C OLEGIO TÉCNICO COMERCIAL MANUELA BELTRÁN

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ESTADÍSTICA – MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Lic. ELISABETH ECHAVARRIA
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Hasta el momento hemos estudiado los valores centrales de la distribución, pero también es
importante conocer si los valores en general están cerca o alejados de estos valores centrales, es
por lo que surge la necesidad de estudiar medidas de dispersión.
RANGO:
Es la primera medida que vamos a estudiar, se define como la diferencia existente entre el valor
mayor y el menor de la distribución,. Lo notaremos como R. Realmente no es una medida muy
significativa en la mayoría de los casos, pero indudablemente es muy fácil de calcular.
R  X max  X min
A veces el Rango es una medida “engañadora” e “inestable”, pues sólo toma en cuenta los
valores extremos, dejando de lado los valores intermedios.
Hasta el momento hemos estudiado varias medidas de centralización, moda, media y mediana, por
lo que podemos hablar de desviación con respecto a cualquiera de ellas, sin embargo, la más
utilizada es con respecto a la media.
DESVIACIONES
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la
media aritmética.
Son diferencias que se obtienen entre lo valores de la variable y un punto fijo, por lo general la
Media, o un valor arbitrario denominado “Media Supuesta” u “Origen de Trabajo” O t
Se consideran 3 clases:



Desviaciones respecto a la Media
Desviaciones respecto a la Media Supuesta u Origen de Trabajo
Desviaciones respecto a un origen de trabajo tomadas en unidades de Amplitud
A. DESVIACIONES RESPECTO A LA MEDIA “Se simboliza Zi o di”
Se obtienen calculando las diferencias entre cada uno de los valores que toma la variable y
la media, se simboliza Zi o di
Zi = Xi -
B. DESVIACIONES RESPECTO A Origen de Trabajo (Ot) “Se simboliza Z`i”
El procedimiento es exactamente igual que el anterior, con la diferencia que en lugar de la
Media, se toma un valor cualquiera. Esta desviación se usa preferencialmente en datos
agrupados
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C. DESVIACIONES RESPECTO A UN ORIGEN DE TRABAJO TOMADAS EN UNIDADES
DE AMPLITUD Z”i
Generalmente se aplica en datos agrupados, cuando la variable es continua y la amplitud
del intervalo es constante.
Se calcula “dividiendo cada una de las desviaciones respecto a la media supuesta por la
respectiva amplitud”.
DESVIACION MEDIA
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones
respecto a la media.
La desviación media se representa por
Ejemplito Nº 1.
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18, observamos que n = 8, Luego la media es
Hallamos la desviación respecto a la media de cada Xi y sumamos sus valores absolutos.
DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación
media es:
Es decir cada diferencia en valor absoluto se debe multiplicar por su respetiva frecuencia
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Ejemplito Nº 2.
Calcular la desviación media de la distribución:
Xi
fi
xi · fi
|x - x |
|x - x | ·
fi
[10, 15)
12.5
3
37.5
9.286
27.858
[15, 20)
17.5
5
87.5
4.286
21.43
[20, 25)
22.5
7
157.5
0.714
4.998
[25, 30)
27.5
4
110
5.714
22.856
[30, 35)
32.5
2
65
10.174
21.428
21
457.5
98.57
Calculamos la media
VARIANZA
La varianza es el cuadrado de la desviación estándar,
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media
de una distribución estadística.
La varianza se representa por
o S2.
Varianza para datos agrupados
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que
son equivalentes a las anteriores.
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Varianza para datos agrupados
Ejemplito Nº 3
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
xi2 · fi
xi
fi
xi · fi
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
42
1 820
88 050
PROPIEDADES DE LA VARIANZA




La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las
puntuaciones sean iguales.
Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda
multiplicada por el cuadrado de dicho número.
Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas
varianzas se puede calcular la varianza total.
En nuestro caso es mejor usar la simbología S2:
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OBSERVACIONES SOBRE LA VARIANZA
La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.
La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las
desviaciones están elevadas al cuadrado.
DESVIACIÓN TÍPICA O ESTANDÁR
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Desviación típica para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes
a las anteriores.
Desviación típica para datos agrupados
EjEMPLITO nº 4
Calcular la desviación típica de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
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Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60)
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
42
1 820
88 050
Propiedades de la desviación típica
La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las
puntuaciones sean iguales.
Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.
Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda
multiplicada por dicho número.
Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas
desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
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Observaciones sobre la desviación típica
La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las
puntuaciones extremas.
En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación
típica.
Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos
alrededor de la media.
EJERCICIOS EN CLASE
la última convocatoria realizada por una programadora de televisión se buscaba seleccionar los
participantes de un nuevo reality, dentro del formulario de inscripción se preguntó a los aspirantes
por el grado de escolaridad, medido en número de años, contando desde primero de primaria. Los
resultados se muestran en las siguientes
11
11
4
18
10
11
6
9
12
9
19
10
10
1
14
12
5
5
0
8
8
11
18
11
9
11
9
11
11
4
10
9
6
4
16
3
10
17
11
4
1. Si la persona encargada de caracterizar la población decide construir una tabla de frecuencias
usando los rangos establecidos por el sistema colombiano, completar la siguiente tabla:
Con respecto a la tabla anterior,
2. ¿Cuántas personas completaron el formulario?
3. ¿Cuál es la frecuencia relativa de nivel educativo bachiller? ¿Qué significado tiene ese dato?
4. ¿Qué nivel educativo predomina?
5. ¿Qué nivel es el que menos predomina?
6. ¿Se puede afirmar que los aspirantes son en su mayoría bachilleres? Justificar.
7. Completar la tabla
ESCOLARIDAD
0–5
Primaria
6 -11
Bachiller
12 – 17
Mi, Xi Marca
de Clase
fi
hi
N
H
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Lic. ELISABETH ECHAVARRIA
Profesional
Más de 18
Especializado
10. Escribir algunas conclusiones con respecto a la tabla anterior.
11. Complete la tabla:
Xi
Desviación
Desviación
cuadrada
12. Calcule el valor de la Varianza y la Desviación estándar
13. Calcule las medidas de tendencia central con los datos anteriores.