.2.- Visualizadores
2.2.3.- Operadores Lineales
2.2.4.- Operadores no lineales
2.3.- Generación del modelo
2.4.- Introducción de parámetros
2.5.- Parámetros de simulación
2.6.- Obtención de resultados
3.- Modelo de 1 Grado de Libertad
4.- Modelo de Dos Grados de Libertad
4.1.- Modelo
4.2.- Modelo en Simulink
4.3.- Resultados
5.- Modelo de Cuatro Grados de Libertad
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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APLICACIÓN DE “SIMULINK” A LA SIMULACION DE SISTEMAS DINÁMICOS
1º.- INTRODUCCION
Para la simulación de sistemas dinámicos, se va a utilizar una librería del
programa “MATLAB” denominada “SIMULINK”.
Esta librería nos permite trabajar con bloques operacionales, lo cual es de
gran utilidad para aplicar las ecuaciones diferenciales de los sistemas, ya que nos
podemos ir siguiendo los flujos de las variables que se desarrollan a lo largo del
modelo.
En función de las ecuaciones diferenciales debemos realizar una “traducción”
a un diagrama de Bloques Operacionales con el que trabaja
“Simulink”.
2.- INTRODUCCIÓN AL SIMULINK.
Vamos en primer lugar, a conocer como funciona la librería “Simulink”. Para
entrar al programa hay que seleccionar con el ratón el icono “MATLAB”, y hacer
“doble click” sobre el mismo. Con ello entraremos en la ventana de trabajo de
“Matlab” donde aparecerá un “prompt” en espera de los comandos oportunos.
Escribimos “simulink” ( hay que prestar especial atención a las mayúsculas y
las minúsculas, ya que Matlab diferencia entre unas y otras. No es lo mismo
una variable que se llame “x” que otra que se llame “X” ) . En este momento se
abrirá una nueva ventana, en la que aparecen cada uno de los bloques de
herramientas con los que cuenta el “Simulink”.
Dentro de cada una de estas cajas de herramientas, aparecerán los
bloques operacionales con los que podemos generar los modelos.
Simulink, es un programa de propósito general, por lo que tiene una gran
cantidad de bloques operacionales, lo cual permite enormes posibilidades de
simulación.
Para generar modelos de sistemas mecánicos, en general, solamente se
necesitan seis o siete bloques, aunque para alguna aplicación especial, están
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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disponibles una gran variedad donde elegir, lo cual facilita el trabajo de generación
del modelo y ofrece unas posibilidades casi ilimitadas. Más adelante veremos los
bloques que utilizaremos habitualmente.
2.1.- Ventana de Trabajo.
Para generar el modelo, lo primera que hay que hacer es abrir una ventana de
trabajo nueva, donde se va a construir el diagrama de bloques del modelo. Para ello
seleccionamos con el ratón en el menú desplegable “ FILE” y a continuación
elegimos con el ratón la opción “New”.
De esta forma, aparecerá una nueva ventana llamada “Untitled”. En este
momento podemos darle un nombre al modelo seleccionando de nuevo en el menú
“File” la opción “Save” . En la ventana que aparece, introducimos el nombre que
queramos dar al modelo, por ejemplo “modelo1”. El programa le dará la extensión
“ .m”, para que Matlab reconozca que es un archivo de “Simulink”.
El siguiente paso es llevar a la ventana de trabajo los bloques
necesarios para generar el modelo.
2.2- Bloques Operacionales.
Veremos ahora, los bloques necesarios para trabajar normalmente con
nuestros sistemas:
2.2.1.- Generadores “ Sources”.
Sirven para introducir excitaciones al sistema.
“Simulink” dispone de una gran variedad de generadores para elegir, lo cual
nos permitirá simular cualquier tipo de excitación que necesitemos. Normalmente,
utilizaremos los siguientes bloques generadores:
Bloque “CLOCK”. Este bloque es un contador de tiempo, lo utilizaremos
como referencia de tiempo del sistema. También sirve para generar una
variable “ t” (tiempo) que luego utilizaremos para representar gráficamente
los resultados de las simulaciones.
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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Bloque “CONSTANT”. Este bloque sirve para generar un valor constante.
Con él podemos simular fuentes de valor constante como por ejemplo la
gravedad.
