Dos lecciones acerca de la compactificacion en orientifolios

Dos lecciones acerca de
la compactificación en
orientifolios
José Antonio López Rodríguez
Centro de Física Teórica y Computacional
Escuela de Física, UCV
Contenido Lección I
1. Introducción
2. Teorías de cuerdas en la hoja de mundo
3. Invarianza modular
4. Orbifolios.
Contenido Lección II
1. Cuerdas abiertas y Dp-branas
2. Orientifolios
3. Cancelación de tadpoles
Lección I
Introducción
sugra D=11
IIA
IIB
S
T
S
M
S
I
T
Het
Het
SO(32)
E8 × E8
sugra D=11
IIA
IIB
S
T
S
M
S
I
T
Het
Het
SO(32)
E8 × E8
La acción bosónica
La acción bosónica
•
•
En el caso de las teorías
con grados de libertad
bosónicos, la acción es la
de un conjunto de
campos escalares.
Invariancia bajo
difeomorfismos y
transformaciones
conformes.
1
S=−
4πα!
!
√
d σ −hhab Gµν ∂a X µ ∂b X ν
2
La acción bosónica
1
S=−
4πα!
!
√
d σ −hhab Gµν ∂a X µ ∂b X ν
2
La acción bosónica
Área fundamental.
Métrica en la superficie de
mundo.
Métrica del espacio-tiempo.
Coordenada de la cuerda.
1
S=−
4πα!
!
√
d σ −hhab Gµν ∂a X µ ∂b X ν
2
La acción bosónica
Área fundamental.
Métrica en la superficie de
mundo.
Métrica del espacio-tiempo.
Coordenada de la cuerda.
1
S=−
4πα!
Al reemplazar la solución
clásica para la métrica, la
acción se reduce al área de
mundo de la cuerda.
!
√
d σ −hhab Gµν ∂a X µ ∂b X ν
2
1
S=−
4πα!
!
d2 σ
"
−ĥ
ĥab = Gµν ∂a X µ ∂b X ν
Soluciones Clásicas
•
Distintas condiciones de
borde en los extremos
de la cuerda, dan
distintos tipos de
teorías.
Soluciones Clásicas
•
Distintas condiciones de
borde en los extremos
de la cuerda, dan
distintos tipos de
teorías.
Cerradas
Abiertas
Soluciones Clásicas
Cerradas
Abiertas
Estados
•
Hamiltoniano y
Mometum en la hoja de
mundo.
•
Estados etiquetados por
el momentum espacio
temporal y una
configuración de
osciladores.
|p, N !
Invariancia modular
Expansión perturbativa
Función de partición total = expansión en superficies de
Riemann
+
+
contribución a un lazo
+ ...
Función de partición
del toro
τ = τ1 + iτ2
1
Fijación de calibre: los toros
equivalentes tienen el mismo
parámetro modular
Invariancia modular
Grupo modular
del toro
Región F0
Compactificación en
Orbifolios.
Definición
•
Orbifolio: Espacio
cociente de una
variedad módulo un
grupo discreto.
G = {θm };
M/G
m = 0...N − 1
Orbifolios
Acción libre: El resultado
es una variedad suave.
Ejemplo: El toro
Orbifolios
Acción libre: El resultado
es una variedad suave.
Ejemplo: El toro
Orbifolios
Acción libre: El resultado
es una variedad suave.
Ejemplo: El toro
Orbifolios
•
En caso de que la acción
deje puntos fijos.
Aparecen singularidades.
•
Ejemplo: el cono
Orbifolios
•
En caso de que la acción
deje puntos fijos.
Aparecen singularidades.
•
Ejemplo: el cono
Orbifolios
rotación en π
•
En caso de que la acción
deje puntos fijos.
Aparecen singularidades.
•
Ejemplo: el cono
Orbifolios
rotación en π
•
En caso de que la acción
deje puntos fijos.
Aparecen singularidades.
•
Ejemplo: el cono
Un orbifolio compacto.
(2,2)
Combinamos la
simetría de traslación
en una red con
rotaciones
cristalográficas.
e2
e1
(3,-1)
Un orbifolio compacto.
Un orbifolio compacto.
Un orbifolio compacto.
v
v
Un orbifolio compacto.
Un orbifolio compacto.
Un orbifolio compacto.
Un orbifolio compacto.
Un orbifolio compacto.
Un orbifolio compacto.
Un orbifolio compacto.
Un orbifolio compacto.
Un orbifolio compacto.
Cuerdas cerradas, asas
y puntos fijos
singularidad
cuerda cerrada
en el bulk
cuerda cerrada
en punto fijo
Cuerda enrollada
Estados torcidos
Estados donde la
cuerda se cierra
gracias a la acción del
grupo
Función de partición en
un orbifolio
Proyección
orbifolio
Invariancia modular en
un orbifolio
T
S
1 !
N n,m
Z(n, m)
⇒
⇒
=
Z(n, m)
T
−→
Z(n, m)
1 !
N n,m 1
Z(n, n + m)
S
−→
θ
Z(m, −n)
m
θ
1
n
Orbifolios tipo II
Cuerda IIB
Cuerdas cerradas supersimétricas en D=10.
Estados (Left, Right): r, p. r=(r0,r1,r2,r3) .
Sectores: NS (ri entero), R (ri semientero).
GSO: suma ri impar. -> NS+ y R+.
Espectro (L x R): NS+NS+ +NS+R+ +R+NS+ +R+R+.
Invariante bajo paridad en la hoja de mundo.
