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discreta de fourier
resumen, ejemplos y ejercicios
Transformada Discreta de Fourier
„ Resumen
Resumen para ejercicios de cálculo
1. Definición.
Para una función matemática x[n] de variable independiente discreta n de longitud finita
con L muestras, se define la Transformada Discreta de Fourier, como otra función X[k] de
variable independiente discreta k y N muestras, con N≥L
N −1
TDF {x [n ]} = X [k ] = ∑ x [n ] e
−j
2π kn
N
; k = 0;1;...; N − 1
n =0
En el mismo sentido, la transformada inversa se define como
TDF −1 { X [k ]} = x [n ] =
j
1 N −1
∑ X [k ] e
N k =0
2π kn
N
; n = 0;1;...; N − 1
Para una secuencia x[n] finita de longitud L, la transformada X[k] puede interpretarse
j
como el muestreo de un período de la Transformada de Fourier de Tiempo Discreto X(e ω)
tomando N≥L muestras equiespaciadas a intervalos δω=2π//N. Si la secuencia representa
una señal de tiempo discreto (o la respuesta impulsiva de un sistema), esta transformada es
una colección numerable de los valores de su espectro (o respuesta espectral) elegidos en
forma equiespaciada en la escala de frecuencia angular.
X [k ] ≡
1
X e jω
N
( )
ω=
2π k
N
; k = 0;1;...; N − 1
2. Propiedades.
Las propiedades más importantes de la Transformada Discreta de Fourier son
Propiedad
Descripción
Linealidad
c 1x 1[n ] + c 2 x 2 [n ] ↔ c 1 X 1  k  + c 2 X 2 [k ]
TDF
x [ −n ]
Reflexión Circular
x [n − l ]
Desplazamiento Circular Temporal
x [n ] e
Desplazamiento Circular Expectral
2π kn
N
; k = 0;1;...; N − 1
De esta forma puede considerarse que X[k] representa los componentes armónicos de
la secuencia que se obtendría de replicar con período N a la secuencia x[n] finita de L
muestras, con N≥L.
↔ X [k ] e
N
N
2π ln TDF
j
N
↔ X [k − l ]
N
N
Correlación Circular
x 1[n ]M x 2 [n ] ↔ X 1  k  X 2 * [k ]
TDF
Modulación
x 1[ n ] x 2 [ n ] ↔
1
X 1  k  ⊗ X 2 [k ]
N
TDF
x ∗ [n ] ↔ X ∗ N − k 
Conjugación
N
N −1
1
∑ x [n ]x [n ] ↔ N ∑ X
1
n =0
−j
1 N −1 i
∑ x [n ] e
N n =0
N
2π lk
−j
N
x 1[n ] ⊗ x 2 [n ] ↔ X 1  k  X 2 [k ]
Teorema de Parseval
La secuencia periódica puede descomponerse en una Serie Discreta de Fourier cuyos
coeficientes ck son iguales a los valores de X[k]
N
TDF
Convolución Circular
N −1
l = −∞
↔ X [ −k ]
TDF
∞
∑ x [n − Nl ]
X [ k ] ≡ ck =
TDF
N
TDF
También puede hacerse otra interpretación considerando una extensión periódica de
x[n] replicando sus muestras con un período N≥L
xi [n ] =
Intuitivamente puede considerarse que una secuencia limitada en el tiempo contiene
una cantidad limitada de información, de la misma manera que una secuencia periódica. Por
eso, su espectro puede representarse con una cantidad numerable de valores. Si la
transformada se toma con un número N<L, se puede esperar un error al antitransformar por
el solapamiento temporal, del mismo modo que se da en el muestreo de señales con el
solapamiento de frecuencias de señales de banda no limitada.
2
*
TDF
n =0

1

k  X 2 * [k ]
Tabla 1: Propiedades de la Transformada Discreta de Fourier.
Ayuda para ejercicios de simulación
fft
fftshift, ifftshift
Transformada Rápida de Fourier unidimensional
Mueve la componente de frecuencia cero al centro del espectro
Sintaxis
Ejemplos
Sintaxis
Sintaxis
X = fft(x,N,dim)
N=1024; n = 0:N-1; k = 0:N-1;
x = 4*sin(0.3*n) + sin(0.6*n)
X = fft(x);
stem(k,abs(X),'k.-')
Y = fftshift(X,dim)
X = ifftshift(Y,dim)
X: arreglo
dim: dimensión sobre la que se aplica
X: arreglo
dim: dimensión sobre la que se aplica
Algoritmo
Algoritmo
Para vectores, fftshift enroca la mitad
izquierda de x con la derecha. Para matrices,
troca el primer y tercer cuadrante con el
segundo y cuarto. Para arreglos, cambia
cada semiespacio a lo largo de cada
dimensión.