Bloque “SIGNAL GEN.” Este bloque permite generar señales del tipo:
senoidal, cuadrada, dientes de sierra o aleatoria, pudiendo elegir tanto la
amplitud como la frecuencia de la misma.
2.2.2.- Visualizadores “ Sinks”.
Sirven para visualizar las variables de interés, que se quieran estudiar. Como
en el caso de las fuentes tenemos varios tipos de elementos visualizadores.
Normalmente utilizaremos el bloque :
Bloque “XY GRAPH.” Este bloque permite visualizar la evolución de una
variable frente a otra. Por la entrada superior introducimos la variable que
queremos representar en el eje de abscisas (X) y en la entrada inferior la
variable para el eje de ordenadas (Y).
Bloque “TO WORKSPACE.” Este bloque permite almacenar los datos de
salida de la simulación en una variable, con la que luego podemos operar en
“Matlab”.
Bloque “Auto-Scale GRAPH.” Este bloque permite visualizar la evolución
de una variable frente al tiempo. Sólo tenemos una entrada por la que
introducimos la variable que queremos representar en el eje de ordenadas
(Y). El gráfico se auto escala automáticamente.
2.2.3.- Operadores Lineales.
Estos bloques sirven para hacer operaciones como sumar, restar, integrar,
derivar, etc.
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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2.2.4.- Operadores No Lineales
Estos bloques sirven para hacer operaciones como multiplicar, dividir, senos,
cosenos, etc.
Bloque “Fcn”. Permite definir cualquier función (senos, cosenos, log, e x,
etc.)
En principio, con estos elementos, podremos simular cualquier sistema. En
algún caso concreto, es posible tener que utilizar otros bloques de los múltiples que
tenemos disponibles en las librerías de “Simulink”, pero en general con estos será
más que suficiente,
2.3.- Generación del Modelo
El primer paso para generar el modelo será llevar a nuestra ventana de
trabajo los bloques que necesitamos. Para ello entraremos en las distintas cajas de
herramientas e iremos seleccionando con el ratón los bloques deseados.
Una vez seleccionado, hacemos “click”, con el botón izquierdo del ratón y sin
soltarlo, arrastramos el bloque a la ventana de trabajo. Repetimos el proceso hasta
tener todos los bloque necesarios.
El siguiente paso es unir los distintos bloques para formar el modelo. Para
ello se hace “click”, con el botón izquierdo del ratón en la salida del bloque que se
desea unir y sin soltarlo se arrastra hasta la entrada del siguiente bloque.
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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De esta forma aparecerá una flecha que indica la dirección de la variable, en
este caso la variable “clock” será almacenada en la variable “yout”.
En general, necesitaremos más de un mismo bloque para generar el modelo
completo. Para no tener que estar arrastrando de nuevo desde las “cajas de
herramientas” hasta la ventana de trabajo estos bloques, es preferible utilizar la
función “seleccionar”, haciendo “click” con el ratón en el bloque que se desee y
luego utilizar “copiar” y “pegar” para generar tantas copias como se necesiten. De
esta forma podemos tener tantos bloques iguales como deseemos.
Otra función muy útil es la “rotación” de los bloques, para poder orientarlos de
la forma más adecuada para que el dibujo que generemos sea fácilmente
asimilable. Para orientar un bloque, se selecciona haciendo “click” sobre éste con el
ratón y luego se pulsa la tecla “Control + R”
2.4.- Introducción de Parámetros.
Una vez realizado el modelo uniendo de forma adecuada los distintos
bloques, el siguiente paso será introducir los parámetros en cada uno de los
bloques.
Para ello se selecciona el bloque en cuestión y se hace “doble click” en el
mismo, con lo cual se accederá a una nueva ventana en la que se introducen los
parámetros del bloque.
Así, en los bloques constantes, podemos definir el valor de la cte. del bloque
(atención, puesto que estos bloques solo admiten valores numéricos). En los
bloques suma podemos introducir el número de puertas de entrada queremos y si
son del tipo sumas o resta, para ello añadimos “+” o “-“ en la ventana de dialogo.
Etc.
En el caso del “XY Graph”, deberemos introducir los valores máximos y
mínimos de las escalas tanto horizontal como vertical, para visualizar las variables
deseadas. En muchos casos, como no sabemos de antemano cual puede ser el
valor de la variable, se aconseja introducir valores altos, y después de simular el
modelo la primera vez, ajustar las escalas en una segunda simulación.