Orbifolios tipo II
•
•
Bosones (NSNS y RR)
Fermiones (NSR y RNS)
Orbifolios tipo II
•
Sectores en la función
de partición
α = 0,
sector NS
1
α = ,
2
sector R
Orbifolios tipo II
•
Orbifolios toroidales Zn
y productos.
•
•
Acción cristalográfica
Invariancia modular
Orbifolios tipo II
•
Función de partición
orbifolio tipo B
Proyección orbifolio IIB
r y p son los pesos de la representación
Pesos de las
representaciones
•
•
•
r: modos derechos.
•
ri semienteros: R.
•
Igual para pi .
p: modos izquierdos.
ri enteros: NS.
GSO usual
Pesos no masivos
Espectro Orbifolio
•
Hallar todos los pesos posibles r y p para un valor
de la masa.
•
Construir todos los productos de
representaciones posibles.
•
Retener los estados permitidos por la proyección
orbifolio (calcular la degeneración D(n) ).
Lección II
Cuerdas abiertas
Cuerdas abiertas supersimétricas en D=10. (Tipo
I)
Estados (Right): r=(r0,r1,r2,r3) .
Sectores: NS (ri entero), R (ri semientero).
GSO: suma ri impar. -> NS+ y R+.
Dp-branas:
Orientifolios
Definición de
orientifolio
•
Generalización del
orbifold: incluye paridad.
•
Interés: simetría IIB.
Teorías no orientadas
(algunas propiedades)
•
Nuevas trazas con
inserción del operador de
paridad.
•
Superficies de Riemann no
orientadas.
•
Un lazo: botella de Klein:
KB.
Función de partición
Botella de Klein
θ
m
t
θ
2m
Amplitud
nivel árbol
cuerda
2m-cerrada
t crosscap -> crosscap
Amplitud
a un lazo
cuerda
cerrada
Tadpoles
Tadpoles y cargas RR
•
KB: interacción de Oplanos mediada por
cuerdas 2m-cerradas.
•
KB (RR): cuadrado de
la carga RR
•
KB (NSNS): cuadrado
de la tensión
•Tadpoles de masa
cero son
divergentes.
• Algunos RR
deben cancelarse
Distribución de los
tadpoles KB
Puntos fijos de 2m y de m
x
x
x
Origen
x
pf de 2m no de m
Cargas RR y cancelación
de tadpoles
<
<
>
>
>
∞
>
Espacio compacto: las
lineas de campo deben
comenzar (+) y
terminar (-) en alguna
carga.
>
<
Espacio no compacto:
las lineas de campo
pueden escapar al
infinito.
<
X
X
<
Cuerdas abiertas y
Dp-branas
9-p direcciones D
p+1 direcciones N
Representación de las
D-branas
direcciones perpendiculares
2
x
4
x
x3
6
x
x5
direcciones paralelas
8
x
x7
x9
Un ejemplo
(Sistema 95)
D5-brana X0...X5 D9-brana X0...X9
direcciones NN
direcciones ND
Función de partición
Contribución a un lazo
en integral funcional:
cilindro y Möbius.
brana p
brana q
p
p
Función de partición
(Cilindro)
Función de partición
(Cilindro)
θm
brana p
brana q
t
Amplitud
a un lazo
cuerda
abierta pq
t
Amplitud
nivel árbol
cuerda m-cerrada
p -> q
proyección
orbifold
θ
sector
torcido
m
Transformación de los
sectores
NSNS+ NSNS-
RR
NSNS+ NSNS-
RR
A un
lazo
Árbol
signo relativo
de carga en la
proy GSO a un lazo
Distribución de los
tadpoles cilindro
puntos fijos de m
Origen
Función de partición
(Möbius)
Función de partición
(Cinta de Möbius)
θ
p
θ
m
p
2m
p
t
Amplitud
nivel árbol
cuerda
2m-cerrada
p-> crosscap
t
Amplitud
a un lazo
cuerda
abierta pp
Transformación de los
sectores
NSNS+ NSNS-
RR
NSNS+ NSNS-
RR
A un
lazo
Árbol
signo relativo
de carga en la
realización de paridad
Cancelación de Tadpoles
La condición de
cancelación de tadpoles
implica la cancelación de
la carga RR
Espectro orientifold
Sector cerrado: proyección orbifold +
invariancia de paridad.
Sector abierto: invariancia de los factores de
Chan-Paton bajo la realización del grupo
orientifold.
Sector abierto
•
Realización del grupo
orientifolio.
Cuatro modelos.
Modelos
•
3 modelos en D=6, O9´s y O5´s.
(0,0,1/6,5/6).
(0,0,1/2,1/6).
(0,0,1/8,3/8).
•
1 modelo en D=4, O9´s y O3´s.
(0,1/2,1/2,1/2).
Fijamos
Buscamos soluciones sin antibranas
Distribuimos las D5 en el origen
y en un punto X, no-fijo.
Distribución de las
D5-branas
D5-brana X0...X5 D9-brana X0...X9
Punto X
direcciones NN
direcciones ND
Distribuimos las D5 en el origen y en un punto X, no-fijo.
Distribución de las
D5-branas
D5-brana X0...X5 D9-brana X0...X9
Punto X
direcciones NN
direcciones ND
J=1 y 2 son idénticos!
D5-branas en pf de m=1
D5-brana X0...X5 D9-brana X0...X9
a
b
direcciones NN
a
b
direcciones ND
D5-branas en pf de m=2
fuera del origen
D5-brana X0...X5 D9-brana X0...X9
a
b
direcciones NN
b
a
direcciones ND
Importante!
Ω = (−1)
2
Fs
Condición no trivial en
los factores de CP
en el sector pp
Grupo de calibre 99 y 33
Fermiones 99 y 33
Fermiones 39
Gracias