Deshace el resultado de fftshift
x: arreglo
N: número de puntos
L{X}=N (por defecto L{x})
dim: dimensión sobre la que se aplica
2500
Algoritmo
N
X [ k ] = ∑ x [n ] e
2000
−j
2π [k −1][n − 0]
1500
N
n =1
1000
500
0
0
200
400
600
800
1000
1200
ifft
unwrap
Antitransformada Rápida de Fourier unidimensional
Corrige ángulos de fase
Sintaxis
Ejemplos
Sintaxis
Sintaxis
x = ifft(X,N,dim)
N=64; n = 0:N-1; k1=N/16;
X = zeros(N,1); X(k1)=100;
x = ifft(X);
stem(n,x,'k.-')
Q = unwrap(P,tol,dim
N=100;n=0:N-1;
h=zeros(N,1); h(5)=1;
H=fftshift(fft(h));
plot(n,angle(H))
plot(n,unwrap(angle(H)))
x: arreglo
N: cantidad de puntos
L{x}=N (por defecto L{X})
dim: dimensión sobre la que se aplica
2
Algoritmo
1.5
Algoritmo
j
1 N
x [k ] = ∑ X [ k ] e
N k =1
P: arreglo
tol: tolerancia de salto (por defecto π)
dim: dimensión sobre la que se aplica
1
2π [k −1][n − 0]
N
4
3
Suma ±2kπ cuando ocurren saltos absolutos
mayores a π entre dos elementos
consecutivos de P
0.5
0
-0.5
-1
2
1
0
-1
-2
-1.5
-3
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
-4
24
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ayuda para ejercicios de laboratorios
Analizador de Espectro
1. Generalidades.
Un analizador de espectro es un instrumento que permite visualizar las componentes
espectrales de una señal. Habitualmente tiene los siguientes controles:
M
M
M
START/STOP
M
Horizontal:
Canales: A, B
2. DazyWeb Laboratories SA-3002 PC Spectrum Analyzer.
Es un programa para PC de uso libre que realiza el análisis espectral de señales en el
rango de audio calculando la FFT de la señal. Utiliza la placa de sonido full duplex de la
computadora y forma un lazo entre la entrada de línea o micrófono y la salida de línea. En
general, permite utilizar otros programas que requieran la placa de sonido aunque pueden
ocurrir conflictos.
Se instala manualmente copiando el archivo ejecutable en un directorio. Para
desinstalarse, basta con borrar dicho archivo. Puede requerirse un control OCX
(COMDLG32.OCX) incluido en el archivo zip (si no funciona, se puede copiarlo dentro de la
carpeta Windows/System con los otros OCX's). Es necesaria la Visual Basic 6 runtime library
(MSVBVM60.DLL) provista con Windows 98 o sistema posterior y disponible en simtel.net
para Windows 95.
Vertical:
M
Accesorios:
M
Scale: Lin, Log
ƒ
ƒ
Referencia: -200 dB ~ +140 dB
Rango: 2.5 dB/div, 5 dB/idv, 7.5 dB/div, 10 dB/div, 12.5 dB/div,
15 dB/div, 17.5 dB/div, 20 dB/div
ƒ
ƒ
Magnitud: 62.5 Hz/div, 125 Hz/div, 250 Hz/div, 500 Hz/div,
1000 Hz/div, 2000 Hz/div
Posición: -500000 Hz ~ +520000 Hz
ƒ
ƒ
ƒ
Filtros
Promediado/Pico
Composición espectral: THD/IMD
Fig. 2: Vista del panel frontal de un analizador de espectro virtual DazyWeb Laboratories SA-3002.
Fig. 1.: Vista del panel frontal de un analizador de espectro digital.
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Descripción
Control
Barrido
START/STOP
Filtros
FIR/IIR/C
FIR, IIR y borrado
Canales
L/R/M
Izq y der (8 kmuestras) y mono der (16 kmuestras)
Referencia Vertical
Ref
-200 dB ~ +140 dB
Range
2.5 dB/div, 5 dB/idv, 7.5 dB/div, 10 dB/div, 12.5 dB/div, 15 dB/div,
17.5 dB/div, 20 dB/div
Rango Vertical
Promediador/Pico
AVE/PEAK
Composición
spectral
THD/IMD
Opciones o rango
M
62.5 Hz/div, 125 Hz/div, 250 Hz/div, 500 Hz/div, 1000 Hz/div,
2000 Hz/div
Horizontal Posición
P
-500000 Hz ~ +520000 Hz
Ayuda
Help
Osciloscopio
Scope
Datos
Data
Horizontal Magnitud
Manejo de Archivo
Opciones
FILE
OPTION
Load Spectra File / Save Spectra File
Load FIR Coeficients / Load IIR Coeficients
Copy to Clipboard
Save as BMP
Load WAV file / Play WAV file / Stop WAV file
Reset
Plot to Printer
Plotwidth: Narrow, Wide
Exit
Sample Rate: 44100, 22050, 11025
Window: None, Hamming
Filter: No Filter, A-Weight, BP 30 Tap, 1 k R Notch, FIR Ext User,
500 Hz HP, IIR Ext User
Data Lock: Peak Freq, 60Hz
Scale: Lin, Log
Cal Offset/Cal Engage/Harmonic Display: Off, On
Tabla 1: Controles del analizador de espectro virtual DazyWeb Laboratories SA-3002
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