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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Es muy importante para las salidas tanto gráficas como de valores dar capacidad
de almacenamiento a las mismas. Para ello hay que tener en cuenta la duración de
la simulación y el paso de integración.
También es importante poner etiquetas a cada uno de los bloques con el fin
de identificarlos. Para ello, deberemos hacer “doble click” en la etiqueta del bloque
para seleccionarla (cambiará de color) y después, escribimos el nuevo nombre del
bloque.
2.5.- Introducción de los parámetros de Simulación.
Antes de poder “simular” el modelo, debemos introducir los parámetros de
simulación. Para ello debemos acceder al menú correspondiente. Seleccionamos
con el ratón el menú “Simulation” y dentro de este seleccionamos “Parameters”.
Aparecerá una nueva ventana, en la que deberemos introducir los parámetros de
simulación deseados.
n Tiempo inicial. Introducimos el tiempo en el que queremos que se inicie
la simulación. Normalmente comenzaremos siempre en t= 0 segundos.
n Tiempo Final. Es el tiempo que va a durar la simulación.
n Min. Step size. Con este parámetro indicamos tamaño mínimo del paso
de integración que el programa utilizará para resolver las ecuaciones.
n Max. Step size. Con este parámetro indicamos tamaño máximo del paso
de integración que el programa utilizará para resolver las ecuaciones.
n Tolerancia. Indicamos la tolerancia máxima del error que el algoritmo de
integración utilizará para cambiar el paso de integración.
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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n Algoritmo de Integración. En función de la complejidad del modelo que
se este simulando y del tipo de ecuaciones que se tengan que integrar, se
pueden seleccionar distintos tipos de algoritmos de integración: Euler,
Adams, Runge-Kutta, Gear, etc.
2.6.- Obtención de Resultados.
Una vez completo el modelo, el paso siguiente es simular y obtener
resultados para analizar el comportamiento del sistema. Para ello, seleccionamos
con el ratón el menú “Simulation”, y a continuación elegimos “Start”, con lo cual el
modelo comenzará a “ejecutarse”. En el caso de que tengamos variables
seleccionadas en el
“ XY Graph”, podremos ir viendo la evolución de las mismas en una ventana gráfica
MODELO 2 D.G.L.
3.00E+06
Masa susp.
2.50E+06
Masa no susp.
2.00E+06
DESPLAZAMIENTO (m)
1.50E+06
1.00E+06
5.00E+05
0.00E+00
-5.00E+05
-1.00E+06
-1.50E+06
0.00E+00
5.00E+06
1.00E+07
1.50E+07
2.00E+07
2.50E+07
3.00E+07
3.50E+07
4.00E+07
4.50E+07
5.00E+07
TIEMPO (s)
3.- MODELO DE 1 G.D.L.
Como ejemplo, vamos a simular un sistema con un solo grado de libertad, y
ayudándonos del programa “Simulink” para resolver las ecuaciones dinámicas.
Partimos del modelo de la figura, compuesto por una masa ( M) y un Resorte
(K), sobre el que se aplica una velocidad conocida (Vo).
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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Vo(t) será la velocidad de excitación del sistema y V1(t)la velocidad de
respuesta de la masa.
Como ejercicio se propone al lector definir las ecuaciones diferenciales que
definen dicho sistema dinámico, así como generar un modelo en simulink para
simularlo.
Una vez generado el diagrama de bloques, deberemos introducir los
parámetros en los distintos elementos que componen el sistema:
n Masa (m) = 1 kg
n Rigidez (K) = 1 N/m
n Gravedad (g) = 9.8 m/s2
Ahora podríamos simular el sistema y obtener la evolución de las variables
del mismo, en función de distintos valores de la velocidad de entrada Vo. Así, por
ejemplo, podemos estudiar el desplazamiento de la masa frente al tiempo para una
velocidad de entrada de valor conocido.
Para ello necesitaremos visualizar en un gráfico ambas variables. Esto lo
podemos realizar añadiendo al sistema un bloque “XY graph” y un bloque “clock”.
También se puede realizar con un bloque “Auto-Scale Graph”
Los parámetros de simulación (a los cuales accedemos desde el menú
“Simulation”) serán los siguientes:
n
n
n
n
Start Time = 0
Stop Time = 50
Min. Step size = 0.01
Max. Step size.= 0.1
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Para el algoritmo de integración dejamos el que el programa toma por
defecto.
