1.2 Estructuras alge..

Bloque 1: Introducción
1.2 Introducción:
Conjuntos, aplicaciones, relaciones y estructuras algebraicas.
1- TEORIA DE CONJUNTOS
1.- Definición de conjunto. Ejemplos. Notación y representación gráfica. Relación de pertenencia. Formas de
determinación de con conjunto. Igualdad de conjuntos. Ejemplos. Cuantificadores:
Subconjuntos. Conjunto vacío y referencial o universal.
∀, ∃ .
Relación de inclusión.
2.- Partes de un conjunto. Operaciones entre conjunto: unión e intersección y propiedades. Conjunto complementario:
definición y propiedades. Diferencia simple y simétrica.
3.- Partición y recubrimiento de un conjunto Cardinal de un conjunto. Nº de elementos de la unión de dos o más
conjuntos.
4.- Producto Cartesiano de dos conjuntos. Propiedades. Notación.
Problemas: Igualdad de conjuntos. Problemas cardinales.
2- CORRESPONDENCIA Y APLICACIONES.
1.- Definición de Producto Cartesiano de dos o más conjuntos. Propiedades. Representación gráfica
2.- Definición de correspondencia, grafo o gráfica, f(a), correspondencia inversa, f-1(b), dominio e imagen.
• Ejemplos y ejercicios de dominios y correspondencias.
3.- Correspondencias unívocas, biunívocas. Aplicaciones. Ejemplos. Algunas aplicaciones importantes. Restricción y
prolongación de una aplicación.
4.- Tipos de aplicaciones. Ejemplos.
5.- Correspondencia inversa, cálculo de la correspondencia inversa.
6.- Composición de aplicaciones. Propiedades. Ejemplos.
Ejercicios: Aplicaciones, composición, tipos f(A∩B), f(A∪B) etc. Ejemplos de R2 → R2, ... dominios, imagen, etc.
3- RELACIONES BINARIAS ENTRE CONJUNTOS
1.- Relación. Relaciones binarias. Relaciones Binarias de Orden y Relaciones Binarias de Equivalencia.
2.- Relaciones Binarias de Equivalencia y clases.
3.- Relaciones Binarias de Orden y los elementos notables ejemplos de Relaciones Binarias de Orden Preorden y
Relaciones Binarias de Orden Total.
4- LEYES DE COMPOSICIÓN Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
1.- Definición de ley de composición interna (lci). Ejemplos. Propiedades optativas de las lci: asociativa, conmutativa,
elemento ídempotente, elemento absorbente, elemento neutro, elemento simétrico, elemento regular y distributiva.
Propiedades de algunos elementos:
Teorema 1.- En (A,*) el elemento neutro si existe es neutro. Teorema 2.- En (A,*) asociativa, si a tiene simétrico es
único. Teorema 3.- Si a tiene simétrico es regular. Teorema 4.- Si a, b que tienen simétrico ⇒ (a*b)’= b’* a’.
- Notación exponencial.
2.- HOMOMORFISMO. Definición, nomenclatura. Propiedades optativas. Ker (f) e Im (f) de un homomorfismo.
3.- Definición de la ley de composición externa.
4.- Estructuras algebraicas: - grupo, subgrupo. TEOREMA DE CARACTERIZACIÓN. Ejemplos. Intersección de
subgrupos. Homomorfismos de grupos. Anillos. Ejemplos. Propiedades. Divisores de ceros. Dominio de integridad.
Subanillo, TEOREMA DE CARACTERIZACIÓN. Homomorfismos de anillos. Cuerpos. Definición. Propiedades.
Subcuerpo. Ejemplos: anillos de las funciones,
•
Z / n , Números Complejos.
Bibliografía: -" Álgebra lineal" J. de Burgos Mc Graw-Hill. (págs. 577-590. - "Álgebra lineal y Geometría" López-Pellicer y García García. Marfil
(cap. 1-8). - "Álgebra lineal" Jesús Rojo. Mc Graw Hill. (pág 1-52). Problemas: "Problemas de Álgebra" A. de la Villa.
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Algebra Lineal EII
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