Antes de simular, falta introducir el valor de la velocidad de excitación del
sistema “ Vo”. Vamos en primer lugar a tomar como valor de Vo = 0 (para ello
hacemos “doble clik “ sobre el bloque“ Signal Gen” y ponemos el valor de
amplitud a cero). Esto es tanto como decir que el suelo no se mueve. El
resultado de la simulación que aparecerá en el “XY graph” será:
MODELO 1 D.G.L.
0.00E+00
Masa
-2.00E-01
-4.00E-01
DESPLAZAMIENTO (m)
-6.00E-01
-8.00E-01
-1.00E+00
-1.20E+00
-1.40E+00
-1.60E+00
-1.80E+00
-2.00E+00
0.00E+00
5.00E-01
1.00E+00
1.50E+00
2.00E+00
2.50E+00
3.00E+00
3.50E+00
4.00E+00
4.50E+00
5.00E+00
TIEMPO (s)
Como vemos, El sistema se está moviendo a pesar de que no existe
excitación (Vo=0). Ello es debido a que tenemos otra fuente de energía en el
sistema que es el peso propio de la masa.
Efectivamente, tal y como está planteado el sistema, cuando empezamos a
simular, el modelo entiende que tenemos la masa sujeta en el punto inicial (Xm = 0) y
la soltamos contra el muelle, con lo cual la masa empezará a oscilar.
Si no existiesen efectos de inercia, es decir, dejamos caer lentamente la
masa sobre el muelle, esta llegaría a la posición de equilibrio en: Xm = Peso / K = 9.8 m y no se movería más.
Este no es el caso, debido al efecto de la inercia la masa cae hasta:
Xm = -19.6m, es decir hasta que la fuerza del muelle es capaz de vencer la suma de
la fuerza de inercia más la fuerza del peso propio de la masa.
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TEORÍA DE MÁQUINAS
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En ese momento se invierte el sentido del movimiento, y el sistema empieza
a oscilar, con un movimiento de amplitud constante y a una frecuencia que será la
propia del sistema (w = ( K / m)0.5).
En la mayoría de los casos, nos va a interesar que el sistema comience la
simulación desde una posición de equilibrio (es decir, en el instante inicial la masa
debe estar colocada sobre el muelle en posición de reposo) para evitar las
oscilaciones debidas al peso propio del sistema.
La forma de forzar una posición inicial al sistema, es mediante los valores de
las constantes en los bloques integradores. Así, en este caso, introducimos en el
integrador que calcula el desplazamiento en el muelle (Xm), el valor de la posición
inicial del muelle, que será :
Xo = P eso/ K = 9.8 m
Si simulamos de nuevo el sistema nos encontramos con el siguiente
resultado:
MODELO 1 D.G.L.
5
Masa
4
3
DESPLAZAMIENTO (m)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0.00E+00
5.00E-01
1.00E+00
1.50E+00
2.00E+00
2.50E+00
3.00E+00
3.50E+00
4.00E+00
4.50E+00
5.00E+00
TIEMPO (s)
Como podemos comprobar ahora no existe ninguna fuente de energía en el
sistema, por lo que este permanecerá en reposo.
Podríamos simular ahora otras condiciones de excitación para ver que le
ocurre al modelo. Vamos a simular que excitamos al sistema con una velocidad de
entrada de tipo senoidal, con amplitud igual a 1 m/s y frecuencia igual a 1 rad/s :
w = 1 rad/s
A = 1 m/s -à Vo = A * Sin ( w*t)
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TEORÍA DE MÁQUINAS
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Hay que recordar que la frecuencia propia del sistema era precisamente 1
rad/s. El resultado de la simulación es el siguiente:
MODELO 1 D.G.L.
2.50E+00
Masa
2.00E+00
1.50E+00
DESPLAZAMIENTO (m)
1.00E+00
5.00E-01
0.00E+00
-5.00E-01
-1.00E+00
-1.50E+00
-2.00E+00
-2.50E+00
0.00E+00
5.00E-01
1.00E+00
1.50E+00
2.00E+00
2.50E+00
3.00E+00
3.50E+00
4.00E+00
4.50E+00
5.00E+00
TIEMPO (s)
Como vemos, la amplitud del desplazamiento, va creciendo cada vez más. Si
dejásemos el tiempo suficiente, el desplazamiento sería infinito. Esto es debido
precisamente por excitar el sistema a su frecuencia propia, cuando esto ocurre, el
sistema entra en resonancia y se autoexcita sin necesidad de la aportación de
energía exterior, pudiendo llegar a destruirse si no se impide de alguna forma.
Veamos la diferencia, cuando excitamos al sistema con una frecuencia distinta de la
de resonancia, con una amplitud incluso mucho mayor.
n w = 2 rad/s
A = 15 m/s
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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MODELO 1 D.G.L.
2.00E+01
Masa
1.80E+01
1.60E+01
DESPLAZAMIENTO (m)
1.40E+01
1.20E+01
1.00E+01
8.00E+00
6.00E+00
4.00E+00
2.00E+00
0.00E+00
0.00E+00
5.00E-01
1.00E+00
1.50E+00
2.00E+00
2.50E+00
3.00E+00
3.50E+00
4.00E+00
4.50E+00
5.00E+00
TIEMPO (s)
En este caso el desplazamiento de la masa toma unos valores “normales” y
se mantiene constante a lo largo del tiempo. Si no variase la velocidad de entrada
tampoco variaría el desplazamiento de la masa por mucho tiempo que estuviésemos
simulando.
La diferencia está en que ahora ya no estamos excitando al sistema en su
frecuencia de resonancia y por lo tanto las respuestas son lineales.
El fenómeno de la resonancia es muy peligroso, ya que si no calculamos
correctamente los parámetros de nuestro sistema para trabajar lejos de las
frecuencias propias, podemos llegar a tener esfuerzos mayores que los esperados
si llegásemos a excitar al sistema en su frecuencia de resonancia.
En cualquier caso, siempre existen medios para limitar los efectos que pueda
producir el fenómeno de la resonancia en nuestro sistema.
4.- MODELO DE 2 GRADOS DE LIBERTAD
4.1.- MODELO
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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Vamos a estudiar ahora, un modelo un poco más complicado. El modelo
tiene 2 grados de libertad y representa 1 / 4 del sistema de suspensión de un
vehículo.
Mediante este modelo podemos estudiar la dinámica vertical del sistema de
suspensión.
Este modelo estará compuesto por:
- Un resorte “K1 “ que representará la rigidez del neumático.
- Una masa “M 1 “ que representa la masa no suspendida del vehículo.
- Un resorte “K2 “ en paralelo con un amortiguador “R2,”
que representan la rigidez y el amortiguamiento del sistema de suspensión.
- Una masa “M 2 “ que representa la masa suspendida del vehículo.
En la figura adjunta representamos el modelo a estudiar:
4.2.- MODELO EN SIMULINK
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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El siguiente paso será plantear el diagrama de bloques en “simulink”, a partir
de las ecuaciones diferenciales del sistema dinámico. Para ello igual que en el caso
de 1 g.d.l. se sigue la evolución de las variables a lo largo del sistema.
Se deja al lector como ejercicio el encontrar las ecuaciones diferenciales del
sistema, así como su paso a diagrama de bloques simulink.
Los parámetros del sistema serán:
- K 1 = 120.000 N/m
- M1 =
80 kg
- K 2 = 10.000 N/m
- M1 =
375 kg
-R =
800 N/m
La fuente de entrada al sistema, viene definida por un escalón con la forma
siguiente:
Para generar este tiempo de entrada utilizaremos el bloque generador
denominado “ Repeating Sequence”, el cual nos permite definir mediante dos
vectores los valores de “t” y “d” que representan el escalón de entrada al sistema.
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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Como en el caso del sistema con 1 g.d.l. ahora estudiaremos el
comportamiento de la masa suspendida (m2) mediante el análisis del
desplazamiento, velocidad y aceleración en este elemento.
Podremos variar el valor del amortiguador “ R “ y estudiar el comportamiento
del desplazamiento de la masa suspendida con objeto de optimizar este valor,
etc.... .
Es decir, una vez realizado el modelo se puede hacer un análisis tanto
cinemático como dinámico del mismo, ya que hemos resuelto las ecuaciones
completas del comportamiento del sistema.
Se podrán optimizar los distintos parámetros del sistema en función de las
necesidades de diseño
4.3.- RESULTADOS
Vamos a comparar los valores que toman los desplazamientos de la masa
“m1” (neumático) y “m2 “ (carrocería), cuando variamos el valor del amortiguamiento
“R”. Para ello daremos a R los siguientes valores:
- R = 400 N s/m
/ R= 800 N s/m
/ R = 1600 N s/m
El segundo parámetro de comparación serán las aceleraciones de “m1 “ y
“m2“ para los mismos valores de “R” que en el caso anterior.
En las gráficas siguientes podemos observar los resultados de las
simulaciones:
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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1ª- Simulación : R= 800 N s/m. Desplazamientos del neumático y
la carrocería.
Desplazamiento del neumático y de la carroceria
R = 800 N s /m
3.00E-01
Desp. m1
Desp. m2
Bache
2.50E-01
2.00E-01
desplazamiento (m)
1.50E-01
1.00E-01
5.00E-02
0.00E+00
-5.00E-02
-1.00E-01
-1.50E-01
-2.00E-01
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
4.00E+00
5.00E+00
6.00E+00
tiempo (s)
En este gráfico, podemos observar el comportamiento del neumático (línea
continua) y de la carrocería (línea de puntos) cuando “circulan” por el escalón (Línea
gruesa continua).
Debido a los efectos de la inercia, tanto el neumático como la carrocería
sobrepasan la altura máxima del escalón (0.2 m). También vemos como la
carrocería tarda unos segundos en estabilizarse, una vez que desciende del escalón,
mientras que el neumático lo hace más rápidamente. (Debemos tener en cuenta la
diferencia de inercia entre ambos)
También observamos como, mientras que el neumático sigue el perfil del
escalón durante el ascenso, la carrocería tarda más tiempo en “enterarse” de que
está subiendo, esto es debido a la mayor inercia de ésta y al “filtrado” que ejerce el
sistema de suspensión compuesto por el resorte y el amortiguador.
2ª - Simulación: Comparación de Desplazamientos del neumático para
distintos valores de R
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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Desplazamiento del neumático (m1)
R = 800 N s /m - R= 400 N s/m - R= 1600 N s /m
3.00E-01
R_400
R_1600
R_800
2.50E-01
2.00E-01
desplazamiento (m)
1.50E-01
1.00E-01
5.00E-02
0.00E+00
-5.00E-02
-1.00E-01
-1.50E-01
-2.00E-01
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
4.00E+00
5.00E+00
6.00E+00
tiempo (s)
En este caso, podemos observar como al cambiar el valor de “R”, el
comportamiento del neumático frente al escalón, no varía mucho. Tan solo se nota en
el en el rebote que se produce en la parte superior del escalón. Vemos como, con
el amortiguador más “blando” (R=400 N s/m) los desplazamiento son ligeramente
superiores.
De este gráfico no podemos sacar mucha más información en cuanto al
comportamiento del sistema.
Vamos a ver que le ocurre a la carrocería:
3ª - Simulación: Comparación del Desplazamiento de la carrocería para
distintos valores de R
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Simulación de Sistemas dinámicos & Simulink
TEORÍA DE MÁQUINAS
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Desplazamiento Carrocería (m2)
R = 800 N s /m - R= 400 N s/m - R= 1600 N s /m
2.50E-01
R_400
2.00E-01
R_1600
R_800
1.50E-01
desplazamiento (m)
1.00E-01
5.00E-02
0.00E+00
-5.00E-02
-1.00E-01
-1.50E-01
-2.00E-01
0.00E+00
5.00E-01
1.00E+00
1.50E+00
2.00E+00
2.50E+00
3.00E+00
3.50E+00
4.00E+00
4.50E+00
5.00E+00
tiempo (s)
En esta gráfica, podemos observar, como con el amortiguador más “duro”
(R=1600 N s/m), los desplazamientos máximos de la carrocería son ligeramente
menores que en los otros dos casos. Además el sistema tarda menos tiempo en
estabilizarse. Con el amortiguador “blando” (R=400 N s/m) los ocupantes del
vehículo estarían más tiempo moviéndose después de pasar el bache.
Desde el punto de vista del confort de los pasajeros, parece que un
amortiguador “duro” es mejor que uno “blando” ya que los pasajeros estarán
menos “agitados”. Sin embargo, para estudiar el confort es necesario analizar las
aceleraciones, que es lo que realmente es capaz de percibir el cuerpo humano.
Veamos que ocurre cuando analizamos las aceleraciones de la carrocería.
4ª - Simulación: Comparación de las aceleraciones de la carrocería para
distintos valores de R
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TEORÍA DE MÁQUINAS
21
Aceleración Carrocería (m2)
R = 800 N s /m - R= 400 N s/m - R= 1600 N s /m
6.00E+03
acc_m2_R800
acc_m2_R400
acc_m2_R1600
desplazamiento (m)
4.00E+03
2.00E+03
0.00E+00
-2.00E+03
-4.00E+03
-6.00E+03
0.00E+00
5.00E-01
1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00 2.50E+00 3.00E+00 3.50E+00 4.00E+00
4.50E+00
5.00E+00
tiempo (s)
En este caso podemos observar como el amortiguador más “duro” tiene
mayores aceleraciones, lo cual es más inconfortable para los pasajeros del
vehículo, aunque como vimos anteriormente, tarda menos tiempo en estabilizarse.
En este caso, deberemos buscar una solución de compromiso, es decir,
tenemos que seleccionar un valor de “R” de forma que las aceleraciones sobre los
ocupantes no sean muy elevadas, y además que no el sistema no tarde mucho en
estabilizarse.
Un valor de R = 800 N s/m, puede ser una buena solución de compromiso
para nuestro diseño del sistema de suspensión.
5.- MODELO DE 4 GRADOS DE LIBERTAD
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TEORÍA DE MÁQUINAS
22
Se desea estudiar la dinámica vertical de una motocicleta, para lo cual se ha
planteado un modelo como el de la figura adjunta. Este modelo también sirve para
estudiar la dinámica transversal de un automóvil (movimientos de balanceo).
Este modelo estará compuesto por :
n Dos Resortes “Kn1 y Kn2 “ que representará la rigidez de los
neumáticos delantero y trasero respectivamente.
n Dos Amortiguadores “Rn1 y Rn2 “ que representará el amortiguamiento
de los neumáticos delantero y trasero respectivamente.
n Dos Masas “M1 y M2“ que representan las masa no suspendidas
delantera y trasera del vehículo.
n Dos Resortes “K2 y K 2“ en paralelo con sendos amortiguadores “R1 y
R2 “ que representan la rigidez y el amortiguamiento del sistema de
suspensión, tanto delantero como trasero.
n Una masa “M3 “ que representa la masa suspendida del vehículo
Los grados de libertad del sistema son:
n Desplazamiento vertical de la masa no suspendida delantera (X1)
n Desplazamiento vertical de la masa no suspendida trasera (X2)
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TEORÍA DE MÁQUINAS
23
n Desplazamiento vertical de la masa suspendida (X3)
n Ángulo girado por el cdg. de la masa suspendida (φ )
Los parámetros del vehículo son :
Masa suspendida (m3)
Masa no suspendida por rueda ( m1 , m2)
Rigidez vertical del neumático ( Kn1 , Kn2
Amortiguamiento vertical del neumático (Rn1 , Rn2
Rigidez vertical de la suspensión delantera (K 1
Amortiguamiento vertical de la suspensión delantera
Rigidez vertical de la suspensión trasera (K 2
Amortiguamiento vertical de la suspensión trasera
Momento de inercia de la masa suspendida (J)
Distancia del cdg. a la suspensión delantera (a)
Distancia del cdg. a la suspensión trasera (b
El vehículo circula a 50 km/h
100
25
100.000
100
13.400
850
10.300
650
9
0.48
0.52
kg
kg
N/m
N s/m
N/m
N s/m
N/m
N s/m
kg m2
m
m
Para estudiar la evolución del vehículo en circulación, se supone que existe
una excitación al sistema desde el suelo, representada por medio de una función
senoidal de amplitud 0.05 m y de periodo 7 m. Compararemos los resultados con
los obtenidos cuando reducimos el periodo de la onda senoidal a 1.4 m.
Para comparar resultados deberemos obtener los desplazamientos y las
aceleraciones tanto en las masas no suspendidas como en la masa suspendida.
Se propone al lector la obtención de las ecuaciones del sistema, el paso de
las mismas a bloques simulink, y la obtención de los resultados mencionados arriba